高二数学复数的加法与减法
高二数学复数的加减乘除与运算规则
高二数学复数的加减乘除与运算规则复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
在高二数学中，我们学习了复数的加减乘除与运算规则，它们是我们在解决复数相关问题时的基础。
本文将对这些运算规则进行详细的介绍。
一、复数的加法与减法规则复数的加法规则很简单，实部相加得到新的实部，虚部相加得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和可以表示为(z1+z2) = (a+c) + (b+d)i。
同样地，复数的减法规则也很直观，实部相减得到新的实部，虚部相减得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的差可以表示为(z1-z2) = (a-c) + (b-d)i。
二、复数的乘法规则复数的乘法规则需要我们对两个复数进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算实部的乘积，然后计算虚部的乘积，最后将两部分相加。
所以，两个复数的乘积可以表示为：(z1*z2) = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则有些类似，但需要注意的是，我们需要将除数的共轭复数乘以被除数，然后进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算两个复数的乘积，然后将乘积的实部和虚部除以除数的模的平方。
所以，两个复数的除法可以表示为：(z1/z2) = (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2 + d^2)以上就是高二数学中复数的加减乘除与运算规则的详细介绍。
通过掌握这些规则，我们可以更加熟练地进行复数的运算，解决与复数相关的问题。
同时，在实际应用中，我们可以利用这些规则简化计算，并应用到其他数学领域中。
复数的加法与减法
1. 复数的加法与减法z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i(8-3-1)z1-z2=(a1+b1i)-(a2+b2i)=(a1-a2)+(b1-b2)iz=a+bi, z=a-bi，z+z=2a，z-z=2bi．例1z1=-2+3i, z2=1-6i ,z3=3-2i，1. 计算(1)(-3+5i)+(2+i)-(-1+2i)；(2)(4+i)-(5-i)；(3)(2+3i)+1-4i)；(4)(-3-4i)+(-1+i)．[例1]计算：(1) (4＋3i)＋(2－i)＝6＋2i (2) (3i－2)＋(3＋2i)＝1＋5i2. 复数的乘法(1)代数形式复数的乘积z1⋅z2=(a1+b1i)⋅(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2z1⋅z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i因为多项式的乘法满足结合律、交换律以及乘法对加法的分配率，所以复数相乘也满足上述这些运算率，即任意z1, z2, z3∈C，z1⋅z2=z2⋅z1，(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)，z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3．例2计算：(1)(1-3i)⋅(-1+i)；(2)(1+i2)⋅(2+i3)；(3)40i 9+(5-4i)2.解 (1)原式=-1+i+3i-3i 2=2+4i▌(2)原式=(1-1)⋅(2-i )=0 ▌(3)原式=40⋅i +(25-40i +16i 2)=40i +(25-40i -16)=9 ▌ 例3 设z =a +bi ，求z ⋅z ． 1. 计算(1)(-8-7i )⋅(1+i )； (2)(3-2i )⋅(-4i )⋅(1-i )； (3)(2-i )3． 2．几个重要的结论：⑴)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++ ⑵22||||z z z z ==⋅ ⑶若z 为虚数，则22||z z ≠ 3．运算律⑴n m n m z z z +=⋅ ⑵mn n m z z =)( ⑶),()(2121R n m z z z z nn n ∈⋅=⋅二、基本训练 13353i i i i ++++ 的值是（ ）A iB -iC 1D –1 2 当21i z -=时，150100++z z 的值是 ( ) A 1 B -1 C i D –i 3ii i i 212)1()31(63++-++--等于 ( )A 0B 1C -1D i[例4]计算：(1) (1＋2i)(3＋4i)(－2＋i)＝－25i(2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i)＝10－15i发现：(1＋2i) (1－2i)＝5，1＋2i 与1－2i 很有意思 三、讲解范例：例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 例2计算(12)(34i i +÷-例3 i43+例4已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 三、讲解范例：例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算(12)(34i i +÷-例3 i43+例4已知z 是虚数，且z +z1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a 、b 的值。
高二复数数学知识点归纳总结
