考研数学复习概率与数理统计训练题(6)

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[考研数学]概率论考试复习题

概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（）成立。

A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。

A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。

A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。

A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。

概率论与数理统计考研复习题6

概率论与数理统计考研复习题（6）数理统计的基本概念1．X 与Y 相互独立且都服从)3,0(2N ，而9191,Y Y X X ，和分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，求统计量 292191Y Y X X U ++++= 服从的分布.2．求总体)3,20(N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.3．设n X X X ,,,21 是来自具有)(2n χ分布的总体样本。

求样本均值X 的数学期望和方差.4．设总体X ~N （0，1），从此总体中取一个容量为6的样本（621,,,X X X ），设Y =（26542321)()X X X X X X +++++，试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布.5．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？6．从装有一个白球，两个黑球的罐子里有放回地取球，令X =0表示取到白球，X =1表示取到黑球，求容量为5的样本（521,,,X X X ）的和的分布，并求样本的均值X 和样本的方差2S 的期望值.7．设总体X ~),0(2σN ，（21,X X ）为取自这总体的一个样本，求：（1）221221)()(X X X X Y -+=的概率密度；（2）P {Y <4}. 8．设总体服从参数为λ的指数分布，分布密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,);(x x e x F xλλλ，求E （X ），D （X ），E )(2S .9．从正态总体)5.0,(2μN 中抽取样本1021,,,X X X .（1）已知0=μ，求概率P {}41012≥∑=i i X；（2）未知μ，求概率P {85.2)(2101≥-∑=i i X X}.。

概率论与数理统计练习册题目

第一章概率论的基本概念习题一随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （）2.C B A C B A =⋃ （）3.()φ=B A AB （）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （）5.若B A ⊂，则AB A = （）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件；（）（2）事件“不含白球”为不可能事件；（）（3）事件“含有白球”为随机事件；（）8.互斥事件必为互逆事件（）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为。

2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。

3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（）。

A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。

考研数学二(概率论与数理统计)-试卷6

考研数学二（概率论与数理统计）-试卷6(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B，C( )（分数：2.00）A.A∪B．B.A—B．C.AB．√解析：解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.3.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．D.P(A一B)=P(A)．√解析：解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)4.对于任意两个随机事件A和B，则( )．（分数：2.00）A.如果A，B一定独立．B.如果A，B有可能独立．√C.如果A，B一定独立．D.如果A，B一定不独立．解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠．反之，如果，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．5.设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有( )（分数：2.00）A.P(A∪B)=P(B)．B.P(A一B)=P(B)．C.P(B一A)=P(B)．D.P(AB)=P(B)．√解析：解析：因为A A∪B，P(A)=1，从而P(A∪B)=1，而B为任意事件，所以选项(A)不正确；又P(A一B)==1一P(B)，所以选项(B)不正确；P(B—=0，而B为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选D．注：如果知道结论“概率为0或1的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项．6.设随机事件A，B满足( )（分数：2.00）A.A∪B=n．√D.P(A—B)=0．解析：解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能说明A∪B=Ω，故选项(A)不正确；同样P(AB)=0，也不能说明AB=，故选项(B)不正确；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以选项(D)不正确；=1—P(AB)=1，故应选C．7.设A和B为随机事件，则P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）．B.A=B．C.P(B一A)=0．√．解析：解析：因为P(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，从而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此应选C．8.设A、B是两个随机事件，且P(C｜AB)=1，则正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)=P(AB)．C.P(C)=P(A∪B)．D.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√解析：解析：因为P(C｜AB)==1，从而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又C，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此选(D)．9.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜，则( )（分数：2.00）A.事件A和B互不相容．B.事件A和B互相对立．C.事件A和B互不独立．D.事件A和B相互独立．√10.已知A，B，C三个事件中，A与B相互独立，且P(C)=0（分数：2.00）A.相互独立．√B.两两独立，但不一定相互独立．C.不一定两两独立．D.一定不两两独立．解析：解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件A，B，C一定相互独立．11.设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：事实上，，因此应选B．注：由已知条件，只能得到是不一定相互独立的，而不能确定一定不独立，事实上如果)=0或1，则二者就是相互独立的．12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，则在试验成功2次前已经失败3次的概率为( )（分数：2.00）A.4p 2 (1-p) 3．√B.4p(1-p) 3．C.10p 2 (1-p) 3．D.p 2 (1-p) 3．解析：解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功2次前已经失败3次”是指“试验进行5次，第5次是第2次成功”，相当于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是独立重复试验，故所求概率为C 41 p(1-p) 3 p=4p 2 (1-p) 3，应选A．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知A，B是任意两个随机事件，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件．14.随机地向半圆0＜y＜(a＞0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于”，如图1—4所示，事件A对应图中区域D，则P(A)=15.设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=，且已知P(A)= 1。

《概率论与数理统计期末试题》(最终版本+最新考研题目)

