两个平面平行-
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
平面与平面平行的判定和性质
P
b a
已知：在平面 内有两条直线 a 、 相交且和 b 平面 平行． 求证： // 证明：(用反证法)
c 假设 ．
a // , a
a // c
同理
b // c 这与题设 a和 b 是相交直线矛盾．
//
平面与平面平行的判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. (线面平行面面平行)
PF EF
同理： EP || AD
AS=18
CD=34
A
α
34
C
α
A
18 S
9
C
B β
9
D
β
D
B
S
1.如果三个平面两两相交，那么它们 的交线有多少条？画出图形表示你的 结论。
答:有可能1条，也有可能3条交线。
（1）
（2）
3. 3个平面把空间分成几部分？
（1）
4
（2）
6
（3）
6
（4）
证明: 连结AB, AB. 因为AA∥BB,
B
A
A′
B′
AB AB AB∥ AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
推论2:平行于同一个平面的两个平面平行
下图表示两平面之间的两种位置，如 何用符号语言描述这两种位置关系？
β α
l
//
l
一、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那么 这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
两个平面平行的性质
α
A
α∥β，l⊥α， 则 l⊥β
两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离
和两个平行平面α，β同时垂直的直线l， 叫做这两个平行平面α，β的公垂线 它夹在这两个平行平面间的部分叫做这 两个平行平面的公垂线段 我们把公垂线段的长度叫 做两个平行平面的距离
l
β
B
A
α
两个平面平行的其它性质
性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 性质5：经过平面外一点只有一个平面和已知平 面平行
E
A
C
N
D
两个平面平行的性质
1。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 直线平行于另一个平面．
2。如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
3。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面．
4。夹在两个平行平面间的平行线段相等． 5。经过平面外一点E // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
证明：在平面 内任取一条直线 b，平面是经过点A与直 线b的平面.设 a // a a // b b
l
b
a
A
已知： // ，l , l A.求证：l 证明：在平面 内任取一条直线 b，
两个平行平面的公垂线 段都相等，公垂线段的 长度具有唯一性．
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
平面与平面平行的性质和判定
两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。
②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。
【立体几何】两个平面平行
平面与平面平行1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.●点击双基1．下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有A.1种B.2种C.3种D.4种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.答案：C3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.答案：D4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1 ∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ， CD 交α、β 于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBODCOOB AO = 即OD685=∴OD ＝548 ∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CDA 1ABC B 1 C EFM ND 1 DB Dβ αACO在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1 易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥a a ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ，∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝ADPA PA+AB＝37AB ，同理DE ＝74AC ．S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、βQFDECABα βP内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为＝＋＋＝2＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋ ∴ 、、共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．●闯关训练夯实基础B 1A 1C 1 βα BCAODEACBP1.