2015高考第一轮复习：5.6三角恒等变换

同理，由
5 16 5 β － π f ＝ ，得 6 17
8 cosβ＝ ， 17
π 15 ∵β∈0， ，∴sinβ＝ ， 2 17
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 4 8 3 15 13 ＝ × － × ＝－ . 5 17 5 17 85
sin10° 2：原式＝ cos10°－ cos10° 3 sin50°
解法
sin10°－ 3cos10°cos10° ＝ sin50° cos10° 1 2 2sin10°－ 3 cos10° 2 sin50°
＝
2sin10°－60° ＝ ＝－2. sin50° 2cos30°－20°－sin20° (2)原式＝ cos20° 2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20° ＝ cos20° 2cos30°cos20° ＝ ＝ 3. cos20°
【答案】
(1)－2
(2) 3
1 sin 35°－ 2 同类演练：化简 ＝( sin20°
2
)
1 A. 2 C．－1
1 B．－ 2 D．1
1－cos70° 1 － 2 2 cos70° 原式＝ ＝－ sin20° 2sin20°
【解析】
sin20° 1 ＝－ ＝－ ，选 B. 2sin20° 2
【答案】 B
1 2 1－ 7
给值求角
1 13 π 【例 4】 已知 cosα＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0<β<α< ，求β. 7 14 2
π π ，得 0<α－β< 2 2
【解】
由 0<β<α<
13 又∵cos(α－β)＝ . 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β ＝ 1－ 13 2 3 3 ＝ . 14 14
)
4 D．－ 5
1 1 2 解析：sinα－cosα＝ ，(sinα－cosα) ＝1－sin2α＝ ，sin2 5 25 24 α＝ . 25
答案：B
π 4．函数 f(x)＝ 3sinx＋sin( ＋x)的最大值是________． 2
π π 解析：f(x)＝ 3sinx＋cosx＝2sin(x＋ )，当 x＝ 时，f(x)取得 6 3 最大值 2.
【评析】
π π 注意本题中角的变化：α＝α－6＋6.
1 π 同类演练：已知 cosα＝ ，且 0<α< .求 tan2α的值． 7 2
1 π 2 【解】 由 cosα＝ ， 0<α< ， 得 sinα＝ 1－cos α＝ 7 2 4 3 sinα 4 3 7 ＝ ，∴tanα＝ ＝ × ＝4 3， 7 cosα 7 1 2tanα 2×4 3 8 3 于是 tan2α＝ ＝ ＝－ . 2 1－tan α 1－4 32 47
2π
(2)由(1)知
5 π π π 6 ∴f5α＋ π＝2cosα＋ ＋ ＝2cosα＋ ＝－2sinα＝－ . 3 3 6 2 5 π 3 4 ∴sinα＝ ，∵α∈0， ，∴ cos α ＝ ， 2 5 5
答案：B
2sin2α cos α 2．化简 · ＝( 1＋cos2α cos2α A．tanα C．1 B．tan2α 1 D. 2
2
2
)
2sin2α cos α sin2α 解析：原式＝ · ＝ ＝tan2α. 2cos2α cos2α cos2α
答案：B
1 3．sinα－cosα＝ ，则 sin2α的值是( 5 24 A．－ 25 4 C. 5 B. 24 25
给值求值
【例 3】
函数
π f(x)＝Asinωx－ (A>0，ω>0)的最大值为 6
2，
其最小正周期为π. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式；
π (Ⅱ)设α∈0， ，则 2 α 1 f 2 ＝2，求
cosα的值．
【解】
(Ⅰ)依题意知 A＝2，且
2π
ω
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＝π，∴ω＝2.
π ∴f(x)＝2sin2x－ . 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
α π 1 α － f ＝2sin ＝ ， 6 2 2
π 1 ∴sinα－ ＝ . 6 4 π π π π ∵α∈0， ，∴－ <α－ < ， 2 6 6 3
2π 5π ∴f(x)在区间[－π，0]上的所有零点之和为－π＋(－ )＝－ . 3 3
由 f(x)＝Asin(ωx＋φ)求 f(mα＋nπ)．
π f(x)＝2cosωx＋ (其 6
【例】 (2012 年高考· 广东卷)已知函数 中ω>0，x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求ω的值；
π 5 5 6 16 0 ， 5 α ＋ π 5 β － π (2)设α，β∈ ，f ＝－5，f ＝17，求 2 3 6
cos(α＋β)的值．
【正解】
1 (1)∵ω＞0，∴T＝ ＝10π，∴ω＝ . ω 5
1 π f(x)＝2cos x＋ ， 5 6
cos75°－sin75° 5. ＝__________. cos75°＋sin75°
1－tan75° tan45°－tan75° 解析：原式＝ ＝ 1＋tan75° 1＋tan45°tan75° ＝tan(－30°)＝－ 3 . 3
给角求值
【例 2】
cos10° 求值：(1)(tan10°－ 3) ＝________； sin50°
三角函数、三角恒等变换与解三角形
第6课时
三角恒等变换
1．下列各式中，值为 A．2sin15°cos15° C．2sin215°－1
3 的是( 2
) B．cos215°－sin215° D．sin215°＋cos215°
2 2
解析： 根据正、 余弦二倍角公式可知 cos 15°－sin 15°＝cos30°＝ 3 . 2
2
由β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－ 1 13 4 3 3 3 1 β)＝ × ＋ × ＝ 7 14 7 14 2 π 所以β＝ . 3
变式引申：(2015 年安徽模拟)已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx－ 1(ω>0)相邻两个最大值间的距离为π. (1)求ω的值； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的所有零点之和． π π 【解析】 (1)f(x)＝2(sinωxcos ＋cosωxsin )－1＝2sin(ω 6 6
π x＋ )－1. 6 ∵T＝ 2π
ω
＝π，∴ω＝2.
π (2)由(1)知 f(x)＝2sin(2x＋ )－1 6 π 1 令 f(x)＝0，得 sin(2x＋ )＝ 6 2 11π π π ∵－π≤x≤0，∴－ ≤2x＋ ≤ 6 6 6 π 11π 7π π ∴2x＋ ＝－ ，或－ ，或 ， 6 6 6 6 ∴x＝－π，或－ 2π ，或 0 3
2cos10°－sin20° (2) ＝________. cos20°
【解析】
cos10° (1)解法 1：原式＝(tan10°－tan60°) sin50°
sin10° sin60°cos10° － ＝ cos10° cos60°sin50°
＝
sin－50° cos10° · ＝－2. cos10°cos60° sin50°
π ∴cosα－ ＝ 6
π 15 1－sin α－ ＝ 6 4
2

π π ∴cosα＝cosα－ ＋ 6 6 π π 3 1 3 5－1 ＝ cosα－ － sinα－ ＝ 6 2 6 2 8