正整数n的k次幂部分数列的几个渐近公式
关于正整数的k次方部分数列均值研究
分， 并给出 了关于这两个 数列 的有趣的均值渐近公式。
关键词 ｋ 方部分数列 次 均 值 渐近 公 式
中图法分类号
Ｏ ５． １６４；
文献标志码
Ａ
法研 究 了这两 个 数列 的性 质 ， 给 出 了两 个有 趣 的 并
１ 引言及结论
１９ ９３年罗 马尼 亚 数 论 专 家 Ｆ Ｓ ａａｄｃ ． ｍ ｒｎａｈ教授
列 （ ） ｎ 的求 和公式
） （
１（ 一 ） ０ｈ一１ ＋ 鱼
＋
一 ＋ 一ｈ ＋
＋
ｍｎ｛ ｌ ， ｉ ≥ｎ ｍ∈Ｎ ）其中 ｋ Ｎ 称 ａ （ ） ｍ ， ∈ ， ｎ 表
示不 超过 ｎ的最大 ｋ次方 部 分 ， 亦称 为下 部 ｋ次 幂 部分数 列 ， ｂ （ ） 称 ｎ 表示 不 小 于 ｎ的 最小 ｋ次 方 部 分 ， 称 为 上 部 ｋ次 幂 部 分 数 列 。例 ： ｋ＝２时 亦 当
提 出了正整数 ｎ的 ｋ次幂部 分数列 。 定义 设对 整 数 ｎ ， ｎ的 ｋ次 幂 部分 数 列 定 义 为 ： （ ） ＝ｍ ｘ ｛ ｍ ≤凡 ／ ∈ ａ ｎ ａ ｍ Ｊ ，／ Ｎ ） ｂ ｎ ／ － ， ， （ ）＝
渐进 公式 ， 即就是证 明 了下 面的 ： 定理 １ 对任 一 正整 实 数 ｎ 当 ｋ＝ ， ５五 次方 数
一
（ 垒二！ ＋ （ 箜 垒二
。
４ ２
３
， １ 。
４ ｂ ５ ９ ６ ６ ９， 。对于 任何 正整 ｎ 当 ｈ ≤ ， （ ）＝ ，（ ）＝ … ， ｎ＜（ ＾＋１ 时 ， ＾ ｎ ） ａ （ ）＝ｈ ， ｈ 当 ＜ｎ≤ （ ｈ＋１ ， ）
ｂ（ ）＝（ ｎ ｈ＋１ ｋ ２， ， … 。 ） ， ＝ ３４，
递推公式
几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法．1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1）1()n n x x f n +=+这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和).当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2n S an bn =+，其常数项一定为０．（2）1()n n x g n x +=这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积).当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式211()n n n n x x q x x +++-=-. ［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式． ［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列．∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12n n x +=，即21n n x =-．解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列．∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ②②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，公比为２的等比数列，即11222n n n n x x -+-==，再用累加法得21n n x =-．解法三．用迭代法．21231221212(21)12212222121n n n n n n n n x x x x x ------=+=++=++=++++=-．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数1()22(1)2f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()yg x x x g x ===， 321(),,(),,n n x g x x g x -==求数列n x ｛｝的通项公式. [解析]由已知得1()1(01)2g x x x =-+≤≤，则1111,1(2)2n n x x x n -==-+≥． 令11()2n n x p x p -+=-+=,则11322n n x x p -=--.比较系数，得23p =-. 即有1212()(2)323n n x x n --=--≥．∴数列｛23n x -｝是以12133x -=为首项，12-为公比的等比数列，∴1211()332n n x --=-，故1112()323n n x -=-+． ［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）1(,n n n cx x c d x d+=+为非零常数）； 若取倒数,得1111n n d x c x c +=+，令1n n y x =，从而转化为（1）型而求之. （5）1(,1,1)n n+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数；这类数列可变换成111n n n n x x q d d d d ++=+，令n n nx y d =，则转化为(1)型一阶线性递推公式. ［例３］设数列11132(*)n n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵132n n n x x +=+，两边同除以12n +，得11312222n n n n x x ++=+．令322n n n x y =，则有13122n n y y +=+．于是，得131(1)2n n y y ++=+，∴数列1n y +｛｝是以首项为37144+=，公比为32的等比数列，故1731()42n n y -+=，即173()142n n y -=-，从而2117323n n n x -+=-． ［例４］设10132(*)n n n x x x n N --=-∈为常数，且，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］设1132(3)n n n n x p x p --+=-+，用1132n n n x x --=-代入，可解出15p =-． ∴35nn x -｛｝是以公比为-2，首项为00332122555x x x -=--=-１的等比数列． ∴1032(2)(2)55n n n x x --=--， 即1023(2)(2)55n n n x x -=--+03(1)2(1)2(*)5n n nn n x n N --=+-∈ ．