2(习题课)

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习题课2(三重积分)

z 1 x 2 y 2 所围成的。

解
关于yoz面为对称 f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有 xdv 0。

O
y
( x z )dv

x : 0 r 1, 0 , 4 0 2 zdv （利用球面坐标）
1
一、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
f ( x , y, z )dv dxdy
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺序。
f ( x, y, z)dV
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
1是的z0的部分
类似地：…
7
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0，或y 0) 的部分，则
三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。
关键步骤： (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出的图形。如的图不好画，也要画出在某坐标面上的投影区域的图形。
1 1 y
0
例7 设f (t )连续, f (t )dt A, 求证
0
1
即F ( x)是f ( x)的一个原函数, 且F (0) 0, F (1) A, 则

高等数学习题：习题课2

（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极值点,下列选项正确的是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv，并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（） 1 1 2
（A）；（B）；（C）；（D）0.
4
3
2
2．设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足

09 11.2 习题课(2)

三角形全等证明思路
已知两边
找夹角（SAS））找直角（HL））找另一边（找另一边（SSS））边为角的对边找任一角（AAS）找任一角（）
找夹角的另一边（SAS）找夹角的另一边（）
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角（ASA）找夹边的另一角（）
找任一角（AAS））
A D C B M N
（D） AM∥CN
如图， AB上 AC上 B=∠C， 2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，么补充下列一个条件后，仍无法判断 ABE≌△ACD的是的是（ △ABE≌△ACD的是（）（A） AD=AE B （B） ∠AEB=∠ADC D （C） BE=CD （D） AB=AC A E C
D E F A B C
5、已知，如图，AB、CD相交于点O，已知，如图，AB、CD相交于点O 相交于点 ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。 △ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。
C F E O D
A
B
6、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC， AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。 AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
找夹边
已知两角
（ASA））
找任一边（找任一边（AAS））
练习
如图，已知MB=ND MB=ND， MBA=∠NDC， 1、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（件不能判定△ABM≌△CDN的是（）的是（A） ∠M=∠N （ B）（ C） AB=CD AM=CN
15、已知，如图， ABC中 AB=AC， 15、已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=900， AC的中点 AF⊥BD于的中点， BC于连结DF DF。 D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF。求证： ADB=∠CDF。求证：∠ADB=∠CDF。 A 1 B 3 2 D E M N F C B 3 F M C A 2 1 D E

习题课2(求极限)

