考虑非线性弹性力的滚珠丝杠系统分岔与混沌特性分析_吴沁

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混沌实验

非线性电路振荡周期的分叉与混沌姓名：邵艳艳专业：材料物理91学号：09096001非线性电路振荡周期的分叉与混沌一．实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。

二．实验原理⒈分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。

逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。

迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。

④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。

⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。

以上这些特点可用图示法直观形象地给出。

逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

图 1—A 不动点图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌图1—D 蝴蝶效应图1 ⑵逻辑斯蒂映射的分岔图以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。

0A B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。

k 从2.8增大到4。

从图中可看出周期倍增导致混沌。

混沌区突然又出现周期3，5，7…奇数及其倍周期6，10，14…的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。

其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代，不是个别例子特有的，具有一定的普适性。

非线性混沌实验报告

非线性混沌实验报告非线性混沌实验报告引言在现代科学研究中，混沌理论是一门重要的交叉学科。

混沌现象的出现使我们对于非线性系统的行为有了更深入的理解。

本实验旨在通过实际操作，观察和分析非线性混沌系统的特点和行为。

实验设备和方法实验中我们使用了一台计算机，并安装了相应的混沌模拟软件。

通过该软件，我们可以模拟出不同的非线性混沌系统，并观察其动态行为。

实验过程中，我们选择了几个具有代表性的混沌系统进行模拟。

实验结果1. 洛伦兹系统洛伦兹系统是混沌理论中最经典的例子之一。

通过模拟软件，我们可以观察到洛伦兹系统的奇特行为。

当参数设定在一定范围内时，系统的状态会呈现出周期性的振荡；而当参数发生微小变化时，系统的状态将变得极其复杂，呈现出随机性和不可预测性。

这种不可预测性正是混沌系统的重要特征之一。

2. 双螺旋系统双螺旋系统是另一个具有混沌行为的非线性系统。

在模拟软件中，我们可以调整系统的参数，并观察到系统的状态随时间的演化。

当参数设定在某一范围内时，系统呈现出稳定的双螺旋结构；而当参数发生微小变化时，系统的状态将变得极其复杂，出现无序的运动。

这种无序运动正是混沌系统的又一个典型特征。

3. 分形系统分形是混沌理论中的一个重要概念。

通过模拟软件，我们可以生成各种各样的分形图形。

分形图形的特点是具有自相似性，即无论放大多少倍，都可以看到相似的结构。

这种自相似性是混沌系统中非线性行为的产物。

讨论与分析通过实验观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 非线性混沌系统具有极其复杂和不可预测的行为。

微小的参数变化可能会导致系统状态的巨大变化，这使得我们无法准确预测系统的未来状态。

2. 混沌系统具有自相似性和分形结构。

这种结构使得我们能够用较简单的规则生成复杂的图形。

3. 混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象具有重要意义。

例如，气象学中的天气预报、经济学中的股市波动等都可以通过混沌理论进行解释。

结论本实验通过模拟软件，观察和分析了几个具有代表性的非线性混沌系统。

机床进给系统滚珠丝杠轴向非线性振动分析

关键词：滚珠丝杠；Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁；轴向振动；相图；Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面中图分类号：ＴＨ１１３．１文献标志码：Ａ文章编号：１００１＂３８８１（２０１８）０３—０９９—４
ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＡｘｉａｌＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｂｒａｔｉｏｎａｂｏｕｔＭａｃｈｉｎｅＦｅｅｄＳｙｓｔｅｍＢａｌＩ．ｓｃｒｅｗＺＥＮＧＨａｏｒａｎ，ＬＩＵＮｉａｎｃｏｎｇ，ＹＡＮＧＪｉａｒｕｉ，ＣＨＥＮＪｉａｎｌｏｎｇ，ＧＥＮＧＷｅｉｔａｏ
２０１８年２月第４６卷第３期
机床与液压
ＭＡＣＨＩＮＥＴＯＯＬ＆ＨＹＤＲＡＵＬＩＣＳ
Ｆｅｂ．２０１８Ｖｏ１．４６Ｎｏ．３
ＵＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—３８８１．２０１８．０３．０２５
机床进给系统滚珠丝杠轴向非线性振动分析
曾浩然，刘念聪，杨家锐，陈建龙，耿伟涛
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＮｕｃｌｅａｒＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈｅｎｇｄｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＣｈｅｎｇｄｕＳｉｃｈｕａｎ６１００５９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｂａｌｌ—ｓｃｒｅｗｏｆｍａｃｈｉｎｅｔｏｏｌｆｅｅｄｓｙｓｔｅｍｉｓｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄａｓＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｂｅａｍ．Ｔｈｅｆｏｒｃｅｄｓｔａｔｅｏｆｔｈｅｂａｌｌ－ｓｃｒｅｗｉｓａｎａ－ｌｙｚｅｄａｎｄｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂａｌｌ－ｓｃｒｅｗｉｓｂｕｉｌｔ．Ｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｂａｌｌ－Ｓｃｒｅｗａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎＷａｓｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅａｓｓｕｍｅｄｍｏｄｅｍｅｔｈｏｄ．Ａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｗａｓｓａｔｉｓｆｉｅｄｏｆｔｈｅｆｏｒｍｏｆｄｕｆｉｎｇｅｑｕａ－ｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ．ＴｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＤｕｆｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎＷａｓｐｒｏｃｅｅｄｅｄｂｙＭＡＴＬＡＢ．Ｔｈｅｅｆｅｃｔｏｆ８ｃｒｅｗｌｅｎｇｔｈ，ｅｘｃｉｔｉｎｇｆｏｒｃｅａｎｄｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｏｎｖｉｂｒａｔｉｏｎｗｅｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｐｈａｓｅｔｒａｃｋｄｉａｇｒａｍａｎｄＰｏｉｎｅａｒｅｓｅｃｔｉｏｎｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｏｆｔｈｅａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．ＴｈｅｌｉｍｉｔｃｙｃｌｅｏｆｐｈａｓｅｔｒａｃｋｄｉａｇｒａｍＷａｓｅｎｃｌｏｓｅｄ．Ａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｈａｄｔｗｏｔｙｐｅ－ｃｅｎｔｅｒｓｉｎｇｕｌａｒｉ哆ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｏｎｂｏｔｈｓｉｄｅｓｏｆｔｈｅｏｒｉｇｉｎ．ＴｈｅｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙＷａｓａｔｔｒａｃｔｅｄｏｆｖｉ－ｂｒａｔｉｏｎＳＯａｓｔｏｒｅａｃｈａｓｔａｂｌｅｓｔａｔｅ，ａｎｄＰｏｉｎｃａｒｅｓｅｃｔｉｏｎＷａｓｓｈｏｗｎｔｈａｔａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎａｐｐｅａｒｅｄｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎ，ｑｕａｓｉｐｅｒｉｏｄｉｃｍｏｔｉｏｎｏｒｐｅｒｉｏｄｉｃｍｏｔｉｏｎ．ＳｉｎｇｕｌａｒｉｔｙｐｏｓｉｔｉｏｎＷａｓｃｈａｎｇｅｄｗｉｔｈｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｂｕｔｎｏｔｃｈａｎｇｅｄｉｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ＴｈｅＰｅｒｉｏｄｉｃｏｆｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｗａｓｅｎｈａｎｃｅｄｗｉｔｈｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｏｆｅｘｃｉｔｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔ．Ｔｅｓｔｏｆｔｈｅｆｅｅｄｓｙｓｔｅｍｂａｌｌ－ＳＣｒｅＷａｘｉａｌｖｉ－ｂｒａｔｉｏｎｅ￣ｓｔｓｃｈａｏｓｍｏｖｅｍｅｎｔ．ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｃｅｒｔａｉｎｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍａｃｈｉｎｅｆｅｅｄｓｙｓｔｅｍｂａｌｌ－ＳＣｒｅＷａｎｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．

