第二届全国算子理论与算子代数学术会议

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第一节有界线性算子的谱

第一节有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。

性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。

以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。

6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。

当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。

定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。

性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。

引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。

特别，当1T <时上式必成立。

推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。

中国特色数学教育引领者_张奠宙先生_宋乃庆

一、博学：贯通数学、数学史及数学教育的 “ 三栖学者”
张先生接受过民国时期的数学教育，后又成为新中国的数学教育研究者，经历了
４２
中国教育科学·２０１５年第４辑
我国数学教育大发展、大变革、大构建的年代。作为我国数学教育的一名经历者、研究者与构建者，几十年来，他积极引领着我国数学教育学的发展与本土特色的构建。数学教育是一门交叉学科，既需要自然科学和数学的知识基础，又需要人文学科及教育学的背景。张先生文理兼通，不仅数学功底扎实，科学素养厚重，而且人文底蕴不凡。在数学教育圈里，张先生文笔好是有口皆碑的。原因何在？我认为张先生的博学，特别是能贯通 “数学、数学史、数学教育 ” 三个研究领域，是一个重要的本源因素。张先生的数学研究属于泛函分析领域，重点在算子谱论。他师从夏道行教授，早在 “文革” 之前就发表了《非拟解析算子与可分解算子》一文（与沈祖和合作，《复旦大学学报（自然科学版）》，１９６６年），这是我国算子谱论研究领域较早的工作。 “文革” 结束后，继续有多篇论文在《中国科学》、《数学学报》、《数学年刊》等一流数学杂志发表。其专著《线性算子组的联合谱》于１９９１年出版。１９９７年，他在上海主持 “算子代数与算子理论国际会议”，世界一流学者云集，曾盛极一时。作为一名大学数学教授，他曾任华东师范大学数学系函数论教研室主任，长期执教 “复变函数论”、“实变函数论 ”、“数学分析 ” 等课程。２０世纪８０年代，他参与编写程其襄教授主持的《实变函数与泛函分析基础》教材。程其襄教授去世后，他主持该教材第二版、第三版的修订。该教材广受欢迎，至今为许多高等院校采用。坚实的现代数学基础，为张先生后来从事数学教育研究奠定了牢固的基石，善于高屋建瓴地剖析中小学数学及数学教育的本质，往往见他人之所未见，发前人之所未发。我知道的一个最近的事例是：２０１５年，高等教育出版社推出张奠宙、柴俊合著的《大学数学教学概说》。这是我国第一本比较系统地论述大学数学教学的著作。２０１４年以来，他对现行各种版本小学数学教材 “ 关于数学本质的认识 ” 发表了一系列深刻而尖锐的评论，并给予极富启发性的建议，引起小学数学教育界的广泛注意。这些论文即将以《小学数学的大道理》为书名结集出版。８２岁高龄还能驾驭从大学到小学的各种数学题材，在数学教育圈内，实不多见。张先生是我国研究现代中外数学史的一位代表人物。早在２０世纪８０年代，一本２０世纪数学史话》，成了那个时代青年学子了解现代数学的主要读物，并一版再版。《２００２年，据此改写的《２０世纪数学经纬》面世，至今仍是追寻现代数学足迹的优秀读物。众所周知，现代数学涉及的数学知识非常广泛，没有良好的数学修养，是无法胜任现代数学史编撰的。１９９８年，张先生推出了《中国现代数学的发展》一书，这是迄今为止描述自清末民国之初到２０世纪末中国现代数学进展的最详尽的著作，目前尚无其他著作可以代替。研究数学发展的过去，使得张先生对现代中国数学与数学教育的历史了然于胸，对我国数学与数学教育前辈更是深怀敬意。我想，这对张先生后来研究数学教育时所具有的民族自信和教育自觉产生了非常重要的影响。

程国正,男,1982 年8月出生,浙江温岭人,博士,副教授 ...

8. Guozheng Cheng, Xiang Fang, Zipeng Wang and Jiayang Yu, The hyper-singular cousin of the Bergman projection, to appear in Transactions of the AMS, 2016.
9. Li Chen, Guozheng Cheng, Invariant domains in the Hardy space over the unit
disk, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 431(2015), 509-517
个人简介：
程国正，男，1982 年 8 月出生，浙江温岭人，博士，副教授，美国数学评论评论员。2010 年在复旦大学数学科学学院获得博士学位，师从郭坤宇教授。主要从事泛函分析中的算子理论与算子代
数研究。
教育经历：
2000-2004，浙江师范大学，数学与应用数学，本科 2004-2007，浙江师范大学，基础数学，理学硕士 2007-2010，复旦大学，数学科学学院，理学博士
2. Guozheng Cheng, Xiang Fang, An additive formula for Samuel multiplicities on Hilbert spaces of analytic functions, Journal of Functional Analysis, 260（2011）， 2027-2042
6. Li Chen, Guozheng Cheng, Xiang Fang, Fiber dimension for invariant subspaces,

曹怀信同志事迹材料

曹怀信同志事迹材料曹怀信，男，汉族，1958年4月生, 中共党员，陕西师范大学教授、博士研究生导师。

主要从事基础数学与应用数学的教学与研究工作，研究方向为算子理论、算子代数、小波分析及量子信息与计算。

先进事迹简述如下：一、忠诚教育事业，师德品质优秀曹怀信教授能够认真学习党的各项方针政策，坚持四项基本原则，具有强烈的事业心和责任感，能很好地发挥共产党员的先锋模范作用。

他先后担任教工第一党支部书记、学院党委委员职务，认真组织落实学院党委安排的各项工作。

在他的带领下，学院教工一支部两次被学校评选为先进党支部、陕西省优秀党支部。

他自觉加强理论学习，遵守国家法律法规、校纪校规与教师职业道德规范，忠于党的教育事业，热爱教师工作，受到学院师生的一致好评。

二、治学态度严谨，科研成果丰硕曹怀信教授治学态度严谨，善于钻研，不断进取，成果丰硕。

长期以来，曹怀信教授主要从事算子理论、算子代数、非线性算子的Lipschitz理论、小波分析及量子计算的研究，先后在国内外学术杂志上发表论文100余篇,主持或参加过国家自然科学基金、教育部优秀青年教师基金、陕西省自然科学基金及陕西师范大学重点科研基金资助项目多项，合作完成的科研成果多次获得陕西省科技进步奖。

其中，他主持完成了国家自然科学基金项目《基于量子信息论的算子论与算子代数研究》、正在主持国家自然科学基金项目《量子态分类与量子绝热逼近中的算子论方法》（No. 11371012, 2014.01-2017.12.30，62万元）、作为第二参与人参与了国家自然科学基金项目2项。

在科学研究工作中，他获得了一系列具有重要理论价值与学术意义的研究成果，得到了国内外同行专家的肯定与赞誉。

其主要科研成果包括：提出并研究了Ｃ*-代数上的广义迹理论；提示了算子论与小波分析之间的内在联系；给出了Lipschitz-α算子的若干性质；建立了非线性Lipschitz 算子的M-谱理论；证明了Riesz函数演算的Lipschitz性质；解决了Lipschitz-α算子的延拓问题；提出并研究了非交换Lipschitz-φ算子代数；提出了抽象Hilbert空间的中多分辨分析、Riesz小波与正交小波向量的概念；建立了Banach空M A上矩阵迹的一些间上的算子框架理论；建立了C*-代数()n不等式；提出了抽象效应代数的分类思想，建立了效应代数的表示理论；提出了复对偶量子计算机的数学模型，建立了广义对偶量子计算机的数学基础；得到了广义量子门可实现的充分必要条件与限制可允许广义量子门的数学基础；发现了量子绝热定理的量化条件及绝热逼近的误差估计；给出了PT-对称量子系统的绝热定理与绝热逼近定理及误差估计；揭示了保持经典量子关联的局部量子信道的一般形式；给出了三体量子态的关联分类方法；建立了非自伴Hamiltonian的CPT-Frames理论；建立了量子测度与矩阵的对应关系及相应特性；解决了多体量子态的关联分类问题; 建立了ε-近似保正交映射的稳定性与扰动定理；证明了Hilbert空间中有效序列的刻画与扰动定理；提出了量子人工神经网络。

第二届全国算子理论与算子代数学术会议

同济大学数学系
9
冯由玲
吉林财经大学
10
宮婷
大连理工大学数学科学学院
11
关洪岩
沈阳师范大学数学与系统科学学院
12
郭坤宇
复旦大学数学科学学院
13
何华
河北工业大学理学院
14
何薇
东南大学数学系
15
侯秉喆
吉林大学数学学院
16
侯晋川
太原理工大学
17
侯绳照
苏州大学数学学院
18
吉国兴
陕西师范大学数学与信息科学学院
19
第二届全国算子理论与算子代数学术会议
2010年8月2-5日
中国长春，吉林大学
参加人员：43人
序号
姓名
单位
1
曹阳
吉林大学数学学院
2
陈晓漫
复旦大学数学科学学院
3
崔璞玉
大连理工大学数学科学学院
4
杜鸿科
陕西师范大学
5
段永江
东北师范大学数学与统计学院
6
窦艳妮
陕西师范大学
7
房军生
大连理工大学数学科学学院
8
方小春
16
何薇
东南大学
解析函数空间上C*代数的边界表示
17
石岩月
中国海洋大学
Hyponormality of Toeplitz Operators in Function Spaces
18
石洛宜
天津工业大学
Hilbert空间上的Amenable算子
大连理工大学
II_1型因子中的一些算子理论问题
13
侯绳照
苏州大学
On the zero sets of the Paley-Wiener space

数学中的泛函分析与算子代数

数学中的泛函分析与算子代数泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究无限维的向量空间上的函数和算子的性质与行为。

在泛函分析中，算子代数是一个中心概念，它研究的是在一个向量空间上定义的线性算子构成的代数结构。

一、泛函分析的基础概念泛函分析的基础概念包括函数空间、度量空间、拓扑空间等。

函数空间是泛函分析的重要研究对象，它指的是一组具有某些性质的函数构成的集合。

度量空间是指在其中定义了一种距离函数来衡量元素之间的距离的空间。

拓扑空间是指在其中定义了一种拓扑结构的空间，用来刻画元素之间的接近程度。

二、巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，即其中的柯西序列都有极限。

巴拿赫空间是泛函分析中的核心概念，它在很多领域中都有应用，特别是在函数分析中。

希尔伯特空间是一种特殊的巴拿赫空间，它是欧几里得空间的推广，具有内积的结构。

三、算子与算子代数算子是泛函分析中的重要对象，它是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性函数。