（6）1(00,0,1)p n+n n x =cx x ,c p p >>>≠这类数列可取对数得1lg lg lg n n x x c +=+，从而转化为等差数列型递推数列.2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 ［例５］设数列12215521(*)333n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］由2152(*)33n n n x x x n N ++=-∈，可得 2111222()(*)333n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－ 设11212521333n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且， 故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3n n x x n --=≥n-1（）．用累加法得 12111221222()()()()()333n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++， 或 11221112()()()222()()1333n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++21()233[1()]2313nn -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令11n n n y x a x +=-，使数列n y ｛｝是以2a 为公比的等比数列(1,a a ２待定)． 即211211()n n n n x a x a x a x +++-=-，∴212112()n n n x a a x a a x ++=+-．对照已给递推式， 有121211a a a a +==-，，即21210a a x x --=、是方程的两个实根． 从而1212151515152222a a a a -++====－，；或，． ∴211151515(222n n n n x x x x +++-+--=-) ① 或211151515(222n n n n x x x x ++++-+-=-) ② 由式①得11515()22n n n x x +-+-=；由式②得11515()22n n n x x ++--=．消去11515()()22n n n n x x ++=-１－，得［］５． ［例７］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x ． ［解析］由21n n n x x x ++=- ①，得321n n n x x x +++=- ②．式②+式①，得3n n x x +=-，从而有63n n n x x x ++=-=．∴数列n x ｛｝是以６为其周期．故100x =4x =-1． 3 特殊的n 阶递推数列［例８］已知数列n x ｛｝满足11231123(1)(2)n n x x x x x n x n -==++++-≥，，求n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵123123(1)(2)n n x x x x n x n -=++++-≥ ①∴1123223(2)(3)n n x x x x n x n --=++++-≥ ②②－①，得1(3)n n x nx n -=≥．∴1(3)n n x n n x -=≥，故有1312213n n n n x x x n n x x x ---==-=.，， 将这几个式子累乘，得22(1)(2)3(1)(2)3n n x n n n x n n n x x =--==--.，或 又1211(1),11,!(2)2n n x x x x n n =⎧⎪====⎨≥⎪⎩ ，故 ． ［例9］数列｛n x ｝满足21121,2n n x x x x n x =+++=，求数列｛n x ｝的同项公式． ［解析］由212n n x x x n x +++= ①，得21211(1)(2)n n x x x n x n --+++=-≥ ②．式①－式②，得221(1)n n n x n x n x -=--，或2221(1)(1)n n n n n x n x x n x --=-=-，故有11(2)1n n x n n x n --=≥+ . ∴12312341234,,,,112n n n n n n n n x x x x n n n n x n x n x n x n -----------====+--,322121,43x x x x ==. 将上面几个式子累乘，得121(1)n x x n n=+，即1211(2)(1)(1)n x x n n n n n ==≥++． ∵112x =也满足上式，∴1211(*)(1)(1)n x x n N n n n n==∈++． 以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法．这些知识是拓展性的，超出了课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握．。
数列的概念
数列的概念1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。
(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。
(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。
(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。
如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。
2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。
在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。
(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。
高中数学 选修3(人教B版)课件5.1.1 数列的概念
3．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(或商)法； (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数 的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由 于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的 单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错 实数 k 的取值范围． 在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
