浙江省台州市高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案无答案新人教A版必

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高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
‖小试身手‖
1．设直线 l 过点 P(－2,0)，且与圆 x2＋y2＝1 相切，则 l 的
斜率是( )
A．±1
B．±12
C．±
3 3
D．± 3
解析：选 C 设直线 l：y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0.
定代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0，法 x－a2＋y－b2＝r2
Δ 7 _＞_0 Δ 8 ＝__0 Δ 9＜__0
消元得到一元二次方程的判别
式Δ
图形
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
[思考探究]………………|辨别正误| 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)直线 l：x＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是相交且过圆心．( √ ) (3)若直线 x－y＋a＝0 与圆 x2＋y2＝a 相切，则 a 等于 4.( × )
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
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第四章圆与方程
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.

人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT

2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.2直线、圆的位置关系

高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2直线、圆的位置关系§4.2.1直线与圆的位置关系(1)【学习目标】理解直线和圆的位置关系的判断方法，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.【学习重点】直线与圆的位置关系的判断方法的运用.【学习难点】用代数法判断直线与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.复习导入：(1)直线的一般式方程为___________________(2)圆的标准方程为___________________,圆心为________,半径为______.(3)圆的一般方程为__________________,圆心为________,半径为_____________.2.完成下列问题：(1)平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)直线与圆的三种位置关系的含义是:(3)判断直线与圆的位置关系的方法方法一:就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二:可以依据______________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1 :已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.例2:已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点、一个公共点，没有公共点.三、达标检测1.已知直线l 的斜率为1,-且与圆2223x y +=只有一个公共点,求直线l 的方程.2.判断直线3420x y ++=与圆2220x y x +-=的位置关系.四、学习小结代数法判断直线与圆的位置关系的步骤：1.____________________________________________;2.____________________________________________;3.____________________________________________;4.____________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(2)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】已知直线和圆的位置关系，求直线或圆的方程.【学习难点】圆的切线方程的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.知识回顾：（1）平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)判断直线l与圆的位置关系方法一,就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二,可以依据_____________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）2.自我认知：(1)过圆上一点可作几条切线？(2)过圆外一点可作几条切线？(3)过圆内一点可作几条切线？二、合作探究例1：过点P(-1,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例2：过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例3：求圆C：x2+(y-1)2=9与直线l:x-y+1=0.的交点坐标推广：已知圆的方程为22(2)1x y ++=,(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值.三、达标检测1.分别过点12341(,(1,0),(2,0),(1,2)22P P P P ----向圆221x y +=引切线,求它们各自切线的方程.２.已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程.３.求过点(1,2)P -且与圆22:5C x y +=相切的直线方程.４.求斜率为3，且与圆2210x y +=相切的直线方程.四、学习小结1.求圆的切线方程,一般有三种方法:一是设切点,利用切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d =r ),求出k 的值.2、把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(3)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】根据直线和圆的位置关系，解决相关问题.【学习难点】圆的弦长的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第127-128页，完成自主学习)知识回顾复习导入：1.平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆____ 三种.２.判断直线l 与圆的位置关系方法一：就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二：可以依据______________与____________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1:求直线360x y --=被圆22240x y x y +--=截得的弦长.例2:如果一条直线经过点3(3,)2M --且被圆2225x y +=所得的弦长为8，求这条直线的方程.例３:已知圆2246120x y x y +-+-=内的一点(4,2)A -，求以A 为中点的弦所在的直线方程.三、达标检测1.求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.２.已知直线l 的斜率为k ,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.３.已知圆C ：x 2+(y -1)2=5,直线l :mx -y +1-m =0.求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;４.求直线:3x -y -6=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长四、学习小结圆的弦长公式1.___________________________________________________;2.___________________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.2圆与圆的位置关系【学习目标】掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.【学习重点】求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.【学习难点】判断圆和圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第129-130页，完成自主学习)知识回顾：(1)平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是______、_______、_______、______、______(2)判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法一（几何法）：第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.方法二（代数法）：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆________；若方程组有两组相同的实数解,则两圆_______；若无实数解,两圆_______.二、合作探究例1：已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.例2：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.三、达标检测1.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.2.求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.四、学习小结1.判断两圆的位置关系,一般情况下先化为标准方程,利用______判断较为准确直观.2.两个圆方程联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的______所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.。