算子代数则研究的是在一个向量空间上定义的线性算子的代数性质。

算子代数在数学和物理学中都有广泛的应用，例如量子力学中的算子代数。

四、谱理论与函数解析谱理论是泛函分析中的一个重要分支，它研究的是线性算子的谱结构和谱性质。

函数解析则研究的是将一个函数映射到另一个函数的算子的性质与行为。

谱理论和函数解析在数学中有广泛的应用，特别是在微分方程、泛函微分方程和偏微分方程的研究中。

五、应用领域泛函分析和算子代数在数学中的应用非常广泛，特别是在偏微分方程、概率论、最优化问题以及量子力学等领域。

例如，在偏微分方程中，通过泛函分析的方法可以研究方程的解的存在唯一性以及性质；在量子力学中，算子代数是研究量子系统的关键工具。

总结：泛函分析与算子代数是数学中重要的分支，它们研究的是无限维向量空间上的函数和算子的性质与行为。

泛函分析的基础概念包括函数空间、度量空间和拓扑空间等。

巴拿赫空间和希尔伯特空间是泛函分析中的核心概念，算子代数则研究的是线性算子的代数性质。

Banach代数中Fredholm型元及其谱理论

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.3.033 *收稿日期:2022-01-05基金项目:国家自然科学基金(11871303).第一作者:孔莹莹,女,1994-,博士研究生;研究方向:算子理论与算子代数;E -m a i l :K o n g y i n g y i n g b i t @163.c o m.通信作者:蒋立宁,男,1972-,博士,教授,博士生导师;研究方向:算子代数与代数量子场论;E -m a i l :j i a n g l i n i n g@b i t .e d u .c n .B a n a c h 代数中F r e d h o l m型元及其谱理论*孔莹莹, 蒋立宁(北京理工大学数学与统计学院,100081,北京市) 摘要:文章概述了B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论.以F r e d h o l m 算子及其谱理论为原型,介绍了F r e d h o l m 型算子及其谱理论,研究了B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 型元及其F r e d h o l m 理论.进一步探讨了B a n a c h 代数中和代数同态相关的F r e d h o l m 理论㊁F r e d h o l m 族及其指标理论和C *-代数的F r e d h o l m 模等.关键词:F r e d h o l m 型元;谱;F r e d h o l m 理论;B a n a c h 代数;指标中图分类号:O 177.2 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)03-0033-120 引言1898年,弗雷德霍姆求解第二类型的F r e d h o l m 积分方程的研究工作,使得希尔伯特灵感突发,以积分方程为源头开始了泛函分析的多种研究.希尔伯特在讨论特征值问题时首先使用谱这个术语,并且指出:无穷多个变量的理论研究,当初完全是出于纯粹数学的兴趣,我甚至管这理论叫谱分析[1] .F r e d h o l m 理论及其谱理论由此而生.F r e d h o l m 理论和谱理论作为泛函分析理论体系中重要的组成部分,广泛应用于偏微分方程㊁物理学㊁工程学㊁非线性科学和量子力学等领域.例如:求振动的频率㊁判定系统的稳定性等均涉及到相应算子的谱分布问题,在量子力学中,能量算符是L 2空间上的一个自伴算子,其特征值对应着该系统束缚态的能级,而光谱是某个算子的特征值分布[2].设H 是无限维复可分的H i l b e r t 空间,记从H 到H 的有界线性算子的集合为B (H ),从H 到H 的紧算子集合为K (H ),则K (H )是C *-代数B (H )的理想,称取商所得的C *-代数为C a l k i n 代数,并记为C (H ),故有正合列[3]:0ңK (H )ңB (H )ңC (H )ң0.20世纪初期,A t k i n s o nFV 指出T ɪB (H )是F r e d h o l m 算子当且仅当T 模K (H )是可逆的[4].F r e d -h o l m 算子的公理化定义促进了F r e d h o l m 理论的迅速发展.1987年,H a r t eH 给出了F r e d h o l m 算子的另一种刻画,指出T ɪB (H )为F r e d h o l m 算子当且仅当T 的值域是闭的,并且T 的零空间的维数和值域的余维数都有限[5,6].与此同时,他也对特殊的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子和B r o w d e r 算子进行了研究.对于这3种算子,国内外学者主要关注于算子的摄动㊁谱映射定理以及指标理论等[7,8].随后,在1997年,S c h m o e ge rC [9-11]将F r e d h o l m 算子进行推广,定义了广义F r e d h o l m 算子,并讨论了B a n a c h 空间上的广义F r e d h o l m 算子的摄动理论.几乎同时,B e r k a n iM [12]也给出了F r e d h o l m 算子的另外一种推广,即拟F r e d h o l m 算子.注意到一个算子T 是F r e d h o l m 算子当且仅当T 模K (H )是可逆的.随后,众多学者对F r e d h o l m 算子进行推广,将其中的可逆性条件弱化为D r a z i n 可逆等,来定义更弱的F r e d -h o l m 算子.例如:B e r k a n iM [13]定义了B -F r e d h o l m 算子,即模F (H )是D r a z i n 可逆的;进一步地,B -W e y l 算子㊁B -B r o w d e r 算子也被引入.以上F r e d h o l m 算子㊁W e y l 算子㊁B -W e y l 算子等由F r e d h o l m 算子演变而来的统称为F r e d h o l m 型算子.几乎同一时间,抽象的F r e d h o l m 理论也得到了发展.1968年,B a r n e sB [14,15]定义了环中的拟F r e d h o l m 第48卷第3期2022年7月曲阜师范大学学报J o u r n a l of Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .48 N o .3J u l y 202243曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年元和F r e d h o l m元.具体的,一个元素被称作是F r e d h o l m元如果它模S o c l e是可逆的.1982年,B a r n e sBA,M u r p h y GJ,S m y t h M[16,17]等学者通过B a n a c h代数中最小幂等元和B a r n e s幂等元等工具,运用左正则表示的方法,讨论了本原B a n a c h代数中的F r e d h o l m元.随着F r e d h o l m算子及其谱理论的发展,近些年,关于F r e d h o l m型元及其谱理论的研究出现了新的趋势,越来越多的学者将特殊的B a n a c h代数B(H)推广到一般的B a n a c h代数,来研究一般的B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论.例如:M a n n l eD和S c h m o e g e rC[18]研究了半单B a n a c h代数中的广义F r e d h o l m理论.B e r k a n iM给出了环和代数中的B-F r e d h o l m理论[19];进一步地,序B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论也被考虑[20].除此之外,一些学者另辟蹊径,将B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论进行推广,提出了依存于B a n a c h代数同态的F r e d h o l m理论及其谱理论,以及F r e d h o l m族及其解析指标等[21,22].环或B a n a c h代数中的F r e d h o l m元㊁B-F r e d h o l m元等由F r e d h o l m元演变而来的元统称为F r e d h o l m型元.本文以H i l b e r t空间上的F r e d h o l m算子及其谱理论为出发点,分两条脉络对F r e d h o l m型元及其谱理论作出简要概述,一条脉络是对给定的B a n a c h代数B(H),讨论了F r e d h o l m型算子及其谱理论;另一条脉络则是研究抽象的F r e d h o l m理论,即研究B a n a c h代数中的F r e d h o l m型元.此外,本文也给出了B-F r e d-h o l m元的分解定理,C*-代数的W e y l模的摄动,以及以谱为工具刻画了半单B a n a c h代数的S o c l e等.1B(H)中的F r e d h o l m理论假设H为无限维复可分的H i l b e r t空间,令B(H)为H上的有界线性算子全体,F(H)为H上有限秩算子全体,K(H)为H i l b e r t空间H上的紧算子全体.本节分别介绍B(H)中F r e d h o l m算子及其谱理论,以及以W e y l㊁B r o w d e r㊁B-F r e d h o l m㊁B-W e y l㊁B-B r o w d e r算子为代表的F r e d h o l m型算子及其谱理论. 1.1F r e d h o l m算子及其谱理论设TɪB(H),记T的零空间N(T)的维数为n(T),T的值域R(T)的余维数为d(T).假设TɪB(H),对任意的x,yɪH,方程T x=y可解当且仅当T为可逆算子.F r e d h o l m算子也与方程的求解问题密切相关,若T是H上的F r e d h o l m算子,对于给定的向量gɪH,方程T f=g是否可解等价于g是否与有限维线性空间K e r T*正交,最后,方程T f=g的解空间是有限维仿射空间.为了体系完整性,我们首先给出F r e d h o l m算子的定义.定义1.1[23]假设TɪB(H),若n(T)<ɕ且R(T)是闭的,则称T为上半F r e d h o l m算子.上半F r e d-h o l m算子的全体记为Φ+(H).若d(T)<ɕ,则称T为下半F r e d h o l m算子.下半F r e d h o l m算子的全体记为Φ-(H).若T既是上半F r e d h o l m算子又是下半F r e d h o l m算子,则称T为F r e d h o l m算子.记F r e d h o l m 算子全体为Φ(H).事实上,F r e d h o l m算子本质上是由可逆算子性质弱化得到的一类算子,而A t k i n s o n[4]指出TɪΦ(H)当且仅当T模F(H)可逆.A t k i n s o n对F r e d h o l m算子的刻画在F r e d h o l m算子理论体系中至关重要.命题1.2[23]若TɪB(H),则TɪΦ(H)当且仅当存在U1,U2ɪB(H),K1,K2ɪF(H)使得U1T=I-K1,T U2=I-K2.例1.3假设AɪB(l2)为右移算子A(x1,x2, )=(0,x1,x2, ),则容易验证n(A)=0,d(A)=1,故可知A为F r e d h o l m算子.根据文献[24],若T,SɪΦ+(H)(Φ-(H),Φ(H)),则T SɪΦ+(H)(Φ-(H),Φ(H)).反之,如果S T 为下半F r e d h o l m算子,则S为下半F r e d h o l m算子;如果S T为上半F r e d h o l m算子,那么T为上半F r e d-h o l m算子.可证Φ(H)为B(H)中的半群.关于更多的F r e d h o l m算子的性质可参考文献[23,24].F r e d-h o l m算子的摄动与方程解的稳定性密切相关,接下来给出F r e d h o l m算子的邻域摄动定理.命题1.4[24,第519页]假设TɪB(H),KɪK(H).1)有Φ(H)+K(H)⊆Φ(H)成立;2)若TɪΦ(H),则∃ρ>0使得对所有的SɪB(H)且 S <ρ时,有T+SɪΦ(H);3)若TɪΦ+(H),则∃ >0使得对所有的SɪB(H)且 S < 时,有T+SɪΦ+(H)且n(T+S)ɤn(T);4)若T ɪΦ-(H ),则∃ >0使得对所有的S ɪB (H )且 S < 时,有T +S ɪΦ-(H )且d (T +S )ɤd (T );5)若T ɪΦ+(H )(T ɪΦ-(H )),那么∃ >0使得对所有的|λ|< ,有n (λI +T )ɤn (T )(d (λI +T )ɤd (T ))且n (λI -T )(d (λI -T ))是一个常数.借助F r e d h o l m 算子,定义T ɪB (H )的本质谱为σe (T )={λɪC :T -λI ∉Φ(H )}.令ρe (T )=C \σe (T ).由文献[24]可知,σe (T )为C 中的有界闭集.令H (σ(T ))为在σ(T )的开邻域上解析的所有复值函数全体,对任意的T ɪB (H ),f ɪH (σ(T )),谱映射定理成立,即σ(f (T ))=f (σ(T )),其中σ(T )表示算子T 的谱.事实上,本质谱也满足谱映射定理.命题1.5[24,定理3.113] 若T ɪB (H ),f ɪH (σ(T )),则σe (f (T ))=f (σe (T )).依然考虑B a n a c h 代数B (H ),众多学者将F r e d h o l m 算子进行变型,一部分学者考虑了特殊的F r e d -h o l m 算子及其性质,例如:W e y l 算子㊁B r o w d e r 算子等;另一些学者则将F r e d h o l m 算子进行推广,弱化为B -F r e d h o l m 算子,同时B -W e y l 算子和B -B r o w d e r 算子也被引入.1.2 F r e d h o l m 型算子及其谱理论本节主要介绍W e y l ㊁B r o w d e r ㊁B -F r e d h o l m ㊁B -W e yl ㊁B -B r o w d e r 算子等的演变脉络及其基本性质.上述算子统称为F r e d h o l m 型算子.首先介绍一类特殊的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子.定义1.6[24,第214页] 设T ɪB (H ),若T 为半F r e d h o l m 算子,则T 的指标定义为i n d (T )=n (T )-d (T ).特别地,如果i n d (T )=0,那么称T 为W e y l 算子.设T ,S ɪB (l 2)为如下定义,T (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3, ),S (x 1,x 2,x 3, )=(x 2,x 3,x 4, ).令U =T 00S æèçöø÷,则可证U 为指标为0的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子.根据文献[24,定理A.30],可知W e yl 算子全体在紧算子的摄动下是不变的.由文献[24,定理A.32]可知,假设T ɪB (H ),若T 为W e y l 算子,则存在 >0使得对任意满足 S < 的S ɪB (H ),有T +S 也是W e y l 算子.与此同时,A i e n aP 给出了W e y l 算子的等价刻画,即T ɪB (H )为W e yl 算子当且仅当存在K ɪF (H )和可逆算子S 使得T =S +K 为可逆算子.类似的,定义算子T ɪB (H )的W e y l 谱如下,σw (T )={λɪC :T -λI 不为W e y l 算子}.令ρw (T )=C \σw (T ).然而,σw (T )并不满足谱映射定理.命题1.8[24,定理3.115] 设T ɪB (H ),若f ɪH (σ(T )),则σw (f (T ))⊆f (σw (T )).一般情况下, σw (f (T ))=f (σw (T )) 不成立,可参考文献[24,例3.116].令T ɪB (H ),若对任意的λ,μɪρ*(T ),i n d (λI -T )和i n d (μI -T )的符号是一致的,则称T 有稳定符号指标.由文献[24,定理3.119]可知,W e y l 谱σw (T )满足谱映射定理当且仅当T 在ρe (T )上有稳定符号指标.将W e y l 算子全体的范围继续缩小,有B r o w d e r 算子的概念.令T ɪB (H ),使得N (T n )=N (T n +1)成立的最小的n ɪℕ,称为T 的升标.若n 不存在,则称T 有无限的升标;使得R (T n )=R (T n +1)成立的最小的n ɪℕ,称为T 的降标.若n 不存在,则称T 有无限的降标.如果T 为F r e d h o l m 算子并且有有限的升标和降标,则称T 为B r o w d e r 算子.可以证明,B r o w d e r 算子一定是W e y l 算子,W e y l 算子一定是F r e d h o l m 算子.关于B r o w d e r 算子的摄动定理如下.命题1.9[24,定理3.40] 令T ɪB (H ),则下列叙述等价:1)T 为B r o w d e r 算子;2)存在幂等算子P ɪF (H )和可逆算子S 使得P S =S P 且T =S +P .设T ɪB (H ),令σb (T )={λɪC :T -λI 不为B r o w d e r 算子},称为T 的B r o w d e r 谱.令ρb (T )=C \σb (T ).可证B r o w d e r 谱σb (T )为C 中的非空有界闭集,且T 的B r o w d e r 谱也满足谱映射定理.F r e d h o l m 型算子中还包括另外一部分,例如B -F r e d h o l m 算子,B -W e y l 算子等,而这些则是对F r e d -h o l m 算子进行推广,即将F r e d h o l m 算子进行弱化".注意到,A t k i n s o n 定理说明T ɪB (H )为F r e d h o l m 算子当且仅当[T ] T +F (H )在B (H )/F (H )中可逆,将可逆"弱化为 D r a z i n 可逆,即是下面将要引入53第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论63曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年的B-F r e d h o l m算子.