非线性混沌实验报告

非线性混沌实验报告实验报告：非线性混沌1. 实验目的本实验旨在通过模拟和观察非线性混沌现象，探索混沌的数学本质、规律和应用。

2. 实验原理2.1. 什么是混沌？混沌（chaos）是指某些动力系统中的一种行为模式，它表现出极其复杂而又看似无序的运动规律，但却又有一定的确定性和不可重复性，并在很多领域中具有应用价值。

2.2. 非线性混沌的定义和特征非线性混沌（Nonlinear Chaos）是指某些非线性动力系统中的一类特殊混沌状态。

它们通常表现出以下几个特征：（1）极为敏感的初始条件：微小的初值差别会导致在长时间内产生极大的漂移。

（2）随机性行为：混沌状态下的系统呈现出高度复杂且表现随机性的运动规律，与绝大多数稳定系统完全不同。

（3）多周期态：非线性混沌的运动规律常常呈现出多个周期，周期的长度也呈现出一种统计规律。

2.3. 几个著名的非线性混沌系统著名的非线性混沌系统有Lorenz系统、Henon映射、Rössler系统、Mandelbrot集等。

3. 实验过程与结果我们选取了Henon映射系统作为本次实验的对象，通过Matlab 软件对其进行了模拟分析。

实验过程中我们首先设置了Henon映射系统的参数和初值，然后观察了其在不同参数下的运动轨迹和相空间分布情况，并对其进行了一些统计分析和图像处理。

（1）观察Henon映射在不同参数下的运动轨迹和相空间分布情况我们首先选取了较为典型的Henon映射参数a=1.4，b=0.3，并对其初值进行了一些微小扰动。

然后，我们通过Matlab软件调用Henon方程进行了计算和绘图，结果如下图所示：（2）对Henon映射进行分形维数计算和Lyapunov指数统计我们还对Henon映射的分形维数进行了计算和统计，结果为：通过对Henon映射系统的分形维数统计和图像处理，我们发现其分形维数存在着一定的统计性质，并表现出非线性混沌的明显特征。

4. 实验结论通过本次实验，我们得出了关于非线性混沌系统的一些结论和启示：（1）非线性混沌是一种高度复杂的运动模式，表现出极其敏感的初值依赖性，这使得其在现实世界中很难被精确预测和控制。

非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf

θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲线实际上是完全重合的两条曲线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。

高速滚动轴承-转子系统非线性动力特性分析

2 无量纲最小油膜厚度计算
球轴承中，滚动体与内圈和外圈滚道为点接触，以哈姆洛克
来稿日期：2019-02-17 基金项目：国家自然科学基金项目（E050402/51105187）；辽宁省自然科学基金指导计划项目（2019ZD0277）；
辽宁省教育厅项目（2017FWDF01）；辽宁科技大学创新团队建设项目（601009830）作者简介：李昌，（1980-），男，辽宁凌源人，博士研究生，副教授，主要研究方向：机械可靠性工程；Fra bibliotek1 引言
随着高铁和航空航天等技术领域迅猛发展，滚动轴承作为关键支承部件，对其研究也不断地深入。目前，对高速滚动轴承—转子系统的非线性动力学特性研究已经取得了一定的成绩。文献[1]建立了滚动轴承转子系统的不平衡—碰摩耦合故障动力模型，分析了转速、轴承间隙、碰摩刚度等对系统动力响应的影响。文献[2]建立了考虑径向内间隙的滚动轴承—平衡转子动力学方程，研究不同间隙的分岔和混沌等特性。文献[3-4]以滚动轴承—Jeffcott 刚性转子系统为研究对象，建立其动力学方程并研究系统的动力学特性。文献[5]以陀螺仪滚动轴承—转子系统为研究对象，通过求解系统
粤遭泽贼则葬糟贼：A nonlinear dynamic equation is established for the high speed rolling bearing -rotor system，considering some nonlinear factors，such as oil film，radial clearance，nonlinear bearing force，and so on. A fter that，bifurcation diagrams，phase diagrams，axes contrails，Poincar佴 maps and frequency spectrum diagrams are gained at the different parameters by the RungeKutta algorithm. A t the same time，the influence of speed and damping on its nonlinear vibration displacement is analyzed. The results show that system vibration cycle increases or decreases in sequence，with the increase of speed. A nd there is no violent change. System has parametric vibration，forced vibration and coupling vibration. The small damping system occurs chaos phenomenon and is not stable. On the contrary，the big damping can restrain nonlinear vibration，and system occurs violent change and is relatively stable. The stability of system can effectively improved by selecting reasonable damping and speed. Key Words：Rolling Bearing；Rotor System；Oil Film；Nonlinear Dynamic Characteristics；Runge-Kutta Algorithm