班级姓名班内序号习题一样本空间、随机事件、概率一、填空题．1．设,,A B C 为三事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件．（1）A 发生，B 与C 不发生：（2）A 与B 都发生，而C 不发生：（3）,,A B C 中至少有一个发生：（4）,,A B C 都不发生：（5）,,A B C 中不多于一个发生：（6）,,A B C 中不多于两个发生：（7）,,A B C 中至少有两个发生：2．设,A B 为两随机事件且3()7P AB =，4()()7P A P B ==，则()P A B ⋃=3．设A B ⊃，(),()P A p P B q ==，则()P A B -=4．判断下列命题的正误．（1）()A B AB B ⋃=⋃ （）（2）AB A B =⋃ （）（3）若,,AB C A BC φφ=⊂=且则（）（4）若B A A B A ⊂⋃=，则（）二、计算题．1．写出下列随机试验的样本空间Ω和下列事件所包含的样本点．（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）掷两颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”2．设,A B 为两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问（1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？3．设,,A B C 为三事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====， 1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率．4．设,A B 为两事件，且()0.7,()0.3P A P A B =-=，求()P AB ．班级姓名班内序号习题二古典概型一、填空题．1．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是2．设一同学书桌上放着9本书，其中有3本英语书，现随机取两本，取到的全是英语书的概率为3 ．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连续抽取7张进行排列，则排列结果为ability的概率为二、计算题．1．对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率；（3）求5个人的生日不都在星期日的概率．2．从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？3．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率． (2) 求最大号码为5的概率．4．随机地向半圆0)y a <<为正常数内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率是多少？班级姓名班内序号习题三条件概率、全概率公式一、计算题．1．设()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求()P B A B ⋃．2．已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，问他拨号不超过3次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？5．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取1只，作不放回抽样．求（1）第一次取到的零件是一等品的概率．（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．班级姓名班内序号习题四独立性一、填空题．1．假设,A B 是两个相互独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =2．某人向同一目标重复射击，每次命中率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第二次命中的概率为二、计算题．1．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一个能将密码译出的概率是多少？2．袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？3．甲、乙、丙3人独立地向飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率．4．证明：若()()P A B P A B =，则,A B 相互独立．（提示：()()()P AB P A P AB =-）班级姓名班内序号习题五离散型随机变量及其分布律1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示3只求中的最大号码，写出随机变量X的分布律．2．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为=-<<．1(01)q p p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以,r p为参数的巴斯卡分布）3．设离散型随机变量X 的分布律为：{},(1,2,3,)kP X k b k λ===L 且0b >，求λ的值．4．设随机变量X 服从泊松分布，且满足{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率．班级姓名班内序号习题六分布函数与连续型随机变量（一）1．将一枚硬币连抛2次，以X表示正面朝上的次数，写出X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形．2．以X表示某商店从早晨开始营业起到直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X的分布函数是0.41,0(),0,0xXe xF xx-⎧->=⎨≤⎩求下述概率：（1）{3}P至多分钟；（2）{}P至少4分钟；（3）{3}P分钟至4分钟之间；（4）{3}} P至多分钟或至少4分钟；（5）{ 2.5}P恰好分钟3．设连续型随机变量X 的分布函数为：,0(),(0)0,0x A Be x F x x λλ-⎧+≥=>⎨<⎩（1）求常数,A B ；（2）求{2},{3}P X P X ≤>；（3）求密度函数()f x4．已知随机变量X 的密度函数为：(),()xf x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）常数A 的值；（2）{01}P x <<（3）()F x班级姓名班内序号习题七连续型随机变量（二）一、填空题．1．设随机变量X 服从指数分布，其密度函数为：,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，含有变量a 的二次方程220a a X ++=有实根的概率为 2．记z α为标准正态随机变量的上α分位点，则0.01z = ， 0.003z = ，0.997z = ．二、计算题．1．某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各器件损坏是否相互独立），任取5只，问其中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？2．设2~(3,2)X N ，求（1）{25}P X <≤，{2}P X >（2）确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤（3）设d 满足{}0.9P X d >≥，问d 至多为多少？3．设随机变量X Y 与均服从正态分布，且2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，试比较以下12p p 和的大小．12{4},{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+4．设随机变量2~(,)X N μσ，试问：随着σ的增大，概率{}P X μσ-<是如何变化的？班级姓名班内序号习题八随机变量函数的分布1．设随机变量X 的分布律为：求2Y X =的分布律．2．设随机变量X 服从（0，1）上均匀分布．（1）求XY e =的概率密度．（2）求2ln Y X =-的概率密度．3．设~(0,1)X N ，求Y X =的概率密度．4．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度．5．设随机变量X 服从参数为12的指数分布，证明：21X Y e -=-在区间（0，1）上的均匀分布．班级姓名班内序号习题九二维随机变量和边缘分布一、填空题．1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为2(,)(arctan )(arctan ),(,)22x F x y A B y x y R π=++∈则常数A = B =2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{,}P a X b Y d <≤≤=二、计算题．1．箱子中装有12只开关，其中2只次品，取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样（2）不放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出,X Y 的联合分布律．2．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它（1）确定常数k ；（2）求{1,3}P X Y <<；（3）求{ 1.5}P X <；（4）求{4}P X Y +≤．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 ,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它（1）求随机变量X 的密度()X f x ；（2）求{1}P X Y +≤．班级姓名班内序号习题十条件分布、相互独立的随机变量1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：(1)求X Y 和的边缘分布；(2)求在0.4Y =的条件下X 的分布律；(3){50.4}P X Y ≥=；（4）判断X Y 和是否相互独立．2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它（1）求条件概率密度(),()Y X X Y f y x f x y ；（2）判断X Y 和是否相互独立．3．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：2221,1(,)40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1）求边缘概率密度；（2）判断X Y和是否相互独立．4．在（0，1）上随机取两个数，求这两个数之差的绝对值小于12的概率．5．设X Y和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：21,0 ()20,0yYe yf yy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）求X Y和的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率．6*．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X Y 和的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．班级姓名班内序号习题十一随机变量函数的分布一、填空题．1、设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间（0，3）上的均匀分布，则{max(,)1}P X Y ≤=2、设X Y 与为两个随机变量，且3{0,0},7P X Y ≥≥=4{0}{0},7P X P Y ≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=二、计算题1．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度．2．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，,0(),(,0)0,0y Y e y f y y μμμλ-⎧>=>⎨≤⎩为常数引入随机变量 1,0,X YZ X Y ≤⎧=⎨>⎩，（1）求条件概率密度()X Y f x y ；（2）求Z 的分布律和分布函数．3．设某种型号的电子元件的寿命（于小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率．4．设X Y 与相互独立，1{},(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为 1,01()0,Y y f y ≤≤⎛=⎝其它，记Z X Y =+，（1）求1{0}2P Z X ≤=；（2）用全概率公式计算{ 1.4}P Z ≤5．设随机变量,X Y 相互独立，且服从同一分布．试证明： 22{min(,)}[{}][{}]P a X Y b P X a P X b <≤=>->班级姓名班内序号习题十二数学期望一、填空题．1．X 服从参数为1的指数分布，则2(23)XE X e-+=2．~(1)X π，则{2()}P X E X ==二、计算题．1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X ．（设各产品是否为次品是相互独立的）2．设随机变量X Y 与的联合概率分布如下：求()E X ，()E Y ，()E XY ．3．设(,)X Y 的概率密度为： 212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +．4．将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X ．班级姓名班内序号习题十三方差一、填空题．1．设~(,)X b n p ，则()E X = ，()D X = 2．设~()X πλ，则()E X = ，()D X = 3．设~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X =4．设X 服从参数为θ的指数分布，则()E X = ，()D X = 5．设2~(,)X N μσ，则()E X = ，()D X = 6．已知随机变量~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且,X Y 相互独立，27Z X Y =-+，则~Z二、计算题．1．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,i i E X i D X i ==-(1,2,3,4)i =．设12341232Y X X X X =-+-，求(),()E Y D Y ．2．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （以公斤计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05．3．设随机变量,X Y 相互独立，且~(6,16),~(1,9)X N Y N ，求（1）{}P X Y >，（2）{7}P X Y +>4．设X 为随机变量，C 为常数，证明2(){()}D X E X C ≤-．班级姓名班内序号习题十四协方差与相关系数一、填空题．1．设()1,()1,()1,()2,(,)1E X D X E Y D Y Cov X Y =-====，则(34)E X Y += ，(34)D X Y -= 2．设()2,()3,(,)1D X D Y Cov X Y ===-，则(321,43)Cov X Y X Y -++-=3．设~(0,1),~(1,4)X N Y N ，1xy ρ=，则{21}P Y X =+=4．设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X Y 和相互独立的充要条件是ρ=二、计算题．1．设随机变量(,)X Y 具有概率密度：1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ，()E Y ，(,),,().XY Cov X Y D X Y ρ+2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的．3．设(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y σσ==，证明当222/X Y a σσ=时随机变量W X aY X aY =-=+与V 相互独立．班级姓名班内序号习题十五大数定律与中心极限定理一、填空题．1．设随机变量X 具有2(),()E X D X μσ==，则有切比雪夫不等式，有{3}P X μσ-≥≤2．设12,,,,n X X X L L 相互独立同分布，且()n E X =0，则1lim {}ni n i P X n →∞=<=∑二、计算题．1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数．设所有舍入误差是独立的且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？2．设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入？3．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？4．一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？班级姓名班内序号习题十六样本及抽样分布（一）一、填空题．1．设12,,,n X X X L 为来自总体2(0,)N σ的样本，且随机变量221()~(1)ni i Y C X χ==∑，则常数C =2．设1234(,,,)X X X X 取自正态总体2~(0,2)X N 的样本，且22123411(2)(34)20100Y X X X X =-+-，则，~Y 分布．二、计算题．1．在总体2(52,3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．2．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．3．设1210,,,X X X L 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021{ 1.44}ii P X=>∑．4．设总体2~()X n χ，1210,,,X X X L 是来自X 的样本，求2(),(),()E X D X E S ．班级姓名班内序号习题十七样本及抽样分布（二）二、填空题．1．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，则22221()(1)~ni i X X n S σσ=--=∑分布，221()~ni i X μσ=-∑分布．2．记()t n α为t 分布的上α分位点，则0.995(29)t = 3．已知~(),X t n 则2~X 分布．二、解答题．1．设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X L 是来自X 的样本．（1）求12(,,,)n X X X L 的分布律；（2）求1nii X=∑的分布律；（3）求2(),(),()E X D X E S ．2．设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ均为未知．（1）求222{ 2.041},S P S σ≤其中为样本方差；（2）求2()D S3．设总体2~(,)X N μσ，1234,,,X X X X 为来自X 的样本，Y =~(2).Y t班级姓名班内序号习题十八点估计1．设12,,,n X X X L 为总体X 的一个样本，X 的密度函数为：1,01(),(0)0,x f x θ≤≤=>⎝其它，求θ的矩估计和最大似然估计．2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 2()2,(;)0,x e x f x θθθ--⎧>=⎨⎩其它其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．3．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，且~()X πλ．求{0}P X =的最大似然估计．4．设总体X 具有分布律（如下表）其中(01)θθ<<为未知参数．已知取得了样本值1231,2,1x x x ===．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．班级姓名班内序号习题十九估计量的评价标准一、填空题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体(,)B n p 的样本，若2X kS +为2np 的无偏估计，则k =2．设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，若21()n i i aX μ=-∑和21()n i i b X X =-∑都是2σ的无偏估计，则a = ，b = 二、解答题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，设2(),()E X D X μσ==（1）确定常数c 使1211()n i i i cX X -+=-∑为2σ的无偏估计；（2）确定常数c 使22()X cS -为2μ的无偏估计．2．设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本．其中θ未知．设有估计量： 1123411()()63T X X X X =+++， 212341(234)5T X X X X =+++， 312341()4T X X X X =+++ （1）指出中哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效．3．设ˆθ是参数θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>，试证^22ˆ()θθ=不是2θ的无偏估计．班级姓名班内序号习题二十正态总体均值与方差的区间估计1．设总体~(,8)X N μ，1236(,,,)X X X L 为其简单随机样本，[1,1]X X -+是μ的一个置信区间，求该置信区间的置信水平．2．设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.3设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间．（1）若由以往的经验知σ=0.6（小时）；（2）若σ为未知．3．随机地取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间．4．研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05/cm s ，取样本容量为1220n n ==，得燃烧率的样本均值分别为1218/,24/x cm s x cm s ==，求两燃烧率总体均值差12μμ-的置信水平为0.99的置信区间．5．设2~(,)X N μσ，2σ已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信水平为1α-，且置信区间的长度不大于L ？班级姓名班内序号习题二十一单侧置信区间1．为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行使到磨损为止，所行使的路程为1216,,,X X X L ，假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ未知，计算得出41117,1347X S ==，试求：（1）求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；（2）求方差2σ的置信水平为0.95的单侧置信上限．2．设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==．设22,A B σσ分别为,A B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，（1）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的单侧置信上限．班级姓名班内序号习题二十二假设检验一、填空题．1．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则犯第一类错误指的是不真，接受；犯第二类错误指的是不真，接受．2．设12(,,,)n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，2σ已知，现要检验假设00:H μμ=，则应选取的统计量是；当0H 成立时，该统计量服从分布．3．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加．二、计算题．1．已知某炼钢厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N ，现在测定了9种铁水，其平均含碳量4.84．若估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩仍为70分？（给出检验过程）3．要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时。