状元随笔 数列所对应的图像是连续的吗？ [提示] 不连续．
[基础自测]
1．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2＋2 n，那么110是它的
()
A．第 4 项
B．第 5 项
C．第 6 项
D．第 7 项
解析：设110是数列中的第 n 项，则110＝n2＋2 n，解得 n＝4 或 n＝－5.∵－5∉N＋，∴n＝－5 应舍去，故 n＝4.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并 且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分
与序号 n 的关系为n＋n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n ＋n＋n 1＝nn2＋＋21n(n∈N＋)．
跟踪训练 3 已知数列的通项公式为 an＝n2＋2n－5. (1)写出数列的前三项； (2)判断数列{an}的单调性．
解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10. (2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
数列的递推公式
数列的递推公式
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2
由递推公式写出数列的方法：
1、根据递推公式写出数列的前几项，依次代入计算即可；
2、若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。
扩展资料
常见的递推公式，如等差数列。
等差数列从第二项开始每一项是前项和后项的算术平均数。
如果等差数列的公差是正数，则该等差数列是递增数列；如果等差数列的公差是负数，则该数列是递减数列；如果等差数列的公差等于零，则该数列是常数列。
对于一个数列al，a2，…，an，…，如果它的相邻两项之差a2-a1，a3-a2，…，an+1-an，…构成公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列。
运用递归的方法可以依次定义各阶等差数列：对于数列{an}，如果{an+1-an}是r 阶等差数列，则称数列{an}是r+1阶等差数列.二阶或二阶以上的等差数列称为高阶等差数列。
高二数学复习考点知识讲解与提升练习1 数列的概念
高二数学复习考点知识讲解与提升练习第01讲 数列的概念一、数列及相关概念1、定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第n 项，… 注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。
2、数列的一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 其中n a 是数列的第n 项，n 是n a 的序数，上面的数列可简单记作{}n a 。
3、函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。
函数与数列的联系与区别： 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即1n n a a ->)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{}n a 递增⇔1n n a a +>对任意的()n n N *∈都成立．类似地，有{}n a 递减⇔1n n a a +<对任意的()n n N *∈都成立.二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.三、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；1. 有穷数列:项数有限.2. 无穷数列：项数无限.3. 递增数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +>.4. 递减数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +<.5. 摆动数列:例如:-1,1,-1,1,-1,1, …….6. 常数数列:例如:6,6,6,6,…….四、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是n a2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .一、求数列通项公式【例1】 ,52,21,32,1的一个通项公式是。
高中数学数列知识点总结(优秀3篇)
高中数学数列知识点总结（优秀3篇）科学是一种以实证为基础，追求真理和解决问题的方法论，它致力于揭示客观规律和产生创新。
哲学是一种以思辨为基础，追求人类意义和价值的方法论，它致力于探究人类的本质和存在。
为您精心收集了3篇《高中数学数列知识点总结》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。
高中数学数列知识点总结篇一数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。
图像法；c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
高考数学复习第六章数列6
课前自助餐
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数列的概念 按一定次序排成的一列数叫做数列．
数列的通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来 表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．
若已知Sn，则an＝Sn－S1Sn－1
（n＝1）， （n≥2）.
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数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一 列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是 一群孤立的点．