流体力学中的非线性问题和混沌现象

流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。

在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。

本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。

一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。

一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。

非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。

2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。

3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。

二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。

例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。

此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。

通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。

三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。

在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。

混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。

2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。

考虑非线性弹性力的滚珠丝杠系统分岔与混沌特性分析

一
个非线性动力学系统，可为数控机床的动态系统辨识提供依据．
关键词：非线性；滚珠丝杠；给系统；岔；进分混沌中图分类号：ＴＨｌ３１文献标志码：Ａ文章编号：２３９７２１）１０７ —６ｌ．０５ —８Ｘ（０２０ —０００
ｐｒｍｅｅｅｔｆａｉｎａｄｔｅｅｐｒｍｅｔｌｉｖｓｉａｉｎ，ｉｉｏｃｕｅｈｔｔｅｗｏｋｔｂｅａａｔｒｉｎｉｃｔｏｎｈｘｅｉｎａｎｅｔｇｔｏｄｉｔｓｃｎｌｄｄｔａｈｒａｌ
ＷＵｎ，Ｒｈｙａ，ＹＱｉＵＩｉｕｎＺＡＮＧｉｎｕＪａｊｎ＇
（．ｙＬａｏａｏｙｏｇｔｌＭａｕａｔｒｎｇＴｅｈｏｏｙａｄＡｐｌａｉ１ＫｅｂｒｔｒｆＤｉｉａｎｆｃｕｉｃｎｌｇｎｐｉｔｃｏｎ，Ｔｈｉｉｔｙｏｕａｉｎ，ＬａｚｏｅＭｎｓｒｆＥｄｃｔｏｎｈｕＵｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｌａｚｏ３００，Ｃｈｎ；２ＳｈｏｌｏｅｈｎｃｌａｄＥｔｃｒｎｃｌｎｈｕ７０５ｉａ．ｃｏｆＭｃａｉａｎｅｔｏｉａ
第４卷６
第１期
西
安
交
通
大学学报Ｖｏ Nhomakorabea ６Ｎｏ１１４．
２１０２年１月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＩＡＮＩＪＡＯＴＯＮＧＵＮＩＶＥＲＳＴＹＩ
Ｊｎ０２ａ．２１

非线性电路中的混沌现象实验报告

非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。

根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。

测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度：估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：（1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I R R=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。

故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。

使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。

混沌系统的复杂动力学行为研究及应用

混沌系统的复杂动力学行为研究及应用
混沌系统是一类具有高度非线性、异步和随机行为的随机系统,其复杂动力学行为表现出一系列奇异的现象,例如混沌现象、分岔、奇异吸引子等现象,这些现象在物理学、数学、工程学等领域具有重要的应用价值。

混沌系统的复杂动力学行为研究及应用可以分为以下几个方面:
1. 混沌现象研究:混沌现象是混沌系统的基本特征,其研究涉及到数学、物理、工程等领域的交叉学科,包括偏微分方程、分形几何、随机过程等多个领域。

混沌现象的应用包括天气预报、金融市场、流体力学等领域。

2. 分岔现象研究:分岔是混沌系统的另一类重要特征,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。

分岔现象的应用包括光学、通信、分子模拟等领域。

3. 奇异吸引子现象研究:奇异吸引子是混沌系统的一类特殊形态,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。

奇异吸引子的应用包括天体物理学、粒子物理学、生物医学等领域。

4. 混沌系统的应用:混沌系统在数学、物理、工程学等领域都有
重要的应用,例如混沌天气预报、混沌控制、混沌加密、混沌优化等领域。

混沌系统的应用正在不断拓展和深化。

混沌系统的研究和应用涉及到数学、物理、工程学等多个领域,其研究不仅具有理论意义,同时也具有重要的工程意义和实际价值。

三自由度复杂非线性系统的混沌与分岔

第３卷１
第３
报
Ｖ０．１Ｎｏ３Ｉ３．
２１０２年６月文章编号：０１４７（０２０－１８０１０－３３２１）３０５－３
ＪｕｌｆＬｎｈｕＪａｔｎｉｅｓｙｏｍａｏａｚｏｉｏｇＵｎｖｒｉｏｔ
—
Ｔ
√
一
（，，）１２３（）４
ｚ＝丽ｉ，＝ＸＫ１＝
用 — Ｐ表示振动系统的周期运动，示力周表期数，Ｐ表示碰撞次数．０一ｃ，选择Ｐｉｃｒ取ｏ，ｔｏｎａ６截
面：
一
｛，１，２ｚ，３）Ｒ￣Ｓ：（１主，２ｘ，３主， ∈ ６１ｌ
吕１Ｔｈｄｌｆｔｒｅ— ｅｒｅ— ｆｆｅｄｍｅｍｏｅｈｅｄｇｅｏ－ｒｅｏｏ
ｖｂｏ—ｉｐｃｙｔｍｉｒｍａｔｓｓｅ
１系统的动力学模型
图１一个三自由度碰撞振动的力学模型，为质
１９５
一
一＋
ｓ一
３。３３＋
一Ｔ娶十１１娶。一３一
一
１ — １Ｉ
（０３）
无量纲量如下：
Ｍ
一，女一
Ｋ。
，ｃ一
（，
，ｃ一
ｘ２
一
，
一
一
ｎ
，
ａｏ＝．９Ｊ３３３
数；卜，Ｈ和主，计分别表示振子Ｍ】ｍ碰撞立主卜主和前后的瞬时速度；为恢复系数．Ｒ由式（）：２得

