四川省成都外国语学校2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)(文科)

合集下载

2017-2018学年四川成都外国语学校高一(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年四川成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a等于（）A．3 B．2 C．D．3．（5分）计算cos20°cos80°+sin160°cos10°=（）A．B．C．D．4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．（5分）在等比数列{a n}中，若a1和a4033是函数的两个零点，则a2016a2017a2018的值为（）A．B．C．D．256．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}7．（5分）若某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为（）A．7 B．9 C．63 D．7或638．（5分）已知正项数列{a n}单调递增，则使得都成立的x取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）A．10 B．C．D．11．（5分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S30=（）A．294 B．174 C．470 D．30412．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n ﹣6，且（a n﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（）+1A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，当tan（A﹣B）取最大值时，角B的值为．16．（5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且，若，则k=．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤17．（10分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记数列c n=a n﹣b n，求{c n}的前n项和T n（n∈N*）．18．（12分）（I）设，其中，求的值；（II）若tan（α+β）=2，tan（α﹣β）=3，求的值19．（12分）已知△ABC得面积为•，且AC=2，AB=3．（1）求；（2）若点D为AB边上一点，且△ACD与△ABC的面积之比为1：3．①求证：AB⊥CD；②求△ACD内切圆的半径r．20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足，n∈N﹡，且a1，a2+5，a3成等差数列．（I）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（III）证明：对一切正整数n，有．21．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．（I）证明：；（II）求sinA+sinC的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（I）设b n=a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求T2n；（III）不等式对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．2017-2018学年四川成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．2．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a等于（）A．3 B．2 C．D．【分析】先分别求出a1=S1=2+a，a2=S2﹣S1=（2×3+a）﹣（2+a）=4，a3=S3﹣S2=（2×32+a）﹣（2×3+a）=12，再由a1，a2，a3成等比数列，能求出a．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，∴a1=S1=2+a，a2=S2﹣S1=（2×3+a）﹣（2+a）=4，a3=S3﹣S2=（2×32+a）﹣（2×3+a）=12，∵a1，a2，a3成等比数列，∴，即42=（2+a）×12，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）计算cos20°cos80°+sin160°cos10°=（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：cos20°cos80°+sin160°cos10°=cos20°cos80°+sin20°sin80°=cos（80°﹣20°）=cos60°=．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（5分）在等比数列{a n}中，若a1和a4033是函数的两个零点，则a2016a2017a2018的值为（）A．B．C．D．25【分析】推导出a1和a4033是方程x2+kx+5=0的两个根，从而a1+a2018=﹣k＞0，a1•a4033=5，由此能求出a2016a2017a2018的值．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1和a4033是函数的两个零点，∴a1和a4033是方程x2+kx+5=0的两个根，∴a1+a2018=﹣k＞0，a1•a4033=5，∴，∴a2016a2017a2018==5．故选：B．【点评】本题考查等比数列中三项积的求法，考查等比数列的性质、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）若某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为（）A．7 B．9 C．63 D．7或63【分析】设该等比数列前6项的和为S6，由等比数列的性质得S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列，由此能求出该等比数列前6项的和．【解答】解：设该等比数列前6项的和为S6，由等比数列的性质得：S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列，∵某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，∴S6，21﹣S6，49﹣21=28成等比数列，∴（21﹣S6）2=28S6，解得S6=7或S6=63，∵S12=21，S18=49，∴S6=63不合题意，∴该等比数列前6项的和为7．故选：A．【点评】本题考查等比数列的前6项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）已知正项数列{a n}单调递增，则使得都成立的x取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由条件可得﹣1＜1﹣a i x＜1，解得0＜x＜恒成立，再由数列的单调性，可得x的范围．【解答】解：正项数列{a n}单调递增，则使得都成立，可得a1≤a2≤…≤a k，由﹣1＜1﹣a i x＜1，可得0＜x＜恒成立，由≥，可得0＜x＜，故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和数列的单调性，考查运算和推理能力，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．10．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）A．10 B．C．D．【分析】由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°==﹣，整理得：a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得：a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S=×6×10×sin120°=15．△ABC故选：C．【点评】此题考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．11．（5分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S30=（）A．294 B．174 C．470 D．304【分析】na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可得﹣=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n=n2，b n=n2cos，可得b3k﹣2=（3k﹣2）2cos=﹣（3k﹣2）2，同理可得b3k﹣1=﹣（3k﹣1）2，b3k=（3k）2，k∈N*．即可得出所求和．【解答】解：∵na n+1=（n+1）a n+n（n+1），∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，公差与首项都为1．∴=1+（n﹣1），可得a n=n2．∵，∴b n=n2cos，∴b3k﹣2=（3k﹣2）2cos=﹣（3k﹣2）2，同理可得b3k﹣1=﹣（3k﹣1）2，b3k=（3k）2，k∈N*．∴b3k﹣2+b3k﹣1+b3k═﹣（3k﹣2）2﹣（3k﹣1）2+（3k）2=9k﹣，则S30=9×（1+2+…+10）﹣×10=470，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）【分析】通过S n=（﹣1）n a n++2n﹣6与S n﹣1=（﹣1）n﹣1a n﹣1++2n﹣8（n≥2）作差，进而整理可得数列{a n}的通项公式，分n为奇偶两种情况解不等式即得结论．【解答】解：∵S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，∴当n≥2时，S n﹣1=（﹣1）n﹣1a n﹣1++2n﹣8，两式相减得：a n=（﹣1）n a n++2n﹣6﹣[（﹣1）n﹣1a n﹣1++2n﹣8]，整理得：[1﹣（﹣1）n]a n=（﹣1）n a n﹣1+2﹣（n≥2），（*）又∵S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，∴S1=（﹣1）a1++2﹣6，即a1=﹣，下面对n的奇偶性进行讨论：（1）当n为偶数时，化简（*）可知：a n﹣1=﹣2，∴a n=﹣2（n为奇数）；（2）当n为奇数时，化简（*）可知：2a n=﹣a n﹣1+2﹣，即﹣4=﹣a n﹣1+2﹣，即a n﹣1=6﹣，∴a n=6﹣（n为偶数）；于是a n=．∵对任意n∈N*（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∴对任意n∈N*（p﹣a n+1）（p﹣a n）＜0恒成立．又∵数列{a2k﹣1}单调递减，数列{a2k}单调递增，∴当n为奇数时，有：a n＜p＜a n+1，则a1＜p＜a1+1，即﹣＜p＜；当n为偶数时，有：a n+1＜p＜a n，则a2+1＜p＜a2，即﹣＜p＜；综上所述，﹣＜p＜，故选：A．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+…+na n=，再写一式，两式相减，即可得到结论．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+na n=∵∴a1+2a2+…+na n=①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=②﹣1①﹣②得﹣=∴故答案为：【点评】本题考查新定义，考查数列的通项，解题的关键是理解新定义，通过再写一式，两式相减得到结论．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，当tan（A﹣B）取最大值时，角B的值为．【分析】acosB﹣bcosA=c，由正弦定理定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC= sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，代入tan（A﹣B），再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵acosB﹣bcosA=c，由正弦定理定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，∴tan（A﹣B）===≤=，当且仅当tanB=，即B=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且，若，则k=．【分析】设R为三角形△ABC的外接圆的半径，可得+=k =k•R2，即k=2cosCsinB+2sinCcosB=2sinA，利用已知求得sinA即可．【解答】解：设R为三角形△ABC的外接圆的半径，∵O是三角形△ABC的外接圆的圆心，∴，，由，可得+=k=k•R2，∴k=2cosCsinB+2sinCcosB=2sinA，∵，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的运算及解三角形的运算应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤17．（10分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记数列c n=a n﹣b n，求{c n}的前n项和T n（n∈N*）．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得得=12，而b1=2，可得q2+q﹣6=0．又q＞0，解得q．可得b n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立解出，（2）c n=a n﹣b n=3n﹣2﹣2n．利用分组求和与求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得=12，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为b n=2n．（2）c n=a n﹣b n=3n﹣2﹣2n．∴{c n}的前n项和T n=﹣=﹣2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（I）设，其中，求的值；（II）若tan（α+β）=2，tan（α﹣β）=3，求的值【分析】（I）由已知求得sin（﹣β），cos（﹣β）的值，再由cos=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]，展开两角差的余弦求解．（II）构造思想，sin2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]，cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，利用两角和与差的公式打开计算即可求的值．【解答】解：（I）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α﹣∈（，π），﹣β∈（﹣，），由cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，得sin（α﹣）==，cos（﹣β）==．∴cos=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=﹣×+×=；（II）由tan（α+β）=2，可得=2，即sin（α+β）=2cos（α+β），tan（α﹣β）=3，可得：=3，即sin（α﹣β）=3cos（α﹣β）sin2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]，cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，那么：=====．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．19．（12分）已知△ABC得面积为•，且AC=2，AB=3．（1）求；（2）若点D为AB边上一点，且△ACD与△ABC的面积之比为1：3．①求证：AB⊥CD；②求△ACD内切圆的半径r．【分析】（1）根据三角形面积公式和平面向量的数量积，求出A的值，再利用余弦定理和正弦定理求出的值；（2）①根据题意，画出图形由△ACD与△ABC的面积比求出AD的值，再利用余弦定理求出CD，利用勾股定理的逆定理证明AB⊥CD；②设△ACD内切圆的半径为r，利用面积公式即可求出r的值．【解答】解：（1）如图所示，S△ABC=||×||sinA=•=×||×||cosA，∴=，即tanA=；又0＜A＜π，∴A=；由余弦定理：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+9﹣6=7，解得BC=，∴===；（2）①根据题意，画出图形如图所示，当△ACD与△ABC的面积之比为1：3时，设AB边上的高为h，则AD•h×3=AB•h，∴3AD=AB，∴AD=AB=1，AC=2，∠A=；∴CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos=22+12﹣2×2×1×=3，∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=，∴AB⊥CD；②设△ACD内切圆的半径为r，则S△ADC=r（AC+AD+CD）=AD•CD，即r（2+1+）=1×，解得r==．【点评】本题考查了三角形面积公式和平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足，n∈N﹡，且a1，a2+5，a3成等差数列．（I）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（III）证明：对一切正整数n，有．【分析】（Ⅰ）在中依次令n=1，n=2，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，即可求得a1=1；（Ⅱ）由，得，联立得，进一步得到，再由等比数列的通项公式可得；（Ⅲ）由≥3n﹣1，得．可得当n=1时，左边=1＜；当n=2时，左边=＜；当n≥3时，左边＜．由此可得对一切正整数n，有．【解答】（Ⅰ）解：在中，令n=1，得，令n=2，得，联立可得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=1；（Ⅱ）解：由，得，联立得，又a1=1，a2=5满足，∴对n∈N*成立．∴，又a1=1，，∴，故；（Ⅲ）证明：∵≥3n﹣1，∴．①当n=1时，左边=1＜；②当n=2时，左边=＜；③当n≥3时，左边＜．综上：对一切正整数n，有．【点评】本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．21．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．（I）证明：；（II）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得sinB=cosA，从而sinB=sin（+A），由此能证明B ﹣A=．（Ⅱ）由C=π﹣（A+B）=π﹣（2A+）=﹣2A＞0，得A∈（0，），从而sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+，由此能求出sinA+sinC的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，∴==，∴sinB=cosA，∴sinB=sin（+A），∵B为钝角，∴∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（2A+）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+，∵0＜A＜，∴0＜sinA＜，∴＜﹣2（sinA﹣）2+≤，∴sinA+sinC的取值范围是（，]．【点评】本题考查两角差的证明，考查两个角的正弦值的和的取值范围的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（I）设b n=a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求T2n；（III）不等式对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．【分析】（1）由===，即可证明结论．（2）由（1）可得：b1=a2=．可得b n=．对n分类讨论可得：n=2k时，a n=a2k=b k=．n=2k﹣1时，a n=a2k﹣1==．利用分组求和、求和公式即可得出．（3）由不等式对于一切n∈N*恒成立，由（1）和（2）结论有：+64•≤，k≤﹣﹣64，利用双勾函数与正弦函数即可得出k的最大值．【解答】（1）证明：====，∴数列{b n}是等比数列，公比为．（2）解：由（1）可得：b1=a2=．∴b n=．∴n=2k时，a n=a2k=b k=．n=2k﹣1时，a n=a2k﹣1===．∴T2n=（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）=+=+=3．（3）解：由不等式对于一切n∈N*恒成立，由（1）和（2）结论有：+64•≤，∴k≤﹣﹣64，由双勾函数与正弦函数易得当n=3时，﹣﹣64有最小值﹣49．∴k的最大值为﹣49．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、不等式的性质、双勾函数与正弦函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案1.直线 $xcos\theta+ysin\theta+a=0$ 和 $xsin\theta-ycos\theta+b=0$ 的位置关系是（）A。

平行 B。

垂直 C。

重合 D。

与 $a,b,\theta$ 的值有关2.若 $a,b\in R$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是（）A。

$a+b>2ab$ B。

$\frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{ab}\leq a+b$ C。

$a+\frac{1}{b}\geq 2$ D。

$a+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{ab}$3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。

$\frac{2\pi}{3}$ B。

$\frac{4\pi}{3}$ C。

$2\pi+\frac{2}{3}$ D。

$4\pi+\frac{2}{3}$4.在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin(A-B)=1+2\cos(B+C)\sin(A+C)$，则 $\triangle ABC$ 的形状一定是A。