定义1.10[24,定义1.111]假设TɪB(H),若对某个正整数n,有T n(H)是闭的并且T n是F r e d h o l m算子,则称T为B-F r e d h o l m算子,其中T n T|T n(H).为了给出B-F r e d h o l m算子的另一种刻画,回忆D r a z i n给出的D r a z i n可逆的定义.定义1.11[24,定义1.121]令A是一个含有单位元e的代数,一个元素aɪA被称作是n阶D r a z i n可逆元如果存在一个元素bɪA使得a n b a=a n,b a b=b,a b=b a成立,元素b被称为a的D r a z i n逆.由文献[24,定理1.126]可以发现,TɪB(H)为B-F r e d h o l m算子当且仅当[T] T+F(H)为D r a z i n 可逆的.类似于F r e d h o l m算子情形,关于B-F r e d h o l m算子的摄动以及谱理论也被考虑.定理1.12[24,定理1.126]假设T,SɪB(H)为B-F r e d h o l m算子.1)若T S=S T,则S T为B-F r e d h o l m算子.2)若KɪF(H),则T+K为B-F r e d h o l m算子.3)存在0的邻域D(0, )使得对任意的λɪD(0, )\{0},有λI-T为F r e d h o l m算子.类比上述F r e d h o l m算子及其谱理论中众多学者所关注的热点,B-F r e d h o l m算子及其谱理论由此而生.假设TɪB(H)为B-F r e d h o l m算子,若n满足T n T|T n(H)为F r e d h o l m算子,则将T n的指标定义为T的指标,记为i n d(T).根据文献[24,定理1.112]可知,上述指标的定义是良定的,即不依存于整数n的选取.定义B-F r e d h o l m谱σB F(T)={λɪℂ:T-λI不为B-F r e d h o l m算子},同样可知,B-F r e d h o l m谱也满足谱映射定理.随后,一些学者研究了特殊的B-F r e d h o l m算子,例如B-W e y l算子,B-B r o w d e r算子等.具体的,指标为0的B-F r e d h o l m算子被称为B-W e y l算子,B e r k a n iM[25]指出如果0是算子T的谱中的孤立点,那么T是B-W e y l算子当且仅当T是D r a z i n可逆的.在1997年,S c h m o e g e rC[9-11]也将F r e d h o l m算子进行推广,定义了广义F r e d h o l m算子,并讨论了广义F r e d h o l m算子的摄动定理;另一方面,通过代数中的广义可逆元,给出了广义F r e d h o l m算子的等价刻画.由F r e d h o l m算子演变出的F r e d h o l m型算子还有很多,例如拟F r e d h o l m算子,半F r e d h o l m算子,上半W e y l算子,半B r o w d e r算子等,关于它们的具体性质和彼此之间的关系可参考文献[12,23,24].本节介绍了F r e d h o l m型算子及其谱理论,与此同时,一些学者另辟蹊径,将代数B(H)进一步推广,研究了环,半单B a n a c h代数,本原C*-代数等中的F r e d h o l m理论.2B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论关于B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论,按照从一般到特殊的方法进行概述.首先介绍环中的F r e d h o l m 理论,其次讨论半单B a n a c h代数,本原C*-代数等中的F r e d h o l m理论.最后,对近些年F r e d h o l m理论发展的新趋势进行概述.2.1环中的F r e d h o l m理论令A是一个环,称A为半素环,若它没有非零的左(或右)幂零理想.本小节总是假设A是一个半素环,从而确保其S o c l e的存在性.这里环A的S o c l e指的是A中所有极小左理想的和,若A没有极小左理想,则定义其S o c l e为{0}.A t k i n s o n[4]给出B a n a c h空间X上的F r e d h o l m算子的刻画,即模X上的紧算子所构成的理想是可逆的.事实上,F r e d h o l m算子也可被描述为:模X上的有限秩算子全体所构成的理想F(X)是可逆的.注意到F(X)是B(X)的S o c l e,其中B(X)指B a n a c h空间X上的有界线性算子全体.本小节基于这个观察,讨论半素环中的F r e d h o l m理论.基本思路是,为将F(X)推广至环中,考虑环的S o c l e;为将秩1投影推广至环中,考虑环的极小幂等元;为将维数推广至环中,则需要引入理想的阶 .首先给出它们的定义.定义2.1[15,第84页]设A为半素环,N为A中的右理想.如果N可以写为有限个A中极小右理想的和,则称N有有限阶.此时,N的阶则是使得满足极小右理想的和为N的最小的极小右理想的个数,记为θ(N).若N为A中非零的右理想,且有有限阶m.由文献[15]可知,N中极小幂等元的任意一个极大正交集包含m 个元素,不妨设为{E 1,E 2, E m },那么N =e A ,其中e =E 1+E 2+ +E m .根据文献[23],假设A 是一个半素B a n a c h 代数,如果J 为A 中有限维左理想,则存在一个幂等元p ɪS o c (A )使得A p =J .由此可以看出阶本质上是维数的一种推广.在半素环中,B a r n e sB [15]讨论了F r e d h o l m 和拟F r e d h o l m 元,令u ,v ɪA ,记u v =u +v -u v .接下来介绍拟F r e d h o l m 元和F r e d h o l m 元及其指标理论.定义2.2[15,定义2.4] 假设A 为半素环,且u ɪA .若存在v ɪA 使得v u ɪS o c (A )(u v ɪS o c (A )),则称u 为左(右)拟F r e d h o l m 元;若u 既是左拟F r e d h o l m 元又是右拟F r e d h o l m 元,则称u 为拟F r e d h o l m 元.若u 模S o c (A )可逆,则称u 为F r e d h o l m 元.B a r n e sB 给出了拟F r e d h o l m 元的刻画,具体地,u ɪA 为右拟F r e d h o l m 元当且仅当存在幂等元e ɪS o c (A )使得(1-u )A =(1-e )A .与此同时,B a r n e sB 定义了拟F r e d h o l m 元的指标,并证明了指标具有连续性.若B 为A 中的子集,令L [B ]={a ɪA :a B =0},R [B ]={a ɪA :B a =0}.定义2.3[15,定义3.1] 假设u ɪA 是拟F r e d h o l m 元,定义k (1-u )=Θ(L [(1-u )A ])-Θ(R [A (1-u )]),则称k (1-u )为1-u 的指标.类似于经典F r e d h o l m 理论中F r e d h o l m 算子乘积的指标的性质,拟F r e d h o l m 元也有类似的结论,即若u 和v 为A 中的拟F r e d h o l m 元,那么v u 也是拟F r e d h o l m 元并且k (1-v u )=k (1-v )+k (1-u ).特别地,当A 是一个半素B a n a c h 代数,若{u n },u 为A 中的拟F r e d h o l m 元,并且{u n }收敛于u ,那么k (1-u n )收敛于k (1-u ).关于指标的进一步性质可参考文献[15].B e r k a n iM 将环中的F r e d h o l m 元进一步推广,研究了环中的依赖于理想的B -F r e d h o l m 元.定义2.4[19,性质2.4] 假设A 是一个半素环,J 为A 中的理想.元素a ɪA 被称为是模理想J 的B -F r e d -h o l m 元若π(a )在商代数A /J 中是D r a z i n 可逆的,其中π:A ңA /J 为典则映射.类比B -F r e d h o l m 算子的摄动和谱映射定理,下面给出环中B -F r e d h o l m 元的摄动及谱映射定理.命题2.5 设a 1,a 2ɪA 为模理想J 的B -F r e d h o l m 元.1)若a 1a 2ɪJ 且a 2a 1ɪJ ,则a 1+a 2也是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.2)若a 1a 2=a 2a 1,则a 1a 2是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.3)若i ɪJ ,则a 1+i 是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.对于半素环中的F r e d h o l m 元,B -F r e d h o l m 元,广义F r e d h o l m 元之间的关系,B e r k a n iM 也给出了研究,具体地,一个元素a ɪA 为模理想J 的B -F r e d h o l m 元当且仅当存在整数n ɪℕ*和c ɪA 使得a n c a n -a n ɪJ 且e -a n c -c a n 为模J 的F r e d h o l m 元,其中e 为A 中的单位.令a ɪA 的B -F r e d h o l m 谱为:σB F (a )={λɪℂ:a -λe 不为模J 的B -F r e d h o l m 元},根据文献[19]可知,σB F (a )也满足谱映射定理.本质上关于环中的B -F r e d h o l m 元理论,B e r k a n iM 不仅仅是将F r e d h o l m 元进行弱化 ,定义了B -F r e d h o l m 元,同时也将S o c (A )推广到了一般的理想J ,定义了依存于理想J 的B -F r e d h o l m 元并讨论了它的性质.进一步,P e a r l m a nLD [26]研究了半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论及广义F r e d h o l m 理论,给出了R i e s z 元和预解集的洞的刻画,特别地,证明了在半单非本原B a n a c h 代数中W e y l 元不能分解为可逆元和代数基柱中的元素的和.1982年,B a r n e sBA ,M u r p h y GJ ,S m y t h M 等学者也讨论了半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,与此同时,诸多学者也作了相关的研究[16,17].下面对半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论作简要概述.2.2 半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论本节中总假设A 是一个半单的B a n a c h 代数,e 为其单位元,这意味着,R a d (A )={0},其中R a d (A )指A 的r a d i c a l .一个元素q ɪA 被称作是极小幂等元,若q A q 是一个可除代数并且q 2=q .令M i n (A )指A 中所有极小幂等元的全体,事实上, 极小幂等元的概念本质上是B (X )中秩1投影的推广,极小幂等元与A 中的极小理想密切相关.假设R ⊆A 为右理想,则R 为极小右理想当且仅当存在极小幂等元E 0使得R =E 0A .类似的,关于极小左理想也有相关的结论.记S o c (A )为A 的S o c l e ,由文献[18]可知,73第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论83曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年S o c(A)={xɪA:Θ(x A)<ɕ},其中Θ(x A)表示右理想x A的阶.一个元素xɪA被称作相对正则的,若存在yɪA使得x y x=x,其中y 称作x的一个伪逆.受到算子情形的启发,定义了B a n a c h代数中元素的零度和亏数,也给出了F r e d h o l m元的定义[18].假设A为含有单位元e的半单B a n a c h代数且xɪA,令R(x)={aɪA:x a=0},L(x)={aɪA:a x=0},定义x的零度为n u l(x)=Θ(R(x)),亏数为d e f(x)=Θ(L(x)).定义2.6[18]设xɪA,如果[x] x+S o c(A)在A/S o c(A)中可逆,那么称x为F r e d h o l m元.文献[18]证明了xɪA为F r e d h o l m元当且仅当x相对正则并且n u l(x)<ɕ,d e f(x)<ɕ,这也与特殊情形B(X)中的F r e d h o l m算子的刻画是一致的.F r e d h o l m元x的指标被定义为i n d(x)=n u l(x)-d e f(x).F r e d h o l m元的摄动定理也与F r e d h o l m算子的摄动定理有相通之处.命题2.7[18,定理3.6]假设x,yɪA为F r e d h o l m元,sɪS o c(A),那么1)x y为F r e d h o l m元且i n d(x y)=i n d(x)+i n d(y).2)x+s为F r e d h o l m元且i n d(x+s)=i n d(x).3)存在δ>0和α,βɪℕ使得(ⅰ)对所有A中满足 u <δ的u,有x+u为F r e d h o l m元且i n d(x+u)=i n d(x),n u l(x+u)ɤn u l(x),d e f(x+u)ɤd e f(x).(ⅱ)对所有的λɪℂ且0<|λ|<δ,有n u l(λe-x)=αɤn u l(x)且d e f(λe-x)=βɤd e f(x).若x为F r e d h o l m元,称i n d(x)=0的x为W e y l元.分别定义元素aɪA的F r e d h o l m谱和W e y l谱为σe s s(a)={λɪℂ:a-λe不为F r e d h o l m元};σw(a)={λɪℂ:a-λe不为W e y l元}.令ρe s s(a)=ℂ\σe s s(a);ρw(a)=ℂ\σw(a).可证σe s s(a)和σw(a)都为有界闭集,σe s s(a)满足谱映射定理,然而σw(a)不满足谱映射定理,受到算子情形的启发,给出σw(a)满足谱映射定理的充要条件,即对任意的复系数多项式p,aɪA,p(σw(a))=σw(p(a))当且仅当对任意的λ,μɪρe s s(a)有i n d(a-λe)i n d(a-μe)ȡ0.回顾对于TɪB(X),α(T)和β(T)分别表示算子的升标和降标.通过算子的升标和降标定义了半单B a n a c h代数中的元素的升标和降标[27],并引入了B r o w d e r元.令aɪA,算子L a:AңA被定义为L a(x)=a x(∀xɪA).令p l(a)=α(L a),q l(a)=β(L a),称p l(a),q l(a)分别为元素a的升标和降标.定义2.8[27]假设aɪA.若a为F r e d h o l m元,并且p l(a)<ɕ,q l(a)<ɕ,则称a为B r o w d e r元.接下来给出B r o w d e r元的等价刻画定理及其证明.定理2.9假设A为含单位元e的半单B a n a c h代数,则xɪA为B r o w d e r元当且仅当它是半F r e d-h o l m元并且0ɪi s oσ(x)ɣρ(x).证明假设xɪA为B r o w d e r元,则它是F r e d h o l m元,故它为广义F r e d h o l m元,由B r o w d e r元的定义,可知p l(x)<ɕ,q l(x)<ɕ.根据文献[18,定理7.7],存在 >0使得对任意的0<|λ|< ,有p l(λe-x)=n u l(λe-x)=0且q l(λe-x)=d e f(λe-x)=0,即0ɪi s oσ(x)ɣρ(x).另一方面,若0ɪρ(x),则x可逆,显然x为B r o w d e r元.下面只须证,若0ɪi s oσ(x)且x为半F r e d-h o l m元,则x为B r o w d e r元.反证,若p l(x)=ɕ,由文献[18,定理7.7]可知,存在 >0使得对任意的0< |λ|< ,有n u l(λe-x)>0,这与0ɪi s oσ(x)矛盾.同理可证q l(x)<ɕ.假设x为半F r e d h o l m元,则n u l(x)<ɕ.由F r e d h o l m元的邻域摄动定理,可知i n d(x)=0,因此d e f(x)<ɕ,故x为F r e d h o l m元.这意味着x为B r o w d e r元.作为F r e d h o l m元的另一种变型,M a n n l eD和S c h m o e g e rC[18]也定义了半单B a n a c h代数中的广义F r e d h o l m元.定义2.10设A为含单位元e的半单B a n a c h代数.若xɪA相对正则并且存在x的伪逆y使得e-x y -y x为F r e d h o l m元,则称x是广义F r e d h o l m元.事实上,x ɪA 为广义F r e d h o l m 元当且仅当存在y ɪA 使得[x ][y ][x ]=[x ]且[e ]-[x ][y ]-[y ][x ]可逆,即[x ]为广义可逆元,其中[x ]表示等价类x +S o c (A ).关于广义F r e d h o l m 元也有类似的摄动定理.命题2.11[18,定理5.1] 设x ɪA 为广义F r e d h o l m 元,则1)存在δ>0使得对所有的0<|λ|<δ,有λe -x 为F r e d h o l m 元;2)若s ɪS o c (A ),则x +s 为广义F r e d h o l m 元.文献[18]定义了广义F r e d h o l m 谱,并研究了广义F r e d h o l m 元与F r e d h o l m 元的关系,相关半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论可参考文献[18].在算子情形,S c h e c h t e r 证明了文献[6]若T 为W e y l 算子,则存在有限秩算子U 使得T +U 为可逆算子.很自然的,若想发展抽象的F r e d h o l m 理论,则需要考虑在一般的半单B a n a c h 代数中,上述W e y l 算子的分解性质是否可以得到对应W e y l 元的分解呢?P e a r l m a nD 给出了反例,即,证明在一个非本原的半单B a n a c h 代数中上述分解不存在.但是对于本原B a n a c h 代数,可以得到W e y l 元的分解性质.