复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究

复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究引言振动是自然界中广泛存在的一种现象，其研究对于各个领域都具有重要的意义，特别是复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究，可以帮助我们更加深入地了解系统的行为特征以及背后的物理规律。

本文将介绍复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究的基本概念和方法，并通过具体案例进行分析和讨论。

一、分岔理论1.1 稳定性和不稳定性在研究振动系统之前，我们需要了解稳定性和不稳定性的概念。

一个系统是稳定的，当其受到微小的扰动时，会回到原来的状态；反之，如果系统受到微小的扰动后会发展出新的行为，我们称之为不稳定。

1.2 分岔现象分岔现象是指随着系统参数的变化，系统行为从一个状态转变到另一个状态的过程。

当参数从某个特定值变化时，系统可能从一个稳定的状态变为两个或多个稳定状态之一，这种情况下被称为分岔。

分岔现象揭示了系统在参数变化过程中产生复杂行为的本质。

1.3 分岔图分岔图是研究分岔现象的重要工具。

在分岔图中，我们将系统参数作为横轴，系统状态（如振动振幅或周期）作为纵轴。

通过绘制分岔图，我们可以观察到系统行为的转变和分支。

根据分岔图的形态，我们可以判断系统的性质和分岔的类型。

二、混沌理论2.1 混沌现象混沌现象是指在复杂非线性系统中出现的无规则、不可预测的行为。

简单的说，混沌是一种没有规律可循的振动状态。

混沌现象的特点是高度敏感依赖初值，微小的变化可能引起系统行为的巨大差异。

2.2 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的数学概念。

它是一种奇怪吸引子，具有分维度较高、分形结构的特征。

混沌吸引子能够揭示混沌系统中的结构和演化规律。

2.3 混沌控制混沌控制是利用混沌现象的特性，通过对系统参数的调节或输入信号的设计，实现对混沌系统行为的控制。

混沌控制的研究对于实际应用具有重要意义，例如在通信、密钥加密、天气预报等领域。

三、分岔与混沌的关联与应用3.1 分岔与混沌的关联分岔和混沌是紧密相关的概念。

非线性混沌实验报告

一、实验目的1. 了解非线性混沌现象的产生机制和特点；2. 掌握非线性电路混沌现象的实验方法；3. 通过实验验证混沌现象在非线性电路中的存在和表现。

二、实验原理混沌现象是指非线性系统在初始条件和参数变化下，表现出对初始条件极为敏感、长期行为不可预测、复杂且非周期性的现象。

在非线性电路中，混沌现象通常由非线性元件（如非线性电阻、非线性电容等）引起。

本实验采用蔡氏振荡电路（Chua's circuit）作为研究对象，该电路具有以下特点：1. 简单易实现；2. 混沌现象明显；3. 可以通过调节电路参数来观察混沌现象的产生、发展和消失。

三、实验仪器与设备1. 数字示波器；2. 函数信号发生器；3. 万用表；4. 电路实验板；5. 连接线。

四、实验步骤1. 搭建蔡氏振荡电路，包括非线性电阻、线性电阻、电容和运算放大器等元件；2. 使用函数信号发生器为电路提供激励信号；3. 使用数字示波器观察电路输出信号的波形；4. 调节电路参数（如非线性电阻的值、电容的值等），观察混沌现象的产生、发展和消失；5. 记录不同参数下电路输出信号的波形，分析混沌现象的特点。

五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。

在非线性电阻值达到一定范围时，电路输出信号呈现出复杂的非周期性波形，即混沌现象。

2. 混沌现象的特点（1）对初始条件的敏感依赖性：在混沌现象中，电路输出信号的长期行为对初始条件极为敏感，微小变化可能导致截然不同的结果。

（2）复杂性和非周期性：混沌现象的输出信号具有复杂性和非周期性，无法用简单的数学公式描述。

（3）奇怪吸引子：混沌现象的长期行为可以用奇怪吸引子来描述，奇怪吸引子是一种具有复杂结构的有序结构。

3. 参数调节对混沌现象的影响（1）非线性电阻的值：非线性电阻的值对混沌现象的产生和消失具有关键作用。

当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。

非线性混沌实验报告

非线性混沌实验报告在本次实验中，我们将对非线性混沌系统进行研究和分析，以探索其在科学和工程领域中的应用潜力。

非线性混沌系统具有高度复杂的动态行为，其表现出的不确定性和随机性使其成为了一个备受关注的研究领域。

通过实验，我们将深入了解非线性混沌系统的特性和行为规律，为其在实际应用中的可行性提供理论支持。

首先，我们搭建了一个非线性混沌系统的实验平台，利用数学建模和计算机仿真技术，模拟了一个典型的非线性混沌系统，并对其进行了参数调节和稳定性分析。

在实验过程中，我们观察到了系统在不同参数条件下的混沌行为，包括奇异吸引子、周期轨道和分岔现象等。

通过实验数据的采集和分析，我们得出了系统的分岔图和相空间轨迹图，揭示了系统的复杂动态特性和混沌行为规律。

其次，我们对非线性混沌系统的分岔现象进行了深入研究，通过理论分析和实验验证，我们发现了系统在参数变化过程中出现的分岔点和分岔序列，揭示了系统从周期运动到混沌运动的转变过程。