高中数学第四章圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即时自测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一与两圆相切有关的问题【例1】求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解设所求圆的圆心为P (a ，b )，则（a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？提示两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52，圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25，即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三直线与圆的方程的应用【例3】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基础过关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能力提升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探究创新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10，圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。

人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.3 直线与圆的方程的应用》教学PPT

(0,d)D
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
直线与圆的综合问题举例
(12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2 ＋(y－3)2＝1 相交于 M、N 两点．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4 ｍ需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度（精确到0.01m）.
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔（精4m确需到用0一.01个）支柱支N(x2，y2)，则由①得
，10 分
∴O→M·O→N ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
4k1＋k
＝
＋8＝12
1＋k2
∴k＝1(代入①检验符合题意).12 分,
4－ 7 4＋ 7 得 3 <k< 3 .4 分 (2)证明设过 A 点的圆的切线为 AT，T 为切点，则|AT|2＝|AM|·|AN|， |AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，
∴|AM→|·|A→N |＝7.6 分
根据向量的运算：
A→M·A→N＝|A→M|·|A→N |·cos 0°＝7 为定值.8 分
2 , yO yN
, 2
xE

a 2 , yE

d 2
| O'E | ( a c a )2 (b d d )2 222 222
y
B (0,b)

高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

点C(0,1)到直线(zhíxiàn) l 的距离为：
y
l B
C
所以，直线 l 与圆相交，有两个(liǎnɡ ɡè)公共点．
O
由 x2 3x 2 0，解得：
把 x1 2,代x入2 方1程①，得
；
把
代入方程① ，得
．
直线 l 与圆有两个交点(jiāodiǎn),它们的坐标分A别(2是,0：),B(1,3) 第九页，共23页。
3.用坐标法解题的一般(yībān)步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
二、数学(shùxué)思想
数形结合思想、方程思想、待定系数(xìshù)法、代入法、代数法、几何法
A x
小结:直线(zhíxiàn)与圆的位置关系的判定方法
(1)利用直线与圆的交点的个数进行(jìnxíng)判断：
△<0 △=0 △>0
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系(guān xì)判断：
d >r d =r
直线与圆相离直线与圆相切
d <r
所以 O ' E 1 BC 2
第十八页，共23页。
用坐标法解题(jiě tí)的一般步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化代数问题.
第二步：通过代数运算(yùn suàn)，解决代数问题.
第三步：把代数(dàishù)运算结果“翻译”成几何结论.
（3）
2.用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r 的关系判断