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[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷76一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 已知随机事件A，B满足条件AB∪，则 ( )（A）A，B两事件相等（B）A，B两事件相互独立（C）A，B两事件为对立事件（D）A，B两事件不相互独立2 以下结论，错误的是 ( )（A）若0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则A，B相互独立（B）若A，B满足P(B|A)一1，则P(A—B)=0（C）设A，B，C是三个事件，则(A—B)∪B=A∪B（D）若当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则P(C)＜P(A)+P(B)一1 3 设P(B)＞0，A1，A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A1A2|B)=0（B）P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)（C）（D）4 设Y～U(a，5)，关于x的方程4x2+4Yx+3Y+4=0无实根的概率为，则常数a= ( )5 设随机变量X的概率密度为f(x)=(λ＞0)，则概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值 ( )（A）与a无关，随λ增大而增大（B）与a无关，随λ增大而减小（C）与λ无关，随a增大而增大（D）与λ无关，随a增大而减小6 设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p2=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，则 ( )（A）对任意实数μ,都有p1=p2（B）对任意实数μ，都有p1＜p2（C）只对μ的个别值，才有p1=p2（D）对任意实数μ，都有p1＞p27 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y—X的概率密度f Z(z)= ( )（A）∫-∞+∞f(x，z—x)dx（B）∫-∞+∞f(x，x一z)dx（C）∫-∞+∞ f(x，z+x)dx（D）∫-∞+∞ f(-x，z+x)dx8 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，σ12)，Y～N(0，σ22)，则概率P{|X—Y|＜1} ( )（A）随σ1的增加而增加，随σ2的增加而减少（B）随σ1的增加而减少，随σ2的减少而减少（C）随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加（D）随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少9 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y 的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有n+1个间断点（C）恰有1个间断点（D）有无穷多个间断点10 设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有 ( )（A）P{|X—C|≥ε}=E(|X—C|)／ε（B）P{|X—C|≥ε}≥E(|X—C|)／ε（C）P{|X—C|≥ε}≤E(|X—C|)／ε（D）P{|X—C|≥ε}≤DX／ε2二、填空题11 某单位员工中有90％的人是基民(购买基金)，80％的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是________．12 设两个相互独立的事件A与B至少有一个发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_______．13 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_______．14 已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为________．15 设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=______．16 设随机变量X与随机变量一X具有相同的概率密度f(x)，则f(x)一f(一x)=_______．17 设随机变量X服从正态分布，其概率密度为则常数k=_______．18 设二维随机变量(X，Y)在G={(x，y)|＜x＜0，0＜y＜2x+1}上服从均匀分布，则条件概率19 设二维随机变量(X，Y)的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y)的分布律为_______．20 设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量Z=的概率密度为_____.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学概率论与数理统计全套练习题复习题-数一数三文都高联新东方有道考研