我们还对系统的Lyapunov指数进行了计算，评估了系统的混沌程度和稳定性，为系统的动态行为提供了定量的描述和分析。

最后，我们探讨了非线性混沌系统在信息加密、随机数生成、混沌通信和混沌控制等领域的应用前景，指出了其在信息安全和通信领域的重要作用和潜在价值。

我们相信，非线性混沌系统将在未来的科学研究和工程应用中发挥重要作用，为人类社会的发展和进步做出贡献。

综上所述，本次实验对非线性混沌系统进行了全面深入的研究和分析，揭示了其复杂的动态特性和潜在应用价值。

我们相信，通过不懈的努力和持续的探索，非线性混沌系统将为科学技术的发展和社会进步带来新的机遇和挑战。

让我们共同期待非线性混沌系统在未来的应用中展现出更加广阔的前景和潜力！。

Newton—Leipnik系统混沌控制

扰动法［、３自适应控制法［、性反馈法等均可实现混沌控制，在许多领域中得到应用．］４线］并
混沌控制方法可以分为反馈控制和无反馈控制［．馈控制方法可以根据受控系统的状态进行调节，５反］具有微扰较小的优点，但需要预先了解系统的运动状态．际的非线性系统常常无法预先了解系统的动力实
在ＮｅｔｎＬｉｎｋ系统中，口０４ｂ０１５时混沌运动状态，取初始条件为（ｗｏ — ｅｐｉ取一．，一．７选０
．
３４９，０，
第３期
李贤丽等：ｗｏ — ｅｎｋ系统混沌控制ＮｅｔｎＩｉｉｐ
其中：２３个平衡态处于上吸引子的中心，４５个平衡态处于下吸引子的中心．第、第、根据线性稳定性分析，对第１个平衡态，在平衡点邻域将方程线性化，到３特征值：得个
ｉ一０１５０２一一０４＋ｉ．７，．，３一一０４一ｉ．．
对第２３个平衡态，到３个特征值：、得
１一一０．９Ａ７９８，ｚ一００８．７４＋１２１，．１５ｉ３— ００８．７４— １２１５．１．
对第４５个平衡态，到３个特征值：、得
１一一０．９２— ００８７９５，．７３＋０．５２ｉ３— ００８７，．８７３— ０８７ｉ．５２．

丝杠传动系统的动力学特性分析与优化

丝杠传动系统的动力学特性分析与优化简介：丝杠传动系统是一种常见的机械传动装置，其主要功能是将旋转运动转换为直线运动，具有传动精度高、承载能力强等优点，在工业生产中得到广泛应用。

然而，由于传动过程中存在一定的摩擦力、惯性力等因素影响，丝杠传动系统在运行过程中往往会出现动力学特性方面的问题，如振动、失稳等。

因此，对丝杠传动系统的动力学特性进行分析和优化是非常重要的。

一、丝杠传动系统的动力学特性分析1. 悬挂负载对系统动力学特性的影响丝杠传动系统通常用于悬挂负载的运动控制，因此负载对系统的动力学特性有着重要的影响。

负载的质量、惯性矩等都会对系统的振动和失稳产生影响，特别是当负载发生快速变化时，系统可能会出现严重的振动问题。

因此，在分析丝杠传动系统的动力学特性时，必须考虑悬挂负载的影响。

2. 摩擦力与传动效率的关系丝杠传动系统在运行过程中会产生一定的摩擦力，摩擦力的大小直接影响传动效率。

摩擦力大会导致能量损失增加，从而降低传动效率，同时也会引起系统的振动和失稳。

因此，在优化丝杠传动系统的动力学特性时，需要考虑减小摩擦力，提高传动效率。

3. 惯性力对系统动力学特性的影响丝杠传动系统在转动过程中会产生惯性力，该力会引起系统的振动。

特别是当系统的质量和加速度较大时，惯性力对系统的影响更为明显。

因此，在分析丝杠传动系统的动力学特性时，必须考虑到惯性力的影响，合理设计系统结构和参数，以减小惯性力的影响。

二、丝杠传动系统的动力学特性优化1. 优化系统结构和参数在设计丝杠传动系统时，优化系统的结构和参数是提高动力学特性的关键。

可以通过选用合适的丝杠螺距、螺母材料等来减小摩擦力，提高传动效率；同时，通过合理选择驱动电机的功率和转速，使得系统的质量和加速度控制在合理范围内，减小惯性力对系统的影响。

