高考数学总复习 第四章4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数教案 理 北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．任意角(1)角的分类任意角可按旋转方向分为____、____、____.(2)2(1)弧度制在以单位长为半径的圆中，__________的弧所对的圆心角为1弧度的角．以__________作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度与弧度之间的换算360°＝__________rad,180°＝__________rad,1°＝π180rad，1 rad＝__________.(3)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角为α(弧度)，半径为r，则l＝__________；S扇形＝__________＝__________.x，有向线段MP 叫作角的正弦线有向线段OM 叫作角的余弦线有向线段AT 叫作角的正切线1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( )． A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，则sin α的值为( )． A ．35 B ．－35 C ．45 D ．－453．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )．A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 14．已知sin θ＜0，tan θ＞0，那么θ是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角 D．第四象限角5．若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为__________．思维拓展1．第一象限内的角是否都为锐角？提示：不是．锐角是大于0°且小于90°的角．第一象限内的角还有大于90°和小于0°的角．2．终边相同的角相等吗？提示：相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．3．如何用三角函数线比较三角函数值的大小？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．一、象限角及终边相同的角【例1－1】若α是第三象限的角，则π－12α是( )．A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角【例1－2】已知角α是第一象限角，确定2α，α2的终边所在的位置．方法提炼1．对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°的理解． (1)k ∈Z ；(2)α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍．2．已知α的终边位置，确定k α，αk(k ∈N ＋)的终边的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk 的范围，然后就k 的可能取值讨论k α或αk的终边所在位置．请做[针对训练]1二、弧长与扇形的面积【例2】(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少(π取3.14)?(2)一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？方法提炼在弧度制下，弧长公式为l ＝αr ，扇形面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，α为圆心角，α∈(0,2π)，r 为半径，l 为弧长．提醒：应用上述公式时，要先把角统一为用弧度制表示．弧长公式l ＝n πr180，扇形面积公式为S ＝n πr 2360(其中n 为α的角度数，r 为半径)．请做[针对训练]2三、三角函数的定义【例3－1】已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．【例3－2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (－1,2)．求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3的值． 方法提炼定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．请做[针对训练]3考情分析从近两年的高考试题来看，三角函数的定义，由定义求得三角函数，再利用一些知识进行化简求值是高考的热点，既有小题，也有大题．预测2013年高考仍会考查三角函数定义及符号判定，重点考查运算能力与恒等变形能力． 针对训练1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )． A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或43．角α的终边上有一点P (3t,4t )(t ∈R 且t ≠0)，则sin α的值是__________． 4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)正角 负角 零角 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z2．(1)单位长度 弧度 (2)2π π ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° (3)|α|r 12lr 12|α|r 23．y xyx正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 sin α cos α tan α基础自测1．C 解析：当角α的终边在x 轴上时，可表示为k ·180°，k ∈Z .当角α的终边在y 轴上时，可表示为k ·180°＋90°，k ∈Z .∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k ·90°，k ∈Z . 2．B 解析：设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.3．C 解析：由已知可得该圆的半径为1sin 1.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×1sin 1＝2sin 1. 4．C 解析：∵sin θ＜0，∴θ在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上， 又tan θ＞0，∴θ在第一或第三象限， ∴θ在第三象限．5．(－1，3) 解析：根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|OP |s in 23π＝2×32＝ 3. ∴P 点的坐标为(－1，3)． 考点探究突破【例1－1】B 解析：由已知，得2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )∴－k π＋π4＜π－α2＜－k π＋π2(k ∈Z )．∴π－α2是第一或第三象限的角．【例1－2】解：∵α是第一象限的角，∴k ·2π＜α＜k ·2π＋π2(k ∈Z )．(1)k ·4π＜2α＜k ·4π＋π(k ∈Z )． 即2k ·2π＜2α＜2k ·2π＋π(k ∈Z )．∴2α的终边在第一象限或第二象限或y 轴的非负半轴上．(2)k ·π＜α2＜k ·π＋π4(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＜α2＜2n π＋π4(n ∈Z )．∴α2的终边在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，(2n ＋1)π＜α2＜(2n ＋1)π＋π4(n ∈Z )，即2n π＋π＜α2＜2n π＋5π4(n ∈Z )，∴α2的终边在第三象限． 综上，α2的终边在第一象限或第三象限．【例2】解：(1)设扇形的圆心角是θ rad ，因为扇形的弧长是r θ，所以扇形的周长是2r ＋r θ.依题意，得2r ＋r θ＝πr .∴θ＝π－2＝(π－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° ≈1.14×57.32°≈65.35°，∴扇形的面积为S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20. 即l ＝20－2r (0＜r ＜10)．①扇形的面积S ＝12lr ，将①代入，得S ＝12(20－2r )r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当且仅当r ＝5时，S 有最大值25.此时l ＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值． 【例3－1】 解：设P 与原点的距离为r ，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1＜cos θ＜0， ∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.【例3－2】解：∵P (－1,2)是角α终边上一点，由此求得r ＝|OP |＝(－1)2＋22＝ 5.∴sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝－45，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝－35.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝sin 2αcos 2π3＋ cos 2αsin 2π3＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.演练巩固提升 针对训练1．A 解析：当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限． 2．C 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2.解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2.3．±45解析：∵P (3t,4t )，∴原点O 到P 点的距离|OP |＝5|t |，∴sin α＝4t 5|t |＝±45.4．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，设P 到原点的距离为r ， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35.cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.。