的通项公式为an＝(－1)n·（n＋2n1＋）12－1＝(－1)nn22n＋＋21n.
【答案】 (1)an＝2n＋1 (2)an＝(－1)nn22n＋＋21n
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题型二 Sn与an的关系
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. ∴an＝4n－5. (2)当n≥2时， Sn－Sn－1＝an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1.
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【解析】 ∵an＋1－an＝(n＋2)(1110)n＋1－(n＋1)(1110)n＝ (1110)n·9－11n，
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·(1110)9，其项数为9或10. 【答案】 9或10
关于正整数的k次方根数列均值
第31卷第4期吉首大学学报(自然科学版)Vol.31No .42010年7月Journ al of Ji shou Universit y (Nat ural Science Edit ion)July.2010文章编号:1007-2985(2010)04-0008-02关于正整数的k次方根数列均值黄炜(宝鸡职业技术学院基础部,陕西宝鸡721013)摘要:设n 是正整数,b k (n)表示n 的k 次方根取整,即正整数的k 次方根部分数列.研究了数列{b k (n)}的均值性质,利用初等方法,给出了包含这个数列{b k (n)}和广义Mandoldt 函数的2个有趣的渐近公式.关键词:k 次方根数列;广义Mangoldt 函数;均值;渐近公式中图分类号:O156.4文献标志码:A正整数n 的k 次方根函数b k (n):设b k (n)表示n 的k 次方根取整,k 为不小于2的正整数,即正整数的k 次方根部分数列.例如:b 2(1)=1,b 2(2)=1,b 2(3)=1,b 2(4)=2,b 2(5)=2,b 2(6)=2,b 2(7)=2,b 2(8)=3,.著名美籍罗马尼亚数论专家F.Samrandache 所做出的许多贡献,其中最重要的一项就是他源源不断提出来的一系列出色的问题和猜想,1993年在文献[1]中提出了105个数论中尚未解决的问题和猜想,引起许多学者的极大研究兴趣,其中第80个问题中包含平方根及k 次方根序列.F.Samr andache 教授[1]要求研究这个数列的性质,已有许多学者对这个数列进行了研究:文献[2]研究了立方根序列均值性质;文献[3-6]研究了整数n 的k 次根序列的均值公式;文献[4]给出了广义Mangoldt 函数的定义,即r(n)=(*L )(n)=!d k=n(d)ln k (n),其中(d)是m bius 函数,*表示Ditich1et 乘积,L(n)=ln n,r1,当r =1时它即为一般的Mangoldt 函数.笔者利用初等方法研究了这个数列与Mangoldt 函数、广义M angoldt 函数的一些新均值公式.1相关引理引理1对任一实数x >1,Mangoldt 函数的均值为!n #x(n)=x +O(x 12ln 2x).在文献[4]中,这一结果是在R iemann 猜想成立的前提下得到的,是一个和R iemann 猜想等价的命题.引理2对任一实数x >1,广义Mangoldlt 函数2(n)的均值为!n#x2(n)=2xln x +O(x).证明见文献[4].2主要结果定理1对任何正整数x2,有渐近公式!n #x(b k (n))=1kx +O(x k -1k +ln 2x),其中(n)是Mangoldt 函数,是任意给的正数.定理2对任何正整数x2,有渐近公式!n#x2(b k (n))=2k2xln x +O(xk +1k +),其中2是Mangoldt 函数当r =2的情形,是任意给的正数.3定理的证明定理1证明对于任何正整数x2,存在正整数M,使得M k #x <(M +1)k .(1)*收稿日期基金项目国家自然科学基金资助项目(655);陕西省自然科学基金资助项目(S )作者简介黄炜(6),男,陕西岐山人,宝鸡职业技术学院基础部教授,主要从事数论及数学应用研究:2010-04-09:10711J08A28:191-.令M =[x 1k ],并注意到M =x1k+O(1),则从(n)的定义可以推断,!n #x(b k (n))=!Mj =2!(j-1)k#n<jk(b k (n))+!M k#n #x(b k (n))=!Mj=2!(j-1)k#n <j k(j -1)+!M k #n#x (M)=!M -1j=1!j k #n<(j+1)k(j)+!M k #n #x(M)=!M -1j=1(C 1k jk -1+C 2k jk -2++C k -2k j 2+C k -1k j +1)(j )+O(!M k#n<(M +1)k(M))=k!Mj=1j k -1(j )+O(M k -1ln M).(2)这里用到估计式(n)ln n.由引理1知!n #x(n)=x +O(x 12ln 2x).(3)设A(y)=!m#y(m),由Abel 恒等式[6]及(3)式可得!Mk=1j k -1(k)=M k -1A(M)-(k -1)%M1y k -2A(y)dy +O(1)=M k -1(M +O(M 12ln 2M))-(k-1)%M1y k -2(y +O(y 12ln 2y))dy +O(M 12ln 2M)=M k +O(M k-12ln 2M)-(k -1)kM k=1kM k+O(M k ln 2M).(4)而!Mk =1(k)=M +O(M 12ln M).(5)由(1)式可得估计式0#x -M k <(M +1)k -M k =C 1k M k -1+C 2k M k -2+C 3k Mk -3++C 1k M 1+1xk -1k(6)和kln M #ln x <kln (M +1)#kln M +O(1x).(7)结合(4)至(7)式立即可得!n#x(b k (n))=1kx +O(x k -1k +ln 2x).这就完成了定理1的证明.利用定理1的证明方法和引理2的结论可以证得定理2.参考文献:[1]SMARANDACH E F.Only Pr oblems,Not Solutions [M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.[2]张文鹏.关于正整数的立方部分数列[J].咸阳师范学院学报,2003,18(4):5-7.[3]黄炜.K 次方根序列的均值渐近公式[J].