广州市高二上学期期中数学试卷(理科)C卷(测试)
广东省高二上学期期中数学试卷含答案(共5套)
21．（本小题满分 12 分）
设函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求 的值，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
.
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的标准方程为 （1）求椭圆的标准方程；
，该椭圆经过点
，且离心率为 ．
（2）过椭圆
长轴上一点
，证明：直线
恒过定点．
作两条互相垂直的弦
．若弦
的中点分别为
深圳市高级中学第一学期期中考试 高二数学参考答案
的最小值是
C． 恒过定点 A ．若直线
D． 过点 A ，其中 是正实
A．
B．
C．
D． 5
11．若
，
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
12．设 是定义在 上的奇函数 ,且
,当
时，有 f (x) xf ( x) 恒成立，则不等式
的
解集为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
当 n≤9 时， an＜ 0， 当 n＝10 时， an＝ 0，
当 n≥11 时， an＞ 0． 所以当 n＝ 9 或 n＝ 10 时，由 Sn＝－ 18n＋ n( n－1) ＝ n2－19n 得 Sn 取得最小值为 S9＝ S10＝－ 90．
(3) 记数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，由题意可知
联立
，消去 x，得 ky2+y–k=0．
如图，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1≠０， x2≠０，
2 A.
3
2 B. -
3
广州市高二上学期数学期中考试试卷C卷
11. （1分） (2018高一下·伊通期末) 若三点 共线，则实数 的值为________．
12. （1分） (2018·天津) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为________．
13. （1分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，在正方体 中 ， ， 分别是棱 和 上的点， 若 是直角，则 等于________．
17. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为________．
三、 解答题 (共5题；共50分)
18. （10分） 已知直线 经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点．
（1） 若直线 平行于直线3x-2y+4=0，求直线 的方程；
三、 解答题 (共5题；共50分)
18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、
20-1、答案：略
20-2、答案：略
21-1、
21-2、
22-1、答案：略
22-2、答案：略
22-3、答案：略
（1） 证明： 平面 ；
（2） 若 ，求二面角 的余弦值.
22. （5分） (2016高一下·烟台期中) 已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上．
（1） 求定点P的坐标；
（2） 求圆C的方程；
（3） 已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
广东省广州市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省广州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题，p：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ；命题￢q：∀x∈R，x2+x+1≥0．则下列命题中真命题为（）A . p∧qB . p∧（￢q）C . （￢p）∧（﹣q）D . （￢p）∧q2. （2分） (2018高二上·宜昌期末) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A . 46，45，56B . 46，45，53C . 47，45，56D . 45，47，533. （2分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若=x+y+z，则x+y+z=（）A .B .C . 1D . 24. （2分） (2016高一下·湖南期中) 要从已编号（1至120）的120件产品中随机抽取10件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本．若在第1段中抽出的样本编号为7，则在抽出的样本中最大的编号为（）A . 114B . 115C . 116D . 1175. （2分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知命题p：向量 =（1，2）与向量 =（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1；命题q：函数f（x）= 是偶函数，下列是真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . p∨（￢q）7. （2分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ①④D . ①③8. （2分）已知点E是△ABC所在平面内一点，且 = + ，则 =（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·广州月考) 正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·梅州月考) 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分）(2019·邢台模拟) 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·红河开学考) 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1 ， y1）、B（x2 ，y2）两点，若x1+x2=10，则弦AB的长度为________．14. （1分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥l；③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β其中真命题的个数________ ．15. （1分） (2017高一下·河北期末) 椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，弦AB过F1 ，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），则|y1﹣y2|的值为________．16. （1分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有________ 对．三、解答题 (共6题；共41分)17. （1分） (2016高一下·南沙期中) 已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x= ；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣， ]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是________．18. （10分） 2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．如表是两位选手的其中10枪成绩．12345678910张梦雪10.210.39.810.1109.310.99.910.39.2巴特萨拉斯基纳10.11010.410.29.29.210.510.29.59.7（1）请计算两位射击选手的平均成绩，并比较谁的成绩较好；（2）请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定．19. （10分）(2017·广安模拟) 如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．20. （10分） (2016高三上·商州期中) 双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，直线l 过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且 =0，求l的斜率．21. （5分） (2018高三上·三明模拟) 已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，点是棱的中点，点在棱上，且， //平面．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥的体积．22. （5分）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共41分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2023-2024学年广东省广州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝02．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．83．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣14．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4 C ．1或4 D ．4或86．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√558．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝312．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 ． 14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 ．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AA 1B 1B 为矩形，AB ＝3，BC ＝5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值； （3）求点C 到平面A 1C 1B 的距离．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ADEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AE 和BD 上移动，且EM 和DN 的长度保持相等，记EM =DN =a(0＜a ＜√2)，活动弹子Q 在EF 上移动． （1）求证：直线MN ∥平面CDE ； （2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）Q 为EF 上的点，求EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝0解：由题意可得，直线的斜率k ＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y ＝﹣x ﹣1即x +y +1＝0 故选：A ．2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：∵直线l ∥平面α，∴l 的方向向量（2，m ，1）与平面α的一个法向量（1，12，2）垂直， ∴2×1+m ×12+1×2＝0， ∴m ＝﹣8． 故选：C ．3．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣1解：因为直线ax +（1+a ）y ＝3与（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，所以A 1A 2+B 1B 2＝0， 即：a （1+a ）+（1+a ）（3﹣2a ）＝0，解得：a ＝﹣1或 a ＝3． 故选：C ．4．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →解：∵M 为BC 的中点， ∴AM →=12(AB →+AC →)，∵N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，∴A 1N →=13A 1C 1→=13AC →，∴MN →=MA →+AA 1→+A 1N →=−12(AB →+AC →)+AA 1→+13AC →=−12(a →+b →)+c →+13b →=−12a →−16b →+c →，∴NM →=12a →+16b →−c →．故选：A ．