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 答案：D2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68.(1)(2)如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.答案：68或3683.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：11甲乙①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图乙时，EF ·BF 是定值. 其中正确命题的序号是_____________.解析：对于命题①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC 为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.答案：①③④4.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.（1）求证：MN ∥α；（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ′⊥α，垂足为B ′，连结CB ′、DB ′，设E 为B ′D 的中点， 连结NE 、CE ，则NE ∥BB ′且NE =21BB ′，又AC =BB ′， ∴MCNE ，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.∴MN ∥CE .又CE ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ′=a =CD ，B ′D =22B B BD '-=22b c -， ∴CE =)(41222b c a --=2224141c b a -+， 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 5.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .A1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB . 同理，AB 1∥平面C 1DB . 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1. 同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1. ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .培养能力6.如下图，直线a ∥直线b ，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a 与b 所确定的平面不与γ垂直.如果a 、b 不是γ的垂线，则必有α∥β.证明：令α∩γ=直线a ′，β∩γ=直线b ′.分别过a 、b 上任一点在α内、β内作a ′、b ′的垂线m 、n .根据两平面垂直的性质定理，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n . ∵a 不垂直于γ，m ⊥γ，且a 、m 在α内，∴a 与m 必是相交直线.又b 与n 在β内，且有a ∥b ，m ∥n ，∴a ∥β，m ∥β.∴α∥β. 点评：根据a ∥b ，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F ∈γ， AC ∩β=B ，DF ∩β=E .（1）求证：BC AB =EFDE； （2）设AF 交β于M ，AC DF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当hh '的值是多少时，△BEM 的面积最大?（1）证明：连结BM 、EM 、BE .∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，∴BM ∥CF .∴BC AB =MF AM. 同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EFDE.（2）解：由（1）知BM ∥CF ，∴CF BM =AC AB =h h '.同理，AD ME =hh h '-.∴S BEM ∆=21CF ·AD h h '（1－hh '）sin ∠BME .据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，sin ∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即hh '= 21时，y =－x 2+x 有最大值. ∴当hh '= 21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ∆最大. 8.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，AB =a .A1（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ； （2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.（1）证明：∵MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB . 又AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .而MN ∩AM =M ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .（2）解：∵BE ⊂平面EFDB ，MN ⊂平面AMN ，且平面AMN ∥平面EFDB ， ∴BE 与MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A 1ACC 1的交线AP 、OQ ，作OH ⊥AP 于H . ∵DB ⊥平面A 1ACC 1，∴DB ⊥OH .