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(新版)高数PPT课件：分部积分法,有理函数积分法
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tant
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x sin x cos x C.
例2 求積分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部積分法）u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
總結 若被積函數是冪函數和正(餘)弦函數 或冪函數和指數函數的乘積, 就考慮設冪函
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解後為
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化為部分分式之和的待定係數法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
1
xx
x dx.
1e2 e3t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
分部积分法2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1 (xeaxc eaxcdx)
a
这种类型一般是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn (x) sin axdx 或 Pn (x) cos axdx (a 0)
其中 pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
Байду номын сангаас
如
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sin xdx
出现循环, 怎么办?
e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
或 e x dx 2 x e x d ( x )
2 x e x e x d ( x )
2e x ( x 1) C
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
＊训练题三 求不定积分 e2x cos xdx
e2x cos xdx e2xd (sin x)
e2x sin x 2 e2x sin xdx e2x sin x 2e2x cos x 4 e2x cos xdx e2x cos xdx e2x (sin x 2 cos x) C
则 xexdx xd (ex )
xex exdx
xex ex C
思索:
(1) x2exdx
(2) x2 sin xdx
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2) x2 sin xdx
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法-PPT精选文档
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
x v e
4
例1.求
解
xe dx
x
x
选取合适 的助手
x xde dx x (e ) xe dx
x
其中，ux ,ve
由分部积分公式,得
x
xe e dx
x
x
x x xe e C
5
2 x x 例2.求 e dx
选取合 适的助 手
sin x xcosxdx xd
u x ,v sin x
由分部积分公式,得
x sin x s inxdx
x sin x cos x C
8
例4 求 解
x sinxdx
2
选取合 适的助 手
2 2 2 x ( cos x ) dx x ( cos x ) x sin xdx d
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
解.
x arccos x xdx arccos 1 x
同时用到分部积分法和换元法
x
2
dx
方法1，换元法 设
cos tdt xsin t, dx
t dx s in s in tdt cos tdt 2 cos 1 x t cos t C 1x2 C
13
四、单独的对数或反三角函数
log xdx
a
或者
xdx arctan
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解.
分部积分法具体步骤
分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。
这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。
然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。
把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。
接着呢，咱就一步一步地算。
就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。
你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。
举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。
那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。
然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。
再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。
可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。
而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。
总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。
就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
14
精选课件ppt
例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
15
精选课件ppt
解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
精选课件ppt
例11. 求
解: 令
则
原式
43
精选课件ppt
例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
精选课件ppt
例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
精选课件ppt
例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
分部积分法-PPT精选
第三章 一元函数积分学
(四)
三、分部积分法 (IntegrationbyParts)
如 何 求 xcosxdx？
设u, v都是x的可微函数, 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这 就 是 分 部 积 分 例5. 求积分 exsinxd.x
解 exsinxdxsinxdxe exsixn exd(sx i)n exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sx ic n x o ) s e xsx in d 注意x 循环形式 exsinxdxe2x(sixncoxs)C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa, nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcxt a2n x22d(arcx)tan x 22arcxtax 22 n 1 1x2dx
(四)
三、分部积分法 (IntegrationbyParts)
如 何 求 xcosxdx？
