2018_2019学年高中数学课时分层作业8双曲线的标准方程苏教版选修1_1

课时分层作业(八) 双曲线的标准方程

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2

2

＝1有相同的焦点，则m 的值是________．

【解析】 验证法：当m ＝±1时，m 2

＝1，对椭圆来说，a 2

＝4，b 2

＝1，c 2

＝3. 对双曲线来说，a 2

＝1，b 2

＝2，c 2

＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2

＝m 2

＋2. ∴m 2

＝1，即m ＝±1. 【答案】 ±1

2．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为________.

【导学号：95902110】

【解析】 依题意可设双曲线方程为x 2

a 2－y

2

b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2

＝6，25a 2－4

b

2＝1，解得

⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2

＝5，

b 2

＝1，故双曲线的标准方程为x 2

5

－y 2

＝1.

【答案】

x 2

5

－y 2

＝1

3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点P (3，7)

在双曲线上，则双曲线方程为________．

【解析】 PF 1＝[3－－

2

＋7

2

＝42，PF 2＝

－

2

＋7

2

＝22，

|PF 1|－|PF 2|＝22＝2a ，所以a ＝2，又c ＝2，故b 2

＝c 2

－a 2

＝2， 所以双曲线的方程为x 22－y 2

2＝1.

【答案】

x 22

－y 2

2

＝1 4．若双曲线2x 2

－y 2

＝k 的半焦距为3，则k 的值为______.

【导学号：95902111】

【解析】 若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2

－y 2

k

＝1，

∴k

2

＋k ＝32

，即k ＝6. 若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2

－k

2

＝1，

∴－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

－k 2＝32

，即k ＝－6.

综上，k 的值为6或－6. 【答案】 6或－6 5．若方程

x 2

m －1＋

y 2

m 2－4

＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．

【解析】 由题意，方程可化为

y 2

m 2－4－

x 2

1－m

＝3，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

－4>0，1－m >0，

解得m <－2.

【答案】 (－∞，－2)

6．设点P 是双曲线x 29－y 2

16

＝1上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若PF 1＝10，则

PF 2＝________.

【导学号：95902112】

【解析】 由双曲线方程，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.

当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF 2－PF 1|＝6，所以PF 2＝PF 1＋6＝10＋6＝16；当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF 1－PF 2|＝6，所以PF 2＝PF 1－6＝10－6＝4.故PF 2＝4或PF 2＝16.

【答案】 4或16

7．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且

PF 1⊥PF 2，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程是________．

【解析】 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，在Rt△PF 1F 2中，m 2

＋n 2

＝(2c )2

＝20，m ·n ＝2， 由双曲线定义，知(m －n )2

＝m 2

＋n 2

－2mn ＝16. ∴4a 2

＝16.∴a 2

＝4，b 2

＝c 2

－a 2

＝1. ∴双曲线的标准方程为x 2

4－y 2

＝1.

【答案】

x 2

4

－y 2

＝1

8．F 1、F 2是双曲线y 29－x 2

16＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且MF 1·MF 2＝32，则△F 1MF 2

的面积为________.

【导学号：95902113】

【解析】 由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)，由双曲线定义得， |MF 1－MF 2|＝6，联立MF 1·MF 2＝32，得MF 2

1＋MF 2

2＝100＝F 1F 2

2， 所以△ F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝1

2MF 1·MF 2＝16.

【答案】 16 二、解答题

9．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4；

(2)经过点A ⎝

⎛⎭⎪⎫

2，233、B (3，－22)．

【解】 (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2

b

2＝1，

又点A (42，3)在双曲线上，∴3216－9b 2＝1.解得b 2

＝9，则x 2

16－y 2

9

＝1，

若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b

2＝1(a >0，b >0)．同上，解得b 2

<0，不合题意，

∴双曲线的方程为x 216－y 2

9

＝1.

(2)设双曲线的方程为mx 2

＋ny 2

＝1(mn <0)，

∵点A ⎝

⎛⎭⎪⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1，

解之得⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＝13

，

n ＝－1

4.

∴所求双曲线的方程为x 23－y 2

4

＝1.

10．已知曲线C ：x 2t 2＋y 2

t 2－1

＝1(t ≠0，t ＝±1)．

(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点.

【导学号：95902114】

【解】 (1)当|t |>1时，t 2

>0，t 2

－1>0，且t 2

≠t 2

－1，曲线C 为椭圆； 当|t |<1时，t 2

>0，t 2

－1<0，曲线C 为双曲线． (2)证明：当|t |>1时，曲线C 是椭圆，且t 2

>t 2

－1，

因此c 2

＝a 2

－b 2

＝t 2

－(t 2

－1)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．