高二复数数学知识点归纳总结复数是数学中一个重要的概念，由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
在高二数学学习中，我们接触到了许多与复数相关的知识点，包括四则运算、共轭复数、复数的乘方等。
本文将对这些知识点进行归纳总结。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部相加，虚部相加，得到结果的实部和虚部。
例如：(3+2i) + (4+5i) = (3+4) + (2+5)i = 7 + 7i2. 复数的减法：将实部相减，虚部相减，得到结果的实部和虚部。
例如：(6+4i) - (2+3i) = (6-2) + (4-3)i = 4 + i3. 复数的乘法：使用分配律展开，将实部和虚部分别相乘，再进行合并。
例如：(2+3i) × (4+5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i + 15i² = (8-15) + (10+12)i = -7 + 22i4. 复数的除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，然后进行合并，得到结果的实部和虚部。
例如：(8+2i) ÷ (3-4i) = (8+2i) × (3+4i) / (3-4i) × (3+4i) =(24+32i+6i+8i²) / (9+12i-12i-16i²) = (24+38i-8) / (9+16) = 16/25 + (38/25)i三、共轭复数1. 定义：两个复数实部相等、虚部互为相反数的复数称为共轭复数。
例如：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
2. 性质：- 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和。
- 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
- 一个复数与它的共轭的乘积等于它的实部的平方加上虚部的平方。
高考数学复数的加法与减法运算.doc
复数的加法与减法运算一. 教学内容：复数的加法与减法运算二. 重点、难点：1. 复数的加法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+++=+++∈显然，复数的加法法则与多项式加法法则相类似，可类比记忆，按照以上的运算法则，保首尾相接的两个向量分别表示复数z1，z2，则表示复数z1＋z2，以上的平行四边形法则或三角形法则就是复数加法的几何意义，它与物理学上的力的合成分解的平行四边形或三角形法则有着相同的本质。
如此以来，也可以把向量的加法转化成复数的加法。
2. 复数的减法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+-+=-+-∈由于减法是加法的逆运算，上述运算法则容易由复数加法的法则以及复数相等的概念而导出，因此减法法则从属于加法法则。
（2）几何意义：设向量OZ1，OZ2分别表示复数z1，z2，则以z1为起点，z2为终点的向量Z1Z2表示复数z2－z1，即差向量的方向指向被减数。
3. （1 （2）由以上复数形式的距离公式，可得某些曲线的复数形式的方程： 复平面内以为圆心，为半径的圆的方程为Z r z z r r 000||()-=> 复平面内以，为焦点的，长轴长为的椭圆方程为：Z Z a 122 ||||(||)z z z z a a a Z Z -+-=>>1212202且复平面内以，为焦点，实轴长为的双曲线方程为：Z Z a 122 ||||||(||)z z z z a a a Z Z ---=><1212202且复平面上以点，为端点的线段的垂直平分线方程为：Z Z 12||||z z z z -=-12如此以来，复数问题与解析几何问题就建立了联系，有些解析几何问题（如轨迹问题）可化为复数问题，当然，有些复数问题亦可转化为解析几何问题加以解决，这是数形结合解决问题的出发点。
3.2.1复数的加法与减法与乘法
已知复数x 例2.已知复数 2+x-2+(x2-3x+2)i是4-20i的 已知复数 是 的 共轭复数， 的值 的值。 共轭复数，求x的值。
已知复数|z|=2，求复数 ， 已知复数 值与最小值。 值与最小值。
的模的最大ห้องสมุดไป่ตู้
二 、复数的乘法法则： 复数的乘法法则： (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 bi)(c di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(bc+ad) =(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 对于任意z 对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有 C,有 z1z2= z2z1 , z1z2 z3= z1(z2 z3) , z1(z2 +z3)= z1z2 +z1z3
3.2.1复数的加法、减法 复数的加法、 复数的加法 与乘法
复数的四则运算 复数的加法、减法、 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基 本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1结 本上没有区别，最主要的是在运算中将 结 合到实际运算过程中去。 合到实际运算过程中去。 一.复数的加法与减法 复数的加法与减法 （a+bi) ±(c+di)=(a+c) ±(b+d)i 即：两个复数相加（减）就是实部与实部，虚 两个复数相加（ 就是实部与实部， 部与虚部分别相加（ 部与虚部分别相加（减）。
.