2. 引入动力学补偿控制策略为了进一步提高丝杠传动系统的动力学特性，可以引入动力学补偿控制策略。

通过采集和分析传感器的监测数据，实时调整电机的控制信号，以补偿由于负载、摩擦力、惯性力等因素引起的系统振动和失稳。

流体的非线性变形和混沌现象

流体的非线性变形和混沌现象流体是一种具有特殊性质的物质，它的变形和流动过程中存在着一些非线性现象和混沌行为。

这些现象在流体力学研究中具有重要的意义，对了解流体的行为和性质起着重要的作用。

本文将从流体的非线性变形和混沌现象两个方面进行探讨。

一、流体的非线性变形在流体的力学性质中，非线性变形是一种重要的现象。

传统的弹性体力学理论主要研究线性弹性体的变形行为，即物体在受力作用下的变形与所受力的关系呈线性关系。

但是，在某些情况下，流体的变形行为不遵循线性关系，就会出现非线性变形。

非线性变形的一个典型例子是黏弹性流体。

黏弹性流体是介于固体和流体之间的一种特殊物质，它在受力时既有像固体一样的弹性变形，又有像流体一样的黏性流动。

黏弹性流体的变形行为往往不符合线性弹性体力学的规律，而是表现为非线性的力学特性。

这种非线性变形的黏弹性流体在工程和生物领域有广泛应用，例如在高分子材料的合成加工和生物细胞的力学特性研究中。

此外，液滴的变形行为也是一种典型的非线性现象。

当一个液滴受到外部作用力时，其形状会发生变化，但这种变形不一定与作用力成线性关系。

液滴的变形行为受到表面张力、粘性阻力和物体间的相互作用等因素的影响，使得变形过程呈现出非线性特性。

这种非线性变形的液滴行为在微流体技术和液滴微操控领域具有重要应用，例如在微液体透镜的制备和微流控芯片的设计中。

二、流体的混沌现象混沌是一种看似无序却又有规律的行为，它在流体力学中也常常出现。

混沌现象指的是一种在非线性系统中非常敏感于初始条件的长期行为，即微小的扰动可能会引起系统的巨大变化。

流体作为一种复杂的非线性系统，在流动过程中常常表现出混沌的行为。

一个经典的流体混沌现象是雷诺数的变化引发的流动状态的转变。

雷诺数是描述流体流动性质的重要参数，当雷诺数超过一定的临界值时，流动状态会发生剧变，由层流变为湍流。

这种由层流到湍流的转变过程中，流体流动呈现出复杂、无规律的混沌行为。

混沌现象的出现导致了流体力学的难题，也为流体力学研究提供了新的视角和挑战。

含侧隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析

含侧隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析
王晓笋;巫世晶;周旭辉;李群力
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2008(027)001
【摘要】建立了包含齿侧间隙的齿轮传动系统非线性动力学模型,引入相对啮合位移将模型降为单自由度系统,并对模型进行无量纲化处理.计算了系统随外载荷和齿侧间隙变化的分岔图与对应的最大李雅谱诺夫指数图,分析了系统动力学特性的变化情况,并计算了周期状态和混沌状态下的相空间轨线、Poincare截面和关联维数,以不同的定性与定量分析方法对系统进行了细致地研究.
【总页数】4页(P53-56)
【作者】王晓笋;巫世晶;周旭辉;李群力
【作者单位】武汉大学动力与机械学院,武汉,430072;武汉大学动力与机械学院,武汉,430072;中船重工集团第719所,武汉,430064;武汉大学动力与机械学院,武汉,430072
【正文语种】中文
【中图分类】TH113;O322
【相关文献】
1.采用Melnikov方法的齿轮传动系统的分岔及混沌分析 [J], 周杜;乐源
2.采用Melnikov方法的齿轮传动系统的分岔及混沌分析 [J], 周杜;乐源;
3.非线性弹簧支承悬臂输液管道的分岔与混沌分析 [J], 唐冶; 方勃; 张业伟; 李庆芬
4.含斜向裂纹转子系统分岔与混沌分析 [J], 张祥敏; 钱长照; 胡海涛; 洪力; 陈昌萍
5.内外激励作用下含侧隙的齿轮传动系统的分岔和混沌 [J], 崔亚辉;刘占生;叶建槐;陈锋;钱大帅;王永亮
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多自由度强非线性柔性转子-挤压油膜阻尼器系统的分叉与混沌响应

多自由度强非线性柔性转子-挤压油膜阻尼器系统的分叉与混沌
响应
多自由度强非线性柔性转子-挤压油膜阻尼器系统的分叉与混沌响应
对航空发动机常用的柔性转子-非同心型挤压油膜阻尼器系统的受迫不平衡响应的分叉与混沌行为进行了研究,所研究的系统是8自由度16阶的强非线性系统.通过分析系统响应的轨迹图、分叉图和Poincare 图发现:系统响应中存在多种周期(协调、亚谐和超谐)和非周期(拟周期和混沌)响应形式.在整个转速比区间内,周期响应和非周期响应是交错分布的.该系统有拟周期分叉和倍周期分叉等分叉形式.系统响应进入混沌的道路主要有:周期倍化分叉进入混沌;拟周期分叉进入混沌和阵发性进入混沌.而系统退出混沌的道路主要有:周期倍化分叉退出混沌和拟周期分叉退出混沌.
作者：孟光夏南作者单位：孟光(上海交通大学,振动、冲击、噪声国家重点实验室,上海,200030;佛山大学,思源机电一体化研究所,广东,佛山,528000)
夏南(上海交通大学,振动、冲击、噪声国家重点实验室,上海,200030)
刊名：航空学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA 年，卷(期)：2003 24(1) 分类号：O32 TH113 关键词：多自由度强非线性系统转子动力学分叉与混沌挤压油膜阻尼器。

