中值定理PPT教学课件
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或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ).拉格朗日中值公式
2020/10/16
12
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值的另外一种形式： 若 f (x)在 [a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 对于 [a, b] 上任意两点 x, x+△x, 在 [x, x+△x] (或 [x+△x, x] ) 上, 公式也成立.
证 设 f(t)ln 1 (t),
f (t)在[0,x]上满足拉氏定理的条, 件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( ( 0 , x )
所以
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1, x x x,
1x 1
1x 1
即 xln 1( x )x . 1x 2020/10/16
C
yf(x)
M
B
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦 AB.
2020/10/16
o a 1 x
D
2 b x
11
证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
弦AB方程为 y f( a ) f( b ) f( a )(x a ).
b a 曲线 f(x)减去 A弦 ,B
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有一
C yf(x)
点C,在该点处的切线平
行于x轴.
2020/10/16
o a 1
2
b
x 4
例:对f(x)x2 2x3(x1)(x3) 在[1,3]上验证罗尔定理性 的正确
解： (1)f(x)在 [1,3]上连 , 续 (2)f(x)2x2 在 (1,3)内处处,有 f(x)在 (1,3)内可导 ( 3 )f( 1 ) f( 3 )
△y = f (x+△x) f (x) =f ( ) ·△x . 其中 (x, x+△x) 或 (x+△x, x)
记 =x+ △x (其中0< <1)
有限增量公式: △y= f ( x+ △x ) ·△x
2020/10/16
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比较 :
f (x)在 x 处于可微： f (x)在 [a, b] 上满足
拉格朗日中值定理：如果 y 函 f(x)满 数:足
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 (得 )f一 (b )f(点 a ) b a 或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ) y
几何解释:
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率
的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态。
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？
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3.用途:用来证明等式或不. 等式
例3 证 ar 明 x a cs r x i c ( n 1 c x o 1 )s . 2
证 设 f ( x ) ar x a cr s x ,i c x n [ c 1 , 1 ]os
f(x )1 (1)0. 1 x 2 1 x 2
令 f ( x ) 2 x 2 0 得 x 1f(1)0
( 1 ,3 ), 使 f()0
（既要验证条件，又要验证结论）
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注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的. 注2 用途：确定导函数的根的位置
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二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
△ydy=f (x)·△x 拉格朗日定理条件：
要求:| △x |很小，
△y= f ( x+ △x
且f (x)0
)·△x
要求: △x有限.
推论1：如果f函 (x)在 数区 I上 间的导数 ,那末 来自(x)在区 I上 间是一. 个常数
推论2 具有相同导函数的两个函数，相差一个
常数.
2020/10/16
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与
该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实
际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研
究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、
最值；凹凸性、拐点等）。
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2
中值定理包括三个定理： 罗尔定理
拉格朗日定理（微分中值定理） 柯西定理
所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上两 端点的函数值与它在区间内某一 点的导数值之间的关系.
证毕
16
方法
利用拉格朗日某 定些 理不 证等 明式时设 ，首
一个恰当的函将 数 f'(， )适然当后的放大或
从而得到所要等 证式 明的不
练习：证 x明 0时,当 ex x1.
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理： 如果f函 (x),g数 (x)满足 :
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续 (2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sr i0 n c 0c o ,s 22
即C.
2
arc x sair nc x co . s
证毕
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2
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例4 证 x 0 明 时 ,x l 当 1 n x ) ( x . 1 x
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数 F ( x ) f ( x ) [ f ( a ) f ( b ) f ( a ) ( x a ) b a
F(x) 满足罗尔定理的条,件
则(a 在 ,b)内至少,使 存F 得 在 ()一 0. 点
即 f( )f(b b ) a f(a ) 0f()f(b b ) a f(a)
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一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理：如果y函 f数 (x)满足以下 : 三
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
(3)在区间两端点 相的 等 ,即 f(函 a)数 f(b)值 ;
则至少存 (a,b 在 )使 , 一 f得 ()点 0
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注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值的另外一种形式： 若 f (x)在 [a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 对于 [a, b] 上任意两点 x, x+△x, 在 [x, x+△x] (或 [x+△x, x] ) 上, 公式也成立.