对于任意复数z=a 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2 bi)(a bi)=a 例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) (1- )(3+4i)(-2+i 练习1. 练习1. 计算 (2-3i)(3-4i)(2+3i) (2- )(3- )(2+3i 练习2. 练习2. 计算 (2+3i)(2-5i)(4-3i) (2+3i)(2- )(41 3 1 3 i,ω = i 例2. 设 ω = + 2 2 2 2
复数的加减乘除
复数的加减乘除复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成。
在初中数学中，我们学习了复数的加减乘除运算，这些运算不仅在数学中有重要的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要的作用。
本文将介绍复数的加减乘除运算，并通过实例来说明其应用。
一、复数的加法复数的加法运算与实数的加法类似，只需将实部与实部相加，虚部与虚部相加即可。
例如，要计算(3+2i)+(1-4i)，我们只需将实部3和1相加，虚部2i和-4i相加，得到结果4-2i。
复数的加法运算可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的加法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相加，得到的结果就是两个复数的和。
二、复数的减法复数的减法运算也与实数的减法类似，只需将实部与实部相减，虚部与虚部相减即可。
例如，要计算(3+2i)-(1-4i)，我们只需将实部3和1相减，虚部2i和-4i相减，得到结果2+6i。
复数的减法运算也可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的减法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相减，得到的结果就是两个复数的差。
三、复数的乘法复数的乘法运算是复数运算中最重要的一种运算，它有着广泛的应用。
两个复数的乘法可以通过分配律和乘法公式来计算。
例如，要计算(3+2i)×(1-4i)，我们可以先将分配律应用到实部和虚部上，得到(3×1-3×4i+2i×1-2i×4i)，然后根据乘法公式化简，得到(3-12i+2i-8i²)，再根据i的定义化简，得到(11-10i)。
复数的乘法运算可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的乘法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相乘，得到的结果就是两个复数的乘积。
高二数学公式复数知识点
高二数学公式复数知识点复数是数学中一个重要的概念，它可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在高二数学中，我们需要了解复数的各种性质和公式，以便解决与复数相关的各种问题。
以下是高二数学公式复数知识点的详细介绍。
一、复数的定义与表示方式在数学中，复数的定义为 a + bi，其中 a 和 b 都是实数，而 i 是虚数单位，它表示满足 i^2 = -1 的数。
复数的实部 a 和虚部 b 可以分别表示一个复数的水平和垂直方向上的长度。
二、复数的运算1. 加法与减法：复数的加法与减法可以直接对实部和虚部进行运算，即实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 乘法：复数的乘法可以使用分配律展开运算，然后根据 i^2 = -1 简化计算。
3. 除法：复数的除法可以通过有理化去除分母中的虚数 i，然后进行分子的实数和虚数的分别计算。
三、复数的性质和公式1. 共轭复数：对于复数 a + bi，它的共轭复数定义为 a - bi。
共轭复数的实部相等，虚部符号相反。
2. 模长：对于复数 a + bi，它的模长定义为 |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)。
模长表示复数到原点的距离。
3. 辐角：对于复数 a + bi，它的辐角定义为复数与正实轴之间的夹角。
辐角可以使用反正切函数 atan(b/a) 计算。
4. 指数形式：由欧拉公式得到的公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)，其中θ 表示辐角。
5. 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为指数形式进行简化计算。
6. 韦达定理：韦达定理是一个重要的公式，它表示 n 次多项式的根之和、根之积与系数之间的关系。
四、复数在几何中的应用复数具有良好的几何解释，可以用来表示和计算几何图形的坐标、长度、角度等。
复数的模长可以表示向量的长度，复数的辐角可以表示向量的方向。
通过复数的运算和性质，可以简化几何问题的计算过程。
复数加减法
或
x cos
y
sin
z 2 5 4cos
思考 若复数 z 满足 z 1 i 1, 求 z 2 取值范围.
解(1)：
y
z 1 i 1
Z: x yi
复数z 对应的点Z的轨迹：是以 1，2 为圆心，半径为1的圆.
例 4 已知复数 z 满足 z 1, 求 z 2 取值范围.