2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系课件PPT

【例 1】已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－ 4x－2y＋1＝0.当 m 为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
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[解] 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
C．相离
D．无法判断
B [圆心(0，0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d＝ |3－2＋5|42＝1. ∵d
＝r，∴直线与圆相切．选 B.]
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2．设 A，B 为直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 的两个交点，则|AB|＝( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
D [直线 y＝x 过圆 x2＋y2＝1 的圆心 C(0，0)，则|AB|＝2.]
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直线与圆位置关系判断的三种方法： (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
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已知圆 C：x2＋y2－4x＝0，l 是过点 P(3，0)的直线，则( )
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法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为 C(2，1)，半径 r＝2.
圆心 C(2，1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
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(1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当 d>2 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标 1.了解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.知识点一利用直线与圆的方程解决实际问题解决此类问题的一般程序是：仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题，了解问题的实际情境，把握问题的数学本质.(2)引进数学符号，具体分析问题中的数量关系，正确建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答，求得结果.(4)转化为具体问题，做出解答.知识点二利用直线与圆的方程解决平面几何问题平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把点用坐标表示，直线、圆等用方程表示，并用代数方法研究几何问题，这就是人们常说的“坐标法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几何问题.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.1.用坐标方法解决平面几何问题时，平面直角坐标系建立的位置与解题过程无关.(×)2.圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.(√)3.已知点P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则PQ 与x 轴垂直.( √ )题型一直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m.现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？考点题点解建立如图所示的坐标系.依题意，有A (－10,0)，B (10,0)， P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0). 设圆拱桥所在圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2.解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4).把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过.反思感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.跟踪训练1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽为________米.答案 251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆心为C ，圆的方程设为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r >0)，水面所在弦的端点为A ，B ，则A (6，－2).将A (6，－2)代入圆的方程，得r ＝10，则圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0>0)，将A ′(x 0，－3)代入圆的方程，得x 0＝51，所以当水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251(米). 题型二与圆有关的最值问题例2 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值. 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用解原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.(1)设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.反思感悟利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等. (2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.跟踪训练2 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值. 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1,2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34.(2)令u ＝x －2y ，则u ＝x －2y 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得. 依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.坐标法的应用典例用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.考点题点证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.[素养评析](1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.②充分利用图形的对称性.③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.④关键点的坐标易于求得.(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3C.1D.3题点答案 A解析由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.2.已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A.8 B.－4 C.6 D.无法确定考点题点答案 C解析因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，从而－m2＋3＝0，即m ＝6.3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( ) A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米考点题点答案 B解析以半圆所在直径为x 轴，过圆心且与x 轴垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.易知半圆所在的圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x ＝0.8或x ＝－0.8，代入x 2＋y 2＝3.62，得y ≈3.51(负值舍去).4.圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，则周长最小的圆的方程为________.题点答案 x 2＋y 2－2y －9＝0解析当AB 为直径时，过A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10，即x 2＋y 2－2y －9＝0.5.如图，圆弧形拱桥的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________米.考点题点答案 13解析设圆心为O ，半径为r ，则由勾股定理得，|OB |2＝|OD |2＋|BD |2，即r 2＝(r －4)2＋62，解得r ＝132，所以拱桥的直径为13米.1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.一、选择题1.y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方所围成的图形的面积是( ) A.π4 B.3π4 C.3π2 D.π 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用答案 D解析数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A.36 B.18 C.6 2 D.5 2 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用答案 C解析圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，圆心为(2,2)，半径为3 2.圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.3.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用答案 B解析圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0，即 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－2a ，故弦心距d ＝|－1＋1＋2|2＝2，再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a ＝2＋4， ∴a ＝－2.4.设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用答案 B解析如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.5.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B.1 C. 3 D. 2 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 B解析 x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6.若方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是( ) A.k ＝±3 B.k ∈(－2,2) C.k <－2或k >2D.k <－2或k >2或k ＝±3 考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 D解析方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解等价于y ＝1－x 2与y ＝kx ＋2有唯一公共点.由图象(图略)知选D.7.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是()A.(－22，0)∪(0,22)B.(－22，22)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－1,1)考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交.|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.8.已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A.[－32，32]B.[－3,3]C.(－3,32]D.[－32，3)考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 C解析数形结合法，注意y＝9－x2，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b≤32时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.二、填空题9.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用答案 254解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254. 10.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________.考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 x ＋y －2＝0解析由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.11.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h.考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 1解析如图，以A 地为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B 处于危险区，即B 处于危险区时，台风中心在线段MN 上，可求得|MN |＝20，所以时间为1 h.三、解答题12.已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动.(1)求y －1x －2的最大值与最小值； (2)求2x ＋y 的最大值与最小值.考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用解 (1)设y －1x －2＝k ，即kx －y －2k ＋1＝0，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33， ∴y －1x －2的最大值为33，最小值为－33. (2)设2x ＋y ＝m ，则m 表示直线2x ＋y ＝m 在y 轴上的截距.当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由|1－m |5＝1，解得m ＝1±5， ∴2x ＋y 的最大值为1＋5，最小值为1－ 5.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路上的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用解以O 为坐标原点，OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离.此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 答 DE 的最短距离为(42－1)km.14.若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.[2－3，1]B.[2－3，2＋3]C.⎣⎡⎦⎤33，3D.[0，＋∞)考点题点答案 B解析圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(2,2)，半径为3 2.由圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，可得圆心到直线l 的距离d ≤32－22＝2，即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若b ＝0，则a ＝0，不符合题意，所以b ≠0，则①式可化为1＋⎝⎛⎭⎫a b 2＋4a b ≤0.②又直线l 的斜率k ＝－a b，所以②式可化为1＋k 2－4k ≤0，解得k ∈[2－3，2＋3]. 15.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的简单应用解如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程为x 2＋y 2＝252.直线AB 方程为x 40＋y 30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h). 答外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.。