而MN ∥DB ，∴OH ⊥MN . 则OH ⊥平面AMN . ∵A 1P =42a ，AP =423 a ， 设∠A 1AP =θ，则cos θ=a a 423=322， ∴OH =AO ·sin θ=22a ·322 a =32a . ∴异面直线BE 与MN 的距离是32a .探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m ，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE 是高度为h 的树，斜坡AD 朝正南方向，AB 为东西方向，BC 为南北方向.∠CBD =α，∠ACB =β，∠EAC =γ，∠AED =90°－γ，影长AD =x 为未知量.但x 难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC =θ为辅助未知量，以揭示x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在△ADE 中，)sin(θγ-h =)90sin(γ-x，即γcos x =)sin(θγ-h .①在△ACD 中，CD =x sin θ，AC =x cos θ. 在△ABC 中，BC =AC cos β=x cos θcos β. 在△BCD 中，tan α=BC CD =βθcos tan . ②由①推得x =)sin(cos θγγ-h .③由②推得tan θ=tan αcos β， 即θ=arctan （tan αcos β）.代入③，即得树在坡面上的影长. ●思悟小结证明两平面平行的方法： （1）利用定义证； （2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交. 拓展题例【例1】 下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D 错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β=l .答案：D【例2】 在四棱锥P —ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面P AD ；（2）当MN ⊥平面PCD 时，求二面角P —CD —B 的大小. （1）证明：取CD 的中点E ，连结ME 、NE . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .于是NE ∥平面P AD ， ME ∥平面P AD .∴平面MNE ∥平面P AD ，MN ⊂平面MNE . ∴MN ∥平面P AD .（2）解：设MA =MB =a ，BC =b ，则MC =22b a +. ∵N 是PC 的中点，MN ⊥平面PCD ， ∴MN ⊥PC .于是MP =MC =22b a +. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AM ，P A =22AM PM -=b .于是PD =2 b ，EN 是△PDC 的中位线，EN =21PD =22b .∵ME ⊥CD ，MN ⊥平面PCD ，∴EN ⊥CD ，∠MEN 即为二面角P —CD —B 的平面角. 设为α，于是cos α=EMEN =22，α=45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°.。
平面和平面平行的判定和性质
根据两个平面平行及直线和平面平行的定义， 容易得出下面的结论：
// , a a //
即：如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的直线平行于另一个平面．
（2）两个平面平行的性质定理 性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行．
即： a a // b b
证明：(用反证法)
c 假设 ．
a // , a
a // c
同理 b // c 这与题设a 和 b 是相交直线矛盾． //
推论:如果一个平面内有两条相交 直线分别平行与另一个平面内的两条直
线，那么这两个平面平行。
a ,b ,a b A
M G N E P
D
转 化
〖演练反馈〗
(1)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置 关系是( D ) (A)都平行 (B) 都相交 (C)在这两个平面内 (D) 至少与其中一个平面平行 (2) a α,b β且α∥β，则直线a、b的关系为( (A)a∥b (B)a与b异面 (C) a与b平行或异面 (D) a与b相交 )C
//
例2:已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角 线AE，BD的中点. D C 求证：PQ∥平面BCE。 Q A P R B
F
E
例3：求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线 段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 求证：AB=DC D A 证明： AB // DC ∴AB,DC确定平面AC 又因为AD,BC分别是平面AC B 与平面 、 的交线. ∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形
面面平行的性质定理
面面平行的性质定理
面面平行的性质定理：
1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
定理1
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
证明：设α∥β，a⊂α，则a∥β
∵α∥β
∴α与β无交点
又∵a⊂α
∴a与β无交点
即a∥β
定理2