5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4C ．1或4D ．4或8解：∵椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，知m ＞0， 当m ＞4时，椭圆焦点在x 轴上，此时a 2＝m ，b 2＝4， ∴c 2a 2=m−4m=34，解得m ＝16，则a ＝4，∴椭圆的长轴长为2a ＝8；当0＜m ＜4时，椭圆焦点在y 轴上，此时a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2a 2=4−m 4=34，解得m ＝1，满足题意，此时a ＝2，∴椭圆的长轴长为2a ＝4．综上，该椭圆的长轴长为4或8． 故选：D ．6．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)解：直线l ：mx +y +m ﹣1＝0，即m （x +1）+y ﹣1＝0， 则直线l 过定点C （﹣1，1），∵A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），C （﹣1，1）， ∴k AC =−3−12+1=−43，k BC =−2−1−5+1=34，∵直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点， ∴−m ≥34或﹣m ≤−43，解得m ≤−34或m ≥43，故实数m 的取值范围为（﹣∞，−34]∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√55解：取AC 中点E ，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，如图，∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC ，△ACD 均为等边三角形，不妨设AC ＝2，则△ABC ，△ACD 的边长都为2，且BE ⊥AC ，∵平面BAC ⊥平面DAC ，BE ⊥AC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC ，BE ⊂平面BAC ， ∴BE ⊥平面DAC ， 又CD ⊂平面DAC ， ∴BE ⊥CD ，又EF ⊥CD ，BE ∩EF ＝E ，且都在平面BEF 内， ∴CD ⊥平面BEF ， ∴∠BFE 为所求二面角，在△BEF 中，∠BEF ＝90°，BE =√22−1=√3，EF =1×sin60°=√32， ∴BF =√3+34=√152，∴cos ∠BFE =√32152=√55．故选：D ．8．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2解：如图，设∠OPC ＝α，则−π4≤α≤π4， 根据题意可得：∠APO ＝45°， ∴PA →⋅PD →=|PA →|⋅|PD →|⋅cos(α+π4) =1×√2cosαcos(α+π4) ＝cos 2α﹣sin αcos α =1+cos2α−sin2α2=12+√22cos(2α+π4)，又−π4≤α≤π4， ∴当2α+π4=0，α=−π8，cos （2α+π4）＝1时， PA →⋅PD →取得最大值12+√22． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切解：直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角θ，可得tan θ＝sin α∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π），所以A 正确；“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”，可得√32+42=3．解得c ＝5，c ＝﹣25，所以“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确； 直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0），所以C 正确； 直线y ＝﹣2x +5即2x +y ﹣5＝0与直线2x +y +1＝0平行，√22+12=√5，所以直线y ＝﹣2x +5与圆x 2+y 2＝5相切， 所以D 正确； 故选：ACD ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：对于A ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，∵−12≠21，∴A →B 与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ：AB →=(2，1，0)，则与AB 同向的单位向量是AB→|AB →|=√5(2，1，0)=(2√55，√55，0)，故B 正确；对于C ：AB →=(2，1，0)，BC →=(−3，1，1)，∴cos〈AB →，BC →〉=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)， 设平面ABC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=(1，−2，5)，故D 正确． 故选：AC ．11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝3解：将圆化为标准方程可得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 所以，圆心C （1，1），半径r ＝2．对于A 项，由已知可得P A ⊥AC ，|CP|=√(5−1)2+(1−1)2=4． 所以，|PA|=√|CP|2−|AC|2=2√3． 同理可得，|PB|=2√3．故A 错误；对于B 项，因为P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以∠P AC ＝∠PBC ＝90°， 所以点A ，B 都在以PC 为直径的圆上， 所以P ，A ，C ，B 四点共圆．故B 正确； 对于C 项，因为|CP |＝4，|AC |＝2，在Rt △ACP 中，有sin ∠APC =|AC||CP|=12，所以∠APC ＝30°． 同理可得，∠BPC ＝30°． 所以∠APB ＝60°．故C 正确；对于D 项，线段PC 的中点为E （3，1），|CE|=12|CP|=2． 所以，圆E 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4． 显然，AB 是圆C 与圆E 的公共弦． 两圆方程作差，整理可得x ＝2．所以，直线AB 的方程为x ＝2．故D 错误． 故选：BC ．12．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 解：对于A ：△AA 1D 的面积不变，点P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长， 所以三棱锥P ﹣AA 1D 的体积的体积不变，且V P−AA 1D =13S △AA 1D ⋅AB =13×12×2×2×2=43，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系， 可得A 1（2，0，2），D 1（0，0，2），C 1（0，2，2），设P （x ，2﹣x ，0），0≤x ≤2，则D 1P →=(x ，2−x ，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设直线D 1P 与A 1C 1所成角为θ， 则cosθ=cos〈D 1P →，A 1C 1→〉=|D 1P →⋅A 1C 1→||D 1P →||A 1C 1→|=|x−1|√(x−1)+3，因为0≤|x ﹣1|≤1，当|x ﹣1|＝0时， 可得cos θ＝0，所以θ=π2； 当0＜|x ﹣1|≤1时，cosθ=|x−1|√(x−1)2+3=1√1+3|x−1|2≤12，由θ∈[0，π2]，所以π3≤θ＜π2，所以异面直线D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]，所以B 正确；对于C ，由B 1（2，2，2），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，2）， 设P （m ，n ，0），0≤m ≤2，0≤n ≤2，则CB 1→=(2，0，2)，CD 1→=(0，−2，2)，FP →=(m −2，n −1，−2)， 设平面CB 1D 1的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅CD 1→=−2b +2c =0n →⋅CB 1→=2a +2c =0， 取a ＝1，可得b ＝﹣1，c ＝﹣1，所以n →=(1，−1，−1)，因为PF ∥平面B 1CD ，所以FP →⋅n →=(m −2)−(n −1)+2=0，可得n ＝m +1， 所以|FP →|=√(m −2)2+(n −1)2+4=√2m 2−4m +8=√2(m −1)2+6≥√6， 当m ＝1时，等号成立，所以C 错误．对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°， 由AA 1⊥平面ABCD ，得直线AP 与AA 1所成的角为45°， 若点P 在平面DCC 1D 1和平面BCC 1B 1内， 因为∠B 1AB ＝45°，∠D 1AD ＝45°，故不成立； 在平面ADD 1A 1内，点P 的轨迹是AD 1=2√2； 在平面ABB 1A 1内，点P 的轨迹是AB 1=2√2； 在平面A 1B 1C 1D 1时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为∠P AM ＝45°，所以PM ＝AM ，又因为PM ＝AB ， 所以AM ＝AB ，所以A 1P ＝AB ，所以点P 的轨迹是以A 1点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P 的轨迹的长度为14×2π×2=π，综上，点P 的轨迹的总长度为π+4√2，所以D 正确； 故选：ABD ．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 （2，0，0） ． 解：空间向量a →=(2，2，1)和b →=(1，0，0)， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|a →⋅b→|a →||b →|b→|b →|=a →⋅b→|b →|2b →=2×112(1，0，0)=（2，0，0）． 故答案为：（2，0，0）．14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√322=1．故答案为：1．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 x 2+（y ﹣3）2＝4 ． 解：由已知可得，圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4的圆心C （3，0），半径r ＝2， 设点C （3，0）关于直线y ＝x 对称的点为C 1（x 0，y 0），则有{y 02=x 0+32y 0−0x 0−3=−1，解得{x 0=0y 0=3，即点C 1（0，3），所以圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝4． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝4．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于2√55．解：如图，圆锥面与其内切球O 1、O 2分别相切与B ，A ，连接O 1B ，O 2A ，则O 1B ⊥AB ，O 2A ⊥AB ，过O 1作O 1D ⊥O 2A 于D ， 连接O 1F ，O 2E ，EF 交O 1O 2于点C ．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt △O 1O 2D 中，DO 2＝3﹣1＝2，O 1D =√82−22=2√15． ∴cos α=O 1D O 1O 2=2√158=√154． ∵O 1O 2＝8， CO 2＝8﹣O 1C ， ∵△EO 2C ∽△FO 1C ， ∴8−O 1C O 2E=O 1C O 1F，解得O 1C ＝2．∴CF =√O 1C 2−FO 12=√22−12=√3． 即cos β=CFO 1C =√32． 则椭圆的离心率e =cosβcosα=√32154=2√55．O 故答案为：2√55．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．解：（1）3x +2y +2＝0的斜率为k =−32，则与其垂直的直线的斜率为23，则过点A（2，2）的直线方程为y−2=23(x−2)，化简得2x﹣3y+2＝0；（2）由题意，①当直线过原点时，设其方程为y＝kx，∴4＝3k，k=4 3，∴y=43x，即4x﹣3y＝0；②当直线不过原点，设方程为xa +ya=1(a≠0)，则3a +4a=1，解得a＝7，x 7+y7=1，即x+y﹣7＝0，综上可得：所求直线方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB ＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面ABC1与平面A1C1B所成角的正弦值；（3）求点C到平面A1C1B的距离．