设u, v都是x的可微函数, 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这 就 是 分 部 积 分 例5. 求积分 exsinxd.x
解 exsinxdxsinxdxe exsixn exd(sx i)n exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sx ic n x o ) s e xsx in d 注意x 循环形式 exsinxdxe2x(sixncoxs)C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa, nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcxt a2n x22d(arcx)tan x 22arcxtax 22 n 1 1x2dx
分部积分法课件PPT共20页
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa , nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcx t a2n x22d(arcx)tan
x2
x2 1
2arcxta2n 1x2dx
x 2 2arc x t1 a 2(1 n 1 1x2)dx
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
凡是需要两次以上分部才能完成的积分，每 次分部时都应注意这种技巧。
例 6.求 arcsinxdx 例 7.求 ln(x1x2)dx 例 8.求 sin(lnx)dx
第三章 一元函数积分学
(四)
例1 求积分 xcosxd.x
解（一） 令 uco x ,sxdx1dx2 dv
2
xcosxdxx2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u, v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 ux, cx o d d s s x i x d nv
xcosxdxxdsinxxsix nsix ndx
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
例5. 求积分 exsinxd.x
二定积分的分部积分法-PPT精选文档
13 2 ( t 3 )d t 21 3 22 1 13 ( t 3t) 23 3 1
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例3. 设 f ( x ) C [ a , a ] ,
a a a
偶倍奇零
a 0
( x ) f ( x ) ,则 (1) 若 f x ) d x 2 x ) d x f( f(
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例2. 计算
4
0
t2 1 x 1 ,则 x ,d x td t, 且 解: 令 t 2 2 , t 3. 当 x0 时 , t 1; x4时
∴ 原式 =
x2 d x. 2x1
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
( x ) f ( x ) , 则 )d x 0 (2) 若 f f(x
a
证:
a f (x)dx a f (x) dx 0 f (x)dx
f (t)dt f (x) dx
a
a
0
a
a
x ) f( x ) ] d x [f(
0
0 a
0 n sin ( t)d t 2
0
2
sin n 1 ) sin x cos x , sin x ,则 u sin x ,v v cos x
1 ( ) a , ( ) b ; ( t ) C [ , ] , 1)
则
, ] 上 a ( t ) b , 2) 在[ b (t ) d (t )] f ( x ) d x f [ t a
分部积分法
一般需经一个循环过程才能积分出来，两种做法难易程 度一样。
例1.7 求 excosxdx 。
解 令 u ex ，v sinx ，则有
excosxdx exsinx exsinxdx exsinx exdcosx exsinx+excosx excosxdx
整理得
excosxdx
x x2 a2
n1 2
n 1
1 x2 a2
n1
a2 x2 a2
n
高等数学
分部积分法
1.1 分部积分公式
现在利用函数积的求导法则，来推导另一种求解不定积分的方法———
分部积分法。它的原理是： u u x ，v v x 有连续的导函数。根据
积的求导法则得 于是
uv uv uv uv uv vu
对上式两边求不定积分 uvdx uvdx vudx
定积分问题时，要正确选取u 和v 。下面分别研究几种不同类型的不定积
分。
1.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形
被积函数为多项式 Pn x与 e x 、正弦、余弦之积时，应选 Pn x 为u，
被积表达式的其余部分为dv。
例1.2 求 x2exdx。
解 设 u x2 ，则 v ex ，于是 x2exdx x2ex ex 2xdx
xcosxdx xsinx sinxdx xsinx cosx C
但是如果选取
u
cosx
，dv
xdx
d
x 2
2
即 v x2 ，则有
2
xcosxdx x2 cosx x2 dcosx x2 cosx 1 x2sinxdx
2
2
2
2
(应把多项式写到三角函数的前面,以免引起混淆) 显然新得到的积分比原来的积分更为复杂。这说明利用分部积分法求解不
例1.7 求 excosxdx 。
解 令 u ex ，v sinx ，则有
excosxdx exsinx exsinxdx exsinx exdcosx exsinx+excosx excosxdx
整理得
excosxdx
x x2 a2
n1 2
n 1
1 x2 a2
n1
a2 x2 a2
n
高等数学
分部积分法
1.1 分部积分公式
现在利用函数积的求导法则，来推导另一种求解不定积分的方法———
分部积分法。它的原理是： u u x ，v v x 有连续的导函数。根据
积的求导法则得 于是
uv uv uv uv uv vu
对上式两边求不定积分 uvdx uvdx vudx
定积分问题时，要正确选取u 和v 。下面分别研究几种不同类型的不定积
分。
1.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形
被积函数为多项式 Pn x与 e x 、正弦、余弦之积时，应选 Pn x 为u，
被积表达式的其余部分为dv。
例1.2 求 x2exdx。
解 设 u x2 ，则 v ex ，于是 x2exdx x2ex ex 2xdx
xcosxdx xsinx sinxdx xsinx cosx C
但是如果选取
u
cosx
，dv
xdx
d
x 2
2
即 v x2 ，则有
2
xcosxdx x2 cosx x2 dcosx x2 cosx 1 x2sinxdx
2
2
2
2
(应把多项式写到三角函数的前面,以免引起混淆) 显然新得到的积分比原来的积分更为复杂。这说明利用分部积分法求解不
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分法
定积分 分部积分法
一、不定积分的分部积分法 二、定积分的分部积分法
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一、不定积分的分部积分
由导数公式 (u)v u v u v
积分得: u vuvdxuvdx uvdxu vuvdx
或 udvuvvdu 分部积分公式
b a
abu(x)v(x)dx
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1
例7. 计算 2arcsinxdx. 0
1
解: 原式 = x arcsixn 2
1 2
00
x dx 1 x2
π 11 2(1x2) 21d(1x2)
12 20
π
1
(1 x2)2
1 2
12
0
π 3 1 12 2
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1
ò 例8. 计算 e x d x . 0
解: 令x = t ，则 x=t2,dx=2tdt.由分部积分公式得
蝌 ò 1
1
exdx=2 tetdt = 2
1t d et
0
0
0
=2(tet 1 0- et 1 0)=2.