两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。
如果交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。
所以交线必定平行。
面面平行的判定定理：
1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质
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目 录
• 定义与性质 • 两个平面平行的性质定理 • 两个平面平行在几何中的应用 • 两个平面平行的判定方法 • 两个平面平行的实际应用
01
定义与性质
平面平行定义
平面平行定义
两个平面没有公共点，则这两个平面 平行。
平行平面的性质
如果两个平面平行，则它们没有公共 点，且它们之间的距离保持不变。
在机械零件设计中，平面之间的平行关系对 于确保零件的精确配合和功能至关重要。例 如，在齿轮的设计中，齿面的平行关系决定 了齿轮的传动效率和稳定性。
空间几何中的应用
空间定位
在空间几何中，平面之间的平行关系用于确定物体的位置和方向。例如，在导航中，地 球上的经纬线形成平行的平面，用于确定地理位置和方向。
平面平行性质
1 2
3
性质1
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面平行。
性质2
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面垂直。
性质3
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意点都与另一个 平面等距。
平面平行的判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
判定方法三
总结词
根据平面的性质，如果两个平面都垂 直于同一条直线，则这两个平面平行。
详细描述பைடு நூலகம்
如果两个平面都垂直于同一条直线， 那么这两个平面必然平行。这是因为 垂直于同一直线的两个平面必然是平 行的，因为它们都与这条直线形成相 同的角度。
05
两个平面平行的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，两个平面平行是常见的 几何关系。例如，在建筑物的立面设计 中，平行于地面的墙面和窗户常常用于 实现美观和功能性的设计。
两平面平行的判定定理符号表示
两平面平行的判定定理符号表示两平面平行的判定定理有以下符号表示：1. 共面定理：设平面α和平面β有公共点P，若P不是α和β的交线上的点，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
2. 平面法向量平行定理：设平面α和平面β有法向量分别为n1和n2，若n1 || n2，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
3. 平面方程定理：设平面α和平面β分别由平面方程Ax + By + Cz + D1 = 0和Ax + By + Cz + D2 = 0表示，若D1 ≠ D2，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
4. 平面与直线平行定理：设平面α过点A，直线l在α上，若直线l // α，则l和α是平行的。
表示为l // α。
相关参考内容如下：1. 共面定理的应用：共面定理是判断两平面是否平行的常用方法之一，可以通过找到两平面的一个公共点，并验证该点不是两平面的交线上的点，从而确定两平面是否平行。
可以参考数学教材中的相关内容。
2. 平面法向量平行定理的应用：平面法向量平行定理是另一种判断两平面是否平行的方法，通过比较两平面的法向量，若两法向量平行，则两平面平行。
可以参考高等数学教材中的相关内容。
3. 平面方程定理的应用：平面方程定理可以通过比较两平面的方程中的常数项，若两常数项不相等，则两平面平行。
可以参考线性代数教材中的相关内容。
4. 平面与直线平行定理的应用：如果一条直线在平面上，且与平面平行，则该直线和平面是平行的。
这可以用来判断一个直线是否与一个平面平行。
可以参考解析几何教材中的相关内容。
以上是关于两平面平行的判定定理的符号表示及相关参考内容，希望能够对您有所帮助。
证明两个互相平行的平面与其交线平行
证明两个互相平行的平面与其交线平行平面是几何学中的重要概念，是一个不平行于地面的二维空间。
在三维空间中，两个平面如果互相平行，即它们不会相交。
本文将证明，如果两个平面互相平行，那么它们与它们的交线也是平行的。
首先，我们来定义两个平面P1和P2，并假设它们互相平行。
设P1的法向量为n1，P2的法向量为n2。
根据平行平面的定义，n1和n2是平行的，即它们具有相同的方向。
我们知道，垂直于平面的直线与该平面垂直，因此n1和n2分别垂直于P1和P2。
接下来，我们考虑两个平面的交线L。
设交线L的方向向量为d。
由于交线L同时存在于P1和P2中，所以L与P1的法向量n1垂直，与P2的法向量n2也垂直。
因此，我们可以得出以下两个等式：d·n1 = 0 （式1）d·n2 = 0 （式2）其中，·表示向量的点积运算。
由于n1和n2平行，它们具有相同的方向，因此式1和式2可以合并为：d·n = 0 （式3）其中，n为n1或n2中的任意一个，即n1和n2的方向向量。
根据向量的性质，如果一个向量与另一个向量的点积为零，则它们是垂直的。
因此，从式3可以推出d是与n垂直的向量。
根据几何学中的定义，如果两个向量垂直，它们是平行的。
因此，根据式3的推导，我们可以得出结论：交线L与P1和P2是平行的。
综上所述，我们证明了两个互相平行的平面与它们的交线是平行的。
这一结论在几何学的相关推理和证明中具有重要意义。
在现实生活和应用中，该结论可以应用于多个领域。
例如，在建筑设计中，如果要设计两个平行的墙面，可以根据这一结论确定墙面之间的交线是平行的；在航空航天领域，两个互相平行的飞行器的飞行轨迹也可以根据这一结论确定是平行的。
总结一下，两个互相平行的平面与其交线平行是几何学中的重要结论。
