2016年山东省潍坊市诸城市树一中学九年级上学期数学期中试卷与解析

2015-2016学年山东省潍坊市诸城市树一中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）
A．B．C．D．1
2．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
3．（3分）用配方法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（）
A．（x+3）2=B．（x+）2=C．（3x+1）2=1 D．（x+）2=
4．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则这个三角形外接圆的半径为（）
A．2.5 B．6 C．6.5 D．8.5
5．（3分）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）
A．2x2﹣4x+3=0 B．2x2﹣2x﹣3=0 C．2x2+4x+3=0 D．2x2﹣4x﹣3=0
6．（3分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）
A．30°B．45°C．55°D．60°
7．（3分）对于方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，下面给出的说法不正确的是（）A．与方程x2+4=4x的解相同
B．两边都除以x﹣2，得x﹣1=1，可以解得x=2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x1=x2=2．
8．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）
A．2cm B．cm C．cm D．1cm
9．（3分）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，则（）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF2=AE•BF D．EF=AE+BF
10．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
11．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB交CD于点E，CE=AB=8，∠AOD=2∠BCD，则⊙O的直径为（）
A．5 B．8 C．10 D．8
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为．
14．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则c的值为．
15．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为．
16．（3分）扇形的弧长为12π，圆心角是120°，则扇形的半径长为．17．（3分）如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．
18．（3分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（≈1.4）
三、解答题（共6小题，满分66分）
19．（12分）解方程
（1）x2+8x﹣20=0
（2）3x2﹣6x+1=0
（3）4x2﹣4x﹣3=0．
20．（11分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根；
（3）设x1，x2是方程的两个实根，若2x1+x1x2+2x2=8，求k的值．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=2∠B．
（1）求sinB+tanA﹣6tanB+sinA的值；
（2）如果AB=8，求△ABC的周长．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CE是⊙O的切线，且AE⊥CE，垂足为E，BC的延长线交AE的延长线于点D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若CE=2DE，AD=10，AC=4，求DE的长．
23．（12分）如图，在小岛M处测得一艘渔船位于南偏东45°方向A处，该渔船从南向正北方向行驶一段距离后，到达位于小岛北偏东60°方向的B处，又航行了半小时到达C处，此时渔船在小岛的东北方向，渔船的速度为20海里/小时．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离；（结果保留根号）
（2）求渔船从A航行到B所用的时间（结果精确到0.1小时）．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BDE的外接圆．求证：
（1）AC是⊙O的切线；
（2）CG=DF．
2015-2016学年山东省潍坊市诸城市树一中学九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA===；
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴sinB=
故选：C．
2．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，
∴直线和圆相交．故选A．
3．（3分）用配方法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（）
A．（x+3）2=B．（x+）2=C．（3x+1）2=1 D．（x+）2=
【解答】解：方程2x2+3x﹣1=0，变形得：x2+x=，
配方得：x2+x+=，即（x+）2=，
故选：D．
4．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则这个三角形外接圆的半径为（）
A．2.5 B．6 C．6.5 D．8.5
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=Rt∠，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半=×13=6.5．
故选：C．
5．（3分）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）
A．2x2﹣4x+3=0 B．2x2﹣2x﹣3=0 C．2x2+4x+3=0 D．2x2﹣4x﹣3=0
【解答】解：A、2x2﹣4x+3=0，判别式小于零，故错误；
B、2x2﹣2x﹣3=0，两根之和=1，故B错误；
C、2x2+4x+3=0，△=16﹣4×2×3=16﹣24=﹣8＜0，则方程无解，故错误；
D、2x2﹣4x﹣3=0，两根之和=2，故D正确；
故选：D．
6．（3分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【解答】解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角
定理，得∠APB=45°．
故选：B．
7．（3分）对于方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，下面给出的说法不正确的是（）A．与方程x2+4=4x的解相同
B．两边都除以x﹣2，得x﹣1=1，可以解得x=2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x1=x2=2．
【解答】解：方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，
移项得：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2）=0，
解得：x1=x2=2；
A、与方程x2+4=4x的解相同，正确；
B、当x﹣2≠0时，两边除以x﹣2，得x﹣1=1，即x=2；
当x﹣2=0时，方程成立，错误；
C、方程有两个相等的实数根，正确；
D、移项分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x1=x2=2，正确；
故选：B．
8．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）
A．2cm B．cm C．cm D．1cm
【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠ABD=×120°=60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，
∴a=2cm．
故选：A．
9．（3分）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，则（）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF2=AE•BF D．EF=AE+BF
【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF．