等边三角形 B。

不含 $60^\circ$ 的等腰三角形 C。

钝角三角形 D。

直角三角形5.设 $a,b$ 是空间中不同的直线，$\alpha,\beta$ 是不同的平面，则下列说法正确的是A。

$a//b,b\perp\alpha$，则 $a\perp\alpha$ B。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,\alpha//\beta$，则 $a//b$ C。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,a//\beta,b//\beta$，则$\alpha//\beta$ D。

$\alpha//\beta,a\perp\alpha$，则 $a//\beta$6.设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $m$，公比为 $q(q\neq 1)$ 的等比数列，它的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意 $n\in N^*$，点$(a,S_{2n})$ 位于A。

四川省成都外国语学校高一数学下学期期中试卷理(含解

四川省成都外国语学校2015-2016学年高一下学期期中考试理数试题一、选择题：(每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分)1．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把Λ,10,6,3,1叫做三角形数；把Λ,16,9,4,1叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】 C 【解析】试题分析：由题已知三角形数和正方形数的通项公式可得；286(1),,36.2n n n n a b n a b +==== 考点：数列通项公式的运用.2.已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a ρρρρ⊥=-=且则=x （）A ．2或3B ．－1或6C ．6D ．2【答案】D【解析】试题分析：由题, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a ρρρρ⊥=-=且，可得：2(5)30, 2.x x x ⨯-+⨯==。

考点：向量垂直的性质.3．sin15cos15+o o 的值是（）A ．21B ．23C ．26D ．23【答案】C 【解析】试题分析：由题00sin15cos1515)2+=+=o o考点：两角和差公式的灵活运用.4．在ABC ∆中，已知C B A ,,成等差数列，且3=b ，则=++++cb a CB A sin sin sin ()A ．2B ．21C ．3D ．33【答案】B 【解析】试题分析：由题可知060,B b =，即可运用正弦定理：3sin sin sin sin 1223A B C B a b c b ++===++。

考点：正弦定理的运用.5．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 且0AB AC mAP ++=u u u r u u u r u u u r r，那么实数m 的值为（）A ．2B ．-3C ．4D ．5【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，向量的减法有：,.AB PB PA AC PC PA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，0AB AC mAP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴；∴(2)0PB PC m AP ++-=u u u r u u u r u u u r r ，由条件；0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r∴m-2=1，∴m=3．考点：向量的运算及方程思想.6．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】A 【解析】试题分析：由题可得；tan 2,tan 3A B ==，则；23tan tan()1016CA B +=-+=-=>-，可得；tan 0,tan 0,tan 0.A B C >>> ABC V 为锐角三角形，考点：等差数列与两角和的正切公式的综合运用。

2015-2016年四川省成都外国语学校高一下学期期中数学试卷(文科)及参考答案

**==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==** **==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==**
**==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==** **==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==**
20学期期中数学试卷（文科）
一、选择题：（每小题 5 分共 60 分，每个题共有 4 个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分） 1．（5 分）由 a1=1， d=3 确定的等差数列{an}中，当 an=298 时，序号 n 等于（ A．99 2．（5 分）已知向量 A．2 或 3 B．﹣1 或 6 ） C． D．，则 = C．6 B．100 C．96 D．101 ，则 x=（ D．2 ））
收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时 E 地离 C 地的距离是多少？（参考数据：tan37°= ）
21．（12 分）已知函数 f（x）=
sin
cos
+sin2
（ω＞0，0＜
第 3 页（共 18 页）
φ＜
）．其图象的两个相邻对称中心的距离为
，且过点（
，1）．
（Ⅰ）函数 f（x）的解析式；（ Ⅱ ）在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 = ．且 f（A）= ，求角 C 的大小．，半径为
11．（5 分）已知△ABC 的三边 a，b，c 满足：a3+b3=c3，则此三角形是（ A．钝角三角形 C．直角三角形 12．（5 分）有以下命题： ①对任意的 α∈R 都有 sin3α=3sinα﹣4sin3α 成立； ②对任意的△ABC 都有等式 a=bcosC+ccosB 成立； B．锐角三角形 D．等腰直角三角形

2016-2017学年四川省高一下学期期中考试数学试题(解析版)10

高一下学期期中考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{|13},2,P x x Q x x =<<=，则P Q ⋂=（） A. ()1,3 B. ()2,3 C. ()1,2 D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】因为{}{|13},2,P x x Q x x =<<=所以{}()x|2<x<32,3P Q ⋂==，故选B.2．已知1sin cos 5αα+=，则sin2α=（） A. 2425- B. 2425 C. 1225- D. 1225【答案】A【解析】1sin cos 5αα+= ，则两边平方得112sin cos 25αα+= ，即24sin225α=- ，故选A.3．已知向量()()1,,2,1a m b ==- ，且a b，则m =（）A. 12-B. 12 C. 2 D. 2- 【答案】A【解析】根据题意，向量()()1,,2,1a m b ==- ，若a b，则有()211m ⨯=⨯- ，解可得12m =- ，故选A.4．在数列{}n a 中， 1111,12n na a a +==-，则5a =（）A. 2B. 3C. 1-D. 12【答案】C 【解析】()234123*********,1112,1122a a a a a a =-=-=-=-=--==-=-= , 数列{}n a 是周期为3 的周期数列， 521a a ∴==- .故选C. 5．在下列区间中，函数()2ln f x x x=-的零点所在大致区间为（） A. ()1,2 B. ()2,3 C. （3,4） D. （,3e ）【答案】B【解析】对于函数()2ln f x x x=-在()0,+∞ 上是连续函数，由于()()22ln210,3ln303f f =-=-，故()()230f f < ，故函数()2ln f x x x =-的零点所在的大致区间是()2,3 ，故选B.6．下列命题正确的是（）A. 若AC BC >，则a b >B. 若a b >， c d >，则ac bd >C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b >【答案】D【解析】因为AC BC >与a b > 没任何关系，所以A 错误；当0,0a b c d >>>> 时， ac bd < ，故B 错误；若0a b >>或0a b >> 则11a b < ，但0a b >> 时， 11a b > ，故C 错误；若22ac bc >，则2222,c a c b c c> ，则a b > ，即D 正确，故选D.7．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ．若2a =， c =cos 2A =，且b c <，则b =（）A. B. 2 C. D. 2或4【答案】B 【解析】在ABC∆ 中，由余弦定理得(2222222cos ,22?a b c bc A b b =+-∴=+-，2680,2b b b ∴-+=∴= 或4,,2b b c b =<∴= ，故选B.8．等差数列{}n a 中， 12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项的和20S =（）A. 160B. 180C. 20D. 220【答案】B 【解析】12318192024,78a a a a a a ++=-++= ， ()120219318120543a a a a a a a a ∴+++++==+，()1201202020181802a a a a S +∴+=∴== ，故选B.9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（） A. 奇函数 B. 周期是2π C. 关于直线12x π=对称 D. 关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】D【解析】函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到函数()sin 2sin 2cos2662y f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，可得函数()y f x =是偶函数且周期为π ，所以选项A 、B 错误，又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选D.10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A ==，则ABC ∆的形状为（）A. 直角三角型B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】因为在ABC ∆ 中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A == ,所以2cos 2cos b c A c b A= ，所以,b c = ，可得1cos ,602A A == ，所以三角形是正三角形，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、特殊角的三角函数以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 11．已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()()2log 5,2b f c f m ==，则,,a b c 的大小关系为（）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A【解析】()f x 为偶函数； ()()11;1122x mx mf x f x ---∴-=∴-=- ；()()22;;0,0x m x m x m x m mx m ∴--=---=-∴== ；()()11;2xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞ 上单调递减，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====；220log 3log 5;f c a b ∴ ，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足： ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设*2111,2,5111m f f f n n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m 与1-的大小关系为（）A. 1m <-B. 1m =-C. 1m >-D. 不确定【答案】C【解析】函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，令0x y == 得()00f = ；令0x = 得()()(),f y f y f x -=-∴ 在()1,1- 为奇函数，单调减函数且在()1,1- 时， ()0f x > ，则在()0,1时， ()0f x < ，又211111111,1121111n n f f f f f n n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭，2111...5111m f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭][][111111=...23341f f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111211f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-->- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1m >- ，故选C. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.二、填空题13．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足1734a a ⋅=，则4a =__________．【解析】各项均为正数的因为{}n a 是等比数列，所以2174434a a a a ⋅==⇒=，又因为{}n a各项均为正数，所以4a =,故答案为14．若0,022ππαβ<<<<，且13tan ,tan 74αβ==，则αβ+的值为__________．【答案】4π【解析】由13tan ,tan 74αβ== 得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-13257411325174+===-⨯ ，0,0,022ππαβαβπ<<<<∴<+< ，则4παβ+= ，故答案为4π.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m ．【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填【考点】正弦定理及运用．16．下列说法中，正确的有__________．（写出所有正确说法的序号） ①已知关于x 的不等式220mx mx ++>的角集为R ，则实数m 的取值范围是04m <<．②已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等比数列．③已知函数()()()21log 1,0{433,0a x x f x x a x a x ++≥=+-+<（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则1334x ≤≤．④已知0,1a b >>-，且1a b +=，则2221a b a b +++． ⑤在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，()1,0,1,1OB OC OD OB OC OD A ===++=则AD OB ⋅ 的取值范围是1122⎡--+⎢⎣．【答案】④⑤【解析】对于①，0m = 时关于x 的不等式220mx mx ++>的解集也为R ，所以①错；对于②当1q =- ， n 为偶数时，结论错误，故②错，对于③，()f x 是R 上的单调递减函数， ()2433y x a x a ∴=+-+ 在(),0-∞ 上单调递减， ()log 11a y x =++ 在()0+∞，上单调递减，且()f x (),0-∞ 上的最小值大于或等于()34020.{0131af a a -≥∴<<≥ ，解得1334a ≤≤ ，作出()y f x = 和23x y =-的函数如图所示： ()23xf x =- 恰有两个不相等的实数解， 32a ∴< ，即23a < ，综上， 1233a ≤< .故③错；对于④；()()222212241381222644a a b aaa b aaa a a a -++-++=+==≥=+--⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭ ，故④正确；对于⑤，0OB OC OD ++=可得，()22222?OB OC ODOC OD OC OD =+=++，再由1OB OC OD === 可得,OC OD 的夹角为120︒，同理,OB OC 的夹角、,OB OD 的夹角都是120︒，设()cos ,sin D θθ ，则()()()cos 120,sin 120B θθ︒︒-- ,则()()()()()()cos 1,sin 1?cos 120,sin 120cos120120sin 120AD OB cos θθθθθθ︒︒︒︒︒⋅=----=----=，所以AD OB ⋅的取值范围是1122⎡--⎢⎣，故⑤正确，故答案为1122⎡--+⎢⎣. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断综合考查不等式、数列、函数、向量、三角函数以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中， 579,13a a ==．等比数列{}n b 的通项公式1*2,n n b n N -=∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．【答案】（1）*21,n a n n N =-∈（2）221n n S n =+-【解析】试题分析：（I ）根据579,13a a ==列出关于1a 与d 的方程组，求出1a 与d 的值进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）由（I ）知，()1212n n n a b n -+=-+，利用分组求和法，分别求出等差、等比数列列的和即可得结果.试题解析：（I ）由题知517149{613a a d a a d =+==+=，解得11{2a d ==，所以*21,n a n n N =-∈.（II ）由（I ）知， ()1212n n n a b n -+=-+，所以()()()()0121123252212n n s n -⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()()()0112135212222n n -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦ ()()112121212nn n ⨯-⎡⎤+-⎣⎦=+-，从而221n n S n =+-．【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18．已知向量()()sin ,1,1,cos ,22a b ππθθθ==-<<．（I ）若a b ⊥，求tan θ的值．（II ）求a b +的最大值．【答案】（1）tan 1θ=-（2）max1a b+=【解析】试题分析：（I ）根据已知a b ⊥ ，可得sin cos 0a b θθ⋅=+= ，进而可得结果；（II）()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，根据三角函数有界性可得结果.试题解析：（I ）由题a b ⊥ ，所以sin cos 0a b θθ⋅=+=，从而tan 1θ=-.（II ）因()sin 1,1cos a b θθ+=++，所以()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为22ππθ-<<，所以3444πππθ-<+<，从而(22max31a b+=+= ，所以max1a b+=19．已知()350,0,cos ,cos 22513ππαβαβα<<<<=+=．（I ）求sin β的值；（II ）求2sin2cos cos2ααα+的值．【答案】（1）1665（2）12【解析】试题分析：（I ）根据()()()sin sin sin cos cos sin ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦可得结果；（II ）由30,cos 25παα<<=，得4sin 5α=，进而利用正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：（I ）由题知()412sin ,513sin αβα=+=．所以()()()1235416sin sin sin cos cos sin 13513565ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+=⨯-⨯=⎣⎦．（II ）因为30,cos 25παα<<=，所以4sin 5α=．所以22222432sin22sin cos 5512cos cos22cos sin 34255ααααααα⨯⨯===+-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/ h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为2240(0)201600vy v v v =>++．（I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/ h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？【答案】（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）．【解析】试题分析：（I ）直接列出关于汽车的平均速度()/v km h 的不等式求解即可；（II ）2240240160020160020v y v v v v==++++，根据基本不等式求解即可. 试题解析：（I ）由条件得22402201600vv v >++，整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<．（II ）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v==≤==++++. 当且仅当1600v v=即40v =时等号成成立．所以max 2.4y =（千辆/ h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）．21．设()2sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）在锐角ABC ∆中， A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）24+【解析】试题分析：（I ）函数()f x 可化为1sin22x -，根据正弦函数的单调性求解即可；（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭可得cos 2A =，再由余弦定理可得221b c =+，根据基本不等式可求得bc 的最大值，结果进而可得. 试题解析：（I）由题意知()1cos 2sin2sin21sin212sin222222x x x x f x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=-=-=-. 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得到1sin 2A =，由题知A为锐角，所以cos A =．由余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+.2212b c bc =+≥，则2bc ≤b c =时等号成立．因此1sin 2S bc A ∆=≤，所以ABC ∆． 22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上．（I ）求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（II ）若数列{}n b 满足()()*22log log 21n n b n a n N =+-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（III ）已知数列{}n c 满足()*14616n n n n n c n N T a a +-=-∈-．若对任意*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()12n c c c f x a ++⋯+≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）n a n =（2）()16232n n T n +=+-⨯（3）1980a ≤【解析】试题分析：（I ）由点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上，可得21122n n n S a a =+，进而得21111122n n n S a a +++=+，两式相减可得结论.；（II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈，利用错位相减法可得结果；（III ）()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+，利用分组求和及裂项相消法可得1112n n M n =-+，进而利用不等式恒成立解答即可. 试题解析：（I ）由题知，当1n =时， 21111122S a a =+，所以11a =．21122n n n S a a =+，所以21111122n n n S a a +++=+，两式相减得到 ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为正项数列{}n a ，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =．（II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈，因此()121232212n n T n =⨯+⨯++-⨯ ①，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ②，由①-②得到()232112222222212n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()2112122221212n n n -+-=+⨯--⨯-()16322n n +=-+-⨯ 所以()16232n n T n +=+-⨯．（III ）由（II ）知()16232n n T n +=+-⨯，所以()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+11121nn n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．令n M 为{}n c 的前n 项和，易得1112n n M n =-+．因为12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，()()11112n nn n c n n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得到()()51515122nn n +⨯+≤<，所以当5n ≥时，0n c <，所以441111412516n M M ≤=-=-+．又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ()21122f x a x x a -=+-的最大值为38a -．因为对任意的*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()n M f x a ≤-成立．所以1135168a -≤-，由此1980a ≤．【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。