通过向量和点积的性质以及平行平面的定义，我们可以推导出该结论。
这一结论的应用广泛，对于解决实际问题和推理证明都具有重要意义。
平面与平面平行的定义
平面与平面平行的定义平面与平面平行的定义平面是指没有厚度的二维图形，由无数个点组成，可以用线段连接起来形成一个封闭的图形。
平面可以用一个方程式来表示，例如：ax+by+cz+d=0。
而平面平行则是指两个平面之间的距离相等，且永远不会相交的情况。
平面平行的判定方法1. 两个平面的法向量相同，且过这两个平面的任意一条直线与这两个平面的交点距离相等，则这两个平面平行。
2. 两个平面的法向量不同，但是它们的法向量的夹角为零度或者180度，则这两个平面平行。
3. 两个平面的法向量不同，但是它们的法向量的夹角为90度，则这两个平面垂直，不可能平行。
平面平行的性质1. 平面平行的两个平面之间的距离相等。
2. 平面平行的两个平面之间不存在交点。
3. 平面平行的两个平面的法向量相同。
4. 平面平行的两个平面的任意一条直线与这两个平面的交点距离相等。
平面平行的应用平面平行的概念在几何学中有着广泛的应用，尤其在建筑学、机械制造、地理学等领域中，都有着重要的应用。
在建筑学中，平面平行的概念可以用来设计建筑物的平面布局，使得建筑物的各个部分平行，达到美观和实用的效果。
在机械制造中，平面平行的概念可以用来设计机械零件的平面布局，使得机械零件的各个部分平行，达到精度和稳定性的效果。
在地理学中，平面平行的概念可以用来描述地球表面的平面，例如经线和纬线就是平行的，它们之间的距离相等。
总结平面与平面平行是几何学中的重要概念，它们的定义、判定方法、性质和应用都有着广泛的应用。
了解平面与平面平行的概念，可以帮助我们更好地理解几何学的知识，也可以在实际生活中应用到相关领域中。
两平面平行的充要条件
两平面平行的充要条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面几何是数学中一个重要的分支，其中平行线和平行平面的性质一直受到广泛关注。
在平面几何中，两平面平行是一个基本概念，它指的是两个平面没有共同点，但是它们的方向是一致的。
那么，什么是两平面平行的充分必要条件呢？接下来我们将进行深入探讨。
我们需要了解两个平面的方程是怎样表示的。
一般情况下，平面的方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，而D为该平面到原点距离的负值。
如果两个平面平行，那么它们的法向量是平行的，即它们的法向量共线但不共点。
假设两个平面的法向量分别为n1 = (a1, b1, c1)和n2 = (a2, b2, c2)，那么它们平行的充分必要条件是存在一个非零常数k，使得a1 = ka2、b1 = kb2、c1 = kc2成立。
如果两平面平行，那么它们的法向量的向量积等于零向量。
即n1 × n2 = 0，其中n1和n2分别为两个平面的法向量。
这也是两平面平行的充要条件之一。
还有一种更直观的判定方法，即借助直线和平面的关系来判断两个平面是否平行。
如果两个平面平行，那么它们的法线平行，而且两个平面上的直线都与这两个平面平行。
这时，我们可以在两个平面上取一点，然后通过这一点做两个平面上的直线，如果两条直线平行，则说明两个平面平行。
这种方法也是判定两平面平行的充要条件之一。
在实际应用中，我们通常会遇到一些具体的问题，比如两个平面的交点、夹角等。
在这种情况下，判断两个平面是否平行就更为重要。
如果我们能够灵活运用两平面平行的充要条件，就可以更加准确地解决这些问题。
两平面平行是平面几何中的一个重要概念，它的充要条件有多种判定方法，包括法向量的共线、法向量的向量积为零、以及直线与平面的关系等。
只有深入理解这些概念，我们才能更好地应用它们解决实际问题。
希望本文对大家有所帮助。
第二篇示例：两平面平行的充要条件是指在空间中存在两个平面，这两个平面保持着相同的倾斜角度，并且永远不会相交。
两平面平行的方程关系
两平面平行的方程关系在我们的日常生活中，平面这个概念可真是无处不在，想想吧，桌子、墙壁，甚至咱们的手机屏幕，都是平面。
可是，今天咱们不聊这些日常用品，咱们要聊聊数学里的平面，特别是那些平行的平面。
平行的平面就像两个形影不离的好朋友，永远保持着一段固定的距离，绝不靠近也不远离，真是让人忍不住想多说几句。
想象一下，两个平面就像两条平行线，无论你走多远，它们的关系始终不变，似乎永远在对视，互不打扰。
这样一来，平行的平面就成了一种完美的默契，简单又直接，真的很让人向往。
说到平面方程，那可真是个有趣的玩意儿。
它们的形式其实挺简单的，像“ax + by + c = 0”这样的公式，想想，这就是平面方程的基本架构。
你看，“a”和“b”这两个小家伙，简直就像是两个人的默契配合，彼此呼应，共同构成了一个平面。
这里面可有意思了，若是“a”和“b”都有一个共同的比例关系，嘿，那这两个平面就平行了。
就好比一对好朋友，彼此总是心有灵犀，一句话也能互相懂，真是让人感到温馨。
两条平行的线，你永远不会发现它们交汇的那一刻，这种关系看似简单，却暗藏了不少哲学的意味。
咱们再来聊聊生活中的一些例子。
比如，马路两旁的车道，不管是城市的繁华还是乡村的宁静，车道始终是成对出现的，嘿，这就是生活中的平行平面啊。
车子在上面来来往往，司机们心里有数，不会因为一个红绿灯就把对面的车撞上去。
这样的平行关系，不就是一种生活的智慧吗？就像我们的人际关系，有些朋友可以一直保持距离，互不打扰，却依然能分享彼此的快乐和烦恼。
平行的平面仿佛在告诉我们，生活中有些人，离得远远的，反而能更好地欣赏彼此的美好。
再想想，平行的平面在我们的工作中也同样重要。
团队里的每一个人，各司其职，彼此之间的配合不就是一种平行吗？大家都有自己的工作，但只要目标一致，默契自然就出来了。
想象一下，如果团队里的每一个人都能像那平行的平面一样，各自为营，又彼此成全，那工作起来岂不是轻松愉快？这种感觉就像是拔河比赛，大家各自用力，却又始终保持着平衡，才是最终的胜利。
面面平行→线面平行符号语言
面面平行→线面平行符号语言面面平行是空间几何中的一个概念，它指的是两个平面之间的关系，即这两个平面是平行的。
在符号语言中，我们可以使用数学符号和文字来表示面面平行的概念。