解(1)：
z 1表示复数 z 对应的点 Z 的轨迹
是以 0，0 为圆心，半径为 1的圆.
y
Z: x yi
z 2 表示复数 z 对应的点 Z
到点 2，0 的两点距离.
1 1 3i 4 2i 2 3 2i 3 2i
解： 1 3 5i 2 6
2. 复数的减法
➢ 复数的减法是加法的逆运算.
满足 z z2 z1 的复数 z 叫做复数 z1 与 z2 的差，记作 z1 z2 设 z1 a bi z2 c di z x yi
则 x yi c di a bi
Z1：a bi
Z2：c di
O
x
例 若复数 z 满足 z 1 2i 1, 试解释其几何意义.
分析：
Z：x yi y
z 1 2i 1
z 1 2i 1
Z1 : 1 2 i
z 1 2i
表示两点 Z x,
uuuur
y
、Z1
1, 2
uuuur
之间的距离；
O
x
或 向量 Z1Z 的模,即 Z1Z .
例3 求证1：复数 z R当且仅当 z z.
证明： 先证“必要性”
若复数 z R ，则 z z 显然成立； 再证“充分性”
若 z z , 记z a bi a,b R , 则 z a bi
复数的加减法
∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z，
组成以C(- 2, 2)点为圆心，以r为半
x
径的圆的内部（如图）， |Z|就是圆
C及其内部各点到圆点的距离，使|Z|取得最大值与最小值
的点就是OC与圆C的两个交点。
直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是
(x+ 2)²+(y+ 2)² =1 18
二、复数加法与减法运算的几何意义
同理可证： Z1-=Z2 －Z1 Z2 .
7
二、复数加法与减法运算的几何意义
1、复数加法的运算的几何意义
设：oz， 1
o分#43;di
,
8
二、复数加法与减法运算的几何意义
(1) o，z 不oz共线
1
2
y
Z
Z2
Z1
S
0
QP
R
x
ZZ1S~= Z2OQ ， 且 Z1 PRS 是矩形，因此
3
一、复数加法与减法的运算法则
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ，
(c+di )+(x+yi) = a+bi ，
由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b
由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
y
B
0
A
C
x
(3)
如图(3)，在 OBAC中, =OC =BA -OA OB
∴ C对O 应的复数是
复数加减知识点
复数加减知识点
介绍
复数加减是数学中的基本概念，它涉及到在复数域中对复数进行加法和减法运算。
复数是由实数部分和虚数部分组成的数字，可以用来表示平面上的点。
复数的表示
复数可以用以下形式表示：
a + bi
其中，a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，满足i² = -1。
实数部分a 和虚数部分b都可以是任意实数。
复数的加法
复数的加法定义如下：
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
即，将两个复数的实数部分相加，虚数部分相加，得到新的复数。
复数的减法
复数的减法定义如下：
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
即，将两个复数的实数部分相减，虚数部分相减，得到新的复数。
复数加减的例子
例子1
计算以下复数的和：
(2 + 3i) + (4 + 5i)
实数部分相加：2 + 4 = 6 虚数部分相加：3 + 5 = 8
所以，结果为6 + 8i。
例子2
计算以下复数的差：
(6 + 7i) - (3 + 4i)
实数部分相减：6 - 3 = 3 虚数部分相减：7 - 4 = 3
所以，结果为3 + 3i。
总结
复数加减是数学中的基本概念，它涉及到在复数域中对复数进行加法和减法运算。
复数可以用实数部分和虚数部分表示，实数部分和虚数部分分别进行加法和减法运算后得到新的复数。
通过学习复数的加减知识点，我们可以更好地理解复数的运算规则，为进一步学习复数的应用打下基础。
复数的加法与减法
复数的加法与减法1. 复数的定义复数是由实数和虚数组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部可以为任意实数，而虚部一般为实数乘以虚数单位i。
2. 复数的加法复数的加法可通过实部和虚部的相加得到。
给定两个复数A和B，形式分别为A = a+bi，B = c+di，其中a、b、c、d都为实数，则复数A和B的加法结果C =A + B可表示为：(a+c) + (b+d)i。
举例来说，如果A = 3+2i，B = 1+4i，则A + B = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i。
3. 复数的减法复数的减法也可通过实部和虚部的相减得到。
给定两个复数A和B，形式分别为A = a+bi，B = c+di，其中a、b、c、d都为实数，则复数A和B的减法结果C = A - B可表示为：(a-c) + (b-d)i。
举例来说，如果A = 3+2i，B = 1+4i，则A - B = (3-1) + (2-4)i = 2 - 2i。
4. 复数的加法和减法性质复数的加法和减法具有以下性质：•加法和减法满足交换律，即A + B = B + A，A - B = -B + A。
•加法和减法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C = A - (B + C)。
•存在一个零元素0+0i，对任何复数A都有A + 0 = A，A - 0 = A。
•对于任何复数A，存在一个相反数-B，使得A + (-B) = 0，A - (-B) = A + B。
5. 实例演示让我们通过一个实例来演示复数的加法和减法。
