2017秋八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题(小册子)课件(新版)新人教版
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2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期13.4、课题学习、最短路径问题课件33
知2－导
如图13.4-5,在连接A， B'两点的线中，线段A B'最
短.因此，线段 A B'与直线l的交点C的位置即为所求.
为了证明点C的位置即为 所求，我们不妨在直线上另 外任取一点C '(图 13.4-5)， 连接 AC' ,BC' ,B'C' ，证明
AC+CB<AC' +C'B.你能完成
这个 证明吗？
对直线l上的任一点C,都保持CB与C B'的长度相等，
就可以把问题转化为“图13. 4-3”的情况，从而 使 新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识，找到 符合条件的点B'吗？
知2－导
如图13.4-4,作出点B关于l的对称点B'，利用轴
对称的性质，可以得 到C B' =CB.这样，问题就转化
为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB'的和最小？
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
（来自《典中点》）
知2－练
3 如图，直线l表示一条河，P，Q两地相距10 km，P，Q
两地到l的距离分别为2 km，8 km，欲在l上的某点M
处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种 铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道
知2－导
如图13.4-3,点A, B分别是直线l异侧的两个点， 如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的 距离的和最短？
A·
l
· B
图13.4-3
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面 的问题，即:连接AB，与直线l相交于一点，根据
“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
八年级上学期数学134《最短路径问题》课件
A
O
B
Ｃ. .
E
D
M
N
G
H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
F
A
O
B
D ·
· C
E
G
H
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课件新版新人教版
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/5/25
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11
13.4 课题学习 最短路径问题
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.两点的所有连线中, 线段 最短. 2.连接直线外一点与直线上各点的所有连线中, 垂线段 最 短.
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我 们称它们为 最短路径 问题.
2.在解决最短路径问题时,我们通常利用 轴对称 、 平移 等 变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选 择.
互动课堂理解
利用轴对称求最短路径 【例题】 如图,在△ABC中,BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D,EF垂 直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一点P使PB+PD最小,则这个最 小值为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 分析根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B 关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出 结论.
轻松尝试应用
1
2
3
1.如图,A,B两点都在直线m的同侧,画图,在直线m上取点P,使PA+PB 最小,则下列示意图正确的是( ).
关闭
D
答案123轻 Nhomakorabea尝试应用
2.在直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使得它到A,B两点 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ).
2019/5/25
最新中小学教学课件
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13.4 课题学习 最短路径问题
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.两点的所有连线中, 线段 最短. 2.连接直线外一点与直线上各点的所有连线中, 垂线段 最 短.
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我 们称它们为 最短路径 问题.
2.在解决最短路径问题时,我们通常利用 轴对称 、 平移 等 变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选 择.
互动课堂理解
利用轴对称求最短路径 【例题】 如图,在△ABC中,BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D,EF垂 直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一点P使PB+PD最小,则这个最 小值为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 分析根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B 关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出 结论.
轻松尝试应用
1
2
3
1.如图,A,B两点都在直线m的同侧,画图,在直线m上取点P,使PA+PB 最小,则下列示意图正确的是( ).
关闭
D
答案123轻 Nhomakorabea尝试应用
2.在直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使得它到A,B两点 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ).
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 课件
13.4 课题学习 最短路径问题
知识点一
1.直线异侧的两点到直线上一点距离的和最短的问题 2.直线同侧的两点到直线上一点距离的和最短的问题 3.解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变化把已知问题 转化 为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
同一个点吗？
BC′=B′C′
BC=B′C,
AC′+BC′＞AC+BC
反思与总结
回顾一下我们今天所学的内容，你有什么收获？在解决 最短路径这一类问题时都用到了哪些方法呢？
实际问题1
图形表示，数学化
几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间连线中最 短线问题.
实际问题1的解 实际意义解释
几何问题2的解
轴对称，还原问题
将军饮马的实质：
（1）求最短路线的问题。
（2）把A, B 在直线同侧的问题利用轴 对称转化为在直线的两侧，化折线 为直线。
（3）利用“两点之间，线段最短” 加以解决。
学以致用：
变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
反
思
你的收获；
是
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
M
N
l
提出问题
这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？
B地
B
A地
A 抽象成
C
l
l
知识点一
1.直线异侧的两点到直线上一点距离的和最短的问题 2.直线同侧的两点到直线上一点距离的和最短的问题 3.解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变化把已知问题 转化 为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
同一个点吗？
BC′=B′C′
BC=B′C,
AC′+BC′＞AC+BC
反思与总结
回顾一下我们今天所学的内容，你有什么收获？在解决 最短路径这一类问题时都用到了哪些方法呢？
实际问题1
图形表示，数学化
几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间连线中最 短线问题.