首先，我们可以使用符号“//”来表示平行关系。
当两个平面平行时，我们可以写成“面1 // 面2”，其中面1和面2表示两个平面。
此外，我们还可以使用文字来进一步描述面面平行的特点。
首先，平行平面之间的距离是相等的。
这意味着平行平面上的任意一点到另一个平面上的点的垂直距离是相等的。
因此，我们可以写成“平行平面之间的距离相等”。
其次，平行平面的法向量方向相同或相反。
平行平面具有相同或相反的法向量，这意味着它们的法向量对应的方向向量是相同的。
我们可以使用文字来表达这一特点，例如“平行平面的法向量方向相同”。
最后，平行平面之间没有交点。
这意味着两个平行平面上的任意一条直线都不会与另一个平面相交。
我们可以使用文字来描述这一特点，例如“平行平面之间没有交点”。
除了平行平面之外，我们还可以描述面和直线之间的平行关系。
当一个面和一条直线平行时，我们可以使用符号“∥”来表示。
例如，“面 // 直线”表示面和直线平行。
此外，我们还可以使用文字来进一步描述面和直线之间的平行关系。
与平行平面类似，面和直线之间的距离是相等的。
这意味着面上的任意一点到直线上的点的垂直距离是相等的。
我们可以写成“面和直线之间的距离相等”。
总的来说，面面平行和面直线平行是空间几何中的重要概念。
在符号语言中，我们可以使用“//”和“∥”符号来表示平行关系，同时可以使用文字来进一步描述平行关系的特点，如距离相等和法向量方向。
这些符号和文字的使用可以帮助我们准确地表达面面平行和面直线平行的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。
两平面平行
射线 射线
半平面
半平面
２、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图 形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角
３、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出 发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种 定义方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角
D1 C1
A1
B1
D A B
C
四、平面的相交
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当 的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必 须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学 的观点认识这种现象？
公路
（一）：二面角的有关概念
１、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫做半平面
探究：
2.若a b P时，则与平行吗？
b
P
a
三、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平面平行．
P
符号语言：
b a b P // a // b //
a
例、在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ， 求证：平面 A1 BD // 平 面B1 D1C
注意两平面平行的画法
不应该这么画
2、判定：
探究：
（ 1 ）若内有一条直线 a与平行， 则与平行吗？
a
a
（两平面平行） （两平面相交）
探究：
（2）若内有两条直线 a、b分别与平行, 则与平行吗？ 1.若a // b时，则与平行吗？
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
ห้องสมุดไป่ตู้
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
证明：在平面 内任取一条直线 b，平面是经过点A与直 线b的平面.设 a // a a // b b
l
b
a
A
已知： // ，l , l A.求证：l 证明：在平面 内任取一条直线 b，
两个平行平面的公垂线 段都相等，公垂线段的 长度具有唯一性．
与两平行线间的 距离定义相类似
两个平行平面间距离实质 上也是点到面或两点间的 距离。
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「 yrk085utb 」
不断自我清除，如一株枝繁叶茂的花树，修剪掉繁杂缭乱的枝叶，才能看清自我朝向与脉络。 需要不断自我检视，自我分辨。自我剔除。 就像搬家的时候，你才会知道哪些东西是真正重要，而哪些又是无关紧要的。真正重要的需需要带走，而无关紧要的只需要丢 弃。接近生命本质的一场自我测试，自我淘汰与筛选。 看似清醒自恃的人，往往更容易陷入某种莫名狂热的境地。 是，似乎是一种病态的心理，就像遇到一首喜欢的歌曲，会单曲循环到彻底腻味。然后抛弃，干脆果断，不留余地。会有一种 自毁的快感和莫名的亢奋。所以，有时似乎很难鉴定究竟是太清醒，还是太沉溺。 偶尔也会思考，究竟自己是变得更宽广还是更狭隘，更丰沛还是更无趣。但是，我不知道答案。总是自问，无解。乐此不疲。
两个平面平行