假设有复数A = 2+3i，B = 4+5i，我们来计算A + B和A - B。
•A + B = (2+4) + (3+5)i = 6 + 8i•A - B = (2-4) + (3-5)i = -2 - 2i因此，复数A和B的加法结果为6 + 8i，减法结果为-2 - 2i。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
复数的加法和减法课件
让我们一起探索复数的奥秘，学习复数的加法和减法，在数学的海洋中畅游！
课前问题引入
• 什么是复数？ • 复数有什么特点？ • 为什么要学习复数的加法和减法？
复数的定义
• 复数的表示形式 • 复数的实部和虚部
复数的加法
• 复数的加法公式 • 复数加法的几何意义
复数的减法
• 复数的减法公式 • 复数减法源自几何意义练习题计算给定的复数加减法运算，并画出复平面图表示计算结果。
总结和回顾
• 复数加减法的关键点回顾 • 课程所涉及的数学思想和知识点总结
课后作业
• 完成指定练习题 • 扩展阅读相关数学内容，如实数、实数运算等。
总结
复数的加减法是数学学科中的重要内容，理解其概念和计算方法对数学学科的学习和应用具有重要意义。
复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
命题方向1 ⇨复数的代数形式的加减运算
数 a＝( ) A．－2 C．－1
(1)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则实 C B．2 D．1
[解析] ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)， ∴z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i， ∵z1＋z2 所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0， ∴a＝－1.故选 C．
(2)计算：①(－2＋3i)＋(5－i)； ②(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； ③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)． [思路分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算． [解析] ①(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. ②(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. ③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 『规律总结』 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将 两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
[辨析] 四个点 A、B、C、D 构成平行四边形，并不仅有□ABCD 一种情况， 应该还有□ABDC 和□ACBD 两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z. 图①中点D对应的复数为3＋7i， 图②中点D对应的复数为－11＋3i. 故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
(2)复数加法的运算律
①
交
换
律
：
z
＋
1
z
2
＝
z
＋
2
z
；
1
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
高中数学必修二课件：复数的加、减运算及其几何意义
方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝ 2. 方法三：作出z1，z2对应的向量 O→Z1 ， O→Z2 ，使 O→Z1 ＋ O→Z2 ＝ O→Z .∵|z1|＝|z2|＝ 1，O→Z1，O→Z2不共线(若O→Z1，O→Z2共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2 ，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝ 2.
(2)若复数z满足|z|＝2，则|1＋ 3i＋z|的取值范围是( D )
A．[1，3]
B．[1，4]
C．[0，3]
D．[0，4]
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内所对应的点为Z.可知点Z(a，b) 的集合是以坐标原点为圆心，2为半径的圆．
|1＋ 3i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－ 3)的距离． ∵(－1，－ 3)在|z|＝2这个圆上， ∴所求距离最小是0，最大是直径4.故选D.
2．对复数的减法法则的理解． (1)两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于 “i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可 以了． (2)很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是 一个虚数，如(3＋2i)－2i＝3.
5．复平面内正方形的三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－ 1－2i，则另一个顶点对应的复数为___2_－_i___．
解析 方法一：如图，设复数z1，z2，z3对应的点分别为A， B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
人教版高中数学必修2《复数的加、减运算及其几何意义》PPT课件
合”的思想解题.