甘肃科学学报,2009,21(3):10-11.[4]NATLMUSON M ELVYN B.Elenenta rv Methods in Number Theor y [M].Beijing:Wor ld l Publishing Cororation,2003:293.[5]LIU H ong yan,LI U Yuan bing.A Note on the 29th Smar andaches Problem [J].Smar andache Notions Journal,2004(14):156-158.[6]潘承洞,潘承彪.解析函数论基础[M].北京:科学出版社,1997:98.k th Root Sequence Average Value Asymptotic FormulaH U ANG Wei(Depart ment of Basis,Baoji Vocational and Technical College,Baoji 721013,Shannxi China)Abstr act:Let b k (n)be positive integer (n=1,2,),that is the k th root part.The main purpose of thispaper is to study the asymptotic properties of the sequence {b k (n)}.U sing the elementary method,two interesting hybrid asymptotic formulas involving this sequence {b k (n)}and the generalized Mangoldt f K y q ;z M f ;;y f (责任编辑向阳洁)9第4期黄炜:关于正整数的k 次方根数列均值unction are given.e words :k th r oot part se uence generali ed angoldt unction mean value as mptotic ormula。
2021_2022学年新教材高中数学第4章数列4.1第1课时数列的概念及简单表示法课件苏教版选择性必
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)_列__表__法_；(3)图__象__法__
2．数列的通项公式 an＝f(n)与函数解析式 y＝f(x)有什么异 同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集 N*(或 它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数，an ＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所 对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数，函数的定义域 可以是任意非空数集．
[解] (1)各项加 1 后，变为 10，100，1 000，10 000，…，新数 列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an＝10n－1．
(2)数列各项的绝对值为 1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数， 其通项公式为 2n－1，考虑到(－1)n＋1 具有转换正、负号的作用，所 以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)．
所以 20 是该数列的第 10 项．
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝
n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性． [解] ∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3． ∵n∈N*，∴2n＋3>0， ∴an＋1>an． ∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后 代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数 值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是由通项公式等于 这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数 列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
公式k·cnk=n·cn-1k-1的意义及其应用
公式k·cnk=n·cn-1k-1的意义及其应用在组合数学中，公式k·cnk=n·cn-1k-1是二项式系数的递推公式。
二项式系数是指在二项式（a+b）^n中，a^k·b^（n-k）的系数。
二项式系数可以表示为cnk。
递推公式是一种常用的计算二项式系数的方法，其中k·cnk=n·cn-1k-1就是其中一种。
该公式的意义是：将n个不同元素放进k个不同的盒子中的方案数等于将n-1个不同元素放进k-1个不同盒子中的方案数乘以将剩余的1个元素放进剩余的1个盒子中的方案数。
公式k·cnk=n·cn-1k-1可以用来计算二项式系数，也可以用在求解一些排列组合问题中。
例如，求解从n个不同元素中取出k个元素的排列数，就可以使用该公式。
还有，公式k·cnk=n·cn-1k-1还可以应用于求解一些组合问题，例如求解从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
总的来说，公式k·cnk=n·cn-1k-1是一个非常重要的组合数学公式，在许多排列组合问题中都有应用。
n次方的和开n次根号求极限的要求
n次方的和开n次根号求极限的要求以n次方的和开n次根号求极限，这是一个常见的数学问题。
在这篇文章中，我们将探讨如何求解这个极限，并解释其背后的数学原理。
让我们明确一下所谓的n次方的和开n次根号是什么意思。
假设我们有一个数列，其中每个元素都是n的某个整数次幂，即数列的通项可以表示为an = n^k，其中k是一个常数。
我们将这个数列的前n项相加，并对结果开n次根号，记为S = (a1 + a2 + ... + an)^(1/n)。
我们的目标是求出当n趋向于无穷大时，S的极限值。
换句话说，我们想知道当n变得足够大时，S会趋近于一个什么值。
为了解决这个问题，我们可以使用数列极限的性质。
根据数列极限的定义，当数列的通项逐渐趋近于一个常数时，数列的极限就是这个常数。