a=
：若事件A与B相互独立，则α ＝
ห้องสมุดไป่ตู้
三．解答题 1.一负责人到达办公室的时间均匀分布在上午8-12点之间，他的秘书到达办
9
的概率与B发生 A不发生的概率相等，则P(A)=
2. A和B为任意两随机事件，则 P((A+B)(A+B）（立＋ B)(A+B））＝一一
3.设 10件产品中有4件不合格，－从中任取两件，己知所取两件产品中有一件事不合格产品，则另一件也是不合格产品的概率
4. 现有甲乙两人独立的射击同一目标，其命中率分别是 0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是己击中的概率是
B. 若 AB＊ ②，则A, B有可能独立
c. 若 AB ＝ ②，则A, B 一定独立
D. 若 AB ＝白，则A, B 一定不独立
7.设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是（
）
A. A与BC独立
B. AB与Aue独立
C. AB与AC独立
D. AuB与Aue独立
8.对任意两事件 A,B，与AuB=B不等价的是（
5. 从 0,1,2，…，9 十个数中任选三个不同的数字，三个数字中不含 0 或 5 的概率
为
6.己知A,B是两个随机事件，P(A）＝α， P(AB)=c(a=t:O，作的，
） P(AIB)=P(AIB ，则 P(A+B)=
（ 7. 设P(A）＝α， P(B)=0.3, P 互 UB)=0.7，若事件 A 与 B互不相容，则
FU
ztrs，J、at、
句、 d
＞一 4’’w nu 、BE、rB，，
）不成立
nu
zt，．，、．．飞 A－－＞－ 4ι nv 、－z、，，，，

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[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷60一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是（A）E(X－Y)＝0．（B）D(X—Y)＝0．（C）E(X2－Y2)＝0．（D）E[X(Y－EY)]＝0．2 设A1，A2是两个随机事件，随机变量X i＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则（A）X1与X2不一定独立．（B）A1与A2一定独立．（C）A1与A2不一定独立．（D）A1与A2一定不独立．二、填空题3 每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．4 设A、B、C是三个随机事件，A C，B C，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，则P(AB)＝_______．5 设A、B是两个随机事件，0＜P(B)＜1，AB＝，则P(A｜)＋P(｜B)＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6 将3个球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率．7 将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴没有交点的概率p．8 随机地向半圆Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}内投掷一点(r＞0)，事件A表示“掷点与原点连线和χ轴正方向夹角小于，π／6”，求P(A)．9 设A、B是两个随机事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．10 某批产品优质品率为80％，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是90％，而将非优质品错判为优质品的概率是20％，为了提高检验信度，每个产品均由3人组成的检查组，每人各自独立进行检验1次，规定3人中至少有2名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品．假设各检验员检验水平相同．求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率．11 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0．7，乙为0．6，试求二人试验成功次数相同的概率．12 一条旅游巴士观光线共设10个站，若一辆车上载有30位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车．求：(Ⅰ)这辆车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第i站停车的概率；(Ⅱ)判断事件“第i站不停车”与“第i站不停车”是否相互独立．13 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X＝n}＝a2p n，n＝0，1，2，…，试确定a 与p的取值范围．14 设钢管内径服从正态分布N(μ，σ2)，规定内径在98到102之间的为合格品；超过102的为废品，不足98的是次品，已知该批产品的次品率为15．9％，内径超过101的产品在总产品中占2．28％，求整批产品的合格率．15 设连续型随机变量X的分布函数为求使得｜F(a)－｜达到最小的正整数n．16 假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1：2．今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律．17 设1000件产品中有150件次品，从中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．18 一大批种子的发芽率是99．8％，从中随机地选取1000粒进行试验，求这1000粒种子中发芽数目X的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率．19 一批玻璃杯整箱出售，每箱装有12只，其中含有0个，1个，2个次品的概率分别是0．6，0．2，0．2．一顾客需买该产品5箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取3只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数X的概率分布及检查箱数不超过6箱的概率β．20 连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为p(0＜p＜1)，X1表示首次击中目标所需进行的射击次数，X2表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求X1，X2，Y的概率分布．21 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布； (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布． (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．22 设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为0．001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为0．01的指数分布．若随机变量X表示生产线无故障工作的时间，求X的分布函数F(χ)以及P{X＞100}．23 设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝n}＝，n＝1，2，…，求Y＝tan的分布函数．24 将一枚均匀的硬币接连掷5次．(Ⅰ)求正面出现次数X的概率分布；(Ⅱ)在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比Y的概率分布．25 若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y＝X lnX的概率密度函数．26 设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y＝X2，求Y的概率密度f Y(y)．27 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y＝e X，求Y的概率密度．28 设随机变量U服从标准正态分布N(0，1)，随机变量求：(Ⅰ)X与Y的联合分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY．29 设随机变量X与Y同分布，X～，并且P{XY＝0}＝1．求(X，Y)的联合概率分布与X＋Y的概率分布．30 已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度f X｜Y(χ｜y)，f Y｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，求证Z1服从参数λ＝1的指数分布，并计算Z2＝X＋Y的概率密度．31 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数μ1＝μ2＝0，σ12＝σ22＝1，ρ＝／2．求证： (Ⅰ)关于X的边缘分布是正态分布； (Ⅱ)在X＝χ条件下，关于Y的条件分布也是正态分布．32 设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2＋Y1χ＋Y2＝0的两个根，并且X1与X2相互独立都服从参数为的0－1分布． (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布； (Ⅱ)求DY1，DY2，cov(Y1，Y2)； (Ⅲ)若U＝Y1＋Y2，V＝Y1－Y2，求DU，DV，cov(U，V)．33 设随机变量X与Y独立，其中X服从参数p＝0．7的0－1分布，Y服从参数λ＝1的指数分布，令U＝X－Y，求U的分布函数G(u)．34 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 f(u，v)＝．求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布； (Ⅱ)Y＝U2＋V2服从指数分布．35 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．36 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥w}(v＞w＞0)．37 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从二维均匀分布，随机变量 (Ⅰ)求U和V的联合概率分布； (Ⅱ)讨论U和V的相关性与独立性．。