(精品)2016-2017学年四川省成都外国语学校高一(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（5分）已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log 3x+log x817．（5分）在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定8．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．（5分）锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．411．（5分）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．12．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，则b2017=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．（5分）sin15°+sin75°的值是．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．16．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．18．（12分）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．（I）若AD=2，S=2，求DC的长；△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．21．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）（2017春•金牛区校级期中）一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，∴A+C=2B，又A+C+B=180°，∴3B=180°，则B=60°．故选：C．2．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°【解答】解：设它的倾斜角为θ∈[0°，180°），∴t anθ=﹣，解得θ=120°．故选：B．3．（5分）（2013•北京）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．4．（5分）（2017春•金牛区校级期中）数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．【解答】解：数列的一个通项公式是，，，，…，即为（1﹣），（﹣），（﹣），（﹣），…，∴a n=﹣，故选：C5．（5分）（2016秋•汪清县校级期末）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C6．（5分）（2013春•东安区校级期末）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81【解答】解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．7．（5分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【解答】解：b=，由正弦定理=，可得sinC===，由b＞c，可得B＞C，则C为锐角，且C=30°，A=105°，则此三角形有一个解．故选：B．8．（5分）（2011•番禺区校级模拟）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．9．（5分）（2017春•金牛区校级期中）锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C．D．【解答】解：∵锐角△ABC中，b=1，c=2，若a是最大边，则0＜cosA＜1．∴=＞0，∴a＜．若c是最大边，必有cosC＞0，∴=＞0，∴a＞，综上，则a取值范围为（，）．故选：D．10．（5分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．4【解答】解：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a=bcsinA，即a2=2bcsinA②，将②代入①得：b2+c2=2bc（cosA+sinA），∴=2（cosA+sinA）=4sin（A+），当A=时取得最大值4，故选D．11．（5分）（2017春•金牛区校级期中）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．【解答】解：设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p）2+••+x（1+p）m﹣1，∴a（1+p）m=x•∴x=．故选D．12．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，则b2017=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，∴b1=1﹣=，=，，b3==，=，b4==，a4=1﹣，由此猜想，∴b2017=．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•梅州二模）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：214．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．15．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．=2a n+3，得a n+1+3=2（a n+3），【解答】解：由a n+1∵a1+3=1+3=4≠0，∴=2，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1=2n+1，则a n=2n+1﹣3．16．（5分）（2017春•金牛区校级期中）已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2017=2a2016+3a2015，∴=a2015（2q+3），可得q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．∵存在不同的两项a p，a m使得，∴=a1，解得p+m=5．∴（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．则的最小值是=．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2017春•金牛区校级期中）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．【解答】解：（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．∵l过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．（2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．∵直线l过点（2，1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．∴所求直线方程为x﹣2y=0．18．（12分）（2017春•金牛区校级期中）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．【解答】解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0，﹣（x+2）＞0．∴y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4≤﹣2﹣4=﹣2﹣4．当且仅当﹣2（x+2）=（x＜﹣2），即x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4．（2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，∴（x+y）2=xy+1≤（）2+1．∴（x+y）2≤．∴x+y≤．当且仅当x=y=时等号成立．19．（12分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知得，即有因为sinA≠0，所以，又cosB≠0，所以，又0＜B＜π，所以．（2）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）．因为，有ac=1．于是有．20．（12分）（2015•浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．=2，求DC的长；（I）若AD=2，S△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，AC=4，AD=2，∴，∴，（2分）∵B=，∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得：，（4分）∴，∴；（6分）（Ⅱ）∵AB=AD，，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=﹣C，∠ADC=，在△ADC中，根据正弦定理，可得：，（7分）∴AD=8sinC，，（8分）∴△ADC的周长为=8（sinC+cosC﹣sinC）+4=8（sinC+cosC）+4（9分）=8sin（C+）+4，（10分）∵∠ADC=，∴0＜C＜，∴＜C+＜，（11分）∴，sin（C+）的最大值为1，则△ADC的周长最大值为．（13分）21．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1+1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．22．（12分）（2017春•金牛区校级期中）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．【解答】解：（Ⅰ）由…①当n≥2时，…②=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1∵2a n=2S n﹣2S n﹣1∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1）∴，∴数列从第二项起是公差为1的等差数列．∴当n=1时，，又a1=1，∴a2=4∴，∴当n=1时，上式显然成立．∴（Ⅱ）证明：由（2）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），∴＜==∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．:sxs123；沂蒙松；qiss；whgcn；sllwyn；wyz123；双曲线；刘长柏；w3239003；lcb001；zlzhan；刘老师；陈高数（排名不分先后）菁优网2017年6月28日。

2016-2017学年四川省成都外国语学校高一下学期期末数学试卷(文)(答案+解析)

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（文）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x cosθ+y sinθ+a=0与x sinθ﹣y cosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关2．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．≥2D．3．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+ D．4π+4．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β6．（5分）数列{a n}是首项为m、公比为q（q≠1）的等比数列，S n是它的前n项和，对任意的n∈N，点（a n，）（）A．在直线mx+qy﹣q=0上B．在直线qx﹣my+m=0上C．在直线qx+my﹣q=0上D．不一定在一条直线上7．（5分）已知A为锐角，lg（1+cos A）=m，lg=n，则lgsin A的值为（）A．m+B．m﹣n C．（m+）D．（m﹣n）8．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．（5分）设等差数列{a n}满足3a8=5a13，且a1＞0，则前n项和S n中最大的是（）A．S10B．S11C．S20D．S2110．（5分）如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）A．B．0＜k≤12C．k≥12 D．0＜k≤12或11．（5分）列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有=，则=（）A．19 B．30 C．27 D．912．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的AA1，BC的中点P、Q作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（）A．a B． a C．a D．（﹣1）a二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P在平面区域上，则u=2x﹣y的取值范围为．14．（5分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn ＞0）上，则的最小值为．15．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．16．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的序号是．①DC1⊥D1P②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l：2x﹣3y+1=0，点A（﹣1，﹣2），求：（1）过点A（﹣1，﹣2）直线与直线l平行的直线m的方程．（2）点A关于直线l的对称点A′的坐标．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．19．（12分）已知函数f（x）=2sin cos﹣2sin2．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sin A 的值．20．（12分）函数y=（n∈N*，y≠1）的最大值为a n，最小值为b n且c n=4（a n b n﹣）（1）求数列{c n}的通项公式；（2）求f（n）=（n∈N*）的最大值．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面P AD（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为时，求V P﹣AEH的体积．22．（12分）已知f（n）是平面区域I n：（x，y∈R，n∈N*）内的整点（横纵坐标都是整数的点）的个数，记a n=2n f（n），数列{a n}的前n项和为S n（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，求实数c的取值范围．【参考答案】一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．B【解析】当cosθ=0或sinθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选B．2．C【解析】A．∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，因此不正确．B．取a，b＜0时，a+b≥2不成立．C．∵ab＞0，∴，＞0，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，正确．D．取a，b＜0时，+≥不成立．故选C．3．C【解析】此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C.4．D【解析】∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin A cos B﹣cos A sin B=1﹣2cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B=1，∴sin（A+B）=1，∴sin C=1．∵C∈（0，π），∴．∴△ABC的形状一定是直角三角形．故选D．5．D【解析】由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D．6．B【解析】∵数列{a n}是首项为m、公比为q（q≠1）的等比数列，∴，==1+q n，代入直线mx+qy﹣q=0：m2q n﹣1+q+q n+2﹣q=m2q n﹣1+q n+2=0，不成立，故A不正确；代入在直线qx﹣my+m=0：mq n﹣m﹣mq n+m=0，成立，故B正确；代入直线qx+my﹣q=0：mq n+m+mq n﹣q=0，不成立，故C不正确．故选B．7．D【解析】两式相减得lg（1+cos A）﹣lg=m﹣n⇒lg[（1+cos A）（1﹣cos A）] =m﹣n⇒lgsin2A=m﹣n，∵A为锐角，∴sin A＞0，∴2lgsin A=m﹣n，∴lgsin A=．8B【解析】由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则，所以直线AB与CD所成的角为：θ，cosθ===所以θ=60°故选B．9．C【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵3a8=5a13，∴3（a1+7d）=5（a1+12d），化为：2a1+39d=0，可得a21+a20=0，∵a1＞0，∴d＜0，即等差数列{a n}为单调递减数列．∴a21＜0，a20＞0，∴前n项和S n中最大的是S20．故选C．10．D【解析】（1）；（2）；（3）；（4）当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有1个解．综上所述：当时，三角形恰有一个解．11．C【解析】当n=1时，==1，即a1=b1，设{a n}、{b n}的公比分别为q，p，则====，即2（1+q）=5（1+p），即q=+，当n=3时，====7，即1+q+q2=7（1+p+p2），将q=+代入1+q+q2=7（1+p+p2）得1+++（+）2=7（1+p+p2），整理得p2﹣4p+3=0，得p=1或3，当p=1时，q=+=4，此时==≠，∴p=1不成立，当p=3时，q=9，此时===27，综上=27，故选C.12．A【解析】如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的AA1，BC的中点P、Q作直线，直线PQ被球面截在球内的线段为MN，则△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=，∵|PQ|===，∴O到PQ的距离为d==，∴直线PQ被球面截在球内的线段MN=2=a．故选A．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．[0，6]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由u=2x﹣y得y=2x﹣u，平移直线y=2x﹣u，由图象可知当直线y=2x﹣u经过点B时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大．直线y=2x﹣u经过点A时，直线y=2x﹣u的截距最大，此时u最小．由得，即A（1，2），由，得，即B（4，2）即u max=2×4﹣2=6，u min=2×1﹣2=0，即u的取值范围是[0，6]，故答案为[0，6].14．4【解析】∵函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0上（mn＞0），∴m+n=1（mn＞0），∴=（m+n）（）=2+≥2+2=4，当且仅当m=n=时取等号，∴m=n=时，的最小值为4．故答案为4．15．【解析】∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为.16．①②④【解析】对于①，∵A1D1⊥平面D1DCC1，DC1⊂平面D1DCC1，∴A1D1⊥DC1，又A1B⊥DC1，A1D1∩A1B=A1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂平面D1DCC1，∴DC1⊥D1P，故①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，且D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故②正确；对于③，在△D1AP中，由余弦定理可知，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，故③错误；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△AA1D1中，利用余弦定理解三角形得AD1=，故④正确．故答案为①②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）设所求直线方程为2x﹣3y+m=0，（m≠1），将A点坐标代入有m=﹣4，所以所求直线方程为2x﹣3y﹣4=0；（2）设A′坐标为（x′，y′），则有：，解得，故A′（﹣，）．18．（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥P A，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵P A∩PD=P，∴AB⊥平面P AD，∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．（2）解：设P A=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵P A=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面P AB⊥平面P AD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴V P﹣ABCD=====，解得a=2，∴P A=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△P AD+S△P AB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．19．解：（1）函数f（x）=2sin cos﹣2sin2=﹣1 =﹣1∵x∈R，∴∴﹣3≤﹣1≤1∴函数f（x）的值域为[﹣3，1]（2）f（C）=﹣1=1，∴，而C∈（0，π），∴C=．在△ABC中，b2=ac，c2=a2+b2，∴c2=a2+ac，得∴∵0＜sin A＜1，∴sin A==．20．解：（1）由已知，y=（n∈N*，y≠1）的定义域为R，则x2（y﹣1）+x+y﹣n=0方程有解，即有△≥0即1﹣4（y﹣1）（y﹣n）≥0，即y2﹣（n+1）y+n﹣≤0的解集[b n，a n]，即y2﹣（n+1）y+n﹣=0的两根为b n，a n，可得a n b n=n﹣，又因为c n=4（a n b n﹣），则c n=4n﹣3，n∈N*；（2）f（n）===，令4n﹣3=t（t≥1且t为正整数），可得n=，则g（t）==，由t+≥2=28，当且仅当t=，可得t=14，当t=21时，n=6，t+=49，当t=22，23，24时，n不为整数；当t=25时，n=7时，t+=48+；则当n=7时，g（t）取得最大值，即f（n）取得最大值=．21．（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵P A⊥平面ABCD，AE⊊平面ABCD，∴P A⊥AE．而P A⊊平面P AD，AD⊊平面P AD且P A∩AD=A，∴AE⊥平面P AD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面P AD，则∠EHA为EH与平面P AD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA=，因此AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴P A=AD tan 45°=2．∴V P﹣AEH=V E﹣P AH====．22．解：（1）f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．由x＞0，﹣nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2．∴I n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，∴f（n）=3n；a n=2n f（n）=3n•2n，前n项和为S n=3•2+6•22+9•23+…+3n•2n，2S n=3•22+6•23+9•24+…+3n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=6+3（22+23+24+…+2n）﹣3n•2n+1，=6+3•﹣3n•2n+1，化简可得，S n=6+3（n﹣1）•2n+1；（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，即为≤c恒成立，可令b n=，由=，当n=1，2时，b1＜b2=b3，当n≥3时，b3＞b4＞b5＞…，则b2=b3为最大值．则c≥．。

