高考数学常见题型解法归纳反馈训练第92讲极坐标常见题型解法

第92讲 极坐标常见题型解法

【知识要点】

一、在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线OX 为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点M ，设||OM =

ρ，

θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标.

二、一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建 立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应.极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角.

三、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点位于极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++()k Z ∈

四、直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到：cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩（求点

的直角坐标的公式），222tan x y y x ρθ⎧=+⎪

⎨=

⎪⎩

（求点的极坐标的公式）.

五、球坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，连接OP ，记||OP r =，OP 与z 轴正向所夹的角为θ，P 在xOy 平面的射影为Q ，x 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中0r ≥，0θπ≤≤，02ϕπ≤<.空间点P 的直角坐标

),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：2222

sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕ

θϕθ

⎧++=⎪

=⎪⎨

=⎪⎪=⎩； 六、柱坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤<表示点在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ，表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈，空间点P 的直角坐标(,,)

x y z

与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

.

【题型讲评】

题型一

求点的直角坐标

解题步骤

一般直接代入公式cos sin x y r q

r q

ì=ïí

=ïî即可，代公式时注意“x ”与“cos q ”对应，“y ”与

“sin q ”对应.其中经常用到三角恒等变换的诱导公式“纵变横不变，符号看象限”.

【例1】点P 的极坐标为(2,)3

p ，则它的直角坐标为.

【点评】把极坐标化成直角坐标时，要求我们对三角函数的诱导公式很熟练很准备，否则就有可能计算出错.如本题中的43sin

sin()sin 333ππππ=+=-=，就要计算准确. 【反馈检测1】若M 点的极坐标为2,6π⎛

⎫

--

⎪⎝

⎭

，则M 点的直角坐标是（） A ．()

3,1- B ．()3,1- C ．)3,1- D ．

)

3,1

题型二

求点的极坐标

解题步骤

一般直接代公式222tan (0)x y y

x x r q ì=+ï

íï=?ïî

解出,r q 即可.注意两点：（1）极角q 一般取

[0,2)p ；（2）求极角q 时，一定要先通过点（x,y)定出极角q 所在的象限位置，再通过tan (0)y x x

q =

?求出极角q 的大小.即先定位，后定量.如果点不在象限里面，则

直接写出它的极坐标.

【例2】点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（） A ．(2,)3

π B ．(2,)3

π

-

C ．2(2,

)3π D ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈

【点评】这种题最容易出错的是极角的大小，必须向定位，后定量.本题中极角和(3)-位置相同，所以极角在第二象限，又3

tan 3θ=

=，所以极角2=.

3θπ 【反馈检测2】点()

3,1-P ，则它的极坐标是（） A ．⎪⎭⎫

⎝

⎛

3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-3,2π D ．⎪⎭⎫

⎝⎛-34,2π

题型三

求曲线直角方程的极坐标方程

解题步骤

一般先代入公式cos sin x y r q

r q

ì=ïí=ïî，再化简整理即可.其中常用到辅助角公式

22sin cos sin()a b a b a a a b +=++.

【例3】把方程2x y +=

化为极坐标方程.

【解析】2cos sin 22sin()2

4

x y p

r q r q r q +\+=\

+sin()14p

r q \+=.

【点评】把直角坐标方程化成极坐标方程时，一般要利用辅助角公式化简,以达到最简的目的. 【反馈检测3】已知圆的方程为2

2

(1)1x y -+=，求该圆的极坐标方程.