因此，我们可以先计算出数列an的极限，然后将其代入S 中，从而求出S的极限。
现在让我们来计算数列an的极限。
根据我们的定义，an = n^k。
当n趋向于无穷大时，n的k次方也会趋向于无穷大，因此我们可以推断出an的极限为正无穷大。
现在我们已经确定了an的极限是正无穷大，我们可以将其代入S中，得到S = (∞ + ∞ + ... + ∞)^(1/n)。
这里有n个无穷大相加，我们可以将其简化为n∞，即S = (n∞)^(1/n)。
接下来，我们需要利用指数和对数的性质来继续简化这个表达式。
根据指数和的性质，我们知道(x^a)^b = x^(a*b)。
因此，我们可以将S简化为S = n^(∞/n)。
现在我们可以观察一下∞/n这个指数的变化情况。
当n趋向于无穷大时，∞/n的值趋近于0。
因此，我们可以得出结论，n^(∞/n)的极限为1。
当n次方的和开n次根号时，极限的值为1。
换句话说，无论n取任何正整数，数列的和开根号后都会趋近于1。
这个结果在数学中有着广泛的应用。
它与数列极限、指数和、对数等数学概念密切相关。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解数列极限的情况，可以借鉴这个求解思路来解决类似的问题。
关于k次方数列及其行列式
收稿日期:2009-05-25;修订日期:2009-06-28作者简介:黄 炜(1961-),男,陕西岐山人,副教授,研究方向:数论及数学应用。
基金项目:宝鸡职业技术学院重点科研基金资助项目(ZK 0216)。
第27卷 第4期2009年8月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 27N o .4Aug .2009文章编号:1001-3679(2009)04-0497-03关于k 次方数列及其行列式黄 炜(宝鸡职业技术学院基础部,陕西 宝鸡721013)摘要:对任意正整数n,设a k (n)表示不超过n 的最大k 次方部分,b k (n)表示不小于n 的最小k 次方部分。
本文主要目的是利用初等方法研究{a k (n )}和{b k (n)}这2个数列的性质,并给出由2个数列构成的行列式的一些特殊性质。
关键词:k 方部分数列;Sm arandache 行列式;性质中图分类号:O 156.4 文献标识码:AOn the k -th Po w er Nu mber c s Series and Its D eter m i nantHUANG W e i(Depart m ent o f Basis ,Bao ji V oca ti ona l and T echn ica l Co llege ,Shanx i bao ji 721013PRC)Abst ract :Let n be a positive i n teger ,a k (n )be the l a rgest k -th po w er num ber greater than or equal to n.And b k (n )be the s m allest k-th po w er num ber less t h an or equa l to n.In this paper ,use the e-le m entary m ethods to study t h e value of the deter m inant f o r m ed by the seri e s {a k (n )}and {b k (n )},and give t w o i n teresti ng conc l u si o n.K ey w ords :k-th pow er part number Series ,Sm arandache deter m inan,t Conc l u si o n1 引言及结论1993年罗马尼亚数论专家F S m arandache 教授提出了正整数n 的k 次幂部分数列。
2009-K次方根序列的均值渐近公式
j# M
3
130M
10 3
+
3
3 7
M
7 3
+
3 4
4
M3
+
1
O( M 3 ) =
9 10
x
10 9
+
9 7
x
7 9
+
3 4
x
4 9
+
1
O( x 9 ) ,
定理 2 证毕.
2 K 次方根序列的均值
k 方根序列{ bk ( n) } ( n = 1, 2, 3, !) 如下:
2. 1 1 的均值 bk ( n)
2009 年 第 3 期
位置, 在解析数论、乘法数论以及代数数论研究中占有举足轻重的位置[ 8] , 并和很多数学难题密切相关. 我们 从不同的角度对这些 k 次方根序列算术函数进行了细致的研究, 获得了一些的结论. 对数论学科的发展做了 积极的探索.
参考文献:
[ 1] F Smarandache. O nl y Problems, N ot Solut ions[ M ] . C hicago: Xiquan Pub lishi ng H ouse, 1993. [ 2] T om M . A post ol . Int roduction t o A n alyt ic N um ber T heory[ M ] . N ew Y ork: S pring V erl ag, 1976. [ 3] 潘承洞, 潘承彪. 解析函数论基础[ M ] . 北京: 科学出版社, 1997: 60. [ 4] H e X iao lin, G uo Jin bao. O n t he 80 t h Probl em of F. Smarandache( % ) [ J ] . Smarandach e N orions Journal, 2004, 14: 70 79. [ 5] 贺小林. 关于整数 n 的平方根序列的均值公式[ J] . 延安大学学报( 自然科学版) , 2005, 12( 2) : 13 14. [ 6] 马爱梅. 关于整数 n 的平方根序列的几个渐进公式[ J ] . 延安大学学报( 自然科学版) , 2006, 13( 2) : 10 11. [ 7] 杨存典, 李超, 李军庄. 一个数论函数的渐进公式[ J] . 甘肃科学学报, 2006, 18( 2) : 20 21. [ 8] 冯强, 王荣波. 关于正整数 n 的 k 次幂部分数列加权均值[ J] . 甘肃科学学报, 2008, 20( 2) : 5 8.
正整数n的k次幂部分数列的几个渐近公式
正整数n的k次幂部分数列的几个渐近公式
刘兴茹;王艳青;赵珍珍
【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(029)003
【摘要】利用初等方法及解析方法,研究了{ak(n)}和{bk(n)}这两个数列的性质,并给出了两个有意义的渐进公式,其中ak(n)表示不超过n的最大k次幂部分,bk(n)表示不小于n的最小k次幂部分.