四川省成都市九校20162017学年高一数学下学期期中联考试题文.doc

四川省成都市九校2016-2017 学年高一数学下学期期中联考试题文考试时间共120 分钟，满分150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共有12 小题,每小题5分, 共60 分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．数列1，－4，9，－16，25，⋯的一个通项公式为()A． 2a n n B． ann 1 2 ( 1) nC．n 2a ( 1)nn D．ann( 1)(n1)22．计算2sin2 75 1的值等于( )A．12B．12C．32D．323．已知数列1,x, y,z, 2 成等比数列,则x yz= ( )A． 2 2 B． 4 C． 4 D．±2 24．1tan17 tan 28tan17 tan28等于( )A．－1 B．1 C．22D．－225．如图,D,C,B 三点在地面同一直线上, 从地面上C,D 两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°, 已知 C D＝200 米, 点C位于BD上,则山高AB等于( )A A．100 2 米B．50 3+1 米C．100 3+1 米D．200 米D C B6．若, 为锐角，且满足cos 45，cos( )513，则sin 的值为( )A．1665B．6365C．5665D．33657．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一道这样的题目：把100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小 1 份为( )A．116B．56C．53D．1038．在ABC中， 2cos B2＝a c2c( a,b, c分别为角A, B, C 的对边) ，则ABC的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．已知△ABC中， A 30 , 2AB , BC 分别是2 3 11 、2 3－11的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于( )A．32B．34C．32或3D．32或3410．若( , ) ，且3cos2 sin( ) ，则c os2 的值为( )2 4A．3518 B．3518C．1718D ．171811. 设等差数列a n 满足sin a4 cos a7 cos a4 sin a7 1 ，公差d ( 1,0) ，当且仅当n 9 时，数列a n 的前n项和S n 取得最大值，求该数列首项a1的取值范围( )A．7 4( , )6 3B．7 4,6 3C．4 3( , )3 2D．4 3,3 212．在锐角三角形ABC中，a, b, c 分别是角 A , B , C 的对边,a2 c2 b2 3bc , 则cosA sinC 的取值范围为( )A．32, 3B．33,22C．32,3D．32,32第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

四川省成都外国语学校2015-2016学年高一下学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下)期中数学试卷（理科）一、选择题：1．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6，10,15,…叫做三角形数；把1，4，9，16，25，…叫做正方形数,则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（)A．16 B．25 C．36 D．49 2．已知向量,则x=（）A．2或3 B．﹣1或6 C．6 D．2 3．sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（)A．2 B．C．D．5．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足++=且++m=，那么实数m的值为( ）A．2 B．﹣3 C．4 D．56．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是( ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x,都有f（x0）≤f(x)≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A．﹣B．﹣C．±D．±9．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得:CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=( ）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算10．设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1，b＜c,若log c+b a+log c﹣b a=2log c+b alog c﹣b a，则三角形ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．无法确定11．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列｛a n}的前n项和S n 取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（,）C．[，］D．[,］12．已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG,+=，则实数λ的值为（）A．B．C．3 D．2二、填空题：13．已知数列1,a1，a2,9是等差数列，数列1，b1,b2，b3,9是等比数列，则的值为．14．已知平面上共线的三点A,B，C和定点O，若等差数列｛a n｝满足：=a15+a24，则数列｛a n｝的前38项之和为．15．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足===1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为．16．如图,在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1,则｜|的最小值是;三、解答题:17．已知A是△ABC的内角，且sinA+cosA=﹣，求tan(+A)的值．18．已知=(cosα，sinα）,=（cosβ，sinβ）,其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2）若k与﹣k的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．19．已知数列｛a n｝中的前n项和为S n=，又a n=log2b n．(1）求数列{a n｝的通项公式;（2)求数列{b n}的前n项和T n．20．如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠B CD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：tan37°=）21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．22．一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角∠POQ=，半径为R=200m,房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图,方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上,D在半径OQ；方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G,H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．2015—2016学年四川省成都外国语学校高一(下)期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3，6，10，15,…叫做三角形数；把1,4,9，16，25,…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．16 B．25 C．36 D．49【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意观察归纳猜想出两个数列的通项公式,再根据通项公式的特点排除,即可求得结果．【解答】解：由题意可得三角形数构成的数列通项a n=(n+1），同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2,则由a n=（n+1），令(n+1）=16，（n+1）=25与（n+1）=49，无正整数解,对于选项C，36=62，36=，故36既是三角形数又是正方形数．故选C．【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．2．已知向量，则x=（）A．2或3 B．﹣1或6 C．6 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由得,代入坐标计算可解出x的值．【解答】解:∵，∴,即2(x﹣5）+3x=0，解得x=2．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．3．sin15°+cos15°的值为( )A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式,然后利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：sin15°+cos15°=(sin15°+cos15°）=(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选C．【点评】考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式的逆运算化简求值，牢记特殊角的三角函数值．4．在△ABC中，已知A，B,C成等差数列，且b=，则=( ）A．2 B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据等差中项的性质列出方程,结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，由A+B+C=π得B=，∵b=,∴由正弦定理得，==2，∴==,故选：B．【点评】本题考查正弦定理，等差中项的性质，以及分式的性质综合应用,属于中档题．5．已知平面上不重合的四点P，A,B，C满足++=且++m=，那么实数m的值为（）A．2 B．﹣3 C．4 D．5【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量基本定理结合向量的减法有：=﹣，=﹣，代入化简即得【解答】解:由题意得，向量的减法有：=﹣,=﹣．∵++m=，即+=﹣m，∴+﹣=﹣m=m，∴+=(m+2)．∵++=,∴+（m+2）=0,∴m=﹣3，故选：B．【点评】本小题主要考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识．本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了,解答的关键是向量基本定理的理解与应用，属于中档题．6．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据等差数列的通项公式求出tanA,tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC，判断A，B，C的大小即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，∴设a3=﹣4，a7=4，d=tanA,则a7=a3+4d，即4=﹣4+4tanA，则tanA=2，∵tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项，∴设b5=9，b2=tanB，d=2则b5=b2+3d，即9=tanB+3×2,则tanB=3，则A，B为锐角，tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣=1, 则C=也是锐角，则这个三角形为锐角三角形．故选:A．【点评】本题主要考查三角形形状的判断，根据等差数列的通项公式求出tanA，tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC的值是解决本题的关键．7．已知函数f(x）=cosωx（sinωx+cosωx)（ω＞0)，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f （x）≤f（x0+2016π)成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间［x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+)+，再根据2016π≥，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x)的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x)的最大值．显然要使结论成立,只需保证区间[x0，x0+2016π］能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin(2ωx+）+，故2016π≥，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．8．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（)A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a,根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,最后利用诱导公式得到cosC=﹣cos(A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B 为锐角，∴sinB==，又sinA=，∴sinB＞sinA，可得A为锐角，∴cosA==，则cosC=cos[π﹣(A+B）］=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣．故选A【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°,∠CBD=60°，则AB=（）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由题意可得AC⊥BD．设AC∩BD=O，可得△OCD为等腰直角三角形，求得OC=OD的值,△BCO 中，由直角三角形中的边角关系求得OB的值,同理求得OA的值，再利用勾股定理求得AB的值．【解答】解：如图所示，∵∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，∴AC⊥BD．设AC∩BD=O，则△AOD∽△BOC,∴OC=OD，△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCS=45°．设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，∴OD=x，OC=y．△COD中,由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得x2+y2=,故AB==．故选:A．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用,属于中档题．10．设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1,b＜c，若log c+b a+log c﹣b a=2log c+b alog c﹣b a，则三角形ABC的形状为（)A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．无法确定【考点】三角形的形状判断．【分析】结合对数的运算性质,及换底公式的推论,可将已知化为：c2﹣b2=a2，再由勾股定理判断出三角形的形状．【解答】解：∵log c+b a+log c﹣b a=2log c+b alog c﹣b a，∴+=2，即log a（c﹣b）+log a（c+b）=2，∴log a（c2﹣b2）=2，即c2﹣b2=a2，故三角形ABC的形状为直角三角形,故选：B．【点评】本题考查的知识点是三角形形状判断，对数的运算性质，难度中档．11．设等差数列{a n｝满足:=1，公差d∈（﹣1，0)．若当且仅当n=9时，数列｛a n｝的前n项和S n取得最大值,则首项a1取值范围是( ）A．（，）B．（,） C．［,]D．［,］【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：由=1，得:，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0）,则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{a n｝的前n项和S n取得最大值,∴，解得:．∴首项a1的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力,是中档题．12．已知点G是△ABC的重心,且AG⊥BG,+=，则实数λ的值为( ）A．B．C．3 D．2【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB,再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2,将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D,由于G为重心，故D为中点,∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得,AC2=AD2+CD2﹣2ADCDcos∠ADC,BC2=BD2+CD2﹣2BDCDcos∠BDC,∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴，即λ=,∴λ======．即．故选B．【点评】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用，考查三角恒等变换，三角形的重心的性质,考查运算能力，有一定的难度．二、填空题：13．已知数列1，a1,a2，9是等差数列,数列1，b1,b2,b3，9是等比数列，则的值为．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质求得a1+a2 的值，由等比数列的性质求得b2的值，从而求得的值．【解答】解：已知数列1,a1，a2，9是等差数列,∴a1+a2 =1+9=10．数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比)，∴b2=3,则=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．14．已知平面上共线的三点A,B，C和定点O，若等差数列｛a n｝满足：=a15+a24，则数列｛a n｝的前38项之和为19 ．【考点】数列的求和．【分析】由向量共线定理可得a15+a24=1．于是a1+a38=1．代入求和公式得出答案．【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴a15+a24=1．∴a1+a38=a15+a24=1．∴S38==19．故答案为：19．【点评】本题考查了向量共线定理,等差数列的性质与求和公式，属于中档题．15．已知△ABC,若存在△A1B1C1，满足===1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好"三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形,则其底角的弧度数为．【考点】正弦定理．【分析】由题意可得cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=α=C,则A=π﹣2α，求得A1=2α,可得tan2α=﹣1，再根据2α∈（0，π）可得2α的值，从而求得α的值．【解答】解：由题意可得等腰△ABC的三个内角A、B、C均为锐角，且cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=α=C，则A=π﹣2α．由于△A1B1C1中，A1、B1、C1不会全是锐角，否则，有A+A1=，B+B1=，C+C1=，与三角形内角和矛盾．故A1、B1、C1必有一个钝角，只能是顶角A1为钝角,C1和B1均为锐角．故有B1=﹣α，C1=﹣α,∴A1=2α．再根据cosA=sinA1，可得cos（π﹣2α)=sin2α，即sin2α+cos2α=0，即tan2α=﹣1,再根据2α∈（0,π）可得2α=，∴α=，故答案为：．【点评】本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于中档题．16．如图，在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点,且，，其中m,n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1,则｜|的最小值是；【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先将向量用,表示，然后求向量，整理为关于n的二次函数的形式求最小值．【解答】解：∵，，，∴=[（1﹣m）+(1﹣n）］,∵m+2n=1，∴[2n+（1﹣n）］，则，又AB=AC=2，∠A=120°，∴=｜AB|×｜AC｜×cos120°=2=﹣14,∴，n∈（0,1)．∴当n=时，7（7n2﹣4n+1）有最小值为于是3∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用,考查二次函数的最值求法等知识，是中档题．三、解答题：17．已知A是△ABC的内角，且sinA+cosA=﹣，求tan(+A）的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosA、tanA的值，从而求得tan（+A）的值．【解答】解：由,得，则，又A是△ABC的内角且sinA cosA＜0，则A为钝角．则，由（1）和（2）得，则．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于中档题．18．已知=(cosα，sinα）,=（cosβ，sinβ),其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2)若k与﹣k的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1)根据已知中向量，的坐标，分别求出向量+与﹣的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得与互相垂直；(2）方法一：分别求出k与﹣k的坐标,代入向量模的公式，求出k与﹣k的模，进而可得cos(β﹣α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．方法二：由|k+|=｜﹣k｜得：｜k+｜2=|﹣k|2，即（k+）2=（﹣k）2,展开后根据两角差的余弦公式,可得cos(β﹣α）=0,结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．【解答】证明：（1)由题意得:+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）∴(+）（﹣）=(cosα+cosβ)(cosα﹣cosβ）+(sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ）=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0∴+与﹣互相垂直．解:(2)方法一：k+=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）,﹣k=（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ）｜k+|=,｜﹣k｜=由题意,得4cos（β﹣α）=0,因为0＜α＜β＜π，所以β﹣α=．方法二：由|k+|=｜﹣k|得:|k+|2=|﹣k｜2即(k+）2=(﹣k）2，k2||2+2k+｜|2=｜|2﹣2k+k2｜｜2由于｜｜=1，|｜=1∴k2+2k+1=1﹣2k+k2，故=0，即（cosα，sinα）（cosβ，sinβ）=0即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β﹣α）=0因为0＜α＜β＜π，所以β﹣α=．【点评】本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系,平面向量数量积的坐标表示,模，夹角，熟练掌握平面向量数量积的坐标公式,是解答的关键．19．已知数列｛a n}中的前n项和为S n=,又a n=log2b n．（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）求数列｛b n｝的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1)根据数列a n=S n﹣S n﹣1的关系即可求数列｛a n｝的通项公式；(2）先求出数列｛b n}通项公式，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解答】解：（1）当n≥2时，…当n=1时，，也适合上式…∴数列｛a n｝的通项公式为a n=n．…（2）由a n=log2b n，得…则数列{b n｝是公比为2的等比数列，则数列{b n}的前n项和为：…【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及前n 项和的计算，根据a n=S n﹣S n﹣1的关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．20．如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37°=）【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ACD中使用余弦定理得出AC及∠ACD，在△ABC中使用余弦定理得出AB及∠CAE，再在△ACE中使用余弦定理得出CE及∠AEC．【解答】解：连接AC，CE，在△ACD中由余弦定理，得：,∴AC=600，则CD2=AD2+AC2，即△ACD是直角三角形,且∠ACD=60°，又∠BCD=113°，则∠ACB=53°，∵tan37°=，∴cos53°=sin37°=．在△ABC中，由余弦定理，得：，则AB=500,又BC=500，则△ABC是等腰三角形,且∠BAC=53°，由已知有，在△ACE中，由余弦定理,有,又AC2=AE2+CE2，则∠AEC=90°．由飞机出发时的方位角为600，则飞机由E地改飞C 地的方位角为：90°+60°=150°．答：收到命令时飞机应该沿方位角150°的航向飞行,E 地离C地480km．【点评】本题考查了余弦定理,解三角形的应用，属于中档题．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+(x+1)p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2)求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C 的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：(1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角,所以，则．…（2）在△ABC中由(1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…设f（x）=x2+px+p+1,则函数f（x)与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…【点评】本题考查的知识点是函数的零点，韦达定理（一元二次方程根与系数关系）,两角和的正切公式,其中利用韦达定理及两角和的正切公式，确定方程两个根的范围是解答的关键,属于中档题．22．一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图,方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上,D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】分类讨论，按照方案一,二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC，通过代入化简,由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案;方案二:作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M,N,连OE．设，设矩形EFGH的面积为S,求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解:按方案一：如图,连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，,得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC==sin(2x+）﹣,由得．所以当，即时．按方案二:如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M,N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα,OM=Rcosα在Rt△ONH中，,得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2MEMN=2R2sinα（cosα﹣sinα)=R2(sin2α+cos2α﹣)=由,则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力,属于中档题．。