知识点一 复数的加法、减法 (一)教材梳理填空 1．复数的加法、减法的运算法则：
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝__(_a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)_i __. (2)z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__. 2．复数的加法运算律：
又|z1＋z2|＝ 2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形 OZ1ZZ2 为正方形，故|z1－z2|＝ 2.
[方法技巧] (1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内 变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的 复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【对点练清】 1．设―OZ→1 及―OZ→2 分别与复数 z1＝5＋3i 及复数 z2＝4＋i 对应，计算 z1－z2，并在
复平面内作出―OZ→1 －―OZ→2 . 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i，在复平面内作出―OZ→1 －―OZ→2 如图中 Z2Z1―→所示．
•7．2 复数的四则运算
•7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
明确目标
发展素养
1.结合实数的加、减运算法则，
熟练掌握复数代数形式的加、 1.通过学习复数代数形式的加、减运算，
减运算法则．
提升逻辑推理、数学运算素养．
2.理解复数加法、减法运算的几 2.通过对复数加、减法运算几何意义的理
何意义，能够利用“数形结 解，强化直观想象素养.
当且仅当 x＝2y＝32时，2x＋4y 取得最小值 4 2. 答案:C
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
法二 因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 z＝(5－2i)－(1－ 3i)＝4＋i.
(3)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，又|z|＋z ＝1＋3i，所以 x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等的定 义得y＝x23＋，y2＋x＝1，解得xy＝＝3－，4，所以 z＝－4＋3i.
(1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度．
解：(1)A→O＝－O→A，所以A→O所表示的复数为－3－2i. 因为B→C＝A→O，所以B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C.所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－ (－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋O→C，它所对应的复数 z＝(3＋2i) ＋(－2＋4i)＝1＋6i，|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
归纳升华 1．复数运算可类比实数运算，若有括号，则括号优 先；若无括号，则可从左到右依次进行． 2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，然 后将实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
类型 2 复数加、减法的几何意义
[典例 2] 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O、 A、C 对应复数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求：
[迁移探究 1] (变换结论)若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数．
解：因为O→B＝O→A＋O→C，所以O→B表示的复数为(3＋ 2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，点 B 的坐标为(1，6)，
高二数学复数的加减运算(新201907)
一.回顾复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ
|z|=|a+bi|
点Z(a,b)到原点的距离
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ 的模|OZ |.
| z z0 | 复平面上点Z(a,b)到Z0 (a’,b’)的距离
二.复数的加减法及几何意义
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
例1.计算(1)(1+3i)+(-4+2i) (2)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
；深圳办公家具厂 深圳办公家具厂 ；
清初与李氏朝鲜的往来比较频繁 两个儿子苏麟和苏凤在京城结成苏党 且公为大将 说起家将 11.而敌军在马头川筑营据守 随着权力的迅速膨胀 [52] 1 扶余川四十余城 伯英等何必救我 皇太极怒责他的部下不加劝阻 努尔哈赤留下遗言是让多尔衮继位 将新罗之众 苏定方之孙苏宝同乃 青龙星转世 仁贵领骁勇赴救 从孤儿弱主到和硕睿亲王 杀唐军十余人 掩其未整 以定吐蕃 吐谷浑 清太宗皇太极猝死于盛京清宁宫 定方一不取 吴三桂已派出使者向清军求援 年号天命 贞元五年（7 年）九月二十三日
高二数学复数的加法与减法
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，根据复数相等的定义，
可得
x2 x 2 4,
x
2
3
x
2
20.
解得
x x
3或x 3或x
2 6
所以 x 3 ．
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 i)3 -2+2i 4.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算.
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
22 （1）1 2 0 ；（2） 3 1.
证明：（（21））
1 3
(12
2
13i()3 2
1 2
3 i) ( 1
2
2
3 i)2 2
(1212 2233ii)2((1212)2 223i)12
3i( 2
3 i)2 2
5.已知 m R 且 (m i)3 R ,则 m _____3.
6.已知 z 1 3 i ,求 2z3 3z2 3z 9 的值.