【总页数】3页(P7-9)
【作者】刘兴茹;王艳青;赵珍珍
【作者单位】延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000;延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000;延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000
【正文语种】中文
【中图分类】O156.4
【相关文献】
1.关于正整数n的r次幂因子的几个渐近公式 [J], 金晶;朱伟义
2.关于正整数n的平方部分数列的均值公式 [J], 冯强;郭金保
3.关于正整数n的k次幂部分数列的加权均值 [J], 冯强;王荣波
4.关于正整数n的k次幂部分数列加权均值 [J], 冯强;王荣波
5.关于正整数的k次幂部分数列 [J], 王明军
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自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列是一种对一些数学问题和物理过程具有重要意义的数列。
它是由一系列等差数列构成的多项式，即首项为1，公差为k，从1至正确的项构成一个数列，在许多计算机科学和数学中经常被使用。
自然数k次幂数列有一个很有趣的特性，当k大于1时，其中的任何一项数字都会被后面的数字除尽。
例如，从1开始，若k=4，则数列自然数为1，4，16，64，256，其中16被后面的数字256除尽。
实际上，如果任何数字经过k次幂可以被后面一个数字整除，那么此数字也可以被其之前的任意一个数字整除。
例如，若k=2，则数列为1，2，4，8，16，其中8可以被16整除，由此也可以得出结论，8也可以被4整除。
另外，在数学上，如果一系列数字可以被其前一个数字整除，则称为等比数列。
由上述示例来看，当k大于1的时候，自然数k次幂数列符合等比数列的特性，可以得出结论，自然数k次幂数列也是一种等比数列。
此外，由于自然数k次幂数列本质上是一种等比数列，它也可以被用于研究一些自然现象，比如物品的价格走势、流量走势等，因为这些自然现象本质上也是一种等比数列。
本文介绍了当k大于1的时候，自然数k次幂数列的一些有趣的性质，使得它在一些数学问题和物理过程中显得尤为重要。
通过学习自然数k次幂数列，我们可以更好地理解一些自然现象，从而更加深入地了解自然界发生的各种现象，从而提高我们对自然界的认知。
高一数学上册知识点归纳
高一数学上册知识点归纳偶尔会抱怨为什么自己没天赋，又或者因为别人能轻易做到自己做不到的事而不平衡。
但是我们自己一点一点抓住的东西，比什么都来得真实。
用时间换天份，用坚持换机遇，我走得很慢，但我绝不回头。
下面是小编给大家带来的高一数学上册知识点归纳，希望大家能够喜欢!高一数学上册知识点归纳1向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为的向量.单位向量：长度等于个单位的向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。
高三数学知识点梳理大全
高三数学知识点梳理大全数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。
今天小编在这给大家整理了一些高三数学知识点梳理，我们一起来看看吧！数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力随机抽样简介(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取;优点：操作简便易行缺点：总体过大不易实行方法(1)抽签法一般地，抽签法就是把总体中的 N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为n 的样本。
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其中 ｓ 为黎曼 ｚ ｅ （ ） ｅ 一函数 ， 对 所 有 素 数 ｐ ｔ Ⅱ Ｐ 求积 ， 合 （ ） 及 ｐｒ ｎ 式 设 ｓ ＝ ， ＝ｋ ＋ 结 １式 ｅｒ 公 ｏ 引， 。 ０ ｂ ｌ
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正 整数 的 次 幂 部 分数 列 的 几 个 渐 近 公 式
刘 兴茹 ， 王艳青 ， 赵珍珍
（延安大学 数学 与计 算机科学学院 ， 陕西 延安 ７ ６ ０ ） １０ ０