习题课二
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1

n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2

x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明

【高中数学】习题课二求数列的和

习题课二求数列的和题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝6，a 3＋a 4＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1·q ＝6，a 1·q 2＋a 1·q 3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， ∴a n ＝a 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝log 22n ＝n ，设{a n ＋b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a n ＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2×（2n －1）2－1＋n （1＋n ）2＝2n ＋1－2＋12n 2＋12n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和.【训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1×(2n －1)，∴T 2n ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4n －3)－(4n －1)] ＝(－2)·n ＝－2n .题型二裂项相消法求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2＝2，S 4＝16，{a n ＋1}是等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n >0，设b n ＝log 2(3a n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和.解 (1)设等比数列{a n ＋1}的公比为q ，其前n 项和为T n ，因为S 2＝2，S 4＝16，所以T 2＝4，T 4＝20，易知q ≠1，所以T 2＝（a 1＋1）（1－q 2）1－q ＝4①，T 4＝（a 1＋1）（1－q 4）1－q ＝20②，由②①得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝13，所以a n ＋1＝43×2n －1＝2n ＋13；当q ＝－2时，a 1＝－5，所以a n ＋1＝(－4)×(－2)n －1＝－(－2)n ＋1. 所以a n ＝2n ＋13－1或a n ＝－(－2)n ＋1－1.(2)因为a n >0，所以a n ＝2n ＋13－1，所以b n ＝log 2(3a n ＋3)＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 规律方法 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.常见的拆项公式： (ⅰ)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(ⅱ)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(ⅲ)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练2】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2.题型三错位相减法求和【例3】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得：a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列. (1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5. 设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， ∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2. ∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1. 故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1，n ∈N *.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n ，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n ，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前n 项和，一般有下列几种方法. (1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1) n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法. 二、素养训练1.数列214，418，6116，…的前n 项和S n 为( )A.n 2＋1＋12n ＋1B.n 2＋2－12n ＋1C.n (n ＋1)＋12－12n ＋1D.n (n ＋1)＋12n ＋1解析 S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝12n (2＋2n )＋14⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12 ＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.答案 C2.等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A.6 B.5 C.4D.3解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 5＝2，a 6＝5， ∴a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝10， ∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 10＝lg(a 1·a 2·…·a 10) ＝lg(a 5a 6)5＝5lg 10＝5. 故选B. 答案 B3.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前2 020项和为________.解析因为2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以S 2 020＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 020－12 021 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021. 答案4 0402 0214.已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________.解析由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5 000. 答案 5 0005.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *. (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)在(1)的条件下求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边同时乘以2得2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)×2n ＋1. 三、审题答题示范(一) 数列求和问题【典型示例】 (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，2S n ＝na n ＋n ①，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若取出数列{a n }中的部分项a 2，a 6，a 22，…依次组成一个等比数列{c n }，若数列{b n }满足a n ＝b n ·c n ，求证：数列{b n }的前n 项和T n <23.②联想解题看到①，想到a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，利用S n 与a n 的关系结合定义法或等差中项法证明数列{a n }为等差数列并求通项公式.看到②，想到利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n ，从而得到T n 的取值范围，即可证明T n <23. 满分示范(1)解数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋n ，n ∈N *，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，则a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1①， a n ＋1＝S n ＋1－S n ②.2分由②－①得，S n ＋1－2S n ＋S n －1＝a n ＋1－a n ，所以（n ＋1）（a n ＋1＋1）2－n (a n ＋1)＋（n －1）（a n －1＋1）2＝a n ＋1－a n ，所以（n －1）a n ＋1＋（n －1）a n －12＝(n －1)a n ，即a n ＋1＋a n －12＝a n ，所以数列{a n }为等差数列.5分又a 1＝1，且a 2＝4，整理得a n ＝3n －2.6分 (2)证明由a 2＝4，a 6＝16，解得c n ＝4n ，所以b n ＝(3n －2)×14n .8分则T n ＝1×14＋4×142＋…＋(3n －2)×14n ③，14T n ＝1×142＋4×143＋…＋(3n －2)×14n ＋1④，9分由③－④得，34T n ＝14＋3⎝⎛⎭⎫142＋…＋14n －(3n －2)×14n ＋1＝12－3n ＋24n ＋1，解得T n ＝23－3n ＋23×4n <23.12分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号，所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证明不等式.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，n ∈N *，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项的和是( ) A.n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n （n ＋5）2.答案 C2.数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）×（3n ＋2），…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2 解析由数列通项公式1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 答案 B3.1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( ) A.18＋129B.20＋1210C.22＋1211D.18＋1210解析设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122＋…＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1211＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12⎝⎛⎭⎫1－12111－12＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫1－1211 ＝2⎝⎛⎭⎫11－1＋1211＝20＋1210. 答案 B4.已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 021＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝( ) A.2 021 B.2 0212C.2D.12解析 ∵函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，∴f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝21＋x 2＋2x 2x 2＋1＝2.∵数列{a n }为等比数列，且a 1·a 2 021＝1， ∴a 1a 2 021＝a 2a 2 020＝a 3a 2 019＝…＝a 2 021a 1＝1.∴f (a 1)＋f (a 2 021)＝f (a 2)＋f (a 2 020)＝f (a 3)＋f (a 2 019)＝…＝f (a 2 021)＋f (a 1)＝2，∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝2 021.故选A. 答案 A5.定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为13n ＋1，又b n ＝a n ＋26，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝( )A.111 B.1011 C.910D.1112解析由题意得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝13n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3n ＋1)＝3n 2＋n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3n 2＋n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋n －[3·(n －1)2＋(n －1)]＝6n －2.经检验a 1＝4也符合此式，所以a n ＝6n －2，n ∈N *，则b n ＝a n ＋26＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝11×2＋12×3＋…＋19×10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫19－110＝1－110＝910.故选C. 答案 C 二、填空题 6.设a n ＝1n ＋1＋n，数列{a n }的前n 项和S n ＝9，则n ＝________.解析 a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，故S n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1＝9. 解得n ＝99. 答案 997.在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，n ∈N *，则S 15＋S 22－S 31的值是________.解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29， S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－60＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. 答案－768.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________.解析 ∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)，化为a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1. ∴na n ＝n ·2n －1.则数列{na n }的前n 项和T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1. ∴2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1. 答案 (n －1)2n ＋1 三、解答题9.已知函数f (x )＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n . 解由题意得a n ＝2n －3n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2－3·n （n ＋1）2－n＝2n ＋1－n （3n ＋5）2－2.10.已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.能力提升11.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 设b n ＝a n cos n π，∴b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…， ∴数列{a n cos n π}的前2 020项和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×2 0202＝2 020.故选D. 答案 D12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ. (2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ·2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.创新猜想13.(多空题)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为________.解析设等差数列{a n }的公差为d .∵{a n }是等差数列，∴a 6＋a 8＝30＝2a 7，解得a 7＝15，∴a 7－a 2＝5d .又a 2＝5，则d ＝2.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ＋1. ∴1a 2n －1＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4（n ＋1）. 答案 2n ＋1n4（n ＋1）14.(多空题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2，则a n ＝________，数列{b n }的前2n 项和为________.解析根据题意，数列{a n }满足2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1①，则当n ≥2时，有2S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－13n －1a n ②，由①－②可得⎝⎛⎭⎫1－13n (a n ＋1－3a n )＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，即a n ＋1＝3a n (n ≥2).由2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，可求得a 2＝3，a 2＝3a 1，则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2＝(－1)n ·(log 33n －1)2＝(－1)n (n －1)2，则b 2n －1＋b 2n ＝－(2n －2)2＋(2n －1)2＝4n －3.所以数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .答案 3n －12n 2－n高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