成都外国语学校2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A,B，C的度数成等差数列，则B的度数为（)A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．设a，b,c∈R，且a＞b，则( ）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．数列的一个通项公式是（）A．B． C．D．5．在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则角A为（）A．B．C．D．或6．下列函数中，最小值为4的函数是（)A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x817．在△ABC中,已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是( ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形9．锐角△ABC中，b=1,c=2，则a取值范围为（）A．（1，3） B．C． D．10．若｛a n｝是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0,则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．403211．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是( )A．8 B．6 C．3D．412．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款,该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°,BC=3,则AC= ．14．sin15°+sin75°的值是．15．已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n+3．求a n．16．已知正项等比数列｛a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得,则的最小值是．三、解答题（本题共6个小题,共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．(10分)(1）求与直线3x+4y+1=0平行且过(1,2）的直线方程;（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过(2，1）的直线方程．18．（12分）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosC+（cosA﹣sinA)cosB=0（1)求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．20．（12分)如图，在△ABC中,已知B=,AC=4，D为BC边上一点．（I)若AD=2，S△DAC=2，求DC的长;（Ⅱ）若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值．21．(12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1)求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n,求数列｛b n}的前n项和S n．22．（12分)设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣,n∈N*．（Ⅰ) 求数列｛a n｝的通项公式;（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A，B,C的度数成等差数列,则B的度数为（)A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】8F：等差数列的性质．【分析】直接由等差中项的概念结合三角形的内角和定理得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列，∴A+C=2B,又A+C+B=180°，∴3B=180°，则B=60°．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了三角形内角和定理，是基础题．2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°【考点】I2:直线的倾斜角．【分析】设它的倾斜角为θ∈［0°,180°)，可得tanθ=﹣，解得θ．【解答】解：设它的倾斜角为θ∈［0°，180°），∴tanθ=﹣,解得θ=120°．故选：B．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．设a,b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】71:不等关系与不等式．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解:A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2,但是，故B不正确;C、﹣1＞﹣2,但是（﹣1）2＜(﹣2)2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．4．数列的一个通项公式是( ）A．B． C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据裂项和规律即可得到数列的通项公式【解答】解:数列的一个通项公式是，，，,…，即为（1﹣)，(﹣），（﹣），（﹣），…，∴a n=﹣，故选：C【点评】本题考查数列的通项公式,考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5．在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA,然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围,根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解:由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈(0，π）,所以A=．故选C【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．6．下列函数中,最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．【解答】解：∵e x＞0,4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号,∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等"．7．在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】HP：正弦定理．【分析】运用正弦定理,求得sinC，再由三角形的边角关系,即可得到三角形的个数．【解答】解：b=，由正弦定理=，可得sinC===，由b＞c,可得B＞C,则C为锐角,且C=30°,A=105°，则此三角形有一个解．故选：B．【点评】本题考查正弦定理的运用,考查三角形的边角关系，以及运算能力,属于基础题．8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2,则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】GZ:三角形的形状判断．【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意,即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos （C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．9．锐角△ABC中,b=1，c=2，则a取值范围为（)A．（1，3） B．C． D．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理和锐角的余弦函数大于0可求得a的范围,进而利用两边之差小于第三边，求得a的另一个范围，最后取交集．【解答】解:∵锐角△ABC中，b=1，c=2，若a是最大边，则0＜cosA＜1．∴=＞0，∴a＜．若c是最大边，必有cosC＞0，∴=＞0，∴a＞，综上，则a取值范围为(，）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．10．若｛a n｝是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．4032【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】｛a n｝是等差数列，首项a1＞0,a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，可得：a2016，＞0，a2017＜0，公差d＜0．再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵{a n｝是等差数列，首项a1＞0,a2016+a2017＞0,a2016．a2017＜0，∴a2016＞0,a2017＜0，公差d＜0．∴S4032==2016（a2016+a2017）＞0，S4033==4033a2017＜0．使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4032．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a,则的最大值是（）A．8 B．6 C．3D．4【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简，再利用辅助角公式，即可求得结论．【解答】解:=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a=bcsinA，即a2=2bcsinA②,将②代入①得：b2+c2=2bc（cosA+sinA），∴=2（cosA+sinA）=4sin（A+）,当A=时取得最大值4，故选D．【点评】本题考查余弦定理及其应用，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息）,则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C．D．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】由题意建立等式即:a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p)2+••+x （1+p）m﹣1，进行求解即可．【解答】解:设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）m=x+x（1+p）+x(1+p)2+••+x（1+p）m﹣1，∴a(1+p）m=x•∴x=．故选D．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及等比数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3,则AC= 2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°,∠B=45°,BC=3，∴由正弦定理=得:AC===2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．sin15°+sin75°的值是．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数;GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值，考查计算能力．15．已知数列{a n｝中,a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．【考点】8H:数列递推式．【分析】把数列递推式两边加3得到新数列{a n+3}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则a n可求．【解答】解：由a n+1=2a n+3，得a n+1+3=2（a n+3），∵a1+3=1+3=4≠0，∴=2，∴数列{a n+3｝是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1=2n+1，则a n=2n+1﹣3．【点评】本题考查了数列递推式,对于a n+1=pa n+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解，是中档题．16．已知正项等比数列{a n｝满足a2017=2a2016+3a2015,若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．由a2017=2a2016+3a2015，可得=a2015（2q+3），解得q=3．存在不同的两项a p，a m使得，代入=a1，解得p+m=5．可得（p，m）的取值为:（1，4）,（2，3）,（3，2），（4,1）．代入验证即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2017=2a2016+3a2015,∴=a2015(2q+3），可得q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．∵存在不同的两项a p，a m使得，∴=a1，解得p+m=5．∴（p，m）的取值为：（1,4）,（2，3）,（3，2），（4，1)．则的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6个小题，共70分):解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2017春•金牛区校级期中）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过(1,2)的直线方程；(2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过(2，1）的直线方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】(1）根据直线的平行关系设出方程,代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可;（2）根据直线的垂直关系设出直线方程，代入点的坐标，求出参数m的值,从而求出直线方程即可．【解答】解:（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．∵l过点（1,2）,∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．(2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．∵直线l过点（2,1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．∴所求直线方程为x﹣2y=0．【点评】本题考查了直线的位置关系，考查代入求值问题，是一道基础题．18．(12分）（2017春•金牛区校级期中)（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2)若实数x、y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值．【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）由x＜﹣2，可得x+2＜0，﹣（x+2）＞0．变形为y=2(x+2）+﹣4=﹣［﹣2（x+2）+］﹣4，利用基本不等式的性质即可得出．（2）x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=1，可得（x+y)2=xy+1≤(）2+1．即可得出．【解答】解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0,﹣（x+2）＞0．∴y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4≤﹣2﹣4=﹣2﹣4．当且仅当﹣2(x+2)=（x＜﹣2）,即x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4．(2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，∴(x+y）2=xy+1≤（）2+1．∴（x+y）2≤．∴x+y≤．当且仅当x=y=时等号成立．【点评】本题考查了基本不等式的性质、变形能力,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分)（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中,角A，B，C 所对的边分别为a，b，c,已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；(2)若a+c=2，b=1,求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1)由已知得，,即．(2）由余弦定理,b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac(1+cosB）．即ac=1．即可求出△ABC的面积【解答】解：(1)由已知得，即有因为sinA≠0，所以，又cosB≠0，所以，又0＜B＜π，所以．（2）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac(1+cosB）．因为，有ac=1．于是有．【点评】本题考查了三角恒等变形、余弦定理，属于中档题．20．（12分)（2015•浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．(I）若AD=2，S△DAC=2,求DC的长;（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【考点】HX:解三角形；HP：正弦定理；HR:余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积,把已知的面积，以及AC、AD的长代入,求出sin∠DAC的值,由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围,利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数,再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（Ⅱ）由B=,AB=AD,得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为，进而得到∠DAC+∠C=，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长,整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围,根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值,即可得到周长的最大值．【解答】解：(Ⅰ）∵,AC=4，AD=2,∴,∴，(2分）∵B=,∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得:，(4分）∴，∴;（6分）（Ⅱ)∵AB=AD，，∴△ABD为正三角形,∵∠DAC=﹣C，∠ADC=，在△ADC中，根据正弦定理，可得:，（7分）∴AD=8sinC，，（8分）∴△ADC的周长为=8（sinC+cosC﹣sinC）+4=8（sinC+cosC)+4（9分）=8sin（C+）+4，（10分）∵∠ADC=,∴0＜C＜，∴＜C+＜，（11分）∴，sin(C+)的最大值为1,则△ADC的周长最大值为．（13分）【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2)令b n=na n，求数列｛b n｝的前n项和S n．【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1)]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22(n+1）﹣1．由此可知数列｛a n}的通项公式为a n=22n﹣1．(Ⅱ)由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n ﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）］+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n｝的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．22．(12分）(2017春•金牛区校级期中）设数列｛a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣,n∈N*．（Ⅰ) 求数列｛a n｝的通项公式;（Ⅱ）证明：对一切正整数n,有．【考点】8K:数列与不等式的综合；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）①,当n≥2时，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1)可得数列从第二项起是公差为1的等差数列．即可求解（Ⅱ）由可得＜=【解答】（Ⅰ）解:①当n≥2时，②由①﹣②,得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣(n﹣1)a n﹣n（n+1)∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1)∴∴数列从第二项起是公差为1的等差数列．∴当n=1时，,又a1=1，∴a2=4，∴,∴，当n=1时，上式显然成立．∴;（Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•(n+1），∴∴＜=学必求其心得，业必贵于专精=∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列递推式,数列求和，数列中的放缩法，考查了计算能力，属于中档题．。