不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定

不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定沈志萍;邬依林【摘要】研究不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定问题.利用滑模控制理论,给出了此类系统的滑模控制器的设计新方法和控制律算法.该控制器使得误差空间任一点出发的运动都在有限时间到达滑动模态,并沿切换面渐近到达原点,以达到将统一混沌系统控制到平衡点的目的.与现有文献所得结论相比,该文所设计的控制器算法具有抖振小、平稳性好和保守性小等优点.运动方程分析和仿真结果都验证了结论的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2016(033)001【总页数】8页(P98-105)【关键词】统一混沌系统;滑模控制;渐近稳定【作者】沈志萍;邬依林【作者单位】河南师范大学数学与信息科学学院,大数据统计分析与优化控制河南省工程实验室,河南新乡453007;广东第二师范学院计算机科学系,广东广州510310;华南理工大学自动化科学与工程学院,广东广州510640【正文语种】中文【中图分类】TP273†通信作者.E-mail:************.cn;Tel.:+8620-34115714.本文责任编委:席在荣.国家自然科学基金项目(61273109, 60774057),广东第二师范学院教授博士科研专项经费项目(2014ARF25),河南师范大学博士科研启动经费(5101019170158)资助. Supported by National Natural Science Foundation of China (61273109, 60774057), Appropriative Researching Fund for Professors and Doctors, Guangdong University of Education (2014ARF25) and Foundation for Ph.D. of Henan Normal University, China (5101019170158).当代英文中“Chaos”的词意指“混乱无序”,其涵义与科学和工程学中非线性系统理论中所描述的“确定性的随机现象”比较贴近,因而被借用来称呼这些异常现象.从现象看,混沌运动貌似随机过程,而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别,混沌有着如下的特性[1]:初值敏感性、有界性、随机性、遍历性、普适性、分维性和正的最大Lyapunov指数等.需要指出的是,混沌的识别仍是一个尚未完全解决的课题,识别混沌各种数值特征的适用性、相互关系以及算法的改进等都有待深入研究.在许多情况下都可以观察到混沌运动的存在.由于混沌信号固有的连续宽带和似噪声等特性,为保密通信提供了高度保密的手段,混沌控制、同步及在保密通信中的应用吸引了众多学者的注意[1–11].但是,由于混沌系统对初值的极其敏感性和长时间的不可预测性,混沌控制已成为混沌应用的关键环节.自从1987年, V. V. Alekseev 等人[12], 1989年A. Hubler[13]发表了控制混沌的论文以及1990年E. Ott[14]等人提出OGY方法以来,国内外已经提出许多不同的混沌控制方法,主要有以下几类:反馈控制法[15–16]、自适应控制法[17]、神经网络控制法[18]和滑模控制[4,19]等.2002年,陈关荣等人提出一个新的混沌系统,该系统将Lorenz吸引子和Chen吸引子连接起来, Lü系统是它的一个特例,故称其为统一混沌系统[20].由于统一混沌系统所具有的特殊性质,例如形式非常简单且仅有一个参数,可以用能量壁垒原理等进行系统的动力学行为分析:连接了Lorenz系统和Chen系统,并且实现了在整个参数谱上从一个系统到另一个系统的连续演变等等.从一开始对它的控制就引起了不少人的注意.文献[21]研究了统一混沌系统的反馈控制同步问题;文献[22]研究了统一混沌系统的投影同步与控制问题;文献[23]对系统具有未知参数时,运用滑模变结构控制实现了平衡点的镇定.文献[24]根据Pontryagin最小值原理为统一混沌系统设计约束控制器,将统一混沌系统的状态镇定到它的不稳定的平衡点,并提出了bang-bang控制和逻辑切换相结合的方式以克服bang-bang控制的局限性,文献[25]根据无源控制理论,提出了统一混沌系统的无源等效控制方案,实现了系统不同平衡点的稳定控制.目前的各种混沌控制方法中没有一种方法是全面的,或是唯一有效的.本文利用滑动模态和非线性输入研究了一类具有外部扰动统一混沌系统的渐近稳定控制问题[20].给出滑动模态稳定的充分条件、新的控制律算法和滑模到达时间.所设计的控制律算法,与文献[19]所得控制律算法相比,二者都能够保证系统的运动到达切换面,从而保证误差系统渐近稳定,但文献[19]所给的控制律算法,不能提供到达速度的大小,快速性无法保证且保守性大,而本文所给的控制律算法改进了滑模到达运动的快速性,也有效地削弱了滑动模态的抖振,系统动态性能得到明显改善,另外该算法也减少了控制器参数设计的保守性.运动方程分析和仿真结果都证实了这一点. 考虑如式(1)所示的一类统一混沌系统平衡点的调节问题:其中参数α∈[0,1],对于α∈[0,1]系统(1)均为混沌态,α由0逐渐增加到1时,系统(1)也由Lroenz系统逐渐过渡到Chen系统,按照文献[20]的定义,当α∈[0, 0.8)时,系统(1)属于广义Lroenz系统,满足a12a21> 0;当α∈(0.8,1]时,系统(1)属于广义Chen系统,满足a12a21< 0;而当α= 0.8时,系统(1)满足a12a21= 0,具有连接广义Lroenz系统和Chen系统的重要作用.这一系统为混沌控制与同步的研究提供了新的数学模型,使得基于统一模型的混沌同步在保密通信工程中得到实际应用,但仍有很多问题进一步完善,比如把统一混沌系统同步方法研究与先进控制理论和方法相结合、提高统一混沌系统同步性能研究、基于统一混沌系统通信的非线性电路研究等.本文的目的是设计控制器,使具有不确定性外部扰动的受控统一混沌系统的状态收敛到平衡点(x01,,).设被控系统为假设Δf为系统的不确定性,满足|Δf| 6 γ||x||,γ为一正实数;假设ψ(u)为非线性控制并满足:例如:其图像如图1所示.设(,,)是统一混沌系统(1)的平衡点,则下式成立:记ei= xi−, i = 1,2,3,将式(2)减式(4)得误差系统于是平衡点的调节问题,就转化为误差系统(5)的渐近稳定问题.即e(t) = 0.考虑到系统(2)和(5)中含有不确定项,本文采用滑动模态控制,借助滑动模态的不变性来保证e(t) = 0的实现.为证明主要结论,先给出几个引理.引理1若系统A稳定且是对角矩阵,则存在实数λ,使得||eAt|| 6 e−λt.证对于对角矩阵A,可写为A = diag{λ1,λ2, ···,λn},其中λi,i = 1,2,···,n为矩阵A 的对角线元素,同时也是矩阵A特征根,记λmax= max{λ1,λ2, ···,λn},则由对角阵的矩阵指数函数性质可得从而令λ=−λmax> 0,则有||eAt|| 6 e−λt.证毕.引理2若系统A稳定且是对角矩阵,同时则系统渐近稳定.证解方程(6)得从而记−λ为A的特征根的最大实部,由引理1可得证毕.基于上述引理,给出滑动模态的设计.