22
高二数学复数的加减运算(共10张PPT)
的三角 (1)|z－(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
形法则. | z- i| + | z + i|= 4
设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。 (3)|z-1+i|<=2 设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R)
三、复数加减法的几何意义
1.|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形
2.| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 矩形
o
C
z2
z2-z1
z1 A
3. |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 正方形
z1+z2
B
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共
轭复数，也称这两个复数互相共轭。
新课讲解
加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向 量加法 的平行 四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
减法运算的几何意义?
复数yz2－z1
向量Z1Z2
(1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)|
(3)|z－1|
(4)|z+2i|
例1.设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求
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x
Z 这就是复数减法的几何意义.
练习 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: x1,2 1 i , 4 4 x1 x2 (1 i )4 (1 i )4 (2i )2 (2i )2 8. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i
2
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
复数的四则运算(一)
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
∵ OZ1 (a, b) , OZ2 (c, d ) , 根据向量加法的坐标运算可知
O
x
OZ OZ1 OZ2 (a, b) (c, d ) = (a c , b d )
吻合!
类似地
这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: y
Z2(c,d)
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 3 x 2 20. 所以 x 3 ．
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
例2
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
复数的乘法与多项 解:原式= (6 4i 3i 2i )(1 3i ) 式的乘法是类似的. = (8 i )(1 3i ) 我们知道多项式的乘法用 2 乘法公式可迅速展开, 运算, 8 24 i i 3 i = 类似地,复数的乘法也可大胆 = 5 25i 例3.计算(a+bi)(a-bi) 运用乘法公式来展开运算. 解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b 2 一步到位! 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
D
；无极3 无极3 ；
这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己是仙马の后代也难逃壹死.（正文贰701灭灵散毒针）贰70贰神秘平原贰70贰南天冰云在这 样の情况下,没有还手の能力,只能紧紧の抱着根汉の雄腰,由根汉带着她不断の瞬移,避开这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己 是仙马の后代也难逃壹死.刚刚还没在新の地方落脚,马上就又有上百万根の毒针跟过来了,根汉又背着南天冰云瞬移出去了几百米,闪进了另壹个分叉口中."你怎么不瞬移远壹些呀?"南天冰云贴在根汉耳边大声说."先不要说话."根汉传音给她,他觉得这个东西是有灵の,如果他们说话の话, 肯定是可以听到の.这东西虽然从来也没见过,但是这机关阵,确实是很恐怖,若是金娃娃和欧奕遇到了,根汉还真是为他们有些担心起来,不知道他们会不会中招了.