与此同时,诸多学者发展了本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论.其中B a r n e sB A ,M u r p h y GJ ,S m yt h M 等学者讨论了本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,使用的主要技巧则是通过左正则表示.具体的,若A 为本原B a n a c h 代数,令p 为A 中的极小幂等元,如果a ɪA 为F r e d h o l m 元,则左乘算子L a 为F r e d h o l m 算子,其中L a 为L a :x ɪA p ңa x ɪA p .但是文献[16]给出反例说明了反之不成立.这也揭示了对一般的本原B a n a c h 代数,左正则表示的性质存在缺点.因此,一些学者考虑了什么样的代数可以使得a 为F r e d h o l m 元当且仅当L a 为F r e d h o l m 算子.此时发现,若A 为本原C *-代数,左正则表示有更好的性质,即为一个等距的忠实的不可约*表示,并且可以证明,a 为F r e d h o l m 元当且仅当左乘算子L a 为F r e d h o l m 算子.于是,本原C *-代数中的F r e d h o l m 理论由此而生,接下来我们具体给出本原C *-代数中的F r e d h o l m 型元及其相关的性质.2.3 本原C *-代数中的F r e d h o l m 理论一个代数被称作是本原的,若{0}为代数中的本原理想.显然,本原代数一定是半单的.在本节中若无特殊说明总假设A 为含有单位元1的本原B a n a c h 代数,并假设A 的S o c l e 非零,则A 一定存在极小幂等元[16],故令p 为A 中的极小幂等元,对a ɪA ,记L a 为左乘算子L a :y ңa y (∀y ɪA p ).假设x ɪA ,若存在y ɪA 使得x y -1,y x -1ɪS o c (A ),则称x 为F r e d h o l m 元.由文献[16]可知,当x 为F r e d h o l m 元时,L a 为F r e d h o l m 算子,但是反之不成立.记k (h (S o c (A )))为包含S o c (A )的本原理想的交.下面对本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 元给出其摄动定理.定义2.12[16,F .2.7] 若x ɪA 为F r e d h o l m 元,定义x 的零度,亏数和指标分别为n u l (x )=n (L x ),d e f (x )=d (L x ),i n d (x )=i n d (L x ).本节中算子的指标和元素的指标,由于是不同的对象,读者容易区分,故统一用 i n d来表示.定义2.12[16,F .2.9] 设A 为含有单位元的本原B a n a c h 代数,且x 为F r e d h o l m 元.1)若u ɪk (h (S o c (A ))),则i n d (x )=i n d (x +u ).2)存在 >0使得对0<|λ|< ,有n u l (x +λ)为一常数并且n u l (x +λ)ɤn u l (x ),d e f (x +λ)为一常数并且d e f (x +λ)ɤd e f (x ),i n d (x +λ)为一常数.B e r k a n iM 给出了B -F r e d h o l m 元及其指标的定义,并研究了B -W e y l 元的分解.若x ɪA ,并且[x ] x +S o c (A )在A /S o c (A )中D r a z i n 可逆,则称x 为B -F r e d h o l m 元.下面给出B -F r e d h o l m 元的指标的定义.定义2.14[19,定义3.2] 设A 为本原B a n a c h 代数.若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则a 的指标被定义为i (a )=τ(a a 0-a 0a )=τ([a ,a 0]),其中[a 0]为[a ]的D r a z i n 逆,τ(a )表示元素a 的迹.根据文献[28,定理2.3]可知,B -F r e d h o l m 元的指标的定义是良定的,即不依存[a ]的D r a z i n 逆的选取.若i (a )=0,则称a 为B -W e y l 元.B e r k a n iM 指出若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则L a 为B -F r e d h o l m 算子,但反之不成立.由文献[16,定理F .4.3]可证,若A 为本原C *-代数,则a ɪA 为F r e d h o l m (B -F r e d h o l m )元当且仅当L a 为F r e d h o l m (B -F r e d h o l m )算子.受此启发,研究了本原C *-代数中B -F r e d h o l m 元的一些性质及其谱理论.特别地,证明了B -F r e d h o l m 元可以分解为F r e d h o l m 元和幂零元的和,下面给出简要证明.93第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论命题2.15 假设A 为含有单位元的本原C *-代数并且Γ(A N )⊇N (A p ),其中Γ表示A 上的左正则表示,A N (N (A p ))分别表示A (A p )上的所有幂零元(幂零算子)的集合.若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则存在F r e d h o l m 元b ,幂零元c 使得a =b +c .证明若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则L a 为B -F r e d h o l m 算子.结合文献[12],存在F r e d h o l m 算子S ɪB (A p )和幂零算子F ɪB (A p )使得L a =S +F .这也就意味着存在幂零元c ɪA 使得L c =F ,因此,S =L a -c .故a -c 为F r e d h o l m 元,令b =a -c ,则b 为F r e d h o l m 元,c 为幂零元并且满足a =b +c .注2.16 设A 为本原C *-代数,若a ɪA ,元素a 的B -F r e d h o l m 谱被定义为:σB F (a )={λɪC :a -λe 不为B -F r e d h o l m 元}.回顾B (H )表示无限维复H i l b e r t 空间H 上的有界线性算子全体.令Φg 表示H 上的广义F r e d h o l m 算子全体,Φ表示H 上的F r e d h o l m 算子全体,注意到F (H )={T ɪB (H ):T +S ɪΦg (∀S ɪΦg )}.记B F (A ),N s (A )分别为A 中的B -F r e d h o l m 元的全体和S o c (A )中幂零元的全体.作为一个直接的推广,通过B -F r e d h o l m 元给出了本原C *代数的S o c l e 的刻画.具体的,假设A 为一含有单位元的本原C *-代数并且满足Γ(N s (A ))⊇N (A p ),则S o c (A )={x ɪA :x +y ɪB F (A )(∀y ɪB F (A ))}={x ɪA :σB F (x +y )=σB F (y )(∀y ɪA )},其中Γ为A 上的左正则表示,N (A p )为A p 上的幂零算子全体.2.4 依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论随着B a n a c h 代数中的F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r ㊁B -F r e d h o l m 等理论的日渐完善,一些学者另辟蹊径,关于F r e d h o l m 理论发展的新趋势逐渐出现,例如B e n j a m i nR 和M o u t o nS [20]研究了序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,还有一些学者研究了依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论.我们知道,在经典的F r e d h o l m 理论中,设T ɪB (X ),则T 为F r e d h o l m 算子当且仅当π(T )=T +F (X )在商代数B (X )/F (X )中可逆,其中π为典则同态.受到此启发,R o b i n H a r t e 将同态π推广到两个B a n a c h 代数A 和B 之间的任意一个同态T ,定义依存于同态T 的F r e d h o l m 型元,并研究了它们的谱性质.本小节总是假设A ,B 为含有单位元的B a n a c h 代数,T :A ңB 为A 到B 的有界同态并且T (1A )=1B ,其中1A ,1B 分别为A 和B 中的单位元,记A -1,B -1分别为A 和B 中的可逆元全体.容易验证T (A -1)⊆B -1.下面介绍依存于同态的F r e d h o l m 元的定义.定义2.17[22] 设T :A ңB 为B a n a c h 代数A 和B 之间的同态且a ɪA .1)若T (a )ɪB -1,则称a 为F r e d h o l m 元.2)若a ɪA -1+T -1(0),即a 可以写为一个可逆元和k e r (T )中元素的和,则称a 为W e y l 元.3)若a ɪA -1 T -1(0)={b +c :b ɪA -1,c ɪT -1(0),b c =c b },则称a 为B r o w d e r 元.显然,可逆元⇒B r o w d e r 元⇒W e yl 元⇒F r e d h o l m 元.称a ɪA 为几乎处处可逆元若存在δ>0使得对任意的0<|s |<δ,有a -s 可逆.称同态T :A ңB 有R i e s z 性质若T (c )=0,0ʂs ɪC ⇒c -s 几乎处处可逆.R o b i nH a r t e 对于特殊的同态,刻画了A 中的B r o w d e r 元.具体的,对任意的同态T :A ңB ,每个几乎处处可逆的F r e d h o l m 元是B r o w d e r 元.反之,若T 还满足R i e s z 性质,则B r o w d e r 元也是几乎处处可逆F r e d -h o l m 元.同样的,类似于经典的F r e d h o l m 谱理论,文献[22]也发展了依存于同态T 的F r e d h o l m 元的谱理论.称σB (T (a ))为a ɪA 的依存于同态T 的F r e d h o l m 谱;W e y l 谱被定义为W T (a )={s ɪℂ:a -s 不为W e y l 元};B r o w d e r 谱被定义为W c o m T (a )={s ɪℂ:a -s 不为B r o w d e r 元},根据文献[22],F r e d h o l m 谱满足谱映射定理,然而,W e yl 谱和B r o w d e r 谱并不满足谱映射定理.命题2.18[22,定理2] 设a ɪA ,f :U ңℂ为在包含σA (a )的邻域U 上解析的函数,则存在如下包含关系.W T (f (a ))⊆f (W T (a )),W c o m T (f (a ))⊆f (W c o m T (a )).特别地,若T 满足R i e s z 性质,则有W c o m T (f (a ))=f (W c o m T (a )).随后,S n e ža n aC ㊅㊁Ži v k o v i c ˊ㊁Z l a t a n o v i c ˊ[29]探讨了依存于B a n a c h 代数同态的B -F r e d h o l m 元和B -W e y l 元;D j o r d j e v i cD [30]讨论了依存于B a n a c h 代数同态的正则元和F r e d h o l m 元;C v e t k o v i c ˊM D ㊁B o a s s oE ㊁04 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年Ži v k o v i c ˊ-Z l a t a n o v i c ˊSC ㊅[31]研究了依存于B a n a c h 代数同态的B -F r e d h o l m 元和广义B -F r e d h o l m 元,并讨论了相关的谱理论以及B -F r e d h o l m 元的扰动等性质.对于上述依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论,R a u b e n h e i m e rT [32]则关注于B a n a c h 代数同态对F r e d h o l m 理论的影响程度,换言之,如果T 和S 都是B a -n a c h 代数A 和B 之间的同态,文献[32]给出了依存于两个同态的F r e d h o l m 元㊁R u s t o n 元㊁W e yl 元和B r o w d e r 元的研究.文献[33]将进一步推广了依存B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论,考虑了依存于任意一个B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论.除此之外,B e n j a m i nR 和M o u t o nS 将上述依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论中的B a n a c h 代数特殊化,考虑了序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论.2.5 序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论若无特殊说明,本小节中的B a n a c h 代数A ,B 都是含有单位元1的复B a n a c h 代数.B a n a c h 代数A 的子集C 被称为代数锥,若C 包含A 的单位元并且在加法,乘法,正的数乘运算下封闭.注意到代数锥C 可以诱导A 上的一个序关系ᵡɤᵡ如下:对任意的a ,b ɪA ,a ɤb 当且仅当b -a ɪC .具有由代数锥C 所诱导的偏序的B a n a c h 代数A 称为序B a n a c h 代数,记作(A ,C ).A -1表示A 中所有可逆元的全体,若T :A ңB 为B a n a c h代数同态,记N (T )为T 的零空间.文献[20]定义了序B a n a c h 代数中的上W e y l 元和上B r o w d e r 元,并研究了其谱映射定理.定义2.19[20,定义2.0.2] 令(A ,C )为序B a n a c h 代数,T :A ңB 为B a n a c h 代数同态,元素a ɪA 被称为1)上W e y l 元,若存在b ɪA -1和c ɪC ɘN (T )使得a =b +c .2)上B r o w d e r 元,若存在b ɪA -1和c ɪC ɘN (T )使得b c =c b ,a =b +c .分别记W +T ,B +T 为A 中上W e y l 元和上B r o w d e r 元的全体,令R a d (A )代表A 的r a d i c a l ,设a ɪA ,记c o m (a )为与a 可交换的元素全体,而c o m 2(a )则表示a 的二次换位子.容易验证可逆元⇒上B r o w d e r 元⇒上W e y l 元⇒W e y l 元⇒F r e d h o l m 元,其中F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r 为第3.4节中定义的依存于同态T 的F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r 元.对于上W e y l 元和上B r o w d e r 元,也有对应的摄动定理.定理2.20[20,性质3.2.12] 设(A ,C )为序B a n a c h 代数,T :A ңB 为B a n a c h 代数同态,并且a ɪA .1)若x =b +c ,其中b ,c ɪc o m 2(a ),b ɪR a d (A ),c ɪC ɘN (T ),则a ɪB +T ⇒B +T .2)若T 满足R i e s z 性质,x =b +c ,其中b ɪR a d (A ),c ɪs p a n (C ɘN (T )),则a ɪW +T 当且仅当a +x ɪW +T .若A 为序B a n a c h 代数,则a ɪA 的上B r o w d e r 谱被定义为β+T (a )={λɪC :λ-a ∉B +T },上W e y l 谱被定义为W +T (a )={λɪC :λ-a ∉W +T }.文献[20]证明了W +T (a )和B +T (a )的谱映射定理,也研究了上B r o w d e r 谱和上W e yl 谱的凸包,这里就不再展开.3 F r e d h o l m 理论的提升关于B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,近两年出现了比较新颖的思考切入点.2020年,B e r k a n iM 定义了F r e d h o l m 族,并考虑了其解析指标及其相关性质,进而M o h a mm e dB e r k a n i 在2021年研究了连续F r e d -h o l m 理论,正则性和半正则性.作者在博士论文中探讨了C *-代数中A 的F r e d h o l m A -模和W e y l A -模及其摄动[34].本节主要介绍B a n a c h 代数中两种提升F r e d h o l m 理论的方法.一种是利用升维的思想,介绍F r e d -h o l m 族及其研究现状;另一种则是以指标为切入点,利用K 理论,给出C *-代数A 的F r e d h o l m A -模和W e y l A -模及其摄动.3.1 F r e d h o l m 族令B (H )为无限维可分H i l b e r t 空间H 上的有界线性算子全体,K (H ),F (H )分别为B (H )中的紧算子全体和有限秩算子全体.若T ɪB (H ),记N (T ),R (T )分别为T 的零空间和值域.记f d i m (H )为H 的有限维子空间全体构成的集合,f c o d (H )为H 的有有限余维的子空间全体.在f d i m (H )ˑf c o d (H )上可以定义如下等价关系:R :(E 1,F 1)R (E '1,F '1)⇔d i m E 1-c o d i m F 1=d i m E '1-c o d i m F '1,14第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论。