高中数学配套课件：第1部分第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用

B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
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解析：∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由 a2＋32 ＝5，可以解得a
＝± 4，故所求圆的方程为(x± 2＋(y－6)2＝36. 4)
答案：D
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[例3]
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解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对
应的圆的方程为返回
x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为 x y 7＋4＝1，即4x＋7y－28＝0. 圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离 d＝ |28| 28 ＝，而半径r＝3， 2 2 65 4 ＋7
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则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系
2个
1个
0个外离或内含
相交内切或外切
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几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到
两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．
C．2或－5
D．不确定
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解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m＋12 ＝3＋2，即m2＋3m

浙江省台州市高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置

4.2.1 直线与圆的位置关系(1)学习目标：1.理解直线与圆位置的种类；2.利用距离公式求圆心到直线的距离；3.会判断直线与圆的位置关系合作探究1、直线与圆的位置关系问题：如图，已知圆M，你能画出几种直线l与圆M的不同的位置关系？思考1、在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系?思考2、如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？思考3、平面直角坐标系中,怎样根据直线与圆的方程来判断它们的位置关系？(设l：Ax+By+C=0, 圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0)小结1、直线l与圆C的位置关系合作学习1、例1、已知直线l:3x+y－6＝0与圆C：x2＋y2－2y－4=0，判断直线l与圆C的位置关系，如果相交，求出它们的交点坐标.变式1、判断下列直线与圆的位置关系：(1) l1：x+y－2=0，圆O：x2+y2=2.(2) l2：x+2y－1=0，圆C：x2－2x+y2－y+1=0变式2、求实数m 的范围，使直线x －my +3=0与圆x 2+y 2－6x +5=0分别满足：(1)相交，(2)相切，(3)相离合作探究2、直线与圆相交时的弦长问题问题：直线l ：Ax+By+C=0与圆：Mx 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交于A,B 两点，如何求弦长|AB|的值？小结2、弦长|AB|= =合作学习2、例2、(1)求直线l :3x +y -6=0被圆x 2+y 2－2y －4=0截得的弦长|AB|；(2)已知过点M(－3, －3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y －21=0所截得的弦长为72，求直线l 的方程变式1、直线x+2y －3=0被圆(x －2)2+(y +1)2=4截得的弦长为变式2、圆心为(2,－1)的圆在直线x －y －1=0上截得的弦长为22.______,0322)3,1(122的取值范围为则实数的外部在圆、若点思维拓展：a ay ax y x =--+2、若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交,则点P(a ,b )与圆的位置关系是 ( )A .在圆上B . 在圆内C .在圆外D .以上皆有可能变式：若点P (a ,b )在圆x 2+y 2=1内,则直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1的位置关系是 .。

高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修

法二圆 C:x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2=5,
其圆心坐标为(0,1),半径 r= 5 ,
点(0,1)到直线 l 的距离为 d= 3 0 1 6 = 10 ,
32 12
2
所以半弦长为 AB = r2 d 2 2
2
=
2 5
10 2
=
10 , 2
所以弦长|AB|= 10 .
解:(1)由题意可知直线 l 的方程为 y=mx+1,圆 C:(x-2)2+y2=1, 圆心为(2,0),半径为 1, 因为直线 l 与圆 C 相切,
所以 d= 2m 1 =1,解得 m=0 或 m=- 4 .
1 m2
3
(2)过点 Q(0,-2)的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,直线 OA,OB 的斜率分别为
所以圆 C 的标准方程为(x-5)2+(y+3)2=25. (2)由题意可知,直线方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0,
由 5x 3 1 >5,解得 k> 9 ,所以实数 k 的取值范围是( 9 ,+∞).
k2 1
40
40
2.若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系:①相交;②相切;③相离, 试分别求实数a的取值范围.
1 k 2 |x1-x2|=
1
1 k2
|y1-y2|,其中 k 为直线 l 的斜率.
即时训练2-1:已知直线l:5x+12y+a=0与圆C:x2-2x+y2=3. (1)若直线l与圆C相切,求a的值; (2)若直线l与圆C相交于A,B两点,若|AB|=2,求a的值.