多元函数微分法习题课2

T ( xt , yt , zt ), 再求出切点，即可得切线及法平面方程。
t 解：因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解：视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值多元函数的极值条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,

0808习题课2(空间解析几何部分)

第八章空间解析几何与向量代数
习题课（二）
思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: (1) 抛物柱面 2 y 2 x , 平面 z 0 及 x y z 1; 4 2 2 ( 2) 抛物柱面 x 2 1 z , 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
化简得:
25x 10 y 14z 23 0.
x 1 y 2 z 2 四. 求通过直线且垂直于平面 2 3 2 3 x 2 y z 5 0的平面方程 .
解: L : s ( 2,3,2), 平面 : n1 ( 3,2,1), 取所求平面: n s n1 ( 1,8,13),
所求平面为 x 20 y 7 z 12 0, 或 x z 4 0.
8(p49)
x4 y3 z 求过点 ( 3,1,2)且通过直线的平面方程 . 5 2 1
解法（一）
设已知点 M的坐标为 (3,1,2)，且直线 L过点N (4,3,0).
直线的方向向量 s （ 5,2， 1 ） , 平面的法向量 n MN s ,
x 1 4t . y t z 2 3t
六. 在平面 x y z 1 0内, 求作一直线 ,使它通过 y z 1 0 直线L : 与平面的交点 , 且与L垂直. x 2z 0
x y z 1 0 得交点 (0,1,0), 解: 解 y z 1 0 x 2z 0 L : s (0,1,1) (1,0,2) ( 2,1,1), 平面 : n (1,1,1), 取所求直线的方向向量: s1 s n ( 2,3,1),

习题课10-2

D yz
- 13 -
习题课（二）
= 2 ∫∫ 2 y 2 zdydz = 2 ∫ dy ∫
第十章曲线积分与曲面积分
1
2 y 2
π 4 = = ∫ (1 2π 3 1 ( z 2 y )dydz = 同理 ∫∫ 2
1 3 2 2 y ) dy
D yz
1
1
2 y 2 zdz
Σ : y = y( x , z )
( x , z ) ∈ Dxz
∫∫
Σ
f ( x , y , z ) dS =
∫∫
Dxz
2 2 f ( x , y( x , z ), z ) 1 + y x + yz dxdz
-1-
习题课（二）
例1 计算下列曲面积分（1） ( x + y )dS , 其中 Σ 为由锥面 z = ∫∫
习题课（二）
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ = ∫∫ ( z x P z yQ + R )dxdy
证设 cos α , cos β , cos γ 为 Σ 指定测的法向量的方向余弦。由于 n = ±{ z x , z y ,1} zx 所以 cos α = ± 2 2 1 + zx + z y 1 cos γ = ± 2 1 + zx + z2 y
Dxy
= ∫
π
2d 0
∫ ρ dρ = 0
3
1
π
8
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
Σ
=
π
8
+
π
8

习题课2幂级数

无穷级数习题课二
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)：易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