解：（1）证明：因为侧面AA1C1C为正方形，AA1B1B为矩形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，因为AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC；（2）解：由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB2+AC2＝BC2即AB⊥AC，如图，以A为原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B （0，3，0），A 1（0，0，4），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），C （4，0，0），连接AC 1， 所以AB →=(0，3，0)，AC 1→=(4，0，4)，A 1B →=(0，3，−4)，A 1C 1→=(4，0，0)， 设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，故m →⊥AB →，m →⊥AC 1→， 则{m →⋅AB →=0m →⋅AC 1→=0，即{3y 1=04x 1+4z 1=0，令z 1＝1，则x 1＝﹣1，y 1＝0，可得m →=(−1，0，1)，设平面A 1C 1B 的法向量为n →=(x ，y ，z)，故n →⊥A 1B →，n →⊥A 1C 1→， 则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1C 1→=0，即{3y −4z =04x =0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，可得n →=(0，4，3)， 设平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=32×5=3√210，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−18100=√8210； 故所求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为√8210； （3）由（1）知平面A 1C 1B 的法向量为n →=(0，4，3)，CC 1→=(0，0，4)， 则点C 到平面A 1C 1B 的距离为d =|CC 1→⋅n →||n →|=3×4√4+3=125， 故点C 到平面A 1C 1B 的距离为125．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值．解：（1）由题意可得{a 2=b 2+c 2=22c a=√32，解得：a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{y =12x +m x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0， ∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2，∴|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√52√4m 2−8m 2+8=√5⋅√2−m 2=√5， 解得m ＝±1．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．解：（1）易知圆O 的圆心（0，0），半径为1，圆M 的圆心（2，1），半径为3，已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，即x 2﹣4x +y 2﹣2y ＝4， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为l ：4x +2y +3＝0， 所以点O 到l 的距离为d =|3|√16+4=3√510，所以公共弦长为|AB|=2√12−(3510)2=√555，故两圆公共弦直线方程为l：4x+2y+3＝0，公共弦长为√55 5；（2）因为圆O的圆心（0，0），半径为1，圆M的圆心（2，1），半径为3，由图象可知，有一条公切线为：x＝﹣1，直线OM：y=12x与x＝﹣1的交点为(−1，−12)，设另一条公切线的方程为y+12=k(x+1)，即kx−y+k−12=0，则点M（2，1）到此公切线的距离d=|3k−32|√k+1=3，解得k=−34，所以另一条公切线的方程为y=−34x−54，即3x+4y+5＝0综上，两圆的公切线方程为x＝﹣1和3x+4y+5＝0．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记EM=DN=a(0＜a＜√2)，活动弹子Q在EF上移动．（1）求证：直线MN∥平面CDE；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）Q为EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图1，在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN，∵MG ∥DE ，∴AM ME=AG GD．由已知可得，AE =BD =√2，EM ＝DN ＝a ， ∴AM ＝BN ，AM ME=BN ND，∴AG GD=BN ND=AM ME，∴GN ∥AB ．又AB ∥CD ，∴GN ∥CD ．∵MG ⊄平面CDE ，MG ∥DE ，DE ⊂平面CDE ， ∴MG ∥平面CDE ， 同理可得，GN ∥平面CDE ．∵MG ⊂平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，MG ∩GN ＝G ， ∴平面MNG ∥平面CDE ．∵MN ⊂平面MNG ，∴直线MN ∥平面CDE ．（2）由（1）可知，MG ∥DE ，AM =AE −EM =√2−a ， ∴MG ED=AM AE，∴MG =AM⋅ED AE =√2−a2． 同理可得，GN =DN⋅AB DB =a2． 又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， ∴ED ⊥平面ABCD ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥CD ． ∵MG ∥DE ，GN ∥CD ，∴MG ⊥GN ， ∴△MGN 是直角三角形， ∴MN 2=MG 2+GN 2=(√2−a 2)2+(a 2)2=a 2−√2a +1=(a −√22)2+12．又0＜a ＜√2，∴a =√22，即M ，N 为线段中点时，MN 2有最小值12，∴当a =√22时，MN 的长度最小，最小值为√22．（3）由（2）知，ED ⊥平面ABCD ． 又DA ⊥DC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示，则D （0，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），B （1，1，0），设Q （b ，0，1），0≤b ≤1， ∴EB →=(1，1，−1)，DC →=(0，1，0)，DQ →=(b ，0，1)． 设n →=(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=y =0n →⋅DQ →=bx +z =0，取x ＝1，则n →=(1，0，−b)是平面QCD 的一个法向量． 设EB 与平面QCD 所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈EB →，n →〉|=|EB →⋅n →||EB →||n →|=√3×√b +1．当b ＝0时，sinθ=√33；当0＜b ≤1时， 有sin 2θ=(√3×√b +1)2=b 2+2b+13(b 2+1)=2b 3(b 2+1)+13=23(b+1b)+13． ∵b +1b ≥2√b ⋅1b =2，当且仅当b =1b ，即b ＝1时等号成立， ∴b +1b ≥2，0＜1b+1b≤12， ∴sin 2θ=23(b+1b )+13≤23×12+13=23． ∵sin θ＞0，∴sinθ≤√23=√63．综上所述，EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：（1）设P （x ，y ），由题意可得，|P A |＝2|PB |，即√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，化简得（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）设Q （x 0，y 0），由题意可得（x ﹣2）2+y 2＝4，{x 0+x =2×1y 0+y =0，即{x =2−x 0y =−y 0，代入上式可得x 02+y 02=4， ∴Q 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，|QB |2+|QC |2＝（x ﹣1）2+y 2+（x ﹣5）2+（y ﹣8）2＝2x 2+2y 2﹣12x ﹣16y +90＝﹣12x ﹣16y +98＝﹣4（3x +4y ）+98．令z ＝3x +4y ，∴3x +4y ﹣z ＝0，d =|z|5≤r ＝2， ∴﹣10≤z ≤10，因此，|QB |2+|QC |2的最大值为138；（3）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0． 显然Δ＞0，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2， ME →=(x 1−m ，y 1)，MF →=(x 2−m ，y 2)，∴ME →⋅MF →=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝m 2−2mk21+k 2+k 2−41+k 2+k 2 （k 2−41+k 2+2k 21+k 2+1）=(m 2−m−2)k 2+m 2−41+k 2要使上式为定值，需m 2﹣2m ﹣2＝m 2﹣4，解得m ＝1，∴ME →⋅MF →为定值﹣3，当直线l 的斜率不存在时E （1，√3），F （1，−√3），由M （1，0）可得ME →=（0，√3），MF →=（0，−√3），∴ME →⋅MF →=−3，综上所述，在x 轴上是否存在点M （1，0），使ME →⋅MF →恒为定值﹣3．。
广东省2021版高二上学期期中数学试卷(理科)C卷
广东省 2021 版高二上学期期中数学试卷（理科）C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高三上·郑州月考) 在，，则内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 的面积的最大值为（ ）A. B. C. D.2. （2 分） 各项都是正数的等比数列{an}的公比 q 1，成等差数列，则（）A. B. C. D.3. （2 分） 若不等式＜1 对于一切实数都成立，则 k 的取值范围是（ ）A . （﹣∞，+∞）B . （1，3）C . （﹣∞，3）D . （﹣∞，1）∪（3，+∞）第 1 页 共 19 页4. （2 分） 设，,,,为（ ）A.,B.,C.,D.,,则 M 与 N、P 与 Q 的大小关系5. （2 分） (2019 高二上·兰州期中) 已知△△的外接圆的直径为（ ）的两边长分别为 2,3，这两边的夹角的余弦值为 ，则A.B.C. D. 6. （2 分） (2016 高一下·龙岩期中) 下列关于平面向量的说法，正确的是（ ） A . 若| |=| |且 与 是共线向量，则 = B . 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ C . 若 与 都是单位向量，则 = D . 零向量的长度为 07. （2 分） (2017 高二上·南宁月考) 已知角 的终边过点 的值为（ ），且，则A.第 2 页 共 19 页B. C. D.8. （2 分） (2018 高三上·邢台月考) 若 ， 满足约束条件 值为（ ）A . 15B . 30，则C. D . 349.（2 分）(2020 高一下·嘉兴期中) 已知各项均不为 0 的等差数列等比数列，且，则等于（ ）满足A . 16B.8C.4D.2的最大 ，数列 为10. （2 分） (2020·海南模拟) 已知函数，若A.B.C.第 3 页 共 19 页，则 的取值范围是（ ）D.11. （2 分） 设，若， 则 m=（ ）A . 2013B . 2014C . 4028D . 402612. （2 分） “x＞y＞0，m＜n＜0“是“xm＜ny”的（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一下·浦东期中) 在△ABC 中， 形有两解.请给出一个 值________，使该三角14. （1 分） (2019 高二上·沈阳月考) 如图，在杨辉三角形中，斜线 1 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成 一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 项和为 ，则 ________．