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。

B．{T(2)≥t0}。

C．{T(3)≥t0}。

D．{T(4)≥t0}。

正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。

所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。

2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。

C．P(A)=1-P(B)。

D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。

选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。

3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。

B．0．2。

C．0．3。

D．0．4。

正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。

因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。

考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷61(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷61(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且满足大数定律，则Xi的分布可以是A．P{Xi＝m}＝，m＝1，2，…．B．Xi服从参数为的指数分布．C．Xi服从参数为i的泊松分布．D．Xi的概率密度f(χ)＝．正确答案：A解析：相互独立的随机变量X1，X2，…，如果X1，X2，…同分布，只要EXi存在，则X1，X2，…服从辛钦大数定律；若X1，X2，…不同分布，但Xi 的期望、方差应都存在，且方差要一致有界，则X1，X2，…满足切比雪夫大数定律．据此分析：在选项A中同分布，EXi＝，由于级数是收敛的，因此EXi存在，X1，X2，…满足辛钦大数定律，应选A．进一步分析，在选项B 中，DXi＝＝i2；在选项C中，DXi＝i，它们均不能对i一致有界，因此不满足切比雪夫大数定律．在选项D中，由于＝＋∞，因此＝＋∞．故EXi 不存在，所以不能满足辛钦大数定律．知识模块：概率论与数理统计2．设统计量Y服从F分布F(m，n)，Fα(m，n)满足P{Y≥Fα(m，n)}＝α，则F1-α(m，n)等于A．1－Fα(m，n)．B．1－Fα(n，m)．C．D．正确答案：D解析：若Y～F(m，n)，则～F(n，m)，依题意P{Y≥F1-α(m，n)}＝1－α，P{Y≤F1-α(m，n)}＝α，但是P{≥Fα(n，m)}＝α，所以Fα(n，m)＝，F1-α(m，n)＝，应选D．知识模块：概率论与数理统计填空题3．某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为，该考生虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为，如果考生不知道正确答案只能随机地选，则该考生选对答案的概率α＝_______；若已知该考生选对了答案，那么他确实会做该题的概率β＝_______．正确答案：α＝；β＝．解析：设事件A1＝“该考生不知道正确答案”，A2＝“知道正确答案，但因粗心选错”，A3＝“知道正确答案且是正确答对”．易见A1，A2，A3构成一个完备事件组．且设事件B表示“答对题目”，则有(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝0，P(B｜A3)＝1．根据全概率公式及贝叶斯公式故α＝；β＝．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X，Y分别服从正态分布N(1，1)与N(0，1)，E(XY)＝－0．1，则根据切比雪夫不等式P{－4＜X＋2Y＜6}≥_______．正确答案：0．816解析：E(X＋2Y)＝EX＋2EY＝1，cov(X，Y)＝EXY－EXEY＝－0．1，D(X＋2Y)＝DX＋4cov(X，Y)＋4DY＝4．6，P{－4＜X＋2Y＜6}＝P{｜X ＋2Y－1｜＜5}≥1－＝0．816．知识模块：概率论与数理统计5．设X1，X2，…，Xn，…相互独立都服从参数为2的泊松分布，则当n →∞时，Xi2依概率收敛于_______．正确答案：6解析：依题意X12，X22，…，Xn2…亦相互独立同分布，其共同的期望存在：EXi2＝DXi＋(EXi)2＝λ＋λ2＝6，设Yn＝Xi2，根据辛钦大数定律，当n →∞时，Yn＝Xi2依概率收敛于EXi2，即Yn依概率收敛于6．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学概率论和数理统计第一章测试题(卷)(含答案解析)