习题课2

e−5 ⋅ 5k ≈∑ ≈ 0.986305. k! k=0
点评: 点评保险业是概率论的生长点和重要应用领域之一. 本例为简化起见, 不计利息与管理费. 域之一本例为简化起见不计利息与管理费
13
设随机变量X 在区间[2，上服从均匀例7 设随机变量在区间，5]上服从均匀分布，现对X 次独立观测，分布，现对进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率。两次观测值大于的概率。设随机变量Y 解设随机变量是3次独立观测中观测值大次独立观测中观测值大的次数, 于3的次数则 Y ~ B(3, p),其中p是X大于3的概率. 的次数由题意知 X 的概率密度为
P( Ak ) = P( X = k) =
1 k 对k ≥ 1, P(B Ak ) = ( ) , 2 λk −λ 1 k P( Ak B) = P( Ak )P(B Ak ) = e ⋅ ( ) , k! 2
10
k!
e , k = 0,1,2,⋯
∴P(B) = P ∑Ak B = ∑P( Ak B) k=1 k=1
X − 200 P( A ) = P{X ≤ 200} = P ≤ −0.8 1 25 =φ−0.8) = 0.212; ( φ P( A2 ) = P{200 ≤ X ≤ 240}= 2 (0.8) − 1 = 0.576;
15
P( A3 ) = 1 − P( A ) − P( A2 ) = 0.212. 1
1
一般要学会做三类习题：一般要学会做三类习题： ①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或密度函数；密度函数；利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； ②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；利用分布律或密度函数，求出分布函数。 ③利用分布律或密度函数，求出分布函数。 4. 二维随机变量及其联合分布函数；二维随机变量及其联合分布函数；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维连续型随机变量及其联合概率密度。二维连续型随机变量及其联合概率密度。 5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。二维随机变量的边缘分布和条件分布。 6. 随机变量的相互独立性。随机变量的相互独立性。 7. 随机变量函数的分布。随机变量函数的分布。

高等数学习题课3-2

-2-
习题课（二）习题课（
例2 证明当 x > − 1 时,
第三章中值定理与导数的应用
x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x − . + 2 3 证当 x > − 1 时, 2 3 x x 1 x4 ln(1 + x ) = x − + − x 3 4(1 + ξ )4 其中 ξ 介于 0与x之间. 之间.
-7-
习题课（二）习题课（
第三章中值定理与导数的应用
上连续，当例6 设函数 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上连续， x > a 时， f ′( x ) > k > 0, 且 f (a ) < 0, 证明：证明：方程 f ( x ) = 0 在区间
[a ,+∞ ) 有且仅有一个根。有且仅有一个根。
第三章中值定理与导数的应用
x 的单调区间，极值，例12 求曲线 y = x + 2 的单调区间，极值，凹凸 x −1 区间，拐点。区间，拐点。
解
函数的定义域为( −∞ , −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
2 x ( x 2 + 3) y′′ = ( x 2 − 1)3
第三章中值定理与导数的应用
确定 a , b, c 使当 x → 0 时， x2 x 2 f ( x) = a − + e + x ln(1 + x ) + b sin x + c sin 2 x 2 的四阶无穷小。为关于 x 的四阶无穷小。 x2 x3 x4 ex = 1+ x + + + + o( x 4 ) 解 2 6 24 x3 x ln(1 + x 2 ) = x 3 + o( x 4 ) sin x = x − + o( x 4 ) 6 3 4x 4 sin 2 x = 2 x − + o( x ) 3 1 b 4c 3 1 4 f ( x ) = a + 1 + (1 + b + 2c ) x + ( + 1 − − ) x + x 24 6 6 3 + o( x 4 ) 11 8 a = −1 b = − , c = 所以 3 6-5 例4

北师大版数学必修二课件：习题课2

(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程
(组)求得各系数,进而求出圆的方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
一题多解
变式训练1 已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且圆C在
直线l2:x-y=0上截得的弦长为 2 7, 求圆C的方程.
解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上,
(8)圆的常用几何性质.
①圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上.
②圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直.
③过切点且垂直于该切线的直线必过圆心.
做一做1 已知x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是
(
)
A.(-∞,5)
C. -∞,
3
2
B. -∞,
D.
3
2
5
4
,+∞
解析:令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k <5.
即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
∵此圆过原点,
1
∴1+4λ=0,λ=-4.
3
17
∴所求的圆的方程为 x2+y2+2x- 4 y=0.
①
(2)依题意可知当圆心在直线 2x+y+4=0 上时,所求的圆的面积
最小.
由(1)易得圆心坐标为 -(1 + ),-4
将其代入直线方程得-2(1+λ)-
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的

