《1.3.3导数的实际应用》同步练习6

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一、选择题

1 •某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元）与营运年数X（x € N +）满足y =—x2+ 12x —25,则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大（）

A . 3

B . 4

C. 5 D . 6

［答案］C

［解析］年平均利润

y 25

f（x）= x = —x—x + 12（x €N+）,

25

又f' （= —1+x,

令f ' （=0,解得x= 5.

又极值唯一，故选C.

2•以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）

A . 10

B . 15

C. 25 D . 50

［答案］C

［解析］如图，设/ NOB = 0,则矩形面积S= 5sin 0X 2 x 5=50曲n 0 co= 25sin2，故S max= 25.故选 C.

3. 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）

A. 3 V B . 3 2V

C.3 4V D . 23 V

［答案］C

［解析］设底面边长为x,侧棱长为I,

t 1 2_4V_

则V = 2x sin60 •, A l=y^x2.

2込2 4阪A S<= 2S底+ 35侧=x sin60 + 3xl = 2 x + x .

令s'表=』3x —~x2~=0,

则x3= 4V，即x= 34V.

又当x€ (0 , 34V)时，S'表＜0 ；x€ (3 4V, V)时，S'表＞0.

•••当x= 3 4V时，表面积最小.故选C.

4. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积

相等的小正方形，的止方形的边长为然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去( )

A. 6cm

B. 8cm

C. 10cm

D. 12cm

［答案］B

［解析］设截去的正方形的边长为xcm,则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48—2x)

2 3 2 2

cm，高为xcm，体积V(x) = (48 —2x) •= 4x —192x + 48 x. 其中0

在(0, 24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大.故选 B.

5.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时,

原油温度(单位：

)

1 3 2

C )为f(x) = 3x3—x2+ 8(0 W x W 5)那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(

20

A . 8

B . 3

C . —1

D . —8

［答案］C

2

［解析］•/ f ' (=x —2x(0 W x W 5)

•原油温度的瞬时变化率为：x2—2x，其最小值为—1.

2

A. 3 R

3,3

C. 2 R

［答案］A

［解析］作轴截面如图，设圆柱高为2h,

6.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为

则底面半径为R2T h2，圆柱体体积为V = n・很h2) 2h= 2 nR h—2 n h.

2 2 並

令V' = 0得2 nR — 6 n n = 0 ,「. h = 3 R.

2也即当2h = 于R时，圆柱体的体积最大•故选A.

7 •有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为()

2 2

A • 32m

B • 14m

2 2

C. 16m D • 18m

［答案］C

［解析］设矩形的长为x米，则宽为8 —x,矩形面积为S= x(8 —x)(x>0),

令S'= 8一2x= 0,得x= 4，此时S最大=4 = 16.故选C.

&已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y =

1 c

—3x3+ 81x —234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()

A . 13万件

B . 11万件

C. 9万件 D . 7万件

［答案］C

［解析］本题考查了导数的应用及求导运算，T x>0 , y'=—x2+ 81= (9 —x)(9 + x)，令y =0, x = 9, x€ (0, 9), y' >0 x e (9, + ^) y' <,0 y先增后减，二x = 9时函数取最大值，选C,属导数法求最值问题.

二、填空题

9 •面积为S的一切矩形中，其周长最小的是___________ .

［答案］以.S为边长的正方形

S

［解析］设矩形的长为x,则宽为x,

2S 2S

其周长I = 2x+ x (0

令l = 0 得x = .S,

当00

•••当x= .S时，I取极小值，这个极小值就是最小值•故面积为S的一切矩形中，其周长

最小的是以詁s为边长的正方形.

10. _______________________________________ 把长60cm的铁丝围成矩形，当长为