考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B BA不等价．．．的是（）(A)B A (B)A B(C)BA (D)BA 2.设事件A 与事件B 互不相容，则（）(A)0)(B A P (B))()()(B P A P AB P (C))(1)(B P A P (D)1)(B AP 3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是（）(A)若AB ，则B A,一定独立 (B)若AB ，则B A,有可能独立(C)若AB ，则B A,一定独立 (D)若AB，则B A,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）(A)A 与B 互不相容(B)A 与B 相容(C))()()(B P A P AB P (D))()(A P B AP 5.设B A,为任意两个事件，且B A ，0)(B P ，则下列选项必然成立的是（）(A))|()(B A P A P (B))|()(B A P A P (C))|()(B A P A P (D))|()(B A P A P 6.设B A,为两个随机事件，且0)(B P ，1)|(B A P ，则必有（）(A))()(A P B A P (B))()(B P B A P (C))()(A P B A P (D))()(B P B AP 7.已知1)(0B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P ，则下列选项成立的是（）(A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P (B))()()(2121B A P B A P B A BA P (C))|()|()(2121B A P B A P A A P (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P 8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件（）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)2)1(3p p (B)2)1(6p p (C)22)1(3p p (D)22)1(6p p 10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是（）(A)B A与C (B)AC 与C (C)B A与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足1BP A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

概率论与数理统计考研真题集及答案

95 数一考研题 x
考研真题三
1. 设相互独立的两个随机变量 X , Y 具有同一分布律 , 且 X 的分布律为 X 0 1 p 1/2 1/2 则随机变量 Z max ( X , Y ) 的分布律为 ______________ .
2. 设 X 和 Y 为两个随机变量 , 且 P{ X 0, Y 0 }
16. 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 的概率分布为 P{ X i} 1 ( i 1, 0 , 1), 3
0.4 a b 0.1
已知随机事件 { X 0 } 与 { X Y 1} 相互独立 , 则 ( (A) a 0.2 , b 0.3 ; (C) a 0.3 , b 0.2 ;
99 数一考研题
6. 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 ) 的泊松分布 , 每位乘客在中途下车的概率为 p ( 0 p 1), 且中途下车与否相互独立 , 以 Y 表示
. 3 .
. 4 .
在中途下车的人数 , 求 : (1) 在发车时有 n 个乘客的条件下 , 中途有 m 人下车的概率 ; (2) 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布 .
97 数一考研题
4. 设 A , B 是两个随机事件 , 且 0 P ( A) 1, P ( B ) 0 , P ( B | A ) P ( B | A ), 则必有 ( ).
98 数一考研题
(A) P ( A | B ) P ( A | B ); (C) P ( AB ) P ( A) P ( B );
2. 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1% 和 2% , 现从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件 , 发现是次品 , 则该次品属 A 生产的概率是 ___________ .

概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理

第3章数字特征1．（1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2．（1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案填：4]3．（1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。

解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4．（1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（）。

[答案填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5．（1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （）.[答案填：34]6．（1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（）。

数的概率与统计练习题

数的概率与统计练习题
以下是一份关于数的概率与统计的练习题：
题目一：选择题
1. 下面哪个不是随机事件？
A. 抛硬币结果是正面朝上
B. 从扑克牌中抽取一张A
C. 掷骰子结果为偶数
D. 爬山时碰到下雨
2. 一副标准扑克牌共有52张，其中红心牌有13张，那么从中随机抽取一张牌是红心牌的概率是多少？
A. 1/13
B. 1/26
C. 1/52
D. 13/52
3. 从一个装有8个红球和4个蓝球的袋子中随机取出一球，取出红球的概率是多少？
A. 1/12
B. 2/3
C. 2/12
D. 1/4
题目二：计算题
1. 小明家有三个抽屉，每个抽屉里有红球3个和蓝球2个。

小明先随机选择一个抽屉，然后从该抽屉中随机取球。

若小球为红色，求其来自第一个抽屉的概率。

2. 有一个含有8只白球和5只黑球的袋子，从袋子中依次取球不放回，取出3只，求：
a) 相同颜色的球至少有2只的概率；
b) 取出的3只球均为黑球的概率。

题目三：应用题
甲、乙、丙三位同学分别参加英语和数学两门科目的考试。

已知甲的英语成绩优秀，乙的数学成绩优秀，那么丙同学同时在英语和数学两门科目上优秀的概率是多少？
请将答案写在纸上，答案不唯一。

注意：本试卷是一份练习题，可以根据自己的实际情况适当调整题目。

以上题目仅供参考，不保证完全无误。

祝您学习进步！。

考研数学一(概率论与数理统计)-试卷5

考研数学一（概率论与数理统计）-试卷5(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量√B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D.Z-X 2是服从均匀分布的随机变量解析：解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)．3.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X的概率密度f Z(z)= (（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：记Z的分布函数为F Z(z)，则其中D z={(x，y)Θy-x≤z)如图3-1的阴影部分所示，4.设随机变量X与Y相互独立，且X～P{｜X-Y｜＜1} ( )（分数：2.00）A.随σ1与σ2的减少而减少B.随σ1与σ2的增加而增加C.随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加√D.随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少解析：解析：由X～N ，从而由于Ф(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少；当σ2减少时增加．因此本题选(C)．5.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数 ( )（分数：2.00）A.为连续函数√B.恰有n+1个间断点C.恰有1个间断点D.有无穷多个间断点解析：解析：记Z=X+Y，则Z n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)．6.现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为 ( )（分数：2.00）A.6B.7．8 √C.9D.11．2解析：解析：记奖金为X，则X全部可能取的值为6，9，12二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.Z=Y.min{X，Y}的分布律为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且P(Z=0)=P{Y.min{X，Y}=0}=P{min{X，Y}=0}=P{X=0)=P{Z=1}=P{Y.min{X，Y}=1}=P{Y=1，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=1)=P{Z=2}=P(Y.min{X，Y}=2}=P{Y=2，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=2}=P{Z=3}=P{Y．min(X，Y}=3)=P{Y=3，min{X，Y}=1}=P(X=1，Y=3)=所以Z8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：X9.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0．46）解析：解析：X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1-0．10)×(1-0．20)×(1-0．30)=0．504，P{X=1}=(1-0．10)×(1-0．20)×0．30+(1-0．10)×(1-0．30)×0．20+(1-0．20)×(1-0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1-0．10)×0．20×0．30+(1-0．20)×0．10×0．30+(1-0．30)×0．10×0．20=0．092，P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006，所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X 2 )=0 2×0．504+1 2×0．398+2 2×0．092+3 2×0．006=0．82． DX=E(X 2 )-(EX) 2 =0．82-(0．6) 2 =0．46．10.设随机变量X 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）11.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记E(X 1 +X 2 )为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：所以E(X 1 +X 2 )=EX 1 +EX 2 =e -1 +e -2三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷6(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=__________，E[(X+Y)2]=__________。