15. （1 分） (2020 高一上·石景山期末) 已知 ________．，且，则的最大值为16. （1 分） (2019 高二上·南阳月考) 某地区森林原有木材存量为 ，且每年增长率为第 4 页 共 19 页，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 ，设 为 年后该地区森林木材的存量，则 的表达式是________.三、 解答题. (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） (2016 高三上·金华期中) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosB=，tanC= ．（Ⅰ）求 tanB 和 tanA；（Ⅱ）若 c=1，求△ABC 的面积．18. （10 分） (2017·临川模拟) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 S5=a5+a6=25．（1） 求{an}的通项公式；（2） 若不等式 2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）对所有的正整数 n 都成立，求实数 k 的取值范围．19. （5 分） (2016 高二上·郴州期中) 已知两个命题 p：∀ x∈R，sinx+cosx＞m 恒成立，q：∀ x∈R，y=（2m2 ﹣m）x 为增函数．若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 m 的取值范围．20. （10 分） (2016 高三上·烟台期中) 已知函数 f（x）=log （ ） 实常数．满足 f（﹣2）=1，其中 a 为（1） 求 a 的值，并判定函数 f（x）的奇偶性；（2） 若不等式 f（x）＞（ ） x+t 在 x∈[2，3]上恒成立，求实数 t 的取值范围．21. （10 分） (2016 高一上·扬州期末) 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为 P 和 Q（万元），它们与投入资金 m（万元）的关系有经验公式 P= m+65，Q=76+4 并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于 25 万元．，今将 150 万元资金投入生产甲、乙两种产品，（1） 设对乙产品投入资金 x 万元，求总利润 y（万元）关于 x 的函数关系式及其定义域；（2） 如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？22. （10 分） (2019 高一下·包头期中) 设，且成等比数列.是一个公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，已知第 5 页 共 19 页（1） 求数列 的通项公式；（2） 设，求数列 的前 项和 .第 6 页 共 19 页一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点：第 7 页 共 19 页解析： 答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 8 页 共 19 页解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点：第 9 页 共 19 页解析： 答案：7-1、 考点： 解析： 答案：8-1、 考点：第 10 页 共 19 页解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题. (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2023-2024学年广东省广州八十九中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州八十九中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）2．过A （0，4），B(√3，1)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．﹣60°B ．60°C ．120°D ．150°3．圆C 1：(x −1)2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．已知向量a →=(λ，2，3)，b →=(−1，2，−3)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=（ ） A ．10B ．2√13C ．2√10D ．4√55．两条平行直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0之间的距离为（ ） A ．315B ．3110C ．235D ．23106．设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→⋅PF 2→=0，则|PF 1|•|PF 2|＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B （﹣1，﹣4），若将军从点A （﹣1，2）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3．则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√13B ．√17C ．2√17D ．108．设点P 是圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0上的动点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则cos ∠APB 的最大值为（ ） A ．29B ．12C ．79D ．4149二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线l ：√3x +y −2=0，则下列选项中正确的有（ ） A ．直线l 在y 轴上的截距是2 B ．直线l 的斜率为√3C ．直线l 不经过第三象限D ．直线l 的一个方向向量为v →=(−√3，3)10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法中正确的是（ ）A ．D ＝﹣4，E ＝﹣2B ．对∀k ∈R ，直线l 与圆M 一定相交C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝﹣1时，圆M 上存在着4个点到直线l 的距离为1211．下列四个命题中正确的是（ ）A ．已知{a →，b →，c →}是空间的一组基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底 B ．n →是平面α的法向量，a →是直线l 的方向向量，若a →⋅n →=0，则l ∥αC ．已知向量a →=(9，4，−4)，b →=(1，2，2)，则a →在b →方向上的投影向量为（1，2，2）D ．直线l 的方向向量为m →=(1，1，0)，且l 过点A （1，1，1），则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为212．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ＝1，AA 1＝2，P 为线段BB 1上的动点，且B 1P →=λB 1B →，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在λ使得A 1P ⊥BCB ．当λ=12时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比值为9C ．当λ=14时，异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35D ．过P 且与直线AB 和直线B 1C 1所成角都是75°的直线有三条 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点（1，﹣2），且与直线2x +3y ﹣1＝0垂直，则l 的方程为 ．14．在平面直角坐标系中，点P 到点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之和为10，则点P 到轨迹方程是 ． 15．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距离城市120√3km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北30°方向移动（如图所示）如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为 小时．16．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，则B 与D 之间距离为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，给定长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝6，点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|．设AA 1→=a →，AB →=b →，AD →=c →． （1）试用a →，b →，c →表示向量AE →； （2）求AD →⋅BD 1→．18．（12分）已知△ABC 的顶点C （2，﹣8），直线AB 的方程为y ＝﹣2x +11，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x +3y +2＝0． （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求△ABC 面积．19．（12分）如图，在棱长为2正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1D 1； （2）求点A 到平面BDC 1的距离．20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，求该圆的方程．21．（12分）将△ABC沿它的中位线DE折起，使顶点C到达点P的位置，使得P A＝PE，得到如图所示的四棱锥P﹣ABDE，且AC=√2AB=2，AC⊥AB，F为PB的中点．（1）证明：平面P AE⊥平面ABDE；（2）求直线AP与平面ADF的夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）t＝1时，求P A、PB方程（点A在点B上方）；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．2023-2024学年广东省广州八十九中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）解：由空间直角坐标系的性质知：点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1）． 故选：A ．2．过A （0，4），B(√3，1)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．﹣60°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π），A （0，4），B(√3，1)， 则k AB =4−10−3=−√3，故tan θ=−√3，解得θ=2π3．故选：C ．3．圆C 1：(x −1)2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切解：由题意，圆C 1：(x −1)2+y 2=4， 则圆心C 1（1，0），半径r 1＝2， 圆C 2：x 2+y 2=1，则圆心C 2（0，0），半径r 2＝1， 所以两圆圆心距|C 1C 2|＝1＝r 1﹣r 2， 所以两圆内切． 故选：D ．4．已知向量a →=(λ，2，3)，b →=(−1，2，−3)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=（ ） A ．10B ．2√13C ．2√10D ．4√5解：由题意得a →⋅b →=(λ，2，3)⋅(−1，2，−3)=−λ+4−9=0，解得λ＝﹣5， 故a →+b →=(−5，2，3)+(−1，2，−3)=(−6，4，0)，|a →+b →|=√(−6)2+42=2√13． 故选：B ．5．两条平行直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0之间的距离为（ ） A ．315B ．3110C ．235D ．2310解：由于直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0互相平行，所以：a ＝6； 故直线6x +8y +11＝0转换为：3x +4y +112=0， 平行线间的距离d =|−10−112|√3+4=3125=3110； 故选：B ．