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例9.
证明
In
x
x
f (x)
f (x)是以 为周期的周期函数.
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2. 设f (x)在[a,b]上有连续的二阶 ,且 导f(数 a)
f(b)0,试证 a b f(x )d x 1 2 a b (x a )x ( b )f(x )d x 证：右端 1 2a b(xa)x (b)df(x) 分部积分
ò =exsinx- cosxdex ò =exsinx-exc o sx- exsinx d x
所以，原式 = 1 2 (e xs in x -e xc o sx )+ C
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二、定积分的分部积分法
定理 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
bu(x)v(x)dxu(x)v(x) b
1 3
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3. 设 求
解:
(分部积分)
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备用题
1. 证明
f(x)
xπ 2
sinx
dx是以
为周期的函数.
x
证：
xππ
f(xπ) 2siundu
xπ
令utπ
xπ
2 sint(π)dt x
xπ
xπ
2 sint dt 2 sinx dx
00
令 usinn1x,vsin x,则 u(n 1 )sin n 2xco x,s
v cx os
π
In [ cx o ss n i 1 x n ]02 (n1)0 π 2sin n2xco 2xsdx
0
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In(n1)0 π 2sin n 2xco 2xs dx
a
a
abu(x)v(x)dx
证: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
两端[在 a,b]上积分
u(x)v(x)
b a
a bu (x)v(x)d xa bu (x)v(x)d x
abu(x)v(x)dxu(x)v(x)
原式
=
1 2
arctanxdx2
ò 骣
=1 2ç ç ç 桫 x2arctanx-
x2?1+1x2dx÷ ÷ ÷
= 1 2 x 2 a r c t a n x -1 2 x + 1 2 a r c t a n x + C
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ò 例6 ex sin xdx. ò ò 解： 原式 = sin xdex =exsinx- excosxdx
I1
而
I0
π
2 dx
0
π 2
,
π
I1
2sinxdx
0
1
故所证结论成立 .
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内容小结
换元积分法 基本积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习
1. d xsi1n0(0xt)dt_s_in1_00_x ____ dx 0
提示: 令 uxt,则
π2sinn xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
nn 1n n 2 3 4 31 2π 2, n 为偶数
nn 1n n 2 3 5 43 2,
n 为奇数
证:
令
t
π 2
x,则
π 2
sinn
0
xdx π0sinn(π2t)dt 2
π2π2coossn txddtx
xsin10(0xt)dt 0
0
x
sin100udu
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2. 设
解法1. lnx x3 f(t)dt 1
f (x3)
解法2. 对已知等式两边求导,
得
3x2f(x3)1x
思考: 若改题为
x3 f(3t)dtlnx 1
提示: 两边求导, 得
= x 2 e x-2 x e x+ 2 e x+ C
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ò 例4 x2 ln xdx.
ò ò 解：
原式
=
1 3
lnxdx3 =1 3(x3lnx-
x3dlnx)
ò =1 3(x3lnx- x3?1 xdx)
=1 3x3lnx-9 1x3+C
例5 òxarctanxdx.
ò 解：
选u取 及 v(或 dv)的原 : 则 1) v 容易求得 ;
2 )uvdx比 uvdx容易计算 .
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例1 ò x cos xdx. 解： 原式 = ò xd sin x=xsinx- òsinxdx
= x s in x + c o s x + C
例2 ò x e x d x . ò 解： 原式 = xde x =xex-ex+C ò 例3 x 2 e x d x . ò ò ò 解： 原式= x2dex = x2ex- exdx2 =x2ex- 2 xexdx
(n1 )0 π 2sin n 2x(1si2x n )dx
(n1)In2(n1)In
In
π2sinnxdx
0
由此得递推公式 Innn1In2
于是
I2m
2
m 1 2m
2I22mmm232
I 2m443 12
I
0
I2m12
2m m
1
22Im2mm121 I 2m354 32
定积分 分部积分法
一、不定积分的分部积分法 二、定积分的分部积分法
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一、不定积分的分部积分
由导数公式 (u)v u v u v
积分得: u vuvdxuvdx uvdxu vuvdx
或 udvuvvdu 分部积分公式
b a
abu(x)v(x)dx
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1
例7. 计算 2arcsinxdx. 0
1
解: 原式 = x arcsixn 2
1 2
00
x dx 1 x2
π 11 2(1x2) 21d(1x2)
12 20
π
1
(1 x2)2
1 2
12
0
π 3 1 12 2
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1
ò 例8. 计算 e x d x . 0
解: 令x = t ，则 x=t2,dx=2tdt.由分部积分公式得
蝌 ò 1
1
exdx=2 tetdt = 2
1t d et
0
0
0
=2(tet 1 0- et 1 0)=2.