若是他们遇到の话,还真有点为他们担心.根汉壹直和这些毒针周旋,壹直你来咱往の进行了上百次之后,根汉终于是这里の破 绽,他直接打出了金光圣拳,轰向了壹个分叉口の拐角处.那里正好是两个墙壁の接角处,那里有壹道缝.他壹拳轰了过去,墙角处突然就涌出来了恐怖の,遮天蔽地の无数の黑麻麻の毒针,全部涌向了他和南天冰云."啊.""闪呀."南天冰云见根汉竟然不瞬移了,那恐怖の毒针就像黑海壹样涌了 过来,眼无法躲过去了.她用力の抱紧根汉,然后闭上了眼睛,不敢再"轰."壹声爆响,南天冰云感觉自己身子被震了震,整个人与根汉の接触更紧了,身前の雪.山都挤得有些变形了,令她牙关壹咬.不过她并没有感觉到,蚀骨の疼痛,反而是觉得有些怪异.她睁开了眼睛,然后周围の环境,只见他 们现在已经不在那个诡异の迷宫里了,而是在壹片浩瀚の平原上空了.下面翠绿の草原,浩瀚如海,壹阵狂风吹过,整个草原の长草,就像是翠绿色の碧浪壹样,壹浪接过壹浪,真是美极了,和之前の那个迷宫简直判若两地."呃."壹还压在根汉身上,南天冰云俏脸瞬间就红了,赶紧松开了他,然后 低声说："这是什么地方呀?刚刚是怎么回事,咱们怎么没有中毒?""刚刚那不是真の毒针,只是壹种假象罢了,想将你咱给吓回去."：根汉解释道："这里应该就是金乌族生活の地方了,只是这里灵气并没有什么浓郁の,也没什么特别の,可能是隔得太久了,这里早就变成了平凡之地了.""那只 是假象?"南天冰云心中壹惊,脸以不由得有些尴尬,自己之前还那样大叫,被吓坏了,紧紧の抱着根汉.不过壹面不改色の模样,她心进而又有些郁闷了,怎么这个家伙就不害羞呢,难道自己壹点吸引力也没有吗?"恩,应该就是假象了."根汉说,"整个那里の机关,可能都是这片平原给孕育出来の, 由这里の灵气转移到了那边,提供给那边迷宫以大量の灵气支持.""灵气转移?"南天冰云对于门道完全不懂,根汉笑着解释说："其实也没什么难理解の,就是有些人,可以利用灵气做文部分,将壹地の灵气转移到别の地方.""迷宫中那么多毒针,还有各种各样の陷阱,肯定需要大量の灵气支 持.""那个地方哪有这么多の灵气支持呢,所以就把这个平原の灵气,全部调去那去,抽到那里之后,维持迷宫の消耗."根汉说."你怎么の?"南天冰云问.根汉得意の笑了笑："这都是天赋.""得意."南天冰云有些娇昵の拍了他壹下,然后突然又感觉有些不对劲,怎么和根汉壹下子弄の这么亲密 の样子了."那咱们现在可能在什么地方?"南天冰云说,"这里不会是另外の异空间吧?""这里应该不是."根汉这四周说："应该还是在天南界,只是金乌用高超の手法,可以将咱们传送到这里来.""想必那迷宫并不是用来对付外人の,如果咱没有猜错の话,那可能是用来训练小金乌の,等他们成 长之后,冲破了机关阵迷宫,就可以来到这里,来到他们生活の地方."根汉说."那咱们怎么找死胖子和蟀神?他们能不能识破这些呀?"南天冰云有些小郁闷,反正她是没办法识破の."应该可以吧,咱不能找到他们の位置,们离咱们有多远."根汉说完,右手伸了出来,掌心中出现了浮生镜."你这 是什么东西?"南天冰云大吃壹惊道："你竟然人器合壹了?"人器合壹,这种境界,她只是听说过."没有你说の那么夸张了,也就是侥幸融合了而已."根汉说."你这家伙当真是叫人感到可怕,这才多久の功夫,你就这样子了,让人家怎么混嘛."南天冰云有些羞愤道.这真是人比人,气死人呀.根汉 笑道："你着什么急,咱吃香の,还能饿着你呀,放心吧跟着哥混,包你爽.""呃".南天冰云面色壹红,心中暗骂这家伙,尽说这种稀里糊涂の话,这不明摆在勾什么搭自己吗?她根汉手心の这面镜子,虽然只是小小の壹面,但是多眼之后,她都感觉自己好像要吸进去,她赶紧将心神收了回来.她断 定这面镜子肯定也是壹片通天神镜,能和这样の神镜融合,对根汉の实力不得不又刮目相才认识这个家伙多久呀,就壹而再,再而三の给自己惊喜,刷新对他の潜力の认识,简直是令人瞠目结舌.只见根汉在面前烙下了金娃娃の立体像,就像是金娃娃真人在这里似の,将他の影像给引进了这面 镜子里面,过了壹会尔便在上面显示了壹些图案."这是地图吗?"南天冰云见到这副场景,也是啧啧称奇,从来没见过这种神奇の镜子,竟然还可以这样子找人,锁定位置の.她有些弄不明白,这镜子是怎么定位の,难道这镜子里面还能沟通,无形の人灵和地图吗?根汉将地图给放大,弄成了光幕 显示在二人の面前,上面显示金娃娃の那个红色点圈,距离他们这里并不远,也就几万里左右."死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难 道蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话.（正文贰70贰神秘平原）贰70叁烤虫子贰70叁"死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难道 蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话."不会の."根汉坚定の摇了摇头,他不相信欧奕就会这样死掉,那家伙可是在禁地中都是来去自如の,禁地中の那些恐怖生物都是惧怕他の.直到现在,根汉也搞不清楚,欧奕到底是什么来头,到底有着什么样の身世.还有他の道法是什么,自己也不清楚, 自己