第三届全国算子理论与算子代数会议

严从荃（嘉兴学院）师范大学）
会务组组长：吴樟兴（浙江师范大学）
副组长：胡哲峰（浙江师范大学）
成员：陈泳、关新、梁郁郁、刘洋、王建飞、杨敏波、杨新兵
四．会议安排
1．会议时间：2011年10月20日-23日。其中，23日会务组将组织代表到绍兴考察（鲁迅故里、兰亭）。
2．报到时间：2011年10月19日（全天）
3．报到地点：金华豪森假日花园大酒店，与会代表住宿：金华豪森假日花园大酒店
4. 请尽早告诉我们您所乘航班以及到杭州萧山的时间，或者火车车次以及到金华的时间，以方便安排接机、接站。如果乘飞机来金华的话：先到杭州萧山机场-->乘坐到金华的机场大巴（每天两班：上午11:00，下午5:40）-->到金华汽车西站下车-->乘出租车到金华豪森假日花园大酒店。同时会务组届时将安排3次左右到萧山机场的接车。如果乘火车的话：到金华西站下车，会务组届时将安排在金华火车西站接人，指引乘出租车到金华豪森假日花园大酒店。
副校长王辉代表学校对会议在我校的召开表示祝贺，并向与会的的各位领导、专家表示热烈的欢迎。王辉指出，近年来我校发展迅速，重视加强与外界的学术交流，这次十分高兴能承办第三届全国算子理论与算子代数学术会议，希望与会专家学者对我校数学学科及交叉学科建设多提宝贵建议，提高我校数学学科的整体研究水平，并预祝大会圆满成功。
邮政编码：321004
联系人：陈泳，杨新兵， Email：zjnu20111019@
联系电话：13868992247（陈泳）、13867968672（杨新兵）
7. 本次大会负责邀请代表在本地的住宿餐饮等费用，请各位代表带好身份证，以便住宿登记。
第三届全国算子理论与算子代数会议

数学学院硕士研究生课程内容简介

数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。

内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。

主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。

参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。

2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。

5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。

高等代数课程研究性教学的改革与实践

Reform and practice of research-oriented teaching of higher algebra
AN Runling
（School of Mathematics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China）
3 结语
通过在高等代数课程中实施研究性教学，极大地调动了学生学习该课程的积极性和主动性，加深了学生对该课程内容的理解，提高了学生的研究能力和创新能力．2018级和2019级数学与应用数学专业的高等代数期末成绩有了很大提高，学生参加数学建模、数学竞赛和挑战杯等学术竞赛的人数明显增加，并取得很好的成绩，高等代数课程的教学质量和教学效果得到了极大的提高．
定理、结论．大多数学生尚未领悟该课程的核心思想，无法厘清各章节间的联系，不能够系统地掌握分析、解决高等代数问题的方法和技巧，使得部分学生对高等代数课程产生了厌学情绪．（2）教学方法单一．高等代数教学是根据教学内容和教学大纲来设计教案，课堂上教师讲授定理证明和理论推导，着重强调其高度的抽象性和严密的逻辑性，而完全忽视对学生学习能力、创新能力等综合素质的培养．为此，大部分学生总是被动地接受知识，没有主动的思考，渐渐地失去了学习兴趣．（3）教学手段不先进．“互联网+” 时代，微信、QQ、微博、微视频等移动互联网技术使人们的教育观念和学习方式发生了很大改变，高等代数课程“板书+PPT”的教学手段已不符合时代要求．（4）课程考核方式单一．高等代数课程采用传统的闭卷笔试考核，考核方式单一．这种考试有易操作、考核标准化程度高等优点，但不能真正地反映学生对知识的理解水平，更不能反映学生的研究能力和创新能力．
Abstract：In view of the problems existing in the in the teaching of higher algebra，guided by the thought of research-oriented teaching，the online and offline mixed teaching mode is adopted．The teaching contents including obstacles，problems and subject research content are designed，the heuristic，inquiry and discussion research teaching methods are implemented，the traditional assessment method is reformed，and the teaching quality and teaching effect of higher algebra are greatly improved. Key words：higher algebra；research-oriented teaching；innovation ability

全国算子理论与算子代数会议

全国算子理论与算子代数会议为加强算子理论与算子代数领域同行之间的学术交流与合作，定于2019年11月8－11日在浙江省杭州市举办全国算子理论与算子代数会议。

会议由浙江大学数学科学学院承办。

一、学术委员会(以姓氏笔画为序)马吉溥（南京大学）卢玉峰（大连理工大学）吉国兴（陕西师范大学）孙顺华（嘉兴学院）纪友清（吉林大学）杜鸿科（陕西师范大学）李炳仁（中国科学院）陈晓漫（复旦大学）武俊德（浙江大学）郑德超（Vanderbilt 大学，重庆大学）侯晋川（太原理工大学）徐宪民（嘉兴学院）郭坤宇（复旦大学）曹广福（华南农业大学）葛力明（中国科学院）蒋春澜（河北师范大学）二、组织委员会主席：武俊德 (浙江大学）成员: 董浙 (浙江大学) 王海 (浙江大学）张贵钧 (浙江大学）唐梦玥(浙江大学) 蒋金泽(浙江大学)会议地点：浙江大学玉泉校区邵逸夫科学馆主会场：浙江大学玉泉校区邵逸夫科学馆一楼117分会场A：邵逸夫科学馆二楼211分会场B：邵逸夫科学馆二楼212会议日程大会报告(地点：邵科馆一楼117报告厅)日期时间报告人及题目主持人9 日上午 7：50--8：15 步行至会场8:15--8:35 开幕式鲁世杰武俊德 8:35--9:00 照相9：00--9：30 许全华：Analysis on quantum tori徐宪民 9：30--10：00 郭坤宇：The Kozlov completeness problem10：00--10：30卢玉峰：The reducibility of compressedshifts on Beurling type quotient modulesover the bidisk10:30--10:50 茶歇10：50--11：20吉国兴: Subdiagonal algebras withBeurling type invariant subspaces李刚 11：20--11：50姚一隽：Quasiconformal Stuctures andFunctional Analysis11:50—12:20纪奎：On the similarity of Cowen-Douglasoperators with index one12:25 午餐（邵科馆一楼）分组报告一（地点：邵科馆一楼117）日期时间报告人及题目主持人9 日下午 13：45--14：10 王航：辫群的Baum-Connes同构的构造胡俊云14：10--14：35王茂发:Rigidity of Volterra-typeintegral operator on the Hardy spaces14：35--15：00王晓峰：Operator theory on Fock-typespaces15：00--15：25段永江：Toeplitz operators on weightedharmonic Bergman spaces15：25--15：45 茶歇15：45--16：10王鹏辉：Eigenvalue problems forstochastic Hamiltonian systems withboundary conditions纪友清 16：10--16：35朱森：Random Bergman shifts16：35--17：00程国正：The Regularity of Random BergmanFunctions17：00--17：25李玉成：On the norm of Hankel operatorrestricted to Fock space17：25--17：50李颂孝：Weighted Bergman spaces inducedby doubling weights in the unit ball ofnC18：00 晚餐（邵科馆一楼）日期时间报告人及题目主持人9 日下午 13：45--14：10吴志强：Normal states are determined bytheir facial distances方小春 14：10--14：35刘锐：A toolkit for constructingdilations of operator-valued measures,bounded linear maps and frames14：35--15：00齐霄霏：Additive maps preservingr-nilpotent perturbation of scalars on()B H15：00--15：25陈建华：Closed range weighted compositionoperators on the Hardy space15：25--15：45 茶歇15：45--16：10 李磊：Preservers in function spaces于涛 16：10--16：35董炯：Weyl's theorem and itsperturbations for the functions ofoperators16：35--17：00荣祯：Combinatorial Independence andNaive Entropy17：00--17：25晏福刚：Products of Hankel operators onFock spaces17：25--17：50吴常晖：Wandering subspace property ofthe shift operator 2B on the weightedBergman space18：00 晚餐（邵科馆一楼）日期时间报告人及题目主持人9 日下午 13：45--14：10贺衎：基于算子理论的量子程序分离问题研究曹怀信 14：10--14：35吴劲松：Quantum Fourier Analysis: LocallyCompact Quantum Groups14：35--15：00陶继成：Finite Group and the QuantumIsometry Group15：00--15：25白朝芳：Coherence manipulation underincoherent operations15：25--15：45 茶歇15：45--16：10原江涛：Constructions of one-way LOCCindistinguishable sets of generalizedBell states杜拴平 16：10--16：35魏晓敏：The symmetry of field algebra inHopf spin models determined by a Hopf*-subalgebra16：35--17：00黄旻怡：Broadcasting problem in theperspective of quantum networks17：00--17：25熊春河：非耗散退相干下的量子关联17：25--17：50王海：Correlations in evolutions ofquantum systems18：00 晚餐（邵科馆一楼）大会报告(地点：邵科馆一楼117)日期时间报告人及题目主持人10 日上午8：20--8：50侯晋川：Entanglement witnessesconstructed by permutation pair曹广福 8：50--9.20陈泽乾：Observable-geometric phases andapplication9：20--9.50王凯：Rigidity of the determinantal pointprocesses9:50--10:10 茶歇10：10--10：40杜鸿科：Some applications ofblock-operator technique and spectraltheory丁宣浩10：40--11：10黄毅青：Double disjointness preserversof Fourier and Fourier-Stieltjesalgebras of locally compact groups11：10--11：40余世霖:Connes-Kasparov isomorphism andrepresentation theory11：50--13.45 午餐（邵科馆一楼）分组报告一（地点：邵科馆一楼117）日期时间报告人及题目主持人10 日下午 13：45--14：10黄寒松：Composition operators betweendistinct Bergman spaces over planardomains李建奎 14：10--14：35石瑞：Irreducible and reducible operatorsin factor von Neumann algebras14：35--15：00曹鹏：Perturbation theory for ideals inBanach algebras15：00--15：25 周大鹏：K-theory for p L- Roe - algebras15：25--15：45 茶歇15：45--16：10陈泳：Ranks of commutators of truncatedToeplitz operators王勤 16：10--16：35丁立家：The p L- q L Problems ofBergman-type operators16：35--17：00王晋民：Delocalized eta invariants,cyclic cohomology and higher rhoinvariants17：00--17：25蒋报捷：拟局部Roe代数的相关问题18：00 晚餐（邵科馆一楼）分组报告二（地点：邵科馆二楼211）日期时间报告人及题目主持人10 日下午 13：45--14：10石岩月：Reducing subspace for Toeplitzoperators with some non-analytic symbols许庆祥 14：10--14：35刘小松：A new characterization forCarleson measure on the unit ball of nC14：35--15：00马攀：Mixed products of Toeplitz andHankel operators on the Fock space15：00--15：25李然：Conjugations and complex symmetricToeplitz operators15：25--15：45 茶歇15：45--16：10刘超：A Generalization of Littlewood'sTheorem on Random Taylor Series viaGaussian Processes刘永民 16：10--16：35李海绸：Composition Operators onDilichlet Spaces over the Half-plane16：35--17：00李永宁：The First Szego Theorem of theBergman Toeplitz Matrix17：00--17：25郭鑫：New progress for the difference ofcomposition operators on the spaces ofholomorphic functions18：00 晚餐（邵科馆一楼）分组报告三（地点：邵科馆二楼212）日期时间报告人及题目主持人10 日下午 13：45--14：10陈伟：Two Weight Inequalities forPositive Operators: Doubling Cubes侯成军 14：10--14：35符玄龙：Tracial Approximation in Simple*C-algebras14：35--15：00孟庆：Invariant means and property T ofcrossed products15：00--15：25蒋兴妮：Positive representations of()C X15：25--15：45 茶歇15：45--16：10李智强：Krein-Milman type theorems for*C-algebras陆芳言 16：10--16：35龙波涛：Twisted Bounded-dilation Group*C-algebras as *C-metric algebras16：35--17：00李辉：On the *C-algebra of the product oftwo odometers17：00--17：25刘成仕：Average values of functionals andconcentration without measure18：00 晚餐（邵科馆一楼）。