定理1取切换函数为s(t) =−(1−δ)e1(t) + e2(t),δ> 0,则滑动方程渐近稳定.证取切换函数s(t) = c1e1(t) + c3e3(t) + e2(t), (7)其中c1,c3为待定参数.在切换面上s(t) = 0,从而由式(7)可得e2(t) =−c1e1(t)−c3e3(t).(8)将式(8)代入误差方程(5)的第1和第3个方程,得滑动方程:写成矢量形式:其中Υ= (25α+ 10).取c1=−1 +δ,δ> 0, c3= 0,则式(9)变为解式(10)的第1个方程得e1(t) =e1(0)e−(25α+10)δt→0,从而e1(t)指数稳定.进而指数趋于零,由引理2可得,从而可得滑动模态渐近稳定.证毕.定理1讨论了系统在切换面上的稳定性,下面将给出系统控制器设计,使得误差空间任一点出发的运动都在有限时间内到达切换面.定理2取控制律其中：参数k > 0,ϵ> 0, s(t)为式(7)所示的切换面.则从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面,且到达切换面的时间为证首先证明从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面.容易验证式(12)和式(13)可重写为分两种情形考虑:1)当s(t) > 0时,由式(11)(16)有u = u+6 0,从而可得上式两边同除u < 0,得β2u 6 ψ(u) 6 β1u.于是由式(5)得其中Φ= (28−35α−x03).2)当s(t) < 0时,由式(11)(17),有u=u−> 0,从而ψ(u) >β1u,可得由式(18)–(19)可得,从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面.其次求解到达切换面的时间.对于到达时间的计算,解式(18)–(19)得进而求解式(20)得记到达切换面的时间为T,则由切换面上s(t) = 0,由上式可得由此解得证毕.注1 定理2中控制律算法,与文献[19]所给的控制律算法相比,虽然都能够保证系统运动能够到达切换面,从而保证误差系统渐近稳定,但定理2的控制律算法具有以下优点：1)文献[19]所给控制律算法,只能保证s(t)˙s(t) < 0,不能提供到达速度的大小,快速性无法保证;但本文定理2中的控制律算法可保证{到达切换面时间为,快速性好.2)文献[19]的控制律中使用的是|Γ(s,e)|,本文定理2的控制律中使用的是Γ(s,e),保守性小,抖振小,平稳性好.law)从式(20)可以看出,定理2中的控制律,只限制了最低到达速度: |˙s| > |ks| +ϵ.没有限制最高到达速度,这就可能出现,到达速度过快,从而使滑动模态产生剧烈抖振.比如：当s > 0,且(≪表示远小于),由式(11)(16),有u = u+= 0,进而类似的,当s < 0,且时,由式(11)和式(17),有u = u−= 0,从而式(21)–(22)表明,按控制律(11)–(14)设计的控制器,有可能会出现即到达切换面速度很大的情况,从而导致滑动模态势必产生剧烈的抖振,系统动态品质差.为了克服上述缺点,对定理2的控制律作如下改进,取即给出如下改进控制器的定理,该定理可改变因到达速度过快,从而使滑动模态产生剧烈抖振.定理3取控制律则从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面,且到达切换面的时间为同时使得到达切换面的速度不会很大.证分4种情形考虑:1)当s > 0,|ks|+ϵ+Γ(s,e)+γ||x|| > 0时,有从而由切换面方程可得2)当s > 0,|ks|+ϵ+Γ(s,e)+γ||x|| < 0时,有u ==(|ks| +ϵ+Γ(s,e) +γ||x||) > 0.由式(3)可得ψ(u) 6 β2u,代入切换面方程可得˙ 6Γ(s,e) +ψ(u) +γ||x|| 63)当s < 0,−|ks|−ϵ+Γ(s,e)−γ||x|| > 0时, 有u ==(|ks|+ϵ−Γ(s,e)+γ||x||) < 0.由式(3)可得ψ(u) >β2u,代入切换面方程可得4)当时,有,从而可得ψ(u) >β1u,代入切换面方程可得由式(26)–(29)可得定理3的结论成立. 证毕.两个控制律比较:从定理2和定理3的证明可以看出:当时,由定理2控制律所得到达速度为由定理3控制律所得到达速度为由上面两式可以看出两个控制律都得出同样的到达速度,但当时,按定理2所给控制律,可得进而将控制律代入切换面计算得而按定理3所给控制律,此时将控制律代入切换面计算得从式(30)–(31)可以看出,改进的控制律可抑制到达切换面速度过快的情况,通过k > 0,ϵ> 0两参数的适当选取,既可保证好的快速性,又可减小抖振,改善系统的动态品质. 本节给出仿真说明定理3的有效性,同时与文献[19]所得控制律算法作对比.当α= 1,统一混沌系统(1)代表Chen氏吸引子,即利用Simulink仿真,图2所示其混沌图像,初值(x1(0),x2(0),x3(0)) = (1.00,−1.00,−1.01).容易求出系统(1)的3个平衡点:带有扰动的被控系统为其中外部扰动Δf = 0.5cos(3πt)||x||, x = (x1,x2,x3)T.显然参数γ= 0.5,非线性输入ψ(u(t)) = [0.8 + 0.2sin u(t)]u(t).则由式(3)得参数β1= 0.6,β2= 1.0,其仿真结果如图1所示.只考虑将具有外部扰动的混沌系统(33)控制到平衡点O1,其它平衡点的仿真与此平衡点类似.由式(33)和平衡点O1可得误差方程6.1 利用本文所给控制律仿真(Simulation example using this paper control law)依据本文定理1可取切换函数其中取参数δ= 2,根据本文定理3中式(25),以及式(14)(23)–(24)取控制律:参数取k = 1,ϵ= 0.5, c1=δ−1 = 1.6.2 利用文献[19]所给控制律仿真(Simulation example using paper [19] control law)依据文献[19]中式(5)–(6)取相应的切换面为根据文献[19]定理1中式(11)取控制律为利用Simulink仿真,结果分别如图3–7所示,其中所有曲线中实线为本文所给控制律算法仿真所得的结果,虚线为文献[19]所给控制律算法的仿真结果.即图像中e1(t),e2(t),e3(t),s(t),u(t)表示本文所给控制律算法仿真所得的结果,e′1(t),e′2(t),e′3(t), s′(t),u′(t)表示文献[19]所给控制律算法仿真所得的结果.图3–5是误差曲线,可以看出两个控制器都可以将误差变量很快控制到平衡点附近,但实线部分即本文所给的控制器算法所得的仿真在快速性、平稳性都优于文献[19]所给控制律算法即虚线部分.图6为切换函数关于时间的变化曲线,可以看出本文的方法有效削弱了滑动模态的抖振,远远小于文献[19]滑动模态的抖振.图7为控制函数关于时间的变化曲线,比较可以看出,本文控制律具有较小抖振、平稳性好等优点. 本文所给的控制律算法很好的实现了具有外部扰动的混沌控制,而且对不确定性有很好的抑制能力,与现有文献所得控制律算法相比,改进了滑模到达运动的快速性,也有效的消弱滑动模态的抖振,另外该算法也减少了控制器参数设计的保守性,运动方程分析和仿真结果都证实了结论的有效性.参考文献(References):[1] MIN Fuhong. 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