2015-2016年四川省成都外国语学校高一(下)期中数学试卷(文科)和答案

2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分）1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．1012．（5分）已知向量，则x=（）A．2或3B．﹣1或6C．6D．23．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）A．2B．C．D．5．（5分）设平面向量，若，则等于（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．（5分）已知向量，，则函数是（）A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数8．（5分）在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A．﹣B．﹣C．±D．±9．（5分）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算10．（5分）设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1，b＜c，若log c+b a+log c﹣b a=2log c+b aloga，则三角形ABC的形状为（）c﹣bA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定11．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足：a3+b3=c3，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形12．（5分）有以下命题：①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；②对任意的△ABC都有等式a=bcosC+ccosB成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．其中正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：（每小题5分，共16分，请把结果填在答卷上，否则不给分）13．（5分）已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．14．（5分）已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则sinα+cosα的值．15．（5分）设等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且=1，当n=8时，{a n}的前n项和S n取得最小值，则a1的取值范围是．16．（5分）如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则=．三、解答题：17．（10分）化简：tan70°sin80°（tan20°﹣1）．18．（12分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2）若k与﹣k的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．19．（12分）已知数列{a n}中的前n项和为S n=，又a n=log2b n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C 地，已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37°=）21．（12分）已知函数f（x）=sin cos+sin2（ω＞0，0＜φ＜）．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点（，1）．（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=．且f（A）=，求角C的大小．22．（12分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分）1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．101【解答】解：由题意，a n=3n﹣2，故有3n﹣2=298，∴n=100，故选：B．2．（5分）已知向量，则x=（）A．2或3B．﹣1或6C．6D．2【解答】解：∵，∴，即2（x﹣5）+3x=0，解得x=2．故选：D．3．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选：C．4．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）A．2B．C．D．【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，由A+B+C=π得B=，∵b=，∴由正弦定理得，==2，∴==，故选：B．5．（5分）设平面向量，若，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），∴==3．故选：D．6．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，∴设a3=﹣4，a7=4，d=tanA，则a7=a3+4d，即4=﹣4+4tanA，则tanA=2，∵tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，∴设b5=9，b2=tanB，d=2则b5=b2+3d，即9=tanB+3×2，则tanB=3，则A，B为锐角，tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣=1，则C=也是锐角，则这个三角形为锐角三角形．故选：A．7．（5分）已知向量，，则函数是（）A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数【解答】解：=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）﹣2=cos2x﹣sin2x﹣2=cos2x ﹣2．∴f（x）的周期为π．∵f（﹣x）=cos（﹣2x）﹣2=cos2x﹣2=f（x），∴f（x）是偶函数．故选：A．8．（5分）在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A．﹣B．﹣C．±D．±【解答】解：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B为锐角，∴sinB==，又sinA=，∴sinB＞sinA，可得A为锐角，∴cosA==，则cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣．故选：A．9．（5分）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算【解答】解：如图所示，∵∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，∴AC⊥BD．设AC∩BD=O，则△OCD为直角三角形，设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，∴OD=x，OC=y．△COD中，由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得x2+y2=，故AB==．故选：A．10．（5分）设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1，b＜c，若log c+b a+log c﹣b a=2log c+b aloga，则三角形ABC的形状为（）c﹣bA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定a+log c﹣b a=2log c+b alog c﹣b a，【解答】解：∵log c+b∴+=2，即log a（c﹣b）+log a（c+b）=2，∴log a（c2﹣b2）=2，即c2﹣b2=a2，故三角形ABC的形状为直角三角形，故选：B．11．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足：a3+b3=c3，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a3+b3=c3，∴∠C为△ABC中的最大角，且（）3+（）3=1；∴0＜a＜c，0＜b＜c，∴0＜＜1，0＜＜1，∴（）2＞（）3，（）2＞（）3，∴（）2+（）2＞（）3+（）3=1，∴c2＜a2+b2，由余弦定理得：cosC=＞0，∴∠C为锐角．∴△ABC为锐角三角形．故选：B．12．（5分）有以下命题：①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；②对任意的△ABC都有等式a=bcosC+ccosB成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．其中正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①对任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）=sinαcos2α+cosαsin2α=sinα（cos2α﹣sin2α）+2sinαc os2α=sinα（1﹣2sin2α）+2sinα（1﹣sin2α）=3sinα﹣4sin3α，故①正确；②对任意的△ABC都有===2R，∴a=2RsinA=2Rsin（B+C）=2RsinBcosC+2RsinCcosB=bcosC+ccosB，故②正确；③假设存在正整数k、k+1、k﹣1分别为三角形ABC的三边长，且其对应的角分别为A、B、C，∴===2R，∵B=2C，∴sinB=sin2C=2sinCcosC，∴=，即cosC=+，又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，∴36°＜C＜45°，∴＜cosC＜，即＜+＜，∴﹣＜＜﹣，∴+1＜k﹣1＜2，∴+2＜k＜3，∴k=4或k=5，经检验可知k=4和k=5，均不不满足题意，故③错误；④∵A，B是钝角△ABC的二锐角，∴A+B＜90°，∴0°＜B＜90°﹣A＜90°，∴sinB＜sin（90°﹣A）=cosA，同理cosA＞cos（90°﹣B）=sinB，∴sinA+sinB＜cosA+cosB，故④正确；故选：B．二、填空题：（每小题5分，共16分，请把结果填在答卷上，否则不给分）13．（5分）已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．【解答】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），∴b2=3，则=，故答案为．14．（5分）已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则sinα+cosα的值．【解答】解：∵＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，∴0＜α﹣β＜，π＜α+β＜，∴sin（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，则sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×（﹣）+×（﹣）=﹣．∴sinα+cosα====．故答案为：．15．（5分）设等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且=1，当n=8时，{a n}的前n项和S n取得最小值，则a1的取值范围是[﹣π，﹣] ．【解答】解：∵{a n}为等差数列，且=1，∴=1，即=sin（a4+a8），由和差化积公式得：×（﹣2）sin（a4+a8）•sin（a4﹣a8）=sin（a4+a8），∵sin（a4+a8）≠0，∴sin（a4﹣a8）=﹣1，即sin（a8﹣a4）=1，∴4d=2kπ+∈（0，4），取k=0，则4d=，解得d=；又n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，∴，即，解得﹣π≤a1≤﹣．故答案为：[﹣π，﹣]．16．（5分）如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则=16．【解答】解：∵=||，∴﹣2t+t2≥﹣2+，∴8t2﹣t+﹣8≥0在（0，+∞）上恒成立，△=（）2﹣32（﹣8）=（﹣16）2≥0，若△=0，=16，则8t2﹣t+﹣8≥0在R上恒成立，符合题意；若△＞0，≠16，则8t2﹣t+﹣8=0的最大解x0=≤0．当＞16时，x0=≤0，解得=8（舍去）．当＜16时，x0=1，不符合题意．综上，=16．故答案为16．三、解答题：17．（10分）化简：tan70°sin80°（tan20°﹣1）．【解答】解：原式==．18．（12分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2）若k与﹣k 的长度相等，求β﹣α的值（k 为非零的常数）．【解答】证明：（1）由题意得：+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）∴（+）•（﹣）=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ） =cos 2α﹣cos 2β+sin 2α﹣sin 2β=1﹣1=0 ∴+ 与﹣互相垂直．解：（2）方法一：k +=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），﹣k =（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ）|k +|=，|﹣k |=由题意，得4cos （β﹣α）=0，因为0＜α＜β＜π，所以β﹣α=．方法二：由|k +|=|﹣k |得：|k +|2=|﹣k |2即（k +）2=（﹣k ）2，k 2||2+2k •+||2=||2﹣2k •+k 2||2 由于||=1，||=1∴k2+2k•+1=1﹣2k•+k2，故•=0，即（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=0（10分）即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β﹣α）=0因为0＜α＜β＜π，所以β﹣α=．19．（12分）已知数列{a n}中的前n项和为S n=，又a n=log2b n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，…（3分）当n=1时，，也适合上式…（5分）∴数列{a n}的通项公式为a n=n．…（6分）（2）由a n=log2b n，得…（9分）则数列{b n}是公比为2的等比数列，则数列{b n}的前n项和为：…（12分）20．（12分）如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C 地，已知AD=600km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37°=）【解答】解：连接AC，CE，在△ACD中由余弦定理，得，∴AC=600，则CD2=AD2+AC2，即△ACD是直角三角形，且∠ACD=60°，又∠BCD=113°，则∠ACB=53°，∵tan37°=，∴cos53°=sin37°=．在△ABC中，由余弦定理，得：，则AB=500，又BC=500，则△ABC是等腰三角形，且∠BAC=53°，由已知有，在△ACE中，由余弦定理，有，又AC2=AE2+CE2，则∠AEC=90°．由飞机出发时的方位角为600，则飞机由E地改飞C地的方位角为：90°+60°=150°．答：收到命令时飞机应该沿方位角150°的航向飞行，E地离C地480km．21．（12分）已知函数f（x）=sin cos+sin2（ω＞0，0＜φ＜）．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点（，1）．（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=．且f（A）=，求角C的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+[1﹣cos（ωx+φ）]=，∵两个相邻对称中心的距离为，则T=π，∴，且ω＞0，解得ω=2，又f（x）过点，∴，则，即cosφ=，由0＜φ＜得，φ=，∴f（x）=；（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴b2﹣a2﹣c2=﹣2accosB，同理可得，c2﹣a2﹣b2=﹣2abcosC，代入得，=，由正弦定理得，，由0＜C＜π得sinC≠0，∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，由0＜A＜π得sinA≠0，化简得cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，由得，则，∵，∴，则或，解得或，所以当时，；当时，．22．（12分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．。

2016-2017年四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）22．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，] 12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n+1n2故选：C．2．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：2sin275°﹣1=﹣（1﹣2sin275°）=﹣cos150°=cos30°=，故选：D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选：C．4．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣【解答】解：由tan45°=tan（17°+28°）=，∴=．故选：B．5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选：C．6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=，故选：B．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选：C．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB=，BC=1，∴由余弦定理得：，解得AC=1或AC=2，当AC=1时，△ABC的面积S===．当AC=2时，△ABC的面积S===．故选：D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，∵，∴cos2α=﹣=﹣．故选：A．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为2．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于18．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列．∴2×6=2+S6﹣8，解得S6=18．故答案为：18．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB=，sinB==，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=，c=3，△ABC的面积S=acsinB=××3×=，故答案为：，．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【解答】解：函数，化解可得：f（x）=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∴函数f（x）的最小正周期T=，由得，故函数f（x）的单调递增区间，（2）∵，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，，在△ABC中，由正弦定理得：，即．，即．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}前n项和为当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n+1．当n=1时，，不满足a n=n+1．∴{a n}的通项公式为．（2）当n≥2时，==．当n=1时，，∴T n=b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n=﹣++++…++=﹣+=﹣．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．∴cosA•cosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B，∴由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列；（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，=2S△BCD，可得：AD=2CD，∵S△BAD∴解得：AD=4，CD=2，∵由（Ⅰ）可得：b2=ac=36，∵=，可得：AB=2BC，即c=2a，∴解得：a=3，c=6，∴cosA==，∴BD==2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵（n+1）a n=2S n，∴，n∈N*当n≥2时，，=（n﹣1）a n，即（n≥2）．∴na n﹣1∴（n≥2），又a1=1，也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．．由，，，可知：数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式：b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．。

成都九校联考2016-2017学年高一下学期数学(理)期中试卷及答案

2 2c
形状为 ( )
A．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．已知△ ABC 中， A 30 , 2 AB , BC 分别是 2 3 11 、 2 3－ 11 的等差中项与
等比中项，则△ ABC 的面积等于 ( )
A． 3 2
B． 3 4
C． 3 或 3 2
D． 3 或 3 24
仰角分别为 45°和 30° , 已知 CD＝200 米 , 点 C 位于 BD上 , 则山高 AB等于 ( )
A
A． 100 2 米
B． 50 3+1 米
C． 100 3+1 米
D． 200 米
D
C
B
6．若 , 为锐角，且满足 cos
4 ， cos(
5
) 5 ，则 sin 的值为 ( ) 13
16
（ 2）已知
[ 来源: 学科网 ZXXK]
ABC中 , 角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c , 若 f A =3, B
,a 4
3 , 求 AB .
20．（本小题满分 12 分）
已知数列 an 前 n 项和 Sn
1 n2+ 3 n 4 22
（ 1）求数列 an 的通项公式；
1
（ 2）若 bn
个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列 1，－ 4， 9，－ 16， 25，…的一个通项公式为 ( )
A． an n2
B． an ( 1) n 1n2
C． an ( 1) n n2
D． an ( 1) n (n 1) 2
2．计算 2sin 2 75 1的值等于 ( )
A． 1 2