证 设 f(t)ln 1 (t),
f (t)在[0,x]上满足拉氏定理的条, 件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( ( 0 , x )
所以
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1, x x x,
1x 1
1x 1
即 xln 1( x )x . 1x 2020/10/16
C
yf(x)
M
B
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦 AB.
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o a 1 x
D
2 b x
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证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
弦AB方程为 y f( a ) f( b ) f( a )(x a ).
b a 曲线 f(x)减去 A弦 ,B
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有一
C yf(x)
点C,在该点处的切线平
行于x轴.
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o a 1
2
b
x 4
例:对f(x)x2 2x3(x1)(x3) 在[1,3]上验证罗尔定理性 的正确
解： (1)f(x)在 [1,3]上连 , 续 (2)f(x)2x2 在 (1,3)内处处,有 f(x)在 (1,3)内可导 ( 3 )f( 1 ) f( 3 )
△y = f (x+△x) f (x) =f ( ) ·△x . 其中 (x, x+△x) 或 (x+△x, x)
记 =x+ △x (其中0< <1)
有限增量公式: △y= f ( x+ △x ) ·△x
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比较 :
f (x)在 x 处于可微： f (x)在 [a, b] 上满足
拉格朗日中值定理：如果 y 函 f(x)满 数:足
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 (得 )f一 (b )f(点 a ) b a 或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ) y
几何解释:
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率
的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态。
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？
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3.用途:用来证明等式或不. 等式
例3 证 ar 明 x a cs r x i c ( n 1 c x o 1 )s . 2
证 设 f ( x ) ar x a cr s x ,i c x n [ c 1 , 1 ]os
f(x )1 (1)0. 1 x 2 1 x 2
令 f ( x ) 2 x 2 0 得 x 1f(1)0
( 1 ,3 ), 使 f()0
（既要验证条件，又要验证结论）
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注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的. 注2 用途：确定导函数的根的位置
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二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
△ydy=f (x)·△x 拉格朗日定理条件：
要求:| △x |很小，
△y= f ( x+ △x
且f (x)0
)·△x
要求: △x有限.
推论1：如果f函 (x)在 数区 I上 间的导数 ,那末 来自(x)在区 I上 间是一. 个常数
推论2 具有相同导函数的两个函数，相差一个
常数.
2020/10/16
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与
该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实
际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研
究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、
最值；凹凸性、拐点等）。
2020/10/16
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中值定理包括三个定理： 罗尔定理
拉格朗日定理（微分中值定理） 柯西定理
所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上两 端点的函数值与它在区间内某一 点的导数值之间的关系.
证毕
16
方法
利用拉格朗日某 定些 理不 证等 明式时设 ，首
一个恰当的函将 数 f'(， )适然当后的放大或
从而得到所要等 证式 明的不
练习：证 x明 0时,当 ex x1.
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理： 如果f函 (x),g数 (x)满足 :
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续 (2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sr i0 n c 0c o ,s 22
即C.
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arc x sair nc x co . s
证毕
2020/10/16
2
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例4 证 x 0 明 时 ,x l 当 1 n x ) ( x . 1 x
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数 F ( x ) f ( x ) [ f ( a ) f ( b ) f ( a ) ( x a ) b a
F(x) 满足罗尔定理的条,件
则(a 在 ,b)内至少,使 存F 得 在 ()一 0. 点
即 f( )f(b b ) a f(a ) 0f()f(b b ) a f(a)
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一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理：如果y函 f数 (x)满足以下 : 三
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
(3)在区间两端点 相的 等 ,即 f(函 a)数 f(b)值 ;
则至少存 (a,b 在 )使 , 一 f得 ()点 0