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例9.
证明
In
x
x
f (x)
f (x)是以 为周期的周期函数.
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2. 设f (x)在[a,b]上有连续的二阶 ,且 导f(数 a)
f(b)0,试证 a b f(x )d x 1 2 a b (x a )x ( b )f(x )d x 证：右端 1 2a b(xa)x (b)df(x) 分部积分
ò =exsinx- cosxdex ò =exsinx-exc o sx- exsinx d x
所以，原式 = 1 2 (e xs in x -e xc o sx )+ C
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二、定积分的分部积分法
定理 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
bu(x)v(x)dxu(x)v(x) b
1 3
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3. 设 求
解:
(分部积分)
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备用题
1. 证明
f(x)
xπ 2
sinx
dx是以
为周期的函数.
x
证：
xππ
f(xπ) 2siundu
xπ
令utπ
xπ
2 sint(π)dt x
xπ
xπ
2 sint dt 2 sinx dx
00
令 usinn1x,vsin x,则 u(n 1 )sin n 2xco x,s
v cx os
π
In [ cx o ss n i 1 x n ]02 (n1)0 π 2sin n2xco 2xsdx
0
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In(n1)0 π 2sin n 2xco 2xs dx
a
a
abu(x)v(x)dx
证: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
两端[在 a,b]上积分
u(x)v(x)
b a
a bu (x)v(x)d xa bu (x)v(x)d x
abu(x)v(x)dxu(x)v(x)
原式
=
1 2
arctanxdx2
ò 骣
=1 2ç ç ç 桫 x2arctanx-
x2?1+1x2dx÷ ÷ ÷
= 1 2 x 2 a r c t a n x -1 2 x + 1 2 a r c t a n x + C
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ò 例6 ex sin xdx. ò ò 解： 原式 = sin xdex =exsinx- excosxdx
I1
而
I0
π
2 dx
0
π 2
,
π
I1
2sinxdx
0
1
故所证结论成立 .
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内容小结
换元积分法 基本积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习
1. d xsi1n0(0xt)dt_s_in1_00_x ____ dx 0
提示: 令 uxt,则
π2sinn xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
nn 1n n 2 3 4 31 2π 2, n 为偶数
nn 1n n 2 3 5 43 2,
n 为奇数
证:
令
t
π 2
x,则
π 2
sinn
0
xdx π0sinn(π2t)dt 2
π2π2coossn txddtx
xsin10(0xt)dt 0
0
x
sin100udu
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2. 设
解法1. lnx x3 f(t)dt 1
f (x3)
解法2. 对已知等式两边求导,
得
3x2f(x3)1x
思考: 若改题为
x3 f(3t)dtlnx 1
提示: 两边求导, 得
= x 2 e x-2 x e x+ 2 e x+ C
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ò 例4 x2 ln xdx.
ò ò 解：
原式
=
1 3
lnxdx3 =1 3(x3lnx-
x3dlnx)
ò =1 3(x3lnx- x3?1 xdx)
=1 3x3lnx-9 1x3+C
例5 òxarctanxdx.
ò 解：
选u取 及 v(或 dv)的原 : 则 1) v 容易求得 ;
2 )uvdx比 uvdx容易计算 .
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例1 ò x cos xdx. 解： 原式 = ò xd sin x=xsinx- òsinxdx
= x s in x + c o s x + C
例2 ò x e x d x . ò 解： 原式 = xde x =xex-ex+C ò 例3 x 2 e x d x . ò ò ò 解： 原式= x2dex = x2ex- exdx2 =x2ex- 2 xexdx
(n1 )0 π 2sin n 2x(1si2x n )dx
(n1)In2(n1)In
In
π2sinnxdx
0
由此得递推公式 Innn1In2
于是
I2m
2
m 1 2m
2I22mmm232
I 2m443 12
I
0
I2m12
2m m
1
22Im2mm121 I 2m354 32