6．设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→⋅PF 2→=0，则|PF 1|•|PF 2|＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4解：已知F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，则|PF 1|+|PF 2|=2√5，又PF 1→⋅PF 2→=0，则PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=16，则2|PF 1|•|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|2+|PF 2|2)=20﹣16＝4，即|PF 1|•|PF 2|＝2． 故选：C ．7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B （﹣1，﹣4），若将军从点A （﹣1，2）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3．则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√13B ．√17C ．2√17D ．10解：设点A （﹣1，2）关于直线x +y ＝3的对称点为C （m ，n ）， 则{n−2m−(−1)⋅(−1)=−1m−12+n+22=3，解得m ＝1，n ＝4，∴C （1，4），∴|BC |=√(−1−1)2+(−4−4)2=2√17， ∴“将军饮马”的最短总路程为2√17． 故选：C ．8．设点P 是圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0上的动点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则cos ∠APB 的最大值为（ ） A ．29B ．12C ．79D ．4149解：圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0，即（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，圆心C （3，4），r 1＝1，圆O：x2+y2＝4，圆心O（0，0），r2＝2，所以cos∠APB=cos2∠APO=1−2sin2∠APO=1−2(r2|PO|)2=1−8|PO|2，当|PO|最大时，cos∠APB最大，|PO|max＝|CO|+r1＝5+1＝6，此时cos∠APB=7 9．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线l：√3x+y−2=0，则下列选项中正确的有（）A．直线l在y轴上的截距是2B．直线l的斜率为√3C．直线l不经过第三象限D．直线l的一个方向向量为v→=(−√3，3)解：对于A，直线方程可变为y=−√3x+2，截距是2，故A正确；对于B，斜率k=−AB=−√3，故B错误；对于C，由直线方程y=−√3x+2可知，故直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为(1，−√3)，与v→=(−√3，3)平行，故D正确．故选：ACD．10．已知直线l：kx﹣y﹣k＝0，圆M：x2+y2+Dx+Ey+1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法中正确的是（）A．D＝﹣4，E＝﹣2B．对∀k∈R，直线l与圆M一定相交C．直线l被圆M截得的最短弦长为2√3D．当k＝﹣1时，圆M上存在着4个点到直线l的距离为1 2解：A选项：圆M：x2+y2+Dx+Ey+1＝0，即(x+D2)2+(y+E2)2=D 2+E2−44，D2+E2−44＞0，由圆心为（2，1），得{−D 2=2−E 2=1，解得D ＝﹣4，E ＝﹣2，故A 正确；圆M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，圆心M （2，1），半径r ＝2，B 选项：由直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，即y ＝k （x ﹣1）恒过点A （1，0），且（1﹣2）2+（0﹣1）2＝2＜4，所以点A （1，0）在圆M 内，所以∀k ∈R ，直线l 与圆M 一定相交，故B 正确；C 选项：由已知当直线l 与MA 垂直时，弦长最小，k MA =1−02−1=1，所以k ＝﹣1，l ：﹣x ﹣y +1＝0，即x +y ﹣1＝0，此时d =|MA|=√(2−1)2+(0−1)2=√2，所以弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2，故C 错误； D 选项：当k ＝﹣1时，d =√2，此时r −d =2−√2＞12，所以圆M 上存在着4个点到直线l 的距离为12，故D 正确． 故选：ABD ．11．下列四个命题中正确的是（ ）A ．已知{a →，b →，c →}是空间的一组基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底 B ．n →是平面α的法向量，a →是直线l 的方向向量，若a →⋅n →=0，则l ∥αC ．已知向量a →=(9，4，−4)，b →=(1，2，2)，则a →在b →方向上的投影向量为（1，2，2）D ．直线l 的方向向量为m →=(1，1，0)，且l 过点A （1，1，1），则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为2解：对于A ，假设a →，b →，m →共面，则存在x ，y ∈R ，使得m →=a →+c →=xa →+yb →，则c →=(x −1)a →+yb →， 因为{a →，b →，c →}是空间的一组基底，即a →，b →，c →不共面，与c →=(x −1)a →+yb →矛盾， 所以a →，b →，m →不共面，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底，故A 正确； 对于B ，当l ∈α时，满足条件，但直线l 不平行于平面α，故B 错误；对于C ，a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=(1，2，2)，故C 正确；对于D ，由条件得AP →=(1，1，−2)，m →=(1，1，0)，所以AP →在m →方向上的投影为|AP|→⋅cos〈AP →，m →〉=AP →⋅m →|m →|=2√2=√2，则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为d =√|AP →|2−(√2)2=2，故D 正确； 故选：ACD ．12．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ＝1，AA 1＝2，P 为线段BB 1上的动点，且B 1P →=λB 1B →，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在λ使得A 1P ⊥BCB ．当λ=12时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比值为9C ．当λ=14时，异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35D ．过P 且与直线AB 和直线B 1C 1所成角都是75°的直线有三条解：取AC 的中点O ，以O 为原点，以OB ，OC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，以过点O 平行与AA 1的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，对于A 中，由B 1P →=λB 1B →，可得A 1(0，−12，2)，P(√32，0，2−2λ)，B(√32，0，0)，C(0，12，0)，可得A 1P →=(√32，12，−2λ)，BC →=(−√32，12，0)，则A 1P →⋅BC →=−34+14=−12≠0，所以A 正确；对于B 中，当λ=12时，即点P 的中点，可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V =√34×12×2=√32，三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积为V 1=13×√34×12×1=√312， 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比为6，所以B 错误；对于C 中，由A 1(0，−12，2)，P(√32，0，32)，B(√32，0，0)，C 1(0，12，2)，可得A 1P →=(√32，12，−12)，C 1B →=(√32，−12，−2)，则|cos ＜A 1P →，C 1B →＞|=|A 1P →⋅C 1B →||A 1P →||C 1B →|=35， 即异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35，所以C 正确；对于D 中，如图所示，在平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1内，分别作PD ∥AB ，PE ∥B 1C 1，由异面直线所成角的定义知，过点P 的直线与直线AB 和直线B 1C 1所成的角，即为过点P 的直线与直线PD 和直线PE 所成的角，因为△PDE 为等边三角形，可得∠DPE ＝60°，即直线PD 与PE 所成的角为60°，根据空间中直线的位置关系，可得过点P 的直线与直线PD 和直线PE 所成的角为75°的直线有四条，所以D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点（1，﹣2），且与直线2x +3y ﹣1＝0垂直，则l 的方程为 3x ﹣2y ﹣7＝0 ． 解：直线2x +3y ﹣1＝0的斜率为−23，则直线l 的斜率为−1−23=32，故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=32(x −1)，即3x ﹣2y ﹣7＝0．故答案为：3x ﹣2y ﹣7＝0．14．在平面直角坐标系中，点P 到点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之和为10，则点P 到轨迹方程是 x 225+y 216=1 ．解：由圆锥曲线性质，P 的轨迹为椭圆，焦距为6，长轴为10，焦点在x 轴上， 所以设P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1，（a ＞0，b ＞0），其中a ＝5，a 2﹣b 2＝32，解得，b ＝4，所以P 的轨迹方程为x 225+y 216=1．故答案为：x 225+y 216=1．15．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距离城市120√3km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北30°方向移动（如图所示）如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为 6 小时．解：设台风移动M 处的时间为t 小时，则|PM |＝20tkm ，根据题意，可得∠APM ＝60°﹣30°＝30°，在△APM 中，由余弦定理得AM 2＝P A 2+PM 2﹣2•P A •PM •cos30°＝（120√3）2+（20t ）2﹣2×120√3×20t ×√32，根据题意，该城市受台风侵袭，等价于AM ≤120km ，即（120√3）2+（20t ）2﹣120×20×3t ≤1202，整理得t 2﹣18t +72≤0，解得6≤t ≤12．所以该城市受台风侵袭的时间为12﹣6＝6小时．故答案为：6．16．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，则B 与D 之间距离为 √1055． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，如图，∵矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，∴AC =√AB 2+BC 2=√5，∴12×AB ×BC =12×AC ×BE ，∴BE ＝DF =2√55，AE ＝CF =√55，∴EF =3√55，∵沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，∴cos ＜EB →，FD →＞=−12， ∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2=（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →⋅EF →+2EF →⋅FD →+2BE →⋅FD →=45+95+45+2×2√55×2√55×12 =215， ∴B 与D 之间距离为|BD →|=√1055．故答案为：√1055． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，给定长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝6，点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|．设AA 1→=a →，AB →=b →，AD →=c →．（1）试用a →，b →，c →表示向量AE →；（2）求AD →⋅BD 1→．解：（1）因为点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|，所以CE →=2CC 1→=2AA 1→，则AE →=AB →+BC →+CE →=AB →+BC →+2AA 1→=2a →+b →+c →．（2）由题意得AA 1→⋅AD →=0，AB →⋅AD →=0，|AD →|=|AA 1→|=2，|AB →|=6，又BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=AA 1→+AD →−AB →，所以AD →⋅BD 1→=AD →⋅(AA 1→+AD →−AB →)=AD →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AB →=4．18．（12分）已知△ABC 的顶点C （2，﹣8），直线AB 的方程为y ＝﹣2x +11，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x +3y +2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC面积．解：（1）联立直线AB，BH的方程，可得{y=−2x+11x+3y+2=0，解得{x=7y=−3，即B（7，﹣3），设A（a，b），显然AC的斜率存在，则k AC=b+8a−2，k BH=−13，由题意可得：{b+8a−2=3b=−2a+11⇒{a=5b=1⇒A(5，1)，所以A（5，1），B（7，﹣3）；（2）由（1）结合点到直线的距离公式，可知C到直线AB的距离d=√2+1=3√5，由两点距离公式，得|AB|=√(7−5)2+(−3−1)2=2√5，所以S△ABC=12d⋅|AB|=15．19．（12分）如图，在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BD，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1D1；（2）求点A到平面BDC1的距离．解：（1）证明：连接AC，由正方体的特征可知BD∩AC＝E，且E是AC的中点，所以EF∥B1A，又EF⊄平面AB1D1，B1A⊂平面AB1D1，所以EF∥平面AB1D1；（2）由正方体的特征可知BD=BC1=DC1=2√2，S△ABD=12×2×2=2，S△C1BD=√34×(2√2)2=2√3，设点A到平面BDC1的距离为d，由V A−BDC1=13d⋅S△BDC1=V C1−ABD=13CC1⋅S△ABD⇒d=CC1⋅S△ABDS△BDC1=2√33，即点A到平面BDC1的距离为2√3 3．20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，求该圆的方程．解：（1）由圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上可设圆心为C（a，3a），由于该圆与x轴相切．，故圆的半径r＝3|a|，故可设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），又圆C经过点（4，3），故（4﹣a）2+（3﹣3a）2＝9a2，即a2﹣26a+25＝0，解得a＝1或a＝25，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x﹣25）2+（y﹣75）2＝5625．（2）由（1）知圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），圆心C（a，3a）到直线x﹣y＝0的距离为d=|a−3a|2=√2|a|，圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，故r2=7+(√2|a|)2，即9a2＝7+2a2，解得a＝±1，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9．21．（12分）将△ABC沿它的中位线DE折起，使顶点C到达点P的位置，使得P A＝PE，得到如图所示的四棱锥P﹣ABDE，且AC=√2AB=2，AC⊥AB，F为PB的中点．（1）证明：平面P AE⊥平面ABDE；（2）求直线AP与平面ADF的夹角的余弦值．解：（1）证明：因为DE为△ABC的中位线，所以DE∥AB，因为AC⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥PE，又AE ∩PE ＝E ，且AE ，PE ⊂平面P AE ，所以DE ⊥平面P AE ，又DE ⊂平面ABDE ，所以平面P AE ⊥平面ABDE ．（2）取AE 的中点为O ，连接PO ，因为P A ＝PE ＝AE ＝1，所以PO ⊥AE ，PO =√32，又平面P AE ⊥平面ABDE ，平面P AE ∩平面ABDE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，所以PO ⊥平面ABDE ，以O 为原点，以OC ，OP 所在直线为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，√32)，B(√2，−12，0)，D(√22，12，0)，A(0，−12，0)，F(√22，−14，√34)， 所以AP →=(0，12，√32)，AD →=(√22，1，0)，AF →=(√22，14，√34)， 设平面ADF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0，即{√22x +y =0√22x +14y +√34z =0， 令x =√2，则n →=(√2，−1，−√3)，设直线AP 与平面ADF 的夹角为θ，则sinθ=|cos〈AP →，n →〉|=|AP →⋅n →||AP →|⋅|n →|=|−12−32|1⋅√6=√63， 则cosθ=√1−sin 2θ=√1−(√63)2=√33，即直线AP 与平面ADF 的夹角的余弦值为√33． 22．（12分）如图，已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，点P （﹣1，t ）为直线l ：x ＝﹣1上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）t＝1时，求P A、PB方程（点A在点B上方）；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．解：（1）圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，则圆M的圆心M（2，0），半径r＝1，当t＝1时，P（﹣1，1），设过点P的直线方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，又过点F引圆M的两条切线，则√k2+1=1，解得：k=0或k=−34．因为点A在点B上方，即直线P A的方程为：y﹣1＝0，直线PB的方程为：y−1=−34(x+1)，故P A的方程为y＝1；直线PB的方程为：y=−34x+14．（2）由（1）知：M（2，0），圆M的半径r＝1，又P（﹣1，t），则|PM|=√9+t2，|AM|＝r＝1，即|P A|2＝|PM|2﹣|AM|2＝t2+8，故以P为圆心，|P A|为半径的圆P的方程为（x+1）2+（y﹣t）2＝t2+8，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，则直线AB的方程为（x+1）2﹣（x﹣2）2+（y﹣t）2﹣y2＝t2+8﹣1．即3x﹣ty﹣5＝0，点由{3x−5=0，−y=0⇒{x=53y=0，所以直线AB过定点(53，0)设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：当H，F不重合时，则HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M），又H(53，0)，M（2，0），故该圆圆心为(116，0)，半径12|HM|=2−116=16，且不经过M（2，0）．所以点F的轨迹方程为(x−116)2+y2=136(x≠2)；故线段AB中点的轨迹方程(x−116)2+y2=136(x≠2)．（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，故M（2，0）到直线kx﹣y+k+t＝0的距离d=|3k+t|√k+1=1，即8k2+6kt+t2﹣1＝0，设P A，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=−3t4，k1k2=t2−18，把x＝0代入kx﹣y+k+t＝0，得y＝k+t，则|ST|=|k1+t−(k2+t)|=|k1−k2|=√(k1+k2)2−4k1k2=√9t216−t2−12=√t2+84，故当t＝0时，|ST|取得最小值为√2 2．。
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线370x y +-=的一个方向向量为（ ） A ．(3,1) B ．(1,3)C ．(3,1)-D ．(1,3)-【答案】D【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由直线方程知：直线方向向量有()1,3-及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．两平行直线3210x y --=和6430x y -+=间的距离是（ ） A ．51326B ．41313C ．21313D ．31313【答案】A【分析】将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得；【详解】解：直线3210x y --=即为6420x y --=，所以两平行直线6420x y --=和6430x y -+=间的距离()22236513264d --==+-；故选：A4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB = A ．2 B ．42C ．6D ．210【答案】C【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.【解析】切线长5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点，则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．1010C ．22D ．1【答案】A【分析】分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1AG 和EF 的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()12,0,2A 、()1,0,0G 、()2,1,0E 、()0,1,1F ，所以()11,0,2AG =--，()2,0,1EF =-， 设异面直线1A G 与EF 所成角为θ， 则()()111221cos 055AG EF AG EF θ⋅-⨯--⨯===⨯⋅ ，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.6．如图，己知二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l ．若4,6,8,217AB AC BD CD ====α与平面β的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，进而确定平面α与平面β的夹角为CAE ∠，结合已知及题图确定二面角的大小.【详解】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，由BD l ⊥且BD β⊂，故//AE BD 且AE BD =，又AC l ⊥，AC α⊂，l αβ=，所以平面α与平面β的夹角为CAE ∠，且ABDE 为矩形，即DE AE ⊥，由//DE l ，则DE AC ⊥，又AC AE A ⋂=，,AC AE ⊂面CAE ，则DE ⊥面CAE ，CE ⊂面CAE ，故DE CE ⊥，又4,6,8,17AB AC BD CD ====8,4AE ED ==， 在直角△CDE 中22213CE CD ED -在△CAE 中，2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以，如图，锐二面角的大小为π3.故选：C7．已知直线20kx y -+=和以(3,1),(2,5)--M N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．72≤-kB ．13k ≥C ．7123-≤≤kD ．72≤-k 或13k ≥【答案】D【分析】先求出20kx y -+=所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k 的范围. 