正确答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2．解析：由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)[D(Y)+(EY)2]=μ(σ2+μ2)=μσ2+μ3．E[(X+Y)2]=E(X2+2XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2) =D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2 =σ2+μ2+2μ2+σ2+μ2=2σ2+4μ2．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2．设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，求Z=｜X—Y｜的数学期望。

正确答案：由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，所以T=X—Y服从N(0，1)，其概率密度为解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算．需要先判断X-Y的概率分布，然后再选择恰当的公式计算．知识模块：概率论与数理统计3．设X1和X2是相互独立的且均服从正态分布N(μ，σ)的随机变量，求E(max(X1，X2))．正确答案：设X1，X2的分布函数为F(x)，Z=max{X1，X2}，则fZ(x)=2F(x)d(x)，涉及知识点：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度fV(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．正确答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为(1)设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={X≤a}，B={Y＞a}．(1)若P(A∪B)=，求a；(2)设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．正确答案：解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．知识模块：概率论与数理统计6．随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求E(Y2)．正确答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于．知识模块：概率论与数理统计7．设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．正确答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9，由于X与Y 相互独立，所以解得a=一2，b=±5．解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X3，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．正确答案：由已知条件，D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3．又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．涉及知识点：概率论与数理统计9．设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．正确答案：(1)F(+∞)=1，有a+b=1．(2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx．=a ∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx．注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0，从而有E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx =b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx．令x一1=t，有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt =b×0+b×1=b．解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出E(X)．知识模块：概率论与数理统计10．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．正确答案：解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．知识模块：概率论与数理统计11．已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X 与Y的相关系数ρXY=．(1)求E(Z)和D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXY；(3)问X与Z是否相互独立，为什么?正确答案：(3)X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXY．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令的相关系数ρ．正确答案：解析：本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及Xi与的关系，是基本问题．中含有Xi，因此与Xi一般是不独立的．知识模块：概率论与数理统计13．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记，i=1，2，…，n．求(1)D(Yi)；(2)coy(Y1，Yn)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，Y=Xn+1+Xn+2+…+X2n，求U 和V的相关系数ρXY。

考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷66(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷66(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有A．0＜P(A∪B)＜1．B．0＜P(B)＜1．C．0＜P(AB)＜1．D．0＜P()＜1．正确答案：B解析：因A、B为对立事件，即A∪B=Ω，AB=，所以P(AB)=0，P()=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此(A)，(C)，(D)均不成立，应选(B)．知识模块：概率论与数理统计2．A，B，C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件A．A，B，C两两独立．B．P(ABC)=P(A)P(B)PC．P(A－B)=1．D．P(A－B)=0．正确答案：C解析：由三个事件相互独立的条件可知，(A)与(B)显然不对．对于(C)：由P(A－B)=1)=1，即P(B)=0．下面验证当P(A)=P(A)=P(B)=0时，它们是否满足四个等式：1)由P(B)=0P(AB)≤P(B)=0P(AB)=0=P(A)P(B)；2)由P(B)=0P(BC)≤P(B)=0P(BC)=0=P(B)P(C)；3)由P(P(AC)=P(AC)+P(C)=P(C)=P(C)P(A)．由以上1)，2)，3)可知A，B，C两两独立．4)由P(ABC)≤P(B)=0P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)．由以上可知，A，B，C满足四个等式，故选(C)．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X的概率分布为P{X=k}=a，k=0，1，2，…，则常数a= A．B．C．D．正确答案：B解析：由泊松分布知，P{X=k}当a(e+1)=1即a=时，X～P(1)，故应选(B)．知识模块：概率论与数理统计4．已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|－1＜x＜1，－1＜y＜1}上服从均匀分布，则A．P{X+Y≥0}=1／4．B．P{X－Y≥0}=1／4．C．P{max(X，Y)≥0}=1／4．D．P{min(X，Y)≥0}=1／4．正确答案：D解析：由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=∫01dx∫011／4dy=1／4，故选(D)．因P{max(X，Y)≥0}=1－P{max(X，Y)＜0}=1－P{X＜0，Y＜0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确．知识模块：概率论与数理统计5．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E(Xi)=nλ，D(Xi)=nλ，因此当n→+∞时，P{≤x}以Ф(x)为极限，故应选(C)．知识模块：概率论与数理统计6．设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，记EX=μ，DX=σ2，)2，DS＞0，则A．S是σ的无偏估计．B．S2是σ2的无偏估计．C．是μ2的无偏估计．D．Xi2是EX2的无偏估计．正确答案：B解析：从上题知S2是无偏估计，应选(B)．进一步分析DS=ES2－(ES)2＞0(ES)2≠ES2=σ2ES≠σ，知识模块：概率论与数理统计填空题7．设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量|X|的分布函数为_______．正确答案：解析：由于分布函数F(x)只在x=－1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量X与|X|的概率分布分别为|X|的分布函数F|X|(x)为F|X|(x) 知识模块：概率论与数理统计8．设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a＞0，则∫－∞+∞[F(x+a)－F(x)]dx=_______．正确答案：a解析：∫－∞+∞[F(x+a)－F(x)]dx=∫－∞+∞[∫xx+af(y)dy]dx∫－∞+∞[f(y)∫y－aydy]=∫－∞+∞sf(y)dy=a．知识模块：概率论与数理统计9．设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}=_______．正确答案：1╱2解析：由ρ=0可知，X与Y独立，从而有X－Y－N(0，2σ2)，根据对称性，有P|{X－Y＜0}=1／2．知识模块：概率论与数理统计10．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中的概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为_______．正确答案：[*]解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数－1=未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1－pi)kpi，i=1，2，且E(Xi+1)=1／pi，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2 知识模块：概率论与数理统计11．设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为_______．正确答案：解析：总体X的概率分布为此概率分布也可以表示为于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)如果记i，则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(概率与数理统计)-试卷6