高中数学第4章圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用教材梳理素材新人教A版必修2

4.2.3 直线与圆的方程的应用疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2).所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解. 例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +，|AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-，∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-•k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0，得k∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin∠AOB=2sin∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。

高中数学第4章圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系教材梳理素材新人教A版必修2

4.2.2 圆与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、判断圆与圆的位置关系设两圆分别为圆O 1、圆O 2，试利用两圆的方程研究两圆的位置关系.1.代数法：代数方法的实质仍是通过方程组解的个数得到交点个数，从而决定位置关系.可以建立适当坐标系，设两圆的方程，联立方程组研究其公共解的组数来解决.但过程烦琐，位置关系还得借助图形(例如方程组只有唯一一组解，这时两圆是内切还是外切呢)，因此说利用代数方法研究圆的位置并不方便，不是理想的方法.2.几何法：设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，则d>r 1+r 2，两圆外离；d=r 1+r 2，两圆外切；｜r 1-r 2｜<d<r 1+r 2，两圆相交；d=｜r 1-r 2｜，两圆内切；d<｜r 1-r 2｜，两圆内含. 方法归纳判断两个圆的位置关系有两种，第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较为烦琐，故使用较少，在研究两圆的位置关系时，显然几何法是比较实用、比较直观、比较简单的方法.具体如下：设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，圆与圆的位置关系可分为相离、相切、相交、内含，其判断方法是几何法.设圆O 1的圆心为O 1，半径为r 1，圆O 2的圆心为O 2，半径为r 2.两圆相交⇔|r 1-r 2|＜|O 1O 2|＜r 1+r 2;两圆相切⎩⎨⎧+=⇔-<⇔;||;||21212121r r O O r r O O 外切内切两圆相离⇔|O 1O 2|＞r 1+r 2;两圆内含⇔|O 1O 2|＜|r 1-r 2|.二、圆系方程我们知道两圆相交(相切)有两个(或一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆可组成一个圆系.常见圆系方程有如下几种：(1)与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0；(2)过直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0；(3)过两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0，x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1),此圆系不含圆x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0.联想发散对过两已知圆的圆系方程，当λ=-1时，得到（D 1-D 2）x+（E 1-E 2）y+F 1-F 2=0，此为两圆公共弦所在直线方程.因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在直线的方程.由此可推广：经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0. 问题·探究问题1 以已知线段AB 为弦作出两个不同的圆，这时两个圆的方程是否能确定？反过来，如果已知两个确定的圆相交于两点C 、D ，那么CD 所在的直线的方程能否确定呢？探究:由于以线段AB 为弦的圆有无数多个，所以随机作出的两个不同的圆的方程不能确定.而当两圆确定时，如果它们相交，则有且只有两个交点，这两个交点就确定了两个圆的公共弦所在直线的方程，故CD 所在直线的方程是确定的.问题2 向平静的池塘水面随便抛掷两颗石子，则落水后它们各自发出了以石子落下水的点为圆心，半径在不断扩大的圆，你能想象出抛掷后在同一时刻它们所发出的两个圆的位置关系吗？探究:由于抛掷的前后时间不同，抛掷的地点不同，容易想象，抛掷后同一时刻两颗石子发出的圆可能有外离、外切、相交、内切、内含等各种情况.典题·热题例1 实数k 为何值时，两圆C 1:x 2+y 2+4x-6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x-14y+k=0相交、相切、相离？思路解析：利用两圆的圆心距与半径的和与差的关系判断.解：将两圆的一般方程化为标准方程，C 1:(x+2)2+(y-3)2=1，C 2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C 1的圆心为C 1(-2,3)，半径r 1=1；圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2=k -50(当k<50时).从而|C 1C 2|=5)73()12(22=-+--当5501=-+k ，即k=34时，两圆外切.当|150--k |=5,即650=-k ,k=14时，两圆内切.当14＜k ＜34时，则6504<-<k ，即r 2-r 1<|C 1C 2|<r 2+r 1，此时，两圆相交. 当k ＜14或34＜k ＜50时，两圆相离.深化升华给出两圆的方程判断两个圆的位置关系，一般情况下，先把圆的方程配方为标准方程后，求得圆心和半径，利用几何法去判断两圆的位置关系.例2 (2020江苏高考)如图4-2-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM=PN 2，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4-2-1思路解析：建立适当的直角坐标系，而题中的等量关系是同一点出发的两切线的长间的关系，由直线与圆相切，由勾股定理得出切线长，构成方程化简即可.解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O 1(-2，0)，O 2(2，0)，由已知PM=PN 2，得PM 2=2PN 2. 因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO .设P(x,y)，则(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即(x-6)2+y 2=33.所以所求轨迹方程为(x-6)2+y 2=33(或x 2+y 2-12x+3=0).方法归纳求动点的轨迹方程时，先要观察原题中是否已有坐标系，没有的话要先建立适当的直角坐标系.设轨迹上任一点坐标(x ，y)，由题中条件列出关系式求解，常用的方法有直接法、代入法和定义法等.并且要注意对最后得到的结果进行检验，看是否有多余的解或漏掉的解.例3 已知两个圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：x 2+y 2-2x-4y+4=0，直线l ：x+2y=0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程.思路解析：所求圆经过C 1、C 2的交点，故可用圆系方程求解.圆与直线相切的问题可利用圆心到切线的距离等于半径.求经过两圆交点的圆可考虑圆系，但要考虑λ≠-1，另外由于圆系中不包括圆x 2+y 2=4，因此应检验圆x 2+y 2=4是否也满足条件.解：设所求圆的方程为x 2+y 2+4-2x-4y+λ(x 2+y 2-4)=0，即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-2x-4y+4(1-λ)=0.所以圆心为(λλ++12,11)，半径为)11(16)14()12(2122λλλλ+--+-++-，即22)1()1(16164215|1411|λλλλ+--+=+++. 解之，得λ=±1，舍去λ=-1，故所求圆的方程为x 2+y 2-x-2y=0.深化升华过两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0，x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1),要注意此圆系不能表示圆x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0.。