数学中的算子代数理论

数学中的算子代数理论在数学领域中，算子代数理论是一个重要的分支，它研究的是线性算子的代数结构及其相应的性质。

本文将介绍算子代数的定义、基本性质以及其在数学领域中的应用。

一、算子代数的定义算子代数是一个线性空间与一种特定的乘法运算的结合，它满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个算子A和B，其乘积AB也是算子代数中的元素。

2. 结合律：对于任意三个算子A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。

3. 分配律：对于任意三个算子A、B和C，满足A*(B+C) = A*B +A*C 和 (A+B)*C = A*C + B*C。

4. 单位元：算子代数中存在一个单位算子I，使得对于任意算子A，有A*I = I*A = A。

二、算子代数的基本性质1. 关于乘法结合律和分配律，算子代数具有类似于实数或复数乘法的性质。

2. 如果一个算子代数中的乘法运算满足交换律，即对于任意两个算子A和B，满足A*B = B*A，那么该算子代数被称为交换算子代数。

3. 对于任意算子A和B，在算子代数中可以定义算子的幂运算，即A^n = A*A*...*A (连乘n次)。

4. 算子代数中的零因子是指在乘法运算中存在一个非零的算子A，使得存在一个非零的算子B，满足A*B = 0。

若算子代数中不存在零因子，则称之为无零因子代数。

5. 算子代数中的幺元是指在乘法运算中存在一个单位算子I，使得对于任意算子A，有A*I = I*A = A。

若算子代数中的乘法运算不满足幺元的存在性，则称之为非幺代数。

三、算子代数在数学中的应用1. 算子代数在量子力学中有广泛的应用。

量子力学中的物理量一般用算子表示，算子代数理论为物理量的研究提供了数学方法和工具。

2. 算子代数在函数分析中起着重要作用。

函数分析研究的是函数空间及其上的算子，算子代数为分析各种函数空间上的运算与性质提供了理论基础。

3. 算子代数在代数学中也有广泛的应用。

它不仅仅是一种结构，还是一种独立的数学学科，研究代数结构及其相应的性质。

算子代数理论中的分类表示研究

算子代数理论中的分类表示研究算子代数理论是数学中的一个重要分支，它研究的是一类特殊的代数结构，称为算子代数。

在算子代数中，分类表示是一项重要的研究方向。

本文将就算子代数理论中的分类表示进行深入探讨。

一、算子代数概述算子代数是一类代数结构，它的元素是线性算子（或者矩阵），并且满足特定的运算规则。

在算子代数中，常见的代数结构包括线性空间、线性算子、乘法运算等。

算子代数广泛应用于数学、物理和工程等领域，被视为一种重要的数学工具。

二、分类表示的概念在算子代数中，分类表示的概念是指将算子代数按照某种特定的方式进行分类，并研究这些分类的性质和结构。

分类表示可以帮助我们更好地理解算子代数的本质，并揭示其内在的规律。

三、分类表示的基本原理分类表示的基本原理是将算子代数中的元素分解成几个简单的部分，并研究它们之间的关系。

通过对这些简单部分的分析，可以揭示算子代数的结构和性质。

常见的分类表示方法包括直和分解、直积分解、不可约表示等。

四、直和分解直和分解是一种常见的分类表示方法，它将算子代数分解成若干个直和子空间的直和。

在直和分解中，每个直和子空间都是不可约的，即不能再进行更进一步的分解。

通过直和分解，我们可以将复杂的算子代数分解成若干个简单的子空间，从而更好地理解算子代数的结构。

五、直积分解直积分解是另一种常见的分类表示方法，它将算子代数拆分成多个小的代数结构的直积。

在直积分解中，每个小的代数结构都是简单的，可以独立地进行研究和分析。

通过直积分解，我们可以将复杂的算子代数拆分成若干个简单的代数结构，从而更好地理解算子代数的性质和规律。

六、不可约表示不可约表示是一种重要的分类表示方法，它将算子代数表示成一组不可约的线性算子表示。

在不可约表示中，表示空间无法再被进一步分解，且算子在这个表示空间下的作用是不可分解的。

通过研究不可约表示，我们可以揭示算子代数的基本结构和特征。

七、应用领域算子代数理论中的分类表示在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

算子代数书籍-概述说明以及解释

算子代数书籍-概述说明以及解释1.引言1.1 概述算子代数是数学中一种重要的研究对象，它是代数学领域的一个分支，主要研究线性算子在线性空间中的性质和结构。

算子代数在数学和物理学中都有着广泛的应用，涉及到代数、拓扑、分析等多个学科的交叉领域。

本篇文章将从算子代数的定义、应用和发展历程这三个方面进行深入探讨，希望能够帮助读者更好地了解算子代数的基本概念和相关知识。

1.2 文章结构文章结构部分应该包括对整篇文章的组织架构和内容安排的介绍。

在这部分可以简要描述各章节的主题内容和相互之间的联系，让读者对整篇文章有一个整体的把握。

例如:"文章结构部分将会分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分中，我们将介绍算子代数的概念和背景，为读者提供一个初步了解。

正文部分将深入探讨算子代数的定义、应用和发展历程，帮助读者更全面地了解这一领域。

最后，结论部分将对全文内容进行总结，展望算子代数的未来发展，并得出结论。

通过这样的结构安排，读者可以逐步了解和深入了解算子代数的相关知识。

"1.3 目的:本文的目的在于介绍算子代数这一数学分支的基本概念、应用领域及其发展历程。

通过深入探讨算子代数的研究对象和方法，使读者能够更全面地了解这一领域在数学和其他学科中的重要性和应用价值。

同时，通过对算子代数发展历程的回顾，展示其在数学研究中所取得的重要成果和影响，以期激发读者对算子代数研究的兴趣和探索欲望。

通过本文的阐述，希望读者能够对算子代数有一个更清晰的认识，了解其在代数学、数学物理、量子力学等领域的应用，并且对未来算子代数研究的发展方向有一定的预期和期待。

最终达到促进学术交流、拓展研究视野的目的。

2.正文2.1 什么是算子代数:算子代数是数学中的一个重要分支，主要研究由线性算子构成的代数结构。

在算子代数中，我们研究的对象是线性算子，即将一个向量空间映射到自身的线性变换。

这些线性算子通常被表示为矩阵，通过矩阵的乘法和加法运算来定义一个代数结构。

数学中的泛函分析与算子理论

数学中的泛函分析与算子理论泛函分析与算子理论是数学中的两个重要分支，它们在函数空间和线性算子的研究中起着至关重要的作用。

本文将就泛函分析和算子理论的概念、基本原理和应用进行探讨。

一、泛函分析泛函分析是研究函数空间的一门学科。

它涵盖了实分析、拓扑学、线性代数和函数论等多个领域。

泛函分析的基本概念是泛函和函数空间。

1. 泛函在数学中，泛函是将函数映射到数域的映射。

泛函可以看作是向量空间上的线性函数。

泛函的研究使我们能够描述函数的性质和行为，例如连续性、可微性以及极值等。

2. 函数空间函数空间是指由特定类型的函数构成的集合。

例如，Lp空间是由满足p次方可积条件的函数构成的空间。

函数空间的研究使我们能够研究函数的性质和空间结构，以及函数之间的距离和收敛性等。

泛函分析的应用广泛，包括但不限于微分方程、概率论、信号处理和量子力学等。

通过泛函分析的方法，我们可以研究函数的连续性、可微性以及函数空间中的完备性等性质。

二、算子理论算子理论是研究线性算子的性质和行为的学科。

线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。

算子理论的基本概念是线性算子、谱理论和算子代数等。

1. 线性算子线性算子是保持线性性质的映射。

在线性代数中，我们学习了线性方程组和矩阵运算，而线性算子是对线性方程组和矩阵运算的推广。

线性算子的研究使我们能够研究向量空间之间的映射及其性质。

2. 谱理论谱理论是研究算子特征值和特征向量的理论。

它在量子力学、振动力学和信号处理等领域中具有重要应用。

谱理论的研究使我们能够研究算子的谱结构、特征值的分布以及算子的稳定性等性质。

3. 算子代数算子代数是研究算子的代数结构和性质的学科。

它将线性算子和代数理论相结合，研究了线性算子的代数性质、结构以及它们之间的关系。

算子代数在量子力学和量子信息等领域中有广泛的应用。

总结：泛函分析和算子理论是数学中重要的研究领域。

泛函分析研究函数空间的性质和行为，而算子理论研究线性算子的性质和代数结构。

算子代数理论中的GNS构造与表示

算子代数理论中的GNS构造与表示算子代数是一个研究代数结构和算子理论的分支。

GNS构造是算子代数理论中的基本概念，它在表示论中起到了重要的作用。

算子代数是一个包含线性算子组成的代数结构，它通常是一个具有额外结构的向量空间总体上就是抽象的函数代数，它的代数乘法结构是线性算子的复合。

在算子代数理论中，我们关注的是如何通过一些特殊的构造，寻找一个合适的表达方式来表示这个代数。

GNS构造就是寻找这个表示的方法之一。

GNS构造（Gelfand-Naimark-Segal构造）是由I.M. Gel'fand、M.A. Naimark和Raymond Segal在20世纪40年代提出的。

它是一种通过给定的算子代数构造对应的Hilbert空间表示的方法。

具体地说，给定一个算子代数A，我们可以通过GNS构造方法找到一个Hilbert空间H，以及一个由A到H上的线性算子映射π，使得π(A)在H上是一个闭算子代数，并且π是一个等距同构（isometry），即保持范数不变。