故选：D．
10．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3=15
故选：C．
11．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB交CD于点E，CE=AB=8，∠AOD=2∠BCD，则⊙O的直径为（）
A．5 B．8 C．10 D．8
【解答】解：∵∠AOD=2∠BCD，
∴=，
∴CD⊥AB，
∵CE=AB=8，
∴AE=4．
设OA=r，则OE=8﹣r，
在Rt△AOE中，OE2+AE2=OA2，即（8﹣r）2+42=r2，解得r=5．
∴⊙O的直径=2r=10．
故选：C．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE，
∴CD=2CE，
∵MN∥AB，
∴CD⊥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，
∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，
∴S
=CM•CN=×6×2=6，
△CMN
=4S△CMN=4×6=24，
∴S
△CAB
=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．
∴S
四边形MABN
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为5．
【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，
此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，
连接OA，AM=AB=4，
由勾股定理知，OA2=OM2+AM2．
即OA2=42+32，
解得OA=5．
所以⊙O的半径为5；
故答案为5．
14．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则c的值为0．
【解答】解：设方程x2﹣3x+c=0的一个根为a，
则方程x2+3x﹣c=0的一个根是﹣a；
把两根分别代入得：
a2﹣3a+c=0，
a2﹣3a﹣c=0；
两方程相减得c=0；
故答案为：0．
15．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为
1：2，则斜坡AB的长为6m．
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，AC=12m，
∴BC=6m，
则AB===（m）．
故答案为：6m．
16．（3分）扇形的弧长为12π，圆心角是120°，则扇形的半径长为18．
【解答】解：弧长=，解得r=18．
17．（3分）如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角
为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是平方米．
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=1m，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=．
∴S
阴影部分=S
⊙O
﹣S
扇形ABC
=π×（）2﹣=（平方米）．
故答案为平方米．
18．（3分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）
【解答】解：如图，CE=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，
BC=（5﹣CE×）×≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，
（56﹣3.1﹣1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
三、解答题（共6小题，满分66分）
19．（12分）解方程
（1）x2+8x﹣20=0
（2）3x2﹣6x+1=0
（3）4x2﹣4x﹣3=0．
【解答】解：（1）（x+10）（x﹣2）=0，
x+10=0或x﹣2=0，
所以x1=﹣10，x2=2；
（2）△=（﹣6）2﹣4×3×1=24，
x==
所以x1=，x2=；
（3）（2x+1）（2x﹣3）=0，
2x+1=0或2x﹣3=0，
所以x1=﹣，x2=．
20．（11分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根；
（3）设x1，x2是方程的两个实根，若2x1+x1x2+2x2=8，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得k＞﹣；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；
取k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，
解得，x1=1，x2=2；
（3）∵x1，x2是方程的两个实根，
∴x1+x2=3，x1x2=﹣k，
∵2x1+x1x2+2x2=8，
∴2（x1+x2）+x1x2=8，即2×3﹣k=8，
解得k=﹣2．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=2∠B．
（1）求sinB+tanA﹣6tanB+sinA的值；
（2）如果AB=8，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=2∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴sinB+tanA﹣6tanB+sinA=﹣6×+×=2﹣；
（2）∵AB=8，
∴AC=AB•sinB=8×sin30°=4，BC=AB•cosB=8×cos30°=4，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=8+4+4=12+4．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CE是⊙O的切线，且AE⊥CE，垂足为E，BC的延长线交AE的延长线于点D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若CE=2DE，AD=10，AC=4，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC；
（2）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2，
∵AD=AE+DE=10，
∴AE=10﹣DE，
∵CE=2DE，AC=4，
∴（4）2=（2DE）2+（10﹣DE）2，
∴DE=2．
23．（12分）如图，在小岛M处测得一艘渔船位于南偏东45°方向A处，该渔船从南向正北方向行驶一段距离后，到达位于小岛北偏东60°方向的B处，又航行了半小时到达C处，此时渔船在小岛的东北方向，渔船的速度为20海里/小时．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离；（结果保留根号）（2）求渔船从A航行到B所用的时间（结果精确到0.1小时）．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：（1）如图，由题意得：∠A=∠DMA=∠C=∠CMD=45°，∠MBD=60°，∴CD=DM=AD，MD⊥AC，
在Rt△BMD中，tan∠MBD==，
∴BD=DM，
∵BC=20×=10，
∴CD﹣BD=DM﹣DM=10，
∴DM=5（3+），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是5（3+）（海里）；
（2）∵AD=DM=5（3+），BD=5（+1）
∴AB=AD+BD=10+20，
∴渔船从A航行到B所用的时间为：≈1.9（小时）．
答：渔船从A航行到B所用的时间约为1.9小时．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BDE的外接圆．求证：
（1）AC是⊙O的切线；
（2）CG=DF．
【解答】证明：（1）如图，连接OE．
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴BD是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连结EG．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EF⊥AB于F，∴EC=EF．
∵∠CBE=∠DBE，
∴DE=EG，
在RT△CGE与△RT△FDE中，
，
∴△CGE≌△FDE（HL），
∴CG=DF．
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【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。