实际问题1的解 实际意义解释
几何问题2的解
轴对称，还原问题
将军饮马的实质：
（1）求最短路线的问题。
（2）把A, B 在直线同侧的问题利用轴 对称转化为在直线的两侧，化折线 为直线。
（3）利用“两点之间，线段最短” 加以解决。
学以致用：
变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
反
思
你的收获；
是
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
M
N
l
提出问题
这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？
B地
B
A地
A 抽象成
C
l
l
八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件
追问1 这是一个实际问题，你打算首先(shǒuxiān)做什么？
将A，B 两地(liǎnɡ dì)抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
2021/12/13
第六页，共十九页。
探索(tàn suǒ) 新知
追问2 你能用自己的语言说明这个(zhè ge)问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
2021/12/13
第十三页，共十九页。
B′
探索(tàn suǒ) 新知
问题(wèntí)3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明(zhèngmíng)：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
Image
12/13/2021
第十九页，共十九页。
第十六页，共十九页。
B′
巩固(gǒnggù) 练习
已知P是△ABC的边BC上的点，你 能在AB、AC上分别(fēnbié)确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
2021/12/13
第十七页，共十九页。
知识(zhī shi) 小结
今天你有什么 收获？ (shén me)
2021/12/13
第十八页，共十九页。
13.4 课题学习 最短路径 问题 (lùjìng)
2021/12/13
第一页，共十九页。
如图所示，从A地到B地有三条
路可供选择，你会选走哪条路最近 (zuìjìn)？你的理由是什么？
将A，B 两地(liǎnɡ dì)抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
2021/12/13
第六页，共十九页。
探索(tàn suǒ) 新知
追问2 你能用自己的语言说明这个(zhè ge)问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
2021/12/13
第十三页，共十九页。
B′
探索(tàn suǒ) 新知
问题(wèntí)3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明(zhèngmíng)：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
Image
12/13/2021
第十九页，共十九页。
第十六页，共十九页。
B′
巩固(gǒnggù) 练习
已知P是△ABC的边BC上的点，你 能在AB、AC上分别(fēnbié)确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
2021/12/13
第十七页，共十九页。
知识(zhī shi) 小结
今天你有什么 收获？ (shén me)
2021/12/13
第十八页，共十九页。
13.4 课题学习 最短路径 问题 (lùjìng)
2021/12/13
第一页，共十九页。
如图所示，从A地到B地有三条
路可供选择，你会选走哪条路最近 (zuìjìn)？你的理由是什么？
八年级数学上册13.313.4课件(新版)新人教版
八年级数学(shùxué)·上 标 [人]
新课
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 13.4 课题(kètí)学习 最短路径问题
第一页，共17页。
等腰(等边)三角形的性质和判定(pàndìng)
例1 如的图综所合示应,用BD和CD分别平分△ABC的内角
∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,连接(liánjiē)AD.
第十二页，共17页。
5.如图所示,D是等边三角形ABC内一点(yī diǎn), DB=DA,BP=AB,∠DBP=∠DBC,求证∠P=30°.
证明:连接(liánjiē)DC,由题意知在
PB BC,
△BPD和△BCD中, PBD CBD,
∴
△BPD≌△BCD(SABSD),
BD,
∴∠P=∠BCD.
∠ABC,推出AD∥BC,由平行线的性质得到(dédào)∠ADB=∠DBC,证得
∠ (3)A根B据D等=∠腰A三D角B,形即的可性得质到得(d到éd∠àoB)A结F论=∠；ABF= ∠A1BC,根据三角
2
形的内角和即可求解.
第三页，共17页。
证明:(1)∵BD,CD分别(fēnbié)平分∠EBA,∠ECA,BD交AC于F,
∴∠C=∠ABC=
180 2
4=070°;②如图13
-
58(2)所示,∵△ABC是等腰三角形,BD⊥AC,即
∠ADB=90°,∠ABD=50°,∴在Rt△ABD中,
∠BAD=90°-50°=40°,又∵∠BAD=∠ABC +∠C,∠ABC=∠C,
∴∠C=∠ABC= ADB=20°.
2
【解题归纳】 本题主要考查了等腰三角形的性质,知道等腰
三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,有两种情况,一种是 高在三角形内部,另一种是高在三角形外部,读懂题意,是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答 本题的关键.
新课
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 13.4 课题(kètí)学习 最短路径问题
第一页，共17页。
等腰(等边)三角形的性质和判定(pàndìng)
例1 如的图综所合示应,用BD和CD分别平分△ABC的内角
∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,连接(liánjiē)AD.
第十二页，共17页。
5.如图所示,D是等边三角形ABC内一点(yī diǎn), DB=DA,BP=AB,∠DBP=∠DBC,求证∠P=30°.
证明:连接(liánjiē)DC,由题意知在
PB BC,
△BPD和△BCD中, PBD CBD,
∴
△BPD≌△BCD(SABSD),
BD,
∴∠P=∠BCD.
∠ABC,推出AD∥BC,由平行线的性质得到(dédào)∠ADB=∠DBC,证得
∠ (3)A根B据D等=∠腰A三D角B,形即的可性得质到得(d到éd∠àoB)A结F论=∠；ABF= ∠A1BC,根据三角
2
形的内角和即可求解.
第三页，共17页。
证明:(1)∵BD,CD分别(fēnbié)平分∠EBA,∠ECA,BD交AC于F,
∴∠C=∠ABC=
180 2
4=070°;②如图13
-
58(2)所示,∵△ABC是等腰三角形,BD⊥AC,即
∠ADB=90°,∠ABD=50°,∴在Rt△ABD中,
∠BAD=90°-50°=40°,又∵∠BAD=∠ABC +∠C,∠ABC=∠C,
∴∠C=∠ABC= ADB=20°.
2
【解题归纳】 本题主要考查了等腰三角形的性质,知道等腰
三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,有两种情况,一种是 高在三角形内部,另一种是高在三角形外部,读懂题意,是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答 本题的关键.
八年级数学上册教学课件《课题学习 最短路径问题》
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题
作法：
B
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A
C
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
l
则点C 即为所求．
B′
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
最短路径 问题
最短路 径问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
课后作业
作业 内容
13.4 课题学习 最短路径问题
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
的是（ D ）
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°， DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE， ∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， 此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE， 可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE， ∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
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