这样，我们就得到了一个在H上的表示。

GNS构造的核心思想是找到一个Hilbert空间H，使得A上的每个元素a都可以通过一个内积结构在H上表示。

具体来说，我们可以定义一个线性泛函φ_a，其中a是算子代数A上的一个元素，使得φ_a(a') = (a,a')，其中a'是A上的另一个元素。

通过这个泛函，我们可以将A中的元素a映射到H上的一个向量，即π(a) = φ_a。

GNS构造的重要性在于它能够将一个抽象的算子代数转化为一个具体的Hilbert空间上的算子代数。

这样一来，我们就可以利用Hilbert空间上的分析工具和技术来研究和分析原本抽象的算子代数。

除了在算子代数理论中的应用，GNS构造还在量子力学的表示论中发挥了重要作用。

量子力学中，算子代数通常是描述物理量和变换的数学工具。

通过GNS构造，我们可以把这些算子代数转化为Hilbert空间上的算子表示，从而更方便地研究物理系统的性质和行为。

算子代数理论中的分类表示研究

算子代数理论中的分类表示研究算子代数理论是数学中的一个重要分支领域，研究的是算子代数的结构和性质。

其中，分类表示是一项关键的研究内容。

本文将探讨算子代数理论中的分类表示，并分析其应用及研究进展。

一、算子代数理论概述算子代数是一类包含算子运算的代数结构，常见的包括线性算子代数、压缩算子代数等。

算子代数理论旨在研究这些代数结构的性质和行为。

分类表示是表示论的一个分支，与算子代数理论密切相关。

表示论是研究代数结构在向量空间上的表示的数学分支。

而分类表示则从表示的角度，将算子代数按照不可约表示进行分类。

二、分类表示的基本概念1. 不可约表示不可约表示是指表示空间中不存在真子空间能够在给定代数下不变。

对于算子代数来说，不可约表示是表示空间中不存在非平凡的不变子空间。

在分类表示中，我们主要研究不可约表示的性质和分类方法。

2. 直和表示给定一个算子代数，它可以由多个不可约表示直和得到。

直和表示是将一个代数分解为多个不可约表示之和的表示形式。

直和表示可以帮助我们更好地理解和分类算子代数。

三、分类表示的应用分类表示在物理学、量子力学、统计物理学等领域有着广泛的应用。

以物理学为例，分类表示理论对于研究粒子物理、量子场论和自旋等问题具有重要意义。

1. 粒子物理分类表示理论在粒子物理中被广泛应用于研究粒子的自旋和能级结构。

通过对算子代数的分类表示，可以更好地描述和解释不同粒子之间的相互作用和性质。

2. 量子场论量子场论是研究微观粒子相互作用的重要理论框架。

分类表示理论为量子场论提供了重要的工具和方法。

通过分类表示的研究，可以得到场算子的性质，并深入理解量子场论的本质。

3. 自旋自旋是描述粒子内禀角动量的物理量。

在分类表示理论中，自旋的不可约表示是非常重要的研究对象，它可以帮助我们理解自旋的量子特性和角动量守恒的规律。

四、分类表示的研究进展分类表示作为表示论的一个分支，已经取得了一系列重要的研究成果。

例如，对于特定的算子代数，已经找到了它们的全部不可约表示，并且对表示的结构和性质进行了深入研究。

计算机之父冯-诺依曼的故事【3篇】

计算机之父冯-诺依曼的故事【3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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国家自然科学基金学科分类数理科学部A01数学A0101数论A010101解析数论A010102代数数论A010103数论应用A0102代数学A010201群及其表示A010202李群与李代数A010203代数群与量子群A010204同调与K理论A010205环与代数A010206编码与密码A010207代数几何A0103几何学A010301整体微分几何A010302复几何与代数几何A010303几何分析A0104拓扑学A010401代数拓扑与微分拓扑A010402低维流形上的拓扑A010403一般拓扑学A0105函数论A010501多复变函数论A010502复动力系统A010503单复变函数论A010504调和分析与小波分析A010505函数逼近论A0106泛函分析A010601非线性泛函分析A010602算子理论与算子代数A010603空间理论A0107常微分方程与动力系统A010701泛函微分方程A010702定性理论与稳定性理论A010703分支理论与混沌A010704微分动力系统与哈密顿系统A010705拓扑动力系统与遍历论A0108偏微分方程A010801几何、物理和力学中的偏微分方程A010802非线性椭圆和非线性抛物方程A010803混合型、退化型偏微分方程A010804非线性发展方程和无穷维动力系统A0109数学物理A010901规范场论与超弦理论A010902可积系统及其应用A0110概率论与随机分析A011001马氏过程与遍历论A011002随机分析与随机过程A011003随机微分方程A011004极限理论A0111数理统计A011101抽样调查与试验设计A011102时间序列与多元分析A011103数据分析与统计计算A0112运筹学A011201线性与非线性规划A011202组合最优化A011203随机最优化A011204可靠性理论A0113控制论中的数学方法A011301分布参数系统的控制理论A011302随机系统的控制理论A0114应用数学方法A011401信息论A011402经济数学与金融数学A011403生物数学A011404不确定性的数学理论A011405分形论及应用A0115数理逻辑和与计算机相关的数学A011501数理逻辑A011502公理集合论A011503计算复杂性与符号计算A011504机器证明A0116组合数学A011601组合设计A011602图论A011603代数组合与组合矩阵论A0117计算数学与科学工程计算A011701偏微分方程数值计算A011702流体力学中的数值计算A011703一般反问题的计算方法A011704常微分方程数值计算A011705数值代数A011706数值逼近与计算几何A011707谱方法及高精度数值方法A011708有限元和边界元方法A011709多重网格技术及区域分解A011710自适应方法A011711并行算法A02力学A0201力学中的基本问题和方法A020101理性力学与力学中的数学方法A020102物理力学A020103力学中的反问题A0202动力学与控制A020201分析力学A020202动力系统的分岔与混沌A020203运动稳定性及其控制A020204非线性振动及其控制A020205多体系统动力学A020206转子动力学A020207弹道力学与飞行力学A020208载运工具动力学及其控制A020209多场耦合与智能结构动力学A0203 固体力学A020301弹性力学与塑性力学A020302损伤与断裂力学A020303疲劳与可靠性A020304本构关系A020305复合材料力学A020306智能材料与结构力学A020307超常环境下材料和结构的力学行为A020308微纳米力学A020309接触、摩擦与磨损力学A020310表面、界面与薄膜力学A020311岩体力学和土力学A020312结构力学与结构优化A020313结构振动、噪声与控制A020314流固耦合力学A020315制造工艺力学A020316实验固体力学A020317计算固体力学A0204流体力学A020401湍流与流动稳定性A020402水动力学A020403空气动力学A020404非平衡流与稀薄气体流动A020405多相流与渗流A020406非牛顿流与流变学A020407流动噪声与气动声学A020408流动控制和优化A020409环境流体力学A020410工业流体力学A020411微重力流体力学A020412交通流与颗粒流A020413电磁与多场耦合流体力学A020414实验流体力学A020415计算流体力学A0205 生物力学A020501组织与器官系统力学A020502细胞、亚细胞、生物大分子力学A020503仿生、生物材料与运动生物力学A0206 爆炸与冲击动力学A020601爆炸力学A020602冲击动力学A03天文学A0301 宇宙学A030101宇宙学模型和参数、早期宇宙A030102宇宙结构的形成和演化及观测宇宙学A030103宇宙暗物质和暗能量A0302 星系和类星体A030201银河系A030202星系形成、结构和演化A030203星系相互作用和并合；活动星系核A0303 恒星与星际物质A030301恒星结构和演化与恒星大气A030302变星和激变变星、双星和多星系统A030303恒星形成与早期演化、星际介质和星际分子A030304晚期演化和致密天体及其相关高能过程A030305太阳系外行星系统A0304 太阳和太阳系A030401太阳磁场和太阳发电机A030402太阳日冕物质抛射、耀斑、日珥和其他活动A030403日震学和太阳内部结构；太阳黑子和太阳活动周期变化A030404太阳系的起源和演化及太阳系中行星、卫星和其他小天体A030405太阳爆发活动对日地空间天气的影响A0305 天体中基本物理过程的理论和实验A030501天文中基本物理过程和天体辐射过程的理论和实验A030502实验室天体物理A0306 天体测量和天文地球动力学A030601天文参考系及星表A030602相对论天体测量A030603天文地球动力学及天体测量学的应用A030604时间与频率A0307 天体力学和人造卫星动力学A030701人造天体、太阳系小天体、行星系统和恒星系统动力学A030702N体问题、非线性和相对论天体力学A0308 天文技术和方法A030801 光学、紫外和红外天文技术与方法A030802 射电、毫米波和亚毫米波天文技术与方法A030803 高能天体物理技术方法和空间天文技术与方法A030804 海量数据处理及数值模拟天文技术与方法A0309 中、西方天文学史A0310 天文学同其他学科的交叉A04物理学IA0401凝聚态物性I:结构、力学和热学性质A040101固体结构和人工微结构A040102软物质和液体的结构与性质A040103凝聚态物质的力学、热学性质，相变和晶格动力学A040104凝聚态物质的（非电子）输运性质A040105薄膜和纳米结构的形成A040106表面，薄膜和纳米结构的表征和分析A040107表面、界面、介观系统、纳米系统的非电子性质A0402凝聚态物性 II ：电子结构、电学、磁学和光学性质A040201块体材料的电子态A040202强关联电子系统A040203电子输运过程：电导、光电导、磁电导A040204表面、界面和低维系统的电子结构及电学性质A040205介观系统和人工微结构的电子结构、光学和电学性质A040206超导电性A040207磁有序系统A040208低维、介观和人工微结构的磁性A040209介电、压电、热电和铁电性质A040210凝聚态物质的光学和波谱学、物质与粒子的相互作用和辐射A040211极端条件下的凝聚态物理A040212量子计算中的凝聚态物理问题A040213软物质、有机和生物材料的电子结构和物理A040214生命现象中的凝聚态物理问题A040215凝聚态物理中的新效应及其他问题A0403原子和分子物理A040301原子和分子结构理论A040302原子、分子、光子相互作用与光谱A040303原子分子碰撞过程及相互作用A040304大分子、团簇与特殊原子分子性质A040305极端条件下的原子分子物理A040306外场中的原子分子性质及其操控A040307量子信息中的原子分子物理问题A040308与原子、分子有关的其他物理问题A0404光学A040401光的传播和成像A040402信息光学中的物理问题A040403光源、光学器件和光学系统中的物理问题A040404纤维光学和集成光学中的物理问题A040405光与物质的相互作用A040406超强、超快光物理A040407微纳光学与光子学A040408量子光学和量子信息A040409非线性光学A040410光学材料中物理问题及固体发光A040411激光光谱学及高分辨高灵敏光谱方法A040412X-射线、红外、THz物理A040413光学在生命科学中的应用A040414与光学有关的其他物理问题和交叉学科A0405声学A040501线性与非线性声学A040502水声和海洋声学及空气动力声学A040503超声学、量子声学和声学效应A040504噪声、噪声效应及其控制A040505生理、心理声学和生物声学A040506语言声学、乐声及声学信号处理A040507声学换能器、声学测量方法和声学材料A040508信息科学中的声学问题A040509建筑声学与电声学与声学有关的其他物理问题和交叉A040510学科A05物理学IIA0501 基础物理学A050101 物理学中的数学问题与计算方法A050102 经典物理及其唯象学研究A050103 量子物理及其应用A050104 量子信息学A050105 统计物理学与复杂系统A050106 相对论、引力与宇宙学A0502粒子物理学和场论A050201场和粒子的一般理论及方法A050202量子色动力学、强相互作用和强子物理A050203电－弱相互作用及其唯象学A050204非标准模型及其唯象学A050205弦论、膜论及隐藏的空间维度A050206非加速器粒子物理A050207粒子天体物理和宇宙学A0503核物理A050301原子核结构与特性研究A050302原子核高激发态、高自旋态和超形变A050303核裂变、核聚变、核衰变A050304重离子核物理A050305放射性核束物理、超重元素合成及反应机制A050306中高能核物理A050307核天体物理A0504 核技术及其应用A050401 离子束与物质相互作用和辐照损伤A050402 离子束核分析技术A050403 核效应分析技术A050404 中子技术及其应用A050405 加速器质谱技术A050406 离子注入及离子束材料改性A050407 核技术在环境科学、地学和考古中的应用A050408 核技术在工、农业和医学中的应用A050409 新概念、新原理、新方法A0505粒子物理与核物理实验方法与技术A050501 束流物理与加速器技术A050502 荷电粒子源、靶站和预加速装置A050503 束流传输和测量技术A050504 反应堆物理与技术A050505 散裂中子源相关技术A050506 探测技术和谱仪A050507 辐射剂量学和辐射防护A050508 实验数据获取与处理A050509 新原理、新方法、新技术、新应用A0506 等离子体物理A050601 等离子体中的基本过程与特性A050602 等离子体产生、加热与约束A050603 等离子体中的波与不稳定性A050604 等离子体中的非线性现象A050605 等离子体与物质相互作用A050606 等离子体诊断A050607 强粒子束与辐射源A050608 磁约束等离子体A050609 惯性约束等离子体A050610 低温等离子体及其应用A050611 空间和天体等离子体及特殊等离子体A0507 同步辐射技术及其应用A050701 同步辐射光源原理和技术A050702 自由电子激光原理和技术A050703 束线光学技术和实验方法国家自然科学基金学科代码化学科学部B01无机化学B0101无机合成和制备化学B010101合成与制备技术B010102合成化学B0102元素化学B010201稀土化学B010202主族元素化学B010203过渡金属化学B010204丰产元素与多酸化学B0103配位化学B010301固体配位化学B010302溶液配位化学B010303功能配合物化学B0104生物无机化学B010401金属蛋白（酶）化学B010402生物微量元素化学B010403细胞生物无机化学B010404生物矿化及生物界面化学B0105固体无机化学B010501缺陷化学B010502固相反应化学B010503固体表面与界面化学B010504固体结构化学B0106物理无机化学B010601无机化合物结构与性质B010602理论无机化学B010603无机光化学B010604分子磁体B010605无机反应热力学与动力学B0107无机材料化学B010701无机固体功能材料化学B010702仿生材料化学B0108分离化学B010801萃取化学B010802分离技术与方法B010803无机膜化学与分离B0109核放射化学B010901核化学与核燃料化学B010902放射性药物和标记化合物B010903放射分析化学B010904放射性废物处理和综合利用B0110同位素化学B0111无机纳米化学B0112无机药物化学B0113无机超分子化学B0114有机金属化学B0115原子簇化学B0116应用无机化学B02有机化学B0201有机合成有机合成反应与试剂B020101B020102复杂化合物的设计与合成B020103选择性有机反应B020104催化与不对称反应B020105组合合成B0202金属有机化学B020201金属络合物的合成与反应B020202生物金属有机化学B020203金属有机材料化学B0203元素有机化学B020301有机磷化学B020302有机硅化学B020303有机硼化学B020304有机氟化学B0204天然有机化学B020401甾体及萜类化学B020402中草药与植物化学B020403海洋天然产物化学B020404天然产物合成化学B020405微生物与真菌化学B0205物理有机化学B020501活泼中间体化学B020502有机光化学B020503立体化学基础B020504有机分子结构与反应活性B020505理论与计算有机化学B020506有机超分子与聚集体化学B020507生物物理有机化学B0206药物化学B020601药物分子设计与合成B020602药物构效关系B0207化学生物学与生物有机化学B020701多肽化学B020702核酸化学B020703蛋白质化学B020704糖化学B020705仿生模拟酶与酶化学B020706生物催化与生物合成B0208有机分析B020801有机分析方法B020802手性分离化学B020803生物有机分析B0209应用有机化学B020901农用化学品化学B020902食品化学B020903香料与染料化学B0210绿色有机化学B0211有机分子功能材料化学B021101功能有机分子的设计与合成B021102功能有机分子的组装与性质B021103生物有机功能材料B03物理化学B0301结构化学B030101 