高中数学第4章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系人教A版必修2

直线与圆的相交问题 [探究问题] 1．已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB| ＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长 l＝2 r2－d2.
可设直线斜率为 k，则直线方程为 y＝k(x－2)，
所以 d＝|－k12－＋21k|＝ 210，解得 k＝－3 或 k＝13，
所以直线方程为 y＝－3(x－2)或 y＝13(x－2)，即 3x＋y－6＝0 或 x－3y－2＝0.
求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系12l2 ＋d2＝r2 解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
当堂达标固双基
3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长为 10，求该直线方程”，又如何求解？
[解] 由例题知，圆心 C(0，1)，半径 r＝ 5，又弦长为 10，所以圆心到直线的距离
d＝

r2－
2102＝
5－52＝
10 2.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，

人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系课件(4)

Y
B
OX
4
.A
C
3
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如图，在平面直角坐标系内，点A坐标为（3，－4），⊙A的半径为3. （1）判断⊙A与两坐标轴的位置关系，并说明理由. （2）⊙A向上平移多少个单位时与x轴相切？
y
O
x
4
.A
3
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2、已知正方形ABCD的边长为2，以对角线的交点O为圆心，以1为半径画圆，则⊙O 与正方形四边的位置关系为相切。
4cm
D
2.4cm
C 3cm A
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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
1．当r满足____0_c_m__<_r_＜__2_.4_c_m_时， ⊙C与直线AB相离。
2．当r满足______r_=_2_.4_c_m_ 时， ⊙C与直线AB相切。
A
D
O
E
B
C
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思考题：
如图：菱形ABCD的边长为5cm，∠B=60°
当以A为圆心的圆与BC相切时，半径是
，
此时⊙A与CD的位置关系是
。
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挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
r ●O d
相交
• 直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离
图形位置关系
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
r ●O
d
┐ 相离
d = r;
d > r;
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数量关系