【详解】由题设，20kx y -+=恒过点(0,2)A -，则121303AM k -+==-，527202AN k +==---，又A 在y 轴上，,M N 在y 轴两侧，故直线20kx y -+=的斜率71(,][,)23k ∞∞∈--⋃+.故选：D8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1， 设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，1B (1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C (0,1，1)，()1B E a 1,1,c 1=---，DB (1,=1，0)，1DC (0,=1，1)，设平面1DBC 的法向量n (x,=y ，z)， 则1n DB 0n DC 0x y y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-， 1B E //平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=，解得a c 1+=，()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，设直线1B E 与直线AB 所成角为θ， AB (0,=1，0)，(11AB B E cos θAB B Ea ⋅∴==⋅2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，sin θ∴===≥=∴直线1B E 与直线AB故选B ．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC10．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．． 【答案】BD【分析】A 令0k =即可判断正误；B 由2l 过定点(0,1)-，再由定点与1l 的关系判断正误；C 令12k =-即可判断正误；D 利用直线垂直的判定判断k 值的存在性即可. 【详解】A ：当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，错误；B ：2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，正确；C ：当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，错误；D ：要使1l 与2l 都垂直则(1)(1)0k k ++-=，显然不存在这样的k 值，正确. 故选：BD11．已知(1,0),(4,0)A B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有（ ） A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则弦MN 的中点的轨迹方程是221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为422- 【答案】BCD【分析】A 由定点到圆心距离及圆的半径判断；B 首先判断A 在圆C 内，再根据所截弦长最短知直线与CA 垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C 由题意E 的轨迹是以CA 为直径的圆，即可得圆的方程；D 根据切线性质判断D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.【详解】由题设，圆心C 为(0,0)且半径2r =，则||4OB =，故||422OB r -=-=， 所以圆C 上到B 的距离为2的点有一个，A 错误；由221014+=<，即A 在圆C 内，故过A 的直线被圆C 所截得的弦长最小，只需直线与CA 垂直，故直线为1x =，此时2||2123MN r =-=，B 正确；若过A 的直线被圆C 所截得的弦MN 的中点为E ，则CE AE ⊥，故E 的轨迹是以CA 为直径的圆，所以轨迹方程为2211()24x y -+=，C 正确；若D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，所以D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，即228x y +=，而||4OB =， 故该圆上点到B 的最小值为422-，D 正确. 故选：BCD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则下列命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4B ．点C 到平面11ABCD 的距离为22C ．异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4D ．线段PQ 长度的最小值为433【答案】ABD【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证1CB ⊥面11ABC D ，进而确定直线BC 与平面11ABC D 所成的角、C 到平面11ABC D 的距离，由11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠求大小，过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ，利用线面垂直及勾股定理求PQ 的最小值.【详解】正方体中AB ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，故1AB CB ⊥，又11BC CB ⊥，由1AB BC B =，1,AB BC ⊂面11ABC D ，故1CB ⊥面11ABC D ，而BC面11BCC B B =，故直线BC 与平面11ABC D 所成的角1π4CBC ∠=，A 正确； C 到平面11ABC D 的距离为142222CB ==B 正确； 因为11//BC AD ，故异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠， 而△1CD A 为等边三角形，故1π3CD A ∠=，C 错误； 过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ， 面1DCC ⊥面ACD ，面1DCC 面ACD CD =，PE ⊂面1DCC ，故PE ⊥面ACD ，AC ⊂面ACD ，则PE AC ⊥，又PE EQ E =，,PE EQ ⊂面PEQ ，所以AC ⊥面PEQ ，易知：PQ 即为异面直线1C D ，AC 上两点的距离， 令[0,4]DE PE x ==∈，则4CE x =-，2)EQ x =-， 所以2222224323()(4)381633222x x x x PQ PE EQ x -+--+=++=当43x =时，min 164333PQ ==，D 正确.故选：ABD三、填空题13．若平面α的一个法向量为()2,6,s m =-，平面β的一个法向量为()1,,2n t =，且αβ∥，则s t -=______．【答案】7【分析】由αβ∥，得m n ∥，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由αβ∥，得m n ∥，所以2612s t -==，解得3t =-，4s =，∴7s t -=． 故答案为：714．已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数=a ______． 【答案】57【分析】由12l l //由12210A B A B -=有(2)(75)0a a --=，即可求a ，然后验证1l 、2l 是否重合. 【详解】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线； 当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //；∴57a =， 故答案为：5715．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，高为1，则点D 到平面ACD 1的距离是_____．【答案】63163【分析】利用等体积法，根据11D ACD D ACD V V --=可得.【详解】因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，2AD CD ==，11DD =，所以1122,5AC AD CD ===，记AC 中点为O ，则1D O AC ⊥，所以2211523D O AD AO =-=-=，记三棱锥1D ACD -的高为h ，因为11D ACD D ACD V V --=，所以11112212233232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得63h =. 故答案为：63.16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A -、()2,4B ，其欧拉线的方程为0x y -=，则ABC 的外接圆方程为______. 【答案】()()221110x y -+-=【分析】求出线段AB 的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出ABC 的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出ABC 的外接圆方程.【详解】直线AB 的斜率为40122AB k -==+，线段AB 的中点为()0,2M ， 所以，线段AB 的垂直平分线的斜率为11AB k k =-=-， 则线段AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，即20x y +-=，联立200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即ABC 的外心为()1,1D ，所以，ABC 的外接圆的半径为()()22210110r AD ==--+-=因此，ABC 的外接圆方程为()()221110x y -+-=. 故答案为：()()221110x y -+-=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．四、解答题17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）32120x y +-=；（2）5200x y +-=． 【分析】（1）先根据斜率公式得23=BC k ，由于BC 边上的高与BC 所在直线垂直且过()4,0A ，故根据点斜式求解即可；（2）由题知BC 中点为()3,5M ，故5,AM k =-再根据点斜式求解即可. 【详解】（1）BC 边所在直线的斜率732603BC k -==- 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为1-，所以BC 高线的斜率为32-，又因为BC 高线所在的直线过()4,0A所以BC 高线所在的直线方程为30(4)2y x -=--，即32120x y +-=（2）设BC 中点为M ，则中点()3,5M ，又5,AM k =-所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为：5(3)5y x =--+，即：5200x y +-=【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为1-，考查运算求解能力，是基础题.18．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：2260x y x m +-+=.(1)若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值;(2)在(1)的条件下，若直线l 过点(2，1)，且与圆2C 的相交弦长为23，求直线l 的方程. 【答案】(1)m=5 (2)20x -=或10y -=【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【详解】（1）圆1C ：221x y +=，则1(0,0)C ，半径r 1=1， 由圆2C ：2260x y x m +-+=，得22(3)9x y m -+=-， 则2(3,0)C ，半径29(9)r m m =-<.∵圆1C 与圆2C 外切， ∴1212C C r r =+，∴913m -+=，解得m=5. （2）由(1)得m=5，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，则2(3,0)C ，r 2=2.由题意可得圆心2C 到直线l 的距离24(3)1d =-=， 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-，化为一般形式为210kx y k --+=，则圆心(3，0)到直线l 的距离2111k d k +==+，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l 的方程为20x -=或10y -=.19．如图，在棱长为4的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．