体相结构B030102 表面结构B030103 溶液结构B030104动态结构B030105光谱与波谱学B030106 纳米及介观结构B030107方法与理论B0302理论和计算化学B030201 量子化学B030202 化学统计力学B030203 化学动力学理论B030204 计算模拟方法与应用B0303 催化化学B030301 多相催化B030302 均相催化B030303 仿生催化B030304 光催化B030305 催化表征方法与技术B0304化学动力学B030401 宏观动力学B030402 分子动态学B030403 超快动力学B030404激发态化学B0305胶体与界面化学B030501 表面活性剂B030503 表面/界面吸附现象B030504 超细粉和颗粒B030505 分子组装与聚集体B030506 表面/界面表征技术B0306电化学B030601 电极过程动力学B030602 腐蚀电化学B030603 材料电化学B030604 光电化学B030605 界面电化学B030606电催化B030607纳米电化学B030608化学电源B0307光化学和辐射化学B030701 超快光谱学B030702 材料光化学B030703 等离子体化学与应用B030704 辐射化学B030705 感光化学B030706光化学与光物理过程B0308热力学B030801 化学平衡与热力学参数B030802 溶液化学B030803 量热学B030804复杂流体B030805 非平衡态热力学与耗散结构B030806 统计热力学B0309生物物理化学B030901 结构生物物理化学B030902 生物光电化学与热力学B030903 生命过程动力学B030904生物物理化学方法与技术B0310化学信息学B031001 分子信息学B031002 化学反应和化学过程的信息学B031003 化学数据库B031004分子信息处理中的算法B04高分子科学B0401 高分子合成化学B040101高分子设计与合成B040102配位聚合与离子型聚合B040103高分子光化学与辐射化学B040104生物参与的聚合与降解反B040105缩聚反应B040106自由基聚合B0402 高分子化学反应B040201高分子降解与交联B040202高分子接枝与嵌段B040203高分子改性反应与方法B0403 功能与智能高分子B040301吸附与分离功能高分子B040302高分子催化剂和高分子试剂B040303医用与药用高分子B040304生物活性高分子B040305液晶态高分子B040306光电磁功能高分子B040307储能与换能高分子B040308高分子功能膜B040309仿生高分子B0404 天然高分子与生物高分子B040401基于可再生资源高分子B0405 高分子组装与超分子结构B040501超分子聚合物B040502超支化与树形高分子B0406 高分子物理与高分子物理化学B040601高分子溶液B040602高分子聚集态结构B040603高分子转变与相变B040604高分子形变与取向B040605高分子纳米微结构及尺寸效应B040606高分子表面与界面B040607高分子结构与性能关系B040608高分子测试及表征方法B040609高分子流变学B040610聚电解质与高分子凝胶B040611高分子塑性与黏弹性B040612高分子统计理论B040613高分子理论计算与模拟B0407 应用高分子化学与物理B040701高分子加工原理与新方法B040702高性能聚合物B040703高分子多相与多组分复合B040704聚合反应动力学及聚合反应过程控制B040705杂化高分子B040706高分子循环利用B05 分析化学B0501 色谱分析B050101 气相色谱B050102 液相色谱B050103 离子色谱与薄层色谱B050104 毛细管电泳及电色谱B050105 微流控系统与芯片分析B050106色谱柱固定相与填料B0502 电化学分析B050201 伏安法B050202 生物电分析化学B050203 化学修饰电极B050204 微电极与超微电极B050205 光谱电化学分析B050206 电化学传感器B050207 电致化学发光B0503 光谱分析B050301 原子发射与吸收光谱B050302 原子荧光与X-射线荧光光谱B050303 分子荧光与磷光光谱B050304 化学发光与生物发光B050305 紫外与可见光谱B050306 红外与拉曼光谱B050307 光声光谱B050308 共振光谱B0504 波谱分析与成像分析B0505 质谱分析B050601 联用技术B050602 分析仪器关键部件、配件研制B050603 分析仪器微型化B050604 极端条件下分析技术B0507 热分析与能谱分析B0508 放射分析B0509 生化分析及生物传感B050901 单分子、单细胞分析B050902 纳米生物化学分析方法B050903 药物与临床分析B050904 细胞与病毒分析B050905 免疫分析化学B050906 生物分析芯片B0510 活体与复杂样品分析B0511 样品前处理方法与技术B0512 化学计量学与化学信息学B0513 表面、形态与形貌分析B051301 表面、界面分析B051302 微区分析B051303 形态分析B051304 扫描探针形貌分析B06化学工程及工业化学B0601化工热力学和基础数据B060101状态方程与溶液理论B060102相平衡B060103化学平衡B060104热力学理论及计算机模拟B060105化工基础数据B0602传递过程B060201化工流体力学和传递性质B060202传热过程及设备B060203传质过程B060204颗粒学B060205非常规条件下的传递过程B0603分离过程B060301蒸馏蒸发与结晶B060302干燥与吸收B060303萃取B060304吸附与离子交换B060305机械分离过程B060306膜分离B0604化学反应工程B060401化学反应动力学B060402反应器原理及传递特性B060403反应器的模型化和优化B060404流态化技术和多相流反应工程B060405固定床反应工程B060406聚合反应工程B060407电化学反应工程B060408生化反应工程B060409催化剂工程B0605化工系统工程B060501化学过程的控制与模拟B060502化工系统的优化B0606无机化工B060601基础无机化工B060602工业电化学B060603精细无机化工B060604核化工与放射化工B0607有机化工B060701基础有机化工B060702精细有机化工B0608生物化工与食品化工B060801生化反应动力学及反应器B060802生化分离工程B060803生化过程的优化与控制B060804生物催化过程B060805天然产物及农产品的化学改性B060806生物医药工程B060807绿色食品工程与技术B0609能源化工B060901煤化工B060902石油化工B060903燃料电池B060904天然气及碳--化工B060905生物质能源化工B0610化工冶金B0611环境化工B061101环境治理中的物理化学原理B061102三废治理技术中的化工过程B061103环境友好的化工过程B061104可持续发展环境化工的新B0612资源化工B061201资源有效利用与循环利用B061202材料制备的化工基础B07环境化学B0701 环境分析化学B070101 无机污染物分离分析B070102有机污染物分离分析B070103污染物代谢产物分析B070104污染物形态分离分析B0702 环境污染化学B070201大气污染化学B070202水污染化学B070203土壤污染化学B070204 固体废弃物污染化学B070205 放射污染化学B070206 纳米材料污染化学B070207 复合污染化学B0703 污染控制化学B070301大气污染控制化学B070302水污染控制化学B070303土壤污染控制化学B070304固体废弃物污染控制化学B0704 污染生态化学B070401污染物赋存形态和生物有效性B070402污染物与生物大分子的相互作用B070403污染物的生态毒性和毒理B0705 理论环境化学B070501污染化学动力学B070502 污染物构效关系B070503 化学计量学在环境化学中的应用B070504 环境污染模式与预测B0706 区域环境化学B070601化学污染物的源汇识别B070602污染物的区域环境化学过程B070603污染物输送中的化学机制B0707化学环境污染与健康B070701 环境污染的生物标志物B070702 环境污染与食品安全B070703 人居环境与健康B070704 环境暴露与毒理学国家自然科学基金学科代码生命科学部C01微生物学C0101微生物资源与分类学C010101细菌资源、分类与系统发育C010102放线菌资源、分类与系统发育C010103真菌资源、分类与系统发育C010104病毒资源与分类C0102微生物生理与生物化学C010201微生物生理与代谢C010202微生物生物化学C0103微生物遗传育种学C010301微生物功能基因C010302微生物遗传育种C0104微生物学研究的新技术与新方法C0105环境微生物学C010501陆生环境微生物学C010502水生环境微生物学C010503其他环境微生物学C0106病原细菌与放线菌生物学C010601 植物病原细菌与放线菌生物学C010602 动物病原细菌与放线菌生物学C010603 人类病原细菌与放线菌生物学C0107 病原真菌学C010701 植物病原真菌学C010703 人类病原真菌学C0108 病毒学C010801 植物病毒学C010802 动物病毒学C010803 人类病毒学C010804噬菌体C0109支原体、立克次体与衣原体C010901 支原体C010902 立克次体、衣原体等C02植物学C0201 植物结构学C020101植物形态结构与功能C020102植物形态与发生C0202 植物分类学C020201种子植物分类C020202孢子植物分类C020203植物地理学C0203 植物进化生物学C020301植物系统发育C020302古植物学与孢粉学C020303植物进化与发育C0204 植物生理与生化C020401光合作用C020402生物固氮C020403呼吸作用C020404矿质元素与代谢C020405有机物质合成与运输C020406水分生理C020407抗性生理C020408植物激素与生长发育C020409植物次生代谢与调控C020410种子生理C0205 植物生殖生物学C020501植物配子体发生与受精C020502植物胚胎发生C0206 植物资源学C020601植物资源评价C020602植物引种驯化C020603植物种质C020604植物化学C020605水生植物与资源C03生态学C0301分子与进化生态学C030101分子生态学C030102进化生态学C0302行为生态学C030201昆虫行为生态学C030202其他动物行为生态学C0303生理生态学C030301植物生理生态学C030302动物生理生态学C0304种群生态学C030401植物种群生态学C030402昆虫种群生态学C030403其他动物种群生态学C0305群落生态学C030501群落结构与动态C030502物种间相互作用C0306生态系统生态学C030601农田生态学C030602森林生态学C030603草地与荒漠生态C030604水域生态学C0307景观与区域生态学C030701景观生态学C030702区域生态学C0308全球变化生态学C030801陆地生态系统与全球变化C030802海洋生态系统与全球变化C0309微生物生态学C0310污染生态学C031001污染生态学C031002毒理生态学C0311土壤生态学C031101土壤生态系统水分、养分循环C031102土壤生物与土壤生态系统C0312保护生物学与恢复生态学C031201生物多样性C031202保护生物学C031203受损生态系统恢复C0313生态安全评价C031301转基因生物的生态C031302外来物种的入侵与生态安全性评价C031303生态工程评价C04林学C0401森林资源学C0402森林资源信息学C040201森林资源管理与信息技术C040202森林灾害监测的理论与方法C0403木材物理学C040301材性及其改良C040302木材加工学C040303人工复合木材C0404林产化学C040401树木化学成分分析C040402造纸与制浆C0405森林生物学C040501树木生长发育C040502树木抗逆生理学C040503树木繁殖生物学C0406森林土壤学C0407森林培育学C040701森林植被恢复与保持C040702人工林培育C040703种苗学C040704复合农林业C0408森林经理学C040801森林可持续发展C040802森林分类经营C0409森林健康C040901森林病理C040902森林害虫C040903森林防火C0410林木遗传育种学C041001林木种质资源C041002林木遗传改良C041003林木育种理论与方法C0411经济林学C041101经济林重要形状C041102经济林栽培生理C041103林木果实采后生物学C041104茶学C0412园林学C041201园林植物种质资源C041202城市园林与功能C041203园林规划和景观设计C0413荒漠化与水土保持C041301防护林学C041302森林植被与水土保持C041303植被与荒漠化C0414林业研究的新技术与新方法C05生物物理、生物化学与分子生物学C0501生物大分子结构与功能C050101生物大分子结构计算与理论预测C050102生物大分子空间结构测定C050103生物大分子相互作用C0502生物化学C050201蛋白质与多肽生物化学C050202核酸生物化学C050203酶学C050204糖生物学C050205无机生物化学C0503蛋白质组学C0504膜生物化学与膜生物物理学C050401生物膜结构与功能C050402跨膜信号转导C050403物质跨膜转运C050404其他膜生物化学与膜生物物理学C0505系统生物学C0506环境生物物理C050601电磁辐射生物物理C050602声生物物理C050603光生物物理C050604电离辐射生物物理与放射生物学C050605自由基生物学C0507空间生物学C0508生物物理、生物化学与分子生物学研究的新方法与新技术C06遗传学与发育生物学C0601植物遗传学C060101植物分子遗传C060102植物细胞遗传C060103植物数量遗传C0602动物遗传学C060201动物分子遗传C060202动物细胞遗传C060203动物数量遗传C0603微生物遗传学C060301原核微生物遗传C060302真核微生物遗传C0604人类遗传学C060401人类遗传的多样性C060402人类起源与进化C060403人类行为的遗传基础C060404人类表型性状与遗传C0605医学遗传学C060501单基因遗传病的遗传基础C060502多基因遗传病的遗传基础C060503线粒体与疾病C060504染色体异常与疾病C060505肿瘤遗传C060506遗传病模型C0606基因组学C060601基因组结构与分析C060602比较基因组与进化C060603基因组信息学C0607基因表达调控与表观遗传学C060701组蛋白修饰及意义C060702DNA修饰及意义C060703染色体重塑及意义C060704非编码RNA调控与功能C060705转录与调控C0608生物信息学C060801生物数据分析C060802生物信息算法及工具C060803生物信息挖掘C060804生物系统网络模型C0609遗传学研究新方法C0610发育生物学C061001性器官与性细胞发育C061002精卵识别与受精C061003胚胎早期发育C061004组织、器官的形成与发育C061005组织、器官的维持与再生C061006细胞的分化与发育C061007核质互作与重编程C061008干细胞及定向分化基础C061009模式生物与发育C061010发育研究新方法与体系C07细胞生物学C0701细胞、亚细胞结构与功能C0702细胞生长与分裂C0703细胞周期与调控C0704细胞增殖与分化C0705细胞衰老C0706细胞死亡C0707细胞运动C0708细胞外基质C0709细胞信号转导C0710人体解剖学C0711人体组织与胚胎学C071101人体组织学C071102人体胚胎学C08免疫学C0801免疫生物学C080101分子免疫C080102细胞免疫C080103免疫应答C080104免疫耐受C080105免疫调节C0802免疫遗传学C0803免疫病理学C0804神经内分泌免疫学C0805生殖免疫学C0806黏膜免疫学C0807临床免疫学C080701自身免疫与自身免疫性疾病C080702超敏反应与超敏反应性疾病C080703免疫缺陷与免疫缺陷。

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