(完整版)四川省成都市2016_2017学年高一数学下学期期中试题

四川省成都市 2016-2017 学年高一数学放学期期中试题一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1. sin15 cos15 的值是A ．1B ．3C ．1D ．3 224 42．不等式 3 5x 2x 20 的解集为A.( 3, 1 1(, 3) 1, )D.( ,1(3,))B. (,3) C.( )22223．已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，若 a 4 a 9 10 ，则 S 12 等于A ．30B ． 45C ． 60D ． 1204. 已知 sin() 3 ，则 cos() 的值为52A ． 4B ．4C ．3D ．355555．若 a b0, c d0 则必定有a b B.a b C.aba bA.d c d d c D.ccd 6．在 ABC 中， a 2bcosC ，则这个三角形必定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7．如图，要测出山坡上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得AC60m ，塔顶B 的仰角45，塔底 C 的仰角15，则井架的高 BC为A ． 202m B ． 30 2mC ． 20 3mD ． 30 3m8．已知 x, y(0,),且知足111 ，那么 x 4 y 的最小值为x2 yA. 3 2B.32C.3 22D.4 29. 已知 a是等比数列，且 1 ，则 aa 5, 4a 3 a 7 2n92A ． 2B． 8C ．1D．2810．已知 sin2cos10，则 tan22A. 3B.3 C. 4D. 44 4 3 3a ，b ，c ，且 BC 边上的高为 a ，则cb 最 11．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为2b c 大值为A ．2B ．2 C ．2 2D ．412. 给出以下三个结论：①若数列 a n 的前 n 项和为 S n3n 1(n N * ) ，则其通项公式为 a n 2 3n 1 ；②已知 ab ，一元二次不等式ax 2 2 x b 0 关于一确实数 x 恒建立，又存在x 0 R ，使ax 022x 0 b 0建立，则a 2b 2 的最小值为 2 2 ；a b③若正实数 x ， y 知足 x2 y4 4 xy ，且不等式 (x 2y)a 22a2xy 340 恒建立，则实数a 的取值范围是 (, 3] [ 5,) .2此中正确的个数为A ． 0B ． 1C． 2 D ． 3二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13. 在ABC 中， a,b,c 分别是角 A, B,C 的对边，，且 a 3,c1 ， B，则 b 的值为；314. 数列 a n 中， a 11,a n 12a n ，则其通项公式 a n = ；a n215. 已知 3, 且 sin() 3 ；4 ，则 cos24516．函数 f (x) 是定义在R 上的不恒为零的函数，关于随意实数x, y 满足：f (2) 2, f ( xy) xf ( y) yf (x) , a n f (2 n )2n( n *N ) , b nf (2 n )n(n *N )考察以下结论：①f (1) 1 ；② f ( x) 为奇函数；③数列a n 为等差数列；④数列b n 为等比数列.以上结论正确的选项是．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分）17. （ 10 分）已知不等式 ax2 x c 0 的解集为x |1 x 3．（ 1）求a, c 的值；（ 2）若不等式ax22x 4c 0 的解集为 A ，不等式 3ax cm 0 的解集为 B ，且 A B ，务实数 m 的取值范围.18. （ 10 分）已知A、B、 C为ABC的三内角，且其对边分别为a、 b、 c，若1c o sB c oCs sBi n Cs i n.2（1）求A；（ 2）若a 2 3 ，b c 4 ，求ABC 的面积.19．（ 12 分）已知等差数列 a 的前n项和为S n，且知足S424, S763．n（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）若b n2a n，求数列b n的前n项和T n．20. （ 12 分）已知向量m ( 3 sin x,1),n (cosx,cos2x) ，若 f ( x) m n,4 4 4（ 1）求f ( x)递加区间；（ 2）ABC中，角A, B, C的对边分别是a,b,c , 且(2 a c)cos B b cosC ，求 f ( A) 的取值范围．21. （ 12 分）设数列a n 的前 n 项和为 S n , a 1 1，且对随意正整数 n ，知足 2a n 1 S n 20 ．（ 1）求数列a n的通项公式 ;（ 2）设 b n na n ，求数列 b n 的前 n 项和 T n .22. （ 14 分）已知数列 { a n },{ b n } 知足： a n b n1, b n 1b n，且 a 1,b 1 是函数(1 a n )(1a n )f ( x) 16x 216x 3 的零点 (a 1 b 1 ) ．（ 1）求 a 1 , b 1 ,b 2 ；（ 2）设 c n1 ，求证：数列 { c n } 是等差数列，并求数列 {b n} 的通项公式；b n1（ 3）设 S n a 1a 2 a 2a 3 a 3a 4a n a n 1 ，不等式 4aS nb n 恒建即刻，务实数 a 的取值范围．成都市盐道街中学 2016~2017 学年（下期）半期考试参照答案一、选择题1~5 CBCDD 6~10ABCDA 11~12 CC 二、填空题13． 7 ； 14.2;15.24 ;16. ②③④ n125三、解答题17. 解：（ 1）由题意： 1和 3 是方程 ax 2 x c0 的两根，且 a 0 ，．．．．． 1 分a1a因此， 131．．．．．．．．．．．．． 3 分；解得4；．．．．．．．．．．．．． 5 分1 3aca3c4（ 2）由（ 1）得 a1, c3 ，因此 ax 2 2x 4c 0 即为 1 x 2 2x 3 0 ，44 4解得， 2 x 6 ，∴ Ax | 2 x 6 ，又 3ax cm 0 ，即为 x m 0 解得 x m ，∴ B x | x m ．．．．．．．． 8 分∵ AB ，∴ m 2 ，即 m 2 ，∴ m 的取值范围是 2,．．．．．．．．．．．．．．． 10 分18. 解：（ 1）∵ cos B cosC sin B sin C 1C )1，∴ cos(B，22又∵ 0B C，∴ B C. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分23∵ AB C ，∴ A. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分32bc 2bc cos2（ 2）由余弦定理 a2b 2c 2 2bc cos A ，得 (2 3)2(b c)2 ，即131216 2bc 2bc ( ) ，2∴ bc 4 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分∴S ABC1bc sin A1 4 3 3 . ．．．．．．．．．．．．．．． 10 分222S 44a 14 3 d 24 19. 解：（ 1）由于 a 为等差数列，因此2 ，n7 6 dS 77a 1 632a 1 3a n2n 1 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分解得2 ，d（ 2）b n2a n22n 12 4n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分T n2(41 424n ) 8(4n1) . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分320. 解：（ 1） f (x)m n = 3 sin x cosxcos 2 xx 44 413x cosx12sin( ) ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分sin22222 6由 2x2, 得：42 ，k2 26k2kZ4k3x 4k3 , k Zf ( x) 的递加区间为 [4 k4 ,4 k 2 ], k Z ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分33（ 2） (2a c)cos B b cosC ，由正弦定理得 (2sin Asin C )cos B sin B cosC ，2sin Acos B sin C cosB sin B cosC ， 2sin A cos B sin( B C ) ，AB C, sin( B C )sin A0 ，cosB 1．．．．．．．．．．．．．．8 分2A2A1B，B, 0 A ，)3 3 626 ， sin( ( ,1)，2 2 62又f (x)sin( x)1，f (A) A )126 2 sin(6 ，22故函数 f ( A) 的取范是(1,3) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分221. 解：（ 1）2a n 1 S n 2 0 ,当 n 2 ， 2 a n S n 1 2 0 ，. ．．．1 分两式相减得 2 a n 12a nS n S n10 ， 2a n 1 2a n a n0, a n 11a n ；．3 分2又当 n1 ，1，即1．．．．．．．4 分2a 2S 1 2 0 a 22 a 1 a n 12 a n ( n N )a n 是以首 a 11 ，公比 q1的等比数列，21 n1数列a n 的通公式a n．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分2（ 2）由（ 1）知， b nna n n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分n 12T1 2 3n 1 n ，①n2222n 2 2n 11T n 1 2 3 n 1 n ，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分22 2223 2n 1 2n①- ②得11 1 1 1 nT n2 2 22 n 1n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 分221(1 2n ) n1n111 2n 2(12n)2n2 ( n 2) 2n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 分21因此，数列b n 的前 n 和 T n4 (n 2) . ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分2n 122. 解：由20 解得： x 11 , x23 a 11 , b 1 316x 16x34 4 ， 44⋯⋯⋯ 1分由 a nb n 1,b n 1b n得 b n 1b n1 ⋯⋯⋯⋯2 分(1 a n )(1b n (2 b n )2 b na n )将 b 13 4 3 分代入得 b 2 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4(2) 因 b n1111，因此1 2 b n11⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 b n b n 1 1 b n 1 b n 1即 c n 1 c n1 ，又 c1141b 1 1 3 14数列 { c n } 是以 4 首， 1 公差的等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分c n4 (n 1) ( 1) n 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由 c n1 得 b n 1111 n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分b n1c nn 3 n 3（ 3）由意及（ 2）知： a n1 b n1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分n 3S n a 1a 2 a 2a 3 a 3 a 4a nan 11 114 5 5 6 (n 3)( n4)1 1 ) ( 1 11 1( 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分( 5 5 )()n3 n4 )4 6 6 71 1 n4 n 44(n 4)（法一）由4aS ban n 2(a 1)n 2 (3a6)n 8恒建立nnn 4 n 3(n 3)( n 4)即 (a 1)n 2(3a 6) n 8 0恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分f (n) (a 1)n 2 (3a 6)n 8①当 a 1 ， f (n)3n 8 0 恒建立②当 a 1 ，由二次函数的性f (n)(a 1)n 2 (3a 6)n 8 0 不行能恒建立 ③当 a1 ，由于3a 63(11 ) 02(a 1)2a 1因此 f (n) ( a 1)n 2 (3a6) n 8在 1,上减由 f (1)(a 1)n 2(3a 6) n 8 4a 15 0 得 a154a 1 ， 4aS nb n 恒建立上所述：所求a 的取范是 (,1] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 14 分。

四川省成都嘉祥外国语学校1617学年度高一下学期期中考

四川省成都嘉祥外国语学校2016—2017学年度下学期期中考试高一数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．式子的值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）2．下列命题中正确的是（）（A ）d b c a d c b a ->-⇒>>, （B ）（C ）（D ）3．已知正数满足，则的最大值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）4．在等差数列中，若成等比数列，则该等比数列的公比为（）（A ）（B ）（C ）或（D ）无法确定5．在三角形ABC 中，已知334,22,45===∠b c B ，则角A 的大小是（）（A ）（B ）（C ）（D ）或6．已知，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）7．已知正项等差数列和正项等比数列满足，，则下列关系正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）8．若实数满足b n m a y x =+=+2222,，则的最大值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）9．在中，23cos cos ,23sin sin =-=+B A B A ，则的形状是（）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形l 1l 2l 3AC10．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，函数)1sin 2(cos )(+=x x x f ，则)()()(821αααf f f +++ 的值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）与有关11．若不等式当时恒成立，则实数的最大值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）12．如图是同一平面内的三条平行线，间的距离为1，间的距离为2，正三角形ABC 的三顶点分别在上，则△ABC 的边长是（）（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．在锐角中，，则角 .14．函数)(2cos cos 2)(R x x x x f ∈+=的值域为 .15．已知角构成公差为的等差数列．若，则 . 16. 在数列中，，2*12(2,)1n n n a a n n n -=≥∈-N ，则数列的前项和．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知三内角所对边分别为．（Ⅰ）若成等比数列，求角的最大值；（Ⅱ）若成等差数列，求角的最大值．18．已知数列的首项，前n 项和为，)2(,232,,431≥---n S a S n n n 总是成等差数列．（1）证明数列为等比数列；（2）求满足不等式的正整数的最小值．19．已知102)sin(,21tan -=+=βαα，其中．（1）求的值；（2）求的值．20．在△ABC 中，已知内角所对的边长分别为，且满足．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 为锐角三角形，求的取值范围．21．（本小题12分）的三内角所对边长分别为，为线段上一点，满足，,且与面积之比为1:2．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的面积．22．（本小题12分）已知数列是公比为的等比数列，其中．（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（III ）记数列)2(,22≥-=n nn a c n n ，证明：132)21(1111)21(21--<+++<-n n n c c c ．成都七中嘉祥外国语学校高一下期半期考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）BDCCDADBCABD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13． 14． 15． 16．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解（1）由已知得，由余弦定理212122121)(2122cos 22222=-⨯≥-+=-+=-+=a c c a ac ac c a ac b c a B ，当时，取得最小值，即角取得最大值 …………………5分（2）由已知得，由余弦定理21241)(4142cos 22222=⨯≥+=+=-+=a c c a ac c a ac b c a B ，当时，取得最小值，即角取得最大值 …………………10分18．解：（1）2324321--+-=n n n S S a ，整理得：，，2113464-----=n n n S S a ，，相减得：113644---=-n n n n a a a a ，，即， …………4分又232432122S S a -+-= ，得，即，综上，数列是以为公比的等比数列 …………………6分（2）22121112)1(2)1()4()21(2-------<-⇔-<-⨯=n n n n n n n a ，…………………8分当为奇数时，3422222222>⇔-<-⇔<--n n n n n ，当为偶数时，3422222222<⇔->-⇔>--n n n n n ，此时无解综上得正整数的最小值为 …………………12分19．解:(1)由tan α=,且0<α<π得:0<α<, …………………………(1分)且sin α=,cos α=. ……………………………………(2分)又0<β<π,所以0<α+β<. …………………………………(3分)又由sin(α+β)= <0得:π<α+β<,且cos(α+β)=.…………………………(4分)故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=•=.…………………………(6分)(2)由cos β=<0且0<β<π得, <β<π,且sin β=. (8分)所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=•()+•=.…………(10分)又由0<α<,<β<π,得-π<α-β<0.…………………………(11分)所以α-β=.……………………………………………………(12分)20．解：（Ⅰ）c B B a c B a =+⇒=+)cos (sin )4sin(2π，由正弦定理得)sin(sin )cos (sin sin B A C B B A +==+， ……………3分所以B A B A B A B A sin cos cos sin cos sin sin sin +=+，即A A B A B A cos sin sin cos sin sin =⇒=，解得. …………………6分（Ⅱ）B B B B B C B 2sin 22cos sin 22)43sin(sin sin sin +=-=π， 42)42sin(21422cos 422sin 42+-=+-=πB B B ， ……………9分因为，且，所以，即，所以的取值范围是. …………………12分21．解（1）由得acc bc ac b c a 222222+=-+，由正弦及余弦定理得：，…………………2分)sin(sin cos sin 2B A B B A ++=⇒,整理得，即, …………………4分由得，即为角的平分线，且，所以， …………………6分所以23cos sin 32sin sin 3sin =⇒=⇒=B B B B A ，即． …………………8分（2）由及得： …………………10分所以23,23,3====AC CD BD AD ， 8392323321=⨯⨯=∴∆ABC S ． …………………12分 22．解（1）由已知得n n n n a a a a 22)2(21121=⋅-=--+， …………………2分两端同除得：，所以数列是以首项为，公差为的等差数列， …………………3分（2）由（1）知，所以，11022221-⋅++⋅+⋅=n n n S ，则n n 2222121⋅++⋅+⋅ ，相减得：n n n n S 22221110⋅-+++⋅=-- ，所以，即． …………………6分（3）n n n n c c c )21(21211])21(1[4121212111113232-=--=+++>+++∴- 又1)21(222211-=<-=n n n n c ，，当时， 1112132)21(1211])21(1[21212121111----=--=+++>+++∴n n n n c c c 所以原不等式得证 …………………12分。