流体力学计算习题课(2)

g2HgH2 y2 y gg
对上孔口：x1x1 4a4abbcc
对下孔口x：2x2 4a4abcbc
相遇时：x1 x2 4a4bab4a4cac 4a4cac 4b4cbc
当a=c时上式成立
5
如图所示过水低堰位于一水平河床中，上游水深为
1 1.76kN
方向向右方向向左
5
②与固体壁面的作用力，即待求的力F，方向向左质量力：只有重力G，在x 方向无投影
根据连续性方程：
根据能量方程：列动量方程：
vd2 （2ug1／Hu2） hd1l1＝2 5 cm
2
如图所示，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面
积分别为A1和A2，试问：h1和h2成什么关系时流动处于定常状态？这时须在左边水箱补充多大的流量？
1
1
h1
3
3
Z
2 A1
2
h2
4 A2
4
2
解：取计算面，
以4－4为基准，列3－3到4－4伯努利方程：
3
3
4
4
3Байду номын сангаас
4
vu24 2g hH2 hl12
以2－2为基准，列1－1到2－2伯努利方程：
vu22 2g hH1 hl12
2
v2 2g hH1 Avh21l12 2g hH1 Ah2l12
h1／h2＝（A2／A1）2
Q＝v2A1 2g hH1 hl12
1
油从铅直圆管向下流出，管径d1=10cm，管口处的速度为u1=1.4m／s，求管口下方H＝1.5m处的速度和油柱直径。
d1
u1
H

广州大学线性代数习题课(2)

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一,内容提要
向量组的线性表示若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向量线性表示, 线性表示. 量线性表示就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是矩阵 B 的有解的充分必要条件是: 任一列向量都可由矩阵 A 的列向量组线性表示. 的列向量组线性表示
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一,内容提要
向量在基下的坐标维向量空间, 设 V 为一个 r 维向量空间则 V 中任意 r 个线性无的一个基, 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基且有 …
V = L(a1 , , ar )
V 中任一向量 a 可唯一地表示为 a = k1a1 + + kr ar 下的坐标. 称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标 … …
线性相关性如果存在一组不全为设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数
k1 , , km , 使
k1a1 + + km am = 0
那么, 称 a1 , , am 线性相关否则称 a1 , , am 线性无关线性相关. 否则, 线性无关. 那么基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示则向量组线性表示, … 线性相关. b, a1,…, am 线性相关 … 当 a1,…, am 线性相关时表示式不唯一线性相关时, 表示式不唯一; … 当 a1,…, am 线性无关时表示式唯一线性无关时, 表示式唯一. …
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一,内容提要
定理向量组 b1,…, bl 与向量组 a1,…, am 等价的充分必 … … 要条件是

《机械能守恒定律》习题课二

o A 《机械能守恒定律》习题课（二）系统机械能守恒刘彩丽2013 5.10 教学目标：1、复习巩固判断单个物体的机械能是否守恒的方法以及解决守恒问题2、学会运用机械能守恒定律解决两个物体组成的系统机械能守恒问题教学重点：1、2 课时：2节课一、复习巩固：1、机械能守恒的判断下面列举的各个实例中，那些情况下机械能是守恒的？（）①一小球在粘滞性较大的液体中匀速下落；②用细线拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动；③用细线拴着一个小球在光滑水平面内做匀速圆周运动；④拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升；⑤一物体沿光滑的固定斜面向下加速运动A ．②③⑤B ．①②④C ．①③④D ．②③④2、单个物体的机械能守恒的应用质量为m 的小球，以初速度v 0由地面竖直上抛，空气阻力可忽略不计，小球到达最高点的高度为h ，当小球又落回到出发点时，小球具有的机械能为(以地面为重力势能的零点) mgh +mgh mv mgh mv 2D 21C B 21A 2020．．．．3.系统机械能是否守恒判断自主学习：1.系统机械能是否守恒的判断方法（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。

不做功，系统的机械能就不变。

（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。

系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能自我检测：一个轻弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同一水平面肯弹簧保持原长的A 点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，在重物由A 摆到最低点的过程中，A 、重物的重力势能减少。

B 、重物的重力势能增加。

C 、系统的机械能不变。

D 、重物的机械能减少。

二．系统机械能守恒定律的应用自主学习：2.系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

高数第二章习题课二

f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a) K
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证：令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e

在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。解方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,