摘 要 ： 利用初等方法及解析方法， 研究 了｛ ｝ ｂ（ ） 这两个数 列的性质， ０（ 和｛ ｒ ｝ ） ｔ 并给 出了两个有 意义的渐进公式 ， 中 （ ） 示不超过 ／的最大 ｋ次幂部分， ） 其 ｎ表 ７ ， ｂ（ 表示不小于 ｎ的最小 ｋ次幂
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综上所 述 ：
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３ 定 理 的 证 明
肌＋（＋ ｌ ｘ Ｄｋ ｌ ）
立方部 分 ，３ ＿ Ｉ 以及 ｎ的 ｋ次 幂 部 分 数 列 的 一 些 性 质 。本 文 主 要 利 用 欧 拉 公 式 ， 贝 尔 恒 等 式 ， 阿 和 ｐ￣ ｎ公 式等 进一 步研 究 正整数 ｎ的 ．次 幂 部 分 数 ｅｏ ｉ ｃ 列 ， 到 了一 个有 趣 的 ｋ次 幂部分 数 列 的渐 进公 式 。 得 我 们定 义 Ⅳ为正 整 数集 ， ／∈Ｎ， 任 意 的 ｍ 设 ／ ， 对 ∈ ｎ的 ｋ次幂 部分数 列 定义 为 ： Ｎ，
第２ ９卷
第 ３期
延安大学学报 （ 自然科学版 ）
ｏ ｍ ａ ｆＹ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｉｏ ｕ ｌｏ ａ ａ ｉｅｓ ｙ ｆ ｕａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｔ Ｎａ Ｓ ｉ
Ｖ０ ． ９ Ｎｏ ３ １２ ． Ｓ ｐ ０１ ｅ ．２ ０
２１ ０ ０年 ９月
部 分。 关键 词 ： ｋ次幂部分 数 列 ； 值 ； 均 渐进公 式
中图分类 号 ： ５ ． Ｏ１６ ４
文 献标 识码 ： Ａ
文 章编 号 ：０ ４６ ２ ２ １ ） ３０ ０ －３ １ ０ －０ Ｘ（ ０ ０ ０ － ７０ ０
１ 引 言 和 结 论
在 １９ ９ ３年著 名数 学 家 Ｆ． ｍａａｄ ｃ ｅ所 著 的 Ｓ ｒｎ ａ ｈ Ｏ ｌ ｐｏ ｌ ｎｙ ｒｂ ｍｓ， ｏ Ｓｌｔ ｎ一 书 … 中提 出 了 １５个 ｅ Ｎｔ ｏ ｉ ｕｏ ０
互 （＞ Ｄ “ １
：
１ ＋Ｐ Ｐ ７ ＋Ｐ Ｌ 『
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＋ …
其 中 是 任 意 固定 的 正整 数 ， 素 数 ， （ ） Ｐ是 ｎ
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收稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ３—３ １ 作者 简介 ： 刘兴茹 （９ ３ ） 女 ， １８ 一 ， 陕西靖边人 ， 延安 大学 在读 硕士研究生 。
…
Ｈ
ｌ ＋ （ ）Ｉ 。 一ｐ １
…＋ （ ） ＞ 。 Ｄ １ １ “
对 于 ｛ 凡 ｝我们 能够 得到 相似 的结论 ， ｂ（ ） ， 即 定 理 ２ 对任 意一 实数 ＞１￣Ｙ ６渐 近公 式 ， ｆ－ ３
数论中尚未解决的问题和猜想引起了广大研究者 的 极大的研究兴趣 ， 其中第 ４ ，１ 问题中包含平方 ０４ 个 部分 ， 立方部分数列 ， 多学者研究 了平方部分 ， ］ 许 ｌ ２
ｎ （ ）： ｘ ｍ ： ｎ ｍａ ｛ ｍ∈Ｎ， ｝ ｍ ≤ｎ ，
（
＝
２ 引 理及 其 证 明
引理 ： 任意 实数 ＞１ 我 们有 对 ，
丕 （ ： ）
肌ｌ （ ｘ＋ ） ＋） ｋ （ｌ 札
．
证 ：厂 ） 至 明令 （ ：
，
： ＋ 为复 数 ， 因
（ ｋ） （） — １ｇ ｓ ｓ ＋
（ ｎ ）＝
任意一实数 ＞ ， Ｍ是一 固定的整数且满足： １设
Ｍｋ ＜（ ＋１ ≤ ）
ｏ１ （ ） 一 ｐ
其 中
（ ２ ）
则从 ｛ ｎ ｝ ａ（ ） 的定 义我 们有
互 （ （） ａ ｎ） ｋ
．
。 （ （）＋ 是 ａ ｎ） ｋ
为 （， １ ）＜＜１ ， 以 ） 半 平 面 Ｒ （ ）＞ｋ ＋１ １ ２所 在 ｅｓ ｌ 上绝 对一 致 收敛 ， 用欧拉 乘 积公式 ， 得 利 可
）：
ｂ（ ）＝ｍｉ ｍ ： ｎ｛ ｍ∈Ｎ， ｝ ｍ≥ ， 定 理 １ 任意 的一 个 实 数 ＜１Ｚｎ∈Ｎ，≥２ 对 ，， ｆ ， 我 们有渐 近公 式
（ ）＋ ∑ 九 ‘ ＋， （ ｋｎ ） （ ） （（） 九 三 ａ（ ） ｎ）
＝
【（ １（ 寿 ＋＋ ， ） ＋一 专＋ ． ． ‘
） ］
当 ≤ ＜ｌ 时 （ ） ＜＜Ｉｌ ｝ ｓｌ ｔ肌 ＋
＝
南 ・ ） ］ 【１） － ＋ 吉（
于是可得估计式
． ＋ ｉ 』＋ ｆ Ｔ ２ ｋ ｌ ＋ｋ＋ ／
…
￣＋ｉ Ｔ 汀 一
ｋ） （ ） ｄ ＜＜ ｝ ８ ｔｇ ｓ Ｘ ｓ