【答案】(1)证明见解析； (2)22.【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF a ==且04a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数a ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF a ==且04a ≤≤，所以(0,4,4)C '，(4,0,4)A '，(4,,0)E a ，(4,4,0)F a -，则(4,4,4)C E a '=--，(,4,4)A F a '=--，故44(4)160C E A F a a ''⋅=-+-+=， 所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1），三棱锥B BEF '-体积取最大，即△BEF 面积()()21142222S a a a =-=--+最大， 所以，当2a =时max 2S =，故,E F 为AB ，BC 上的中点，所以(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(4,4,4)B '，故(0,2,4),(2,0,4)EB FB ''==，若(,,)m x y z =为面B EF '的法向量，则240240m EB y z m FB x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅''=+=⎪⎩，令1z =-，故(2,2,1)m =-，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11|cos ,|||||313||||m n m n m n ⋅-<>===⨯，由图，平面B EF '与平面BEF 的夹角正切值为220．（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【答案】（1）x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0；（2）x ＋y －2＝0【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点()4,3-可得； （2）求出M ，N 两点坐标，利用坐标表示出OMN 面积，分离常数后使用基本不等式可得.【详解】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1， 解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. （2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +， ∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2， 当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立． 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.21．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，,E F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．(1)证明：BA BC ⊥(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大？ 【答案】(1)证明见解析 (2)112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用线面垂直性质可知111BB A B ⊥，结合11BF A B ⊥可证得11A B ⊥平面11BCC B ，由11//AB A B和线面垂直性质可证得结论；（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，1BB ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111BB A B ∴⊥，又11BF A B ⊥，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，1BB BF B ⋂=， 11A B ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，11BC A B ∴⊥；四边形11AA B B 为正方形，11//AB A B ∴，BA BC ∴⊥.（2）以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 为,,x y z 轴可建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0E ，()0,2,1F ，设1B D a =，则(),0,2D a ，则()1,1,1EF =-，(),2,1FD a =-， 设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则020EF n x y z FD n ax y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，解得：1y a =+，2z a =-，()3,1,2n a a ∴=+-； 又平面11BCC B 的一个法向量()1,0,0m =，()()222cos ,912127222m n m n m na a a ⋅∴<>===⋅+++-⎛⎫-+⎪⎝⎭ 则当12a =时，max 6cos ,m n <>=即当112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大.22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【分析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上, ∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,00r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQPNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PN x y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P在圆M上,()()223318x y∴-+-=,即22660x y x y+--=,()()()()2222221161610x y x yλλλλ∴-+-----=,()22226122220aaλλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232aλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q为33,22⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
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广州市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高二下·中山月考) 复数不可能在（）
A . 在第一象限
B . 在第二象限
C . 在第三象限
D . 在第四象限
2. （2分）已知p：∀t∈R，函数f（x）= 在R上单调递增；q：∃a∈R，函数g（x）=ln（x2+ax+1）为偶函数．则下列命题中真命题的是（）
A . p∧￢q
B . ￢p∨q
C . p∨￢q
D . p∧q
3. （2分）要从4名女生和2名男生中选出3名学生组成课外学习小组，则是按分层抽样组成的课外学习小组的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
5. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 若双曲线的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . （1，2]
D . （1，4]
6. （2分） (2017高一下·平顶山期末) 某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
7. （2分）“”是“”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
8. （2分）某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：
零件数x（个）102030
加工时间y（分钟）213039
现已求得上表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）
A . 84分钟
B . 94分钟
C . 102分钟
D . 112分钟
9. （2分）(2018·浙江) 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ，二面角S−AB−C的平面角为θ3 ，则（）
A . θ1≤θ2≤θ3
B . θ3≤θ2≤θ1
C . θ1≤θ3≤θ2
D . θ2≤θ3≤θ1
10. （2分） (2017高二下·莆田期末) 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：
办理业务所需的时间Y/分12345
频率0.10.40.30.10.1
从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（）
A . 0.22
B . 0.24
C . 0.30
D . 0.31
11. （2分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AA1=2，AC= ，过BC的中点D作平面ACB1的垂线，交平面ACC1A1于E，则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高三上·廊坊期末) 如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）
A . （，+∞）
B . （1+ ，+∞）
C . （0，）
D . （，+∞）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2014·北京理) 复数（）2=________．
14. （1分）在长为10cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为________
15. （1分） (2018高二上·綦江期末) 已知双曲线的左右焦点为， .过作直线的垂线l ，垂足为，l交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率
________.
16. （1分） (2015高二上·和平期末) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABC是一个等腰直角三角形，∠BAC=90°，底面BCD是一个等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，E为BD的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．
三、简答题 (共6题；共55分)
17. （15分）当实数a为何值时z=a2﹣2a+（a2﹣3a+2）i．
（1）为纯虚数；
（2）为实数；
（3）对应的点在第一象限．
18. （10分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量Y的分布列．
19. （5分） (2017高二上·右玉期末) 已知经过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是时，．
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
20. （10分）(2017·淮安模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D 是线段BC的中点．
（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
21. （5分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=， AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．
22. （10分） (2018高二下·赤峰期末) 过椭圆：右焦点的直线交
于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边
形面积的最大值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、简答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、21-1、
22-1、22-2、。