四川省成都外国语学校学年高一数学下学期期中试题

四川省成都外国语学校2011-2012学年高一数学下学期期中试题（全卷150分；120分钟完成）第Ⅰ卷一、选择题：(每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分) 1．sin15cos15+的值是（）A ．21B ．23C ．26D ．232．不等式24x >的解集为（）A ．}2|{±>x xB ．}22|{<<-x xC ．}2|{>x xD ．2|{-<x x 或}2>x3．由3,11==d a 确定的等差数列}{n a ，当298=n a 时序号=n （）A ．99B ．100C ．96D ．1014．二次不等式02<++c bx ax 的解集是实数集R 的条件是()A ．⎩⎨⎧>∆>00aB ．⎩⎨⎧<∆>00aC ．⎩⎨⎧>∆<00aD ．⎩⎨⎧<∆<00a5．已知角θ是三角形的一个内角，且61cos sin -=θθ，则θθ-θ2sin sin cos 的值为（）A ．3B ．32C ．32-D ．33-6．数列}{n a 满足：⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3(6n a n n a a n n ，且}{n a 为递增数列，则实数a 的取值范围是() A ．)3,2(B ．)3,1(C ． )3,49[D ．)3,49(7．若ABC ∆的三内角满足：0sin sin sin 222=--C B A 且C B A sin sin 2sin =，则ABC ∆是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．如果sin()()sin()nm n mαβαβ-=≠+，则tan tan αβ= ( )A ．m nm n+- B ．n mm n-+ C ．m nm n-+ D ．m nn m+- 9．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设)log (log 2175.055.0a a P +=， 2log 935.0a a Q +=,则P 与Q 的大小关系是( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P ≤D ．Q P ≥10．已知ABC ∆的三边c b a ,,成等比数列，c b a ,,所对的角依次为C B A ,,，则B B cos sin +的取值范围是()A ．]231,1(+B ．]231,21[+C ．]2,1(D ．]2,21[11．已知b a ,是大于零的常数，且b n m a y x =+=+2222,，则ny mx +的最大值是()A ．2b a +B ．abC ．ba ab +2D ．222b a +12．数列}{n a 满足：nn n a a a a -+==+313,111，其前n 项和为n S ，则2012S =()A ．1B ．32+C ．33+D ．32--第Ⅱ巻二、填空题：(每小题4分，共16分，请把结果填在答卷上，否则不给分)13．ABC ∆中，三边c b a ,,所对角依次为C B A ,,，则=--CcB b A a sin 2sin 3sin 5_____________ 14．=+00250sin 31290cos 1___________ 15．在正项等比数列}{n a 中，51234=--+a a a a ，则65a a +的最小值是________16．对于下列命题：①在ABC ∆中，若1tan tan >B A ，则ABC ∆一定是锐角三角形；②在ABC ∆中，B A B A sin sin >⇔>；③若数列}{},{n n b a 是等比数列，则数列}{n n b a +也是等比数列；④若0,0>>x a ，则a x xx a x x f +++=2)(的最小值是aa 212+。

成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期中考试试卷数学(理)含答案

成都外国语学校2016—2017学年度高二下期期中考试数学试题(理科)命题人：邓利审题人：全鑫注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。

2。

本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。

4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷(60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．不等式12x -<的解集是（ )A.(-,-1）B. （—,1） C 。

（—1，3） D 。

(,1)(3,)-∞-⋃+∞2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（） A ．假设,,a b c 不都是偶数 B ．假设,,a b c 至多有两个是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 都不是偶数3．过椭圆2214x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆右焦ABF ∆A 。

8 B ．C ．4 D.A 。

1 BCD.都不正确5。

已知向量()1,1,0a =，(1,2,2)b =-，且ka 与a b +互相垂直,则k 的值为（）A ．2B ．0C ．—1D ．1 6. 若120()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（）A.1- B ．13-C ．13D 。

17．已知正数,a b 满足4a b +=,则曲线()ln xf x x b =+在点()(),a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为（ ) A.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 。

5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()cos xf x xe =（e 为自然对数的底数)，当[],x ππ∈-时，()y f x =的图象大致是( ）A. B.C. D.9.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（） A ．251-B ．252-C 171-D 17210。

四川省成都外国语学院20172018学年高一数学下学期期中试题理

四川成都外国语学院2017-2018学年高一数学下学期期中试题理满分：150分，时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 2. 若等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a -=⨯+,则a 等于 ( )A.3B.2C.23-D. 13- 3. 计算o o o ocos 20cos80+sin160cos10= ( )（A ）12 （B ）32 （C ）12- （D ）32-4.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定 5. 在等比数列}{n a 中，若1a 和4033a 是函数5()+,(0)f x x k k x=+<的两个零点，则201620172018a a a 的值为（）A ．55±B ．55C ． 55-D ．25 6.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|<-lg2x x D ． {}|>-lg2x x7.已知某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为（）A 、7或63B 、9C 、63D 、78. 已知正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1,2,3,)i a x i k -<=都成立的x 取值范围为( )A. 11(0,)a B. 12(0,)a C. 1(0,)k a D. 2(0,)ka 9. 在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （）（A 310（B 10（C ）10（D ）31010. 已知ABC ∆的一个内角为23π，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为（）A. 15B. 153C. 14D. 14311. 数列{}n a 满足11,a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则30S = ( )A. 294B. 174C. 470D. 30412. 已知数列}{n a 中的前n 项和为n S ，对任意*∈N n ，6221)1(-++-=n a S n n n n ，且0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则实数p 的取值范围是（）A ．)423,47(- B ．)423,(-∞ C ．)6,47(- D ．)423,2(-第Ⅱ卷二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．5．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或6．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x817．在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（）A．（1，3）B．C．D．10．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．403211．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．412．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．sin15°+sin75°的值是．15．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n+3．求a n．+116．已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．三、解答题（本题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．18．（12分）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．=2，求DC的长；（I）若AD=2，S△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．21．（12分）设数列满足a1=2，a n﹣a n=3•22n﹣1+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n﹣，+1n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】8F：等差数列的性质．【分析】直接由等差中项的概念结合三角形的内角和定理得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，∴A+C=2B，又A+C+B=180°，∴3B=180°，则B=60°．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了三角形内角和定理，是基础题．2．已知直线的斜率为，则它的倾斜角为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．150°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设它的倾斜角为θ∈[0°，180°），可得tanθ=﹣，解得θ．【解答】解：设它的倾斜角为θ∈[0°，180°），∴tanθ=﹣，解得θ=120°．故选：B．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】71：不等关系与不等式．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．4．数列的一个通项公式是（）A． B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据裂项和规律即可得到数列的通项公式【解答】解：数列的一个通项公式是，，，，…，即为（1﹣），（﹣），（﹣），（﹣），…，∴a n=﹣，故选：C【点评】本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．6．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．【解答】解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等”．7．在△ABC中，已知b=，则此三角形有几个解（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】HP：正弦定理．【分析】运用正弦定理，求得sinC，再由三角形的边角关系，即可得到三角形的个数．【解答】解：b=，由正弦定理=，可得sinC===，由b ＞c ，可得B ＞C ，则C 为锐角，且C=30°，A=105°，则此三角形有一个解．故选：B ．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形的边角关系，以及运算能力，属于基础题．8．在△ABC 中，若sinBsinC=cos 2，则△ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【考点】GZ ：三角形的形状判断．【分析】利用cos 2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB ，亦即cos （C﹣B ）=1，∵C ，B ∈（0，π），∴C=B ，故选A ．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．9．锐角△ABC 中，b=1，c=2，则a 取值范围为（）A ．（1，3）B ．C ．D ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】根据余弦定理和锐角的余弦函数大于0可求得a 的范围，进而利用两边之差小于第三边，求得a 的另一个范围，最后取交集．【解答】解：∵锐角△ABC 中，b=1，c=2，若a 是最大边，则0＜cosA ＜1．∴=＞0，∴a＜．若c是最大边，必有cosC＞0，∴=＞0，∴a＞，综上，则a取值范围为（，）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．10．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．4032【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，可得：a2016，＞0，a2017＜0，公差d＜0．再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，∴a2016＞0，a2017＜0，公差d＜0．∴S4032==2016（a2016+a2017）＞0，S4033==4033a2017＜0．使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4032．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8 B．6 C．3 D．4【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简，再利用辅助角公式，即可求得结论．【解答】解：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a=bcsinA，即a2=2bcsinA②，将②代入①得：b2+c2=2bc（cosA+sinA），∴=2（cosA+sinA）=4sin（A+），当A=时取得最大值4，故选D．【点评】本题考查余弦定理及其应用，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．B．C． D．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】由题意建立等式即：a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p）2+••+x（1+p）m﹣1，进行求解即可．【解答】解：设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）m=x+x（1+p）+x（1+p）2+••+x（1+p）m﹣1，∴a（1+p）m=x•∴x=．故选D．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及等比数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．sin15°+sin75°的值是．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．15．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3．求a n．【考点】8H：数列递推式．【分析】把数列递推式两边加3得到新数列{a n+3}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则a n可求．【解答】解：由a n+1=2a n+3，得a n+1+3=2（a n+3），∵a1+3=1+3=4≠0，∴=2，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1=2n+1，则a n=2n+1﹣3．【点评】本题考查了数列递推式，对于a n+1=pa n+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解，是中档题．16．已知正项等比数列{a n}满足a2017=2a2016+3a2015，若存在不同的两项a p，a m使得，则的最小值是．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．由a2017=2a2016+3a2015，可得=a2015（2q+3），解得q=3．存在不同的两项a p，a m使得，代入=a1，解得p+m=5．可得（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．代入验证即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2017=2a2016+3a2015，∴=a2015（2q+3），可得q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．∵存在不同的两项a p，a m使得，∴=a1，解得p+m=5．∴（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．则的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6个小题，共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2017春•金牛区校级期中）（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）根据直线的平行关系设出方程，代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可；（2）根据直线的垂直关系设出直线方程，代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可．【解答】解：（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．∵l过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．（2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．∵直线l过点（2，1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．∴所求直线方程为x﹣2y=0．【点评】本题考查了直线的位置关系，考查代入求值问题，是一道基础题．18．（12分）（2017春•金牛区校级期中）（1）已知x＜﹣2，求函数的最大值．（2）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）由x＜﹣2，可得x+2＜0，﹣（x+2）＞0．变形为y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4，利用基本不等式的性质即可得出．（2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，可得（x+y）2=xy+1≤（）2+1．即可得出．【解答】解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0，﹣（x+2）＞0．∴y=2（x+2）+﹣4=﹣[﹣2（x+2）+]﹣4≤﹣2﹣4=﹣2﹣4．当且仅当﹣2（x+2）=（x＜﹣2），即x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4．（2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1，∴（x+y）2=xy+1≤（）2+1．∴（x+y）2≤．∴x+y≤．当且仅当x=y=时等号成立．【点评】本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017春•金牛区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知得，，即．（2）由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）．即ac=1．即可求出△ABC的面积【解答】解：（1）由已知得，即有因为sinA≠0，所以，又cosB≠0，所以，又0＜B＜π，所以．（2）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）．因为，有ac=1．于是有．【点评】本题考查了三角恒等变形、余弦定理，属于中档题．20．（12分）（2015•浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D 为BC边上一点．=2，求DC的长；（I）若AD=2，S△DAC（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（Ⅱ）由B=，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为，进而得到∠DAC+∠C=，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC 的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，AC=4，AD=2，∴，∴，（2分）∵B=，∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得：，（4分）∴，∴；（6分）（Ⅱ）∵AB=AD ，，∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC=﹣C ，∠ADC=，在△ADC 中，根据正弦定理，可得：，（7分）∴AD=8sinC ，，（8分）∴△ADC 的周长为=8（sinC +cosC ﹣sinC ）+4=8（sinC +cosC ）+4（9分）=8sin （C +）+4，（10分）∵∠ADC=，∴0＜C ＜，∴＜C +＜，（11分）∴，sin （C +）的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为．（13分）【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a 1=2，a n +1﹣a n =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意得a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n +1）﹣1．由此可知数列{a n }的通项公式为a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由b n =na n =n•22n ﹣1知S n =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．22．（12分）（2017春•金牛区校级期中）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，2S n=na n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）①，当n≥2时，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1）可得数列从第二项起是公差为1的等差数列．即可求解（Ⅱ）由可得＜=【解答】（Ⅰ）解：①当n≥2时，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1）∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1）∴∴数列从第二项起是公差为1的等差数列．∴当n=1时，，又a1=1，∴a2=4，∴，∴，当n=1时，上式显然成立．∴；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，①当n=1时，，∴原不等式成立．②当n=2时，，∴原不等式亦成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），∴∴＜==∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列递推式，数列求和，数列中的放缩法，考查了计算能力，属于中档题．。