考研数学一（概率与数理统计）-试卷6(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.以A( )（分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B.“甲、乙两种产品均畅销”．C.“甲种产品滞销”．D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．√解析：解析：设A 1 ={甲种产品畅销}，A 2 ={乙种产品滞销}，则A=A 1 A 2，由德摩根定律得={甲种产品滞销}∪{乙种产品畅销}，即为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选D．选项A、B中的事件与事件A都是互斥但非对立(互逆)的；选项C中事件的逆事件显然包含事件A，故选项A，B，C都不正确．3.设A，B，C是任意三个事件，事件D表示A，B，C中至少有两个事件发生，则下列事件中与D不相等的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：事件D表示A、B、C中至少有两个事件发生，即A、B、C三个事件恰好只有两个发生或者三个事件同时发生．而选项A仅表示三个事件只有两个发生与事件D不相等，应选A．4.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√C.P(C)=P(AB)．D.P(C)=P(A∪B)．解析：解析：由题设条件可知，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，故B正确．5.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 ={掷第一次出现正面}，A 2 ={掷第二次出现正面}，A 3 ={正反面各出现一次}，A 4 ={正面出现两次}，则事件( )（分数：2.00）A.A 1，A 2，A 3相互独立．B.A 2，A 3，A 4相互独立．C.A 1，A 2，A 3两两独立．√D.A 2，A 3，A 4两两独立．6.假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数( ) （分数：2.00）A.是连续函数．√B.是阶梯函数．C.恰有一个间断点．D.至少有两个间断点．解析：解析：对任意实数t，根据全概率公式及概率性质得0≤P{X+Y=t}=P{X+Y=t，x=0}+P{X+Y=t，X=b} =P{Y=t 一a，X=a}+P{y=t一b，X=b} ≤P{Y=t一a}+P{Y=t一b}=0， (因为P(AB})≤P(A)，又Y是连续型随机变量，所以对任意实数c，有P{Y=c}=0)．故对任意实数t，X+Y的分布函数是连续函数，因此选A．7.已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY)=( ) （分数：2.00）A.0．D.1．√8.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若X与Y不相关，则X 2与Y 2不相关．B.若X 2与Y 2不相关，则X与Y不相关．C.若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．D.若X与Y均服从0—1两点分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．√解析：解析：对于选项D：设x～B(1，p)，Y—B(1，g)，当X与Y独立时X与Y不相关．反之，当X与Y不相关，即E(XY)=E(X)E(Y)=pq由此可知X与Y独立．故此时X与Y独立和X 与Y不相关等价，故选项D正确．根据不相关的性质可排除选项A和B．对于选项C，当X与Y均服从正态分布时，(X，Y)未必服从二维正态分布，故选项C不正确．9.假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一1．√B.0．C.0．5．D.1．解析：解析：因为U=arcsinx和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．10.设随机变量X 1，X 2，…，X n (n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令则（分数：2.00）A. √B.C.D.11.假设总体X服从正态分布N(μ，σ2 )，X 1，X 2，…，X n是取自总体的简单随机样本(n＞1)，其均值为，如果P{|X—μ|＜a}=P{| 一μ|＜b}，则比值( )（分数：2.00）A.与σ及n都有关．B.与σ及n都无关．C.与σ无关，与n有关．√D.与σ有关，与n无关．12.已知总体X的期望E(X)=0，方差D(x)=σ2．X 1，X 2，…，X n是来自总体X的简单随机样本，其均值为X，则可以作出σ2的无偏估计量（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：因为E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0．5，则p= 1时，甲、乙胜负概率相同．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意，如果要使得甲乙的取胜概率相同，则必定有p=(1一p)×0．5+(1一p)×0．5×0．5，解得所以只有当时，甲乙胜负的概率相同．14.假设X服从参数λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2则λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据独立试验序列概型，可求得结果．事实上，已知记A={X＞2|，Y为对X作三次独立重复观察事件A发生的次数，则Y～B(3，p)，其中p=P(X＞2)=∫ 2+∞λe 一2λdx=e 一2λ，依题意15.设随机变量x服从指数分布，E(X)=5，令Y=min{X，2}，则随机变量Y的分布函数F(y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：当X＜2时，Y=X＜2；当X≥2时，Y=2．因此随机变量Y的取值为0≤1，≤2，则e{0≤Y≤2}=1，由于X服从参数的指数分布，因此当x＞0时，P{X≤x}=当0≤Y＜2时，P{Y≤y}=P{min(X，2)≤y}=P{X≤y}=于是，Y16.设随机变量X的分布函数为已知P{一1＜X＜a= 1；b= 2；f(x)= 3．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：由于F(x)在任何一点都是右连续的，于是有F(一1+0)=F(一1)17.设二维随机变量(X，Y)在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x 2所围成的区域上服从均匀分布，则（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：由直线y=x与曲线Y=x 2所围成的区域面积为所以(X，Y)的概率密度函数为18.已知随机变量X与y的联合概率分布为P{X+Y=l}=0．4，则α= 1；β= 2；P{X+Y＜1}= 3；P{X 2 Y 2 =1}= 4．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0．3）填空项1:__________________ （正确答案：0．1）填空项1:__________________ （正确答案：0．4）填空项1:__________________ （正确答案：0．3）解析：解析：根据题意得知，0．1+0．2+0+B+0．1+0．2=1，(1) 及P{X+Y=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4，(2) 联立(1)和(2)，解得α=0．3，β=0．1，于是=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=一1}=0．1+0．2+0．1=0．4， P{X 2 Y 2 =1}=P{X=1，Y=一1}+P{X=1，Y=1}=0．1+0．2=0．3．19.设ζ，η则随机变量|ζ一η|的数学期望E(|ζ一η|)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为ζ，η相互独立且均服从正态分布因此Z=ζ一η20.设随机变量X和Y的联合概率分布为X 2和Y 2的协方差Cov(X 2，Y 2 )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．02）解析：解析：由X和Y的联合概率分布得E(X 2)=1 2×0．5=0．5，E(Y 2)=1 2×0．6=0．6，E(X 2 Y 2 )=1 2×0．28=0．28，所以 Cov(X 2，Y 2 )=E(X 2 Y 2 )一E(X 2 )E(Y 2 )=0．28—0．30=一0．02．21.设X 1，X 2，…，X 6是来自正态分布N(0，σ2 )的简单随机样本．统计量 F= F(n 1，n 2 )分布，其中a为常数，则参数n 1和n 2分别为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2和4）22.设X 1，X 2，…，X n是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度函数为f(x)=一∞＜x＜+∞，则λ的最大似然估计量= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。