高三第一轮复习数学---两个平面平行一、教学目标：了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二、教学重点：平行平面的判定定理和性质定理的应用是重点，要很熟练的运用．三、教学过程：（一）主要知识：一）位置关系：平行：没有公共点；βα//相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上． （相交包括垂直相交和斜交）βαβα⊥=或l二）平行的判定：（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）βαβα//⇒Φ=⋂ （２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线线平行得线面平行）βαββα////,//,,,⇒=⋂⊂b a o b a b a（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．βαβα//,⇒⊥⊥a a（４）平行于同一个平面的两个平面平行．βαγβγα////,//⇒（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：（１） 两个平行平面没有公共点(定义法)．Φ=⋂⇒βαβα//（２） 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行） b a b a //,,//⇒=⋂=⋂βγαγβα（３） 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行）βαβα//,//a a ⇒⊂（４） 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）βαβα⊥⇒⊥a a ,//一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．（５） 夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等． 思维方式: 熟悉线线平行⇔线面平行⇔面面平行的思路．即找或作线、面的平行关系 特别注意:在判定两平面平行的时候，两条直线必须是相交直线，而且要把条件写清楚，防止由一个平面内的两相交线平行于另一平面内的两相交线，就断定两个平面平行的情况．（二）例题分析：例1：（1）在下列条件下，能够判定平面M 与平面N 平行的条件是（ ）（A ）M 、N 都垂直于另一平面Q （B ）M 内不共线的三点到N 的距离相等（C ）l,m 是M 内的两条直线，且l ∥N,m ∥N （D ）l,m 是两条异面直线，且l ∥M,m ∥M ，l ∥N,m ∥N（2）a,b,c 为三条不重合的直线，α,β,γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：1A 1C 1D ①b a c b b a //////⇒⎭⎬⎫ ②b a b a //////⇒⎭⎬⎫γγ③βαβα//////⇒⎭⎬⎫b b ④βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫ ⑤αα//////a c a c ⇒⎭⎬⎫ ⑥αγγα//////a a ⇒⎭⎬⎫ 其中正确的是（ ） （A ）①②③ （B ）①④⑤ （C ）①④ （D ）①④⑤⑥解：（1）D ；（2）Ｃ[思维点拔]要十分清楚对判定定理的应用。
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A C
M
N
E
D B
2020/7/20
【典例剖析】
【例3书】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任
何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直， 边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面
ACD1.
A
B
C
2020/7/20
A1
D1
C1
【典例剖析】
【例4书】 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、 N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN；
9.4两个平面平行
2020/7/20
【教学目标】
掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决 有关问题
2020/7/20
2020/7/20
2020/7/20
2020/7/20
【点击双基】
1.（2019年春季北京，3）下列命题中，正确的是 C A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行
2020/7/20
（2）平面MNP∥平面A1BD.
D
C
A
B
M
2020/7/20
D1 A1
P
C1
N
B1
【知识方法总结】 1. 证明面面平行的主要方法: ①利用定义; ②利用判定 定理. 另外证面面平行还可利用“垂直于同一条直线 的两个平面互相平行”来证. 2. 面面平行关系, 通常转化为线面关系, 而线面关系又 可转化为线线关系.
其中202正0/7/20确的命题是_①__④__⑤__⑥___（将正确的序号都填上）
【典例剖析】 例1．已知a和b是两条异面直线，求证：过a且平行于
b的平面必平行于过b且平行于a的平面．
2020/7/20
【典例剖析】
【例2书】 设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线， M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β， 求证：MN∥平面α.
2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面
α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有
C
A.1种 B.2种 C.3种
D.4种
2020/7/20
【点击双基】
3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在
下列条件下，可判定α∥β的是
D
A.α、β都平行于直线a、b
B.α内有三个不共线点到β的距离相等
C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重 合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
① b a∥ ∥ cc a∥ b;② b a∥ ∥ a∥ b;③ ∥ ∥ cc ∥ ; ④ a∥ ∥ cc a∥ ;⑤ ∥ ∥ ∥ ⑥ a∥ ∥ a∥