《高级微观经济理论》第15-16章习的题目

《高级微观经济理论》第15-16章习题
解：本题目是在已知两个消费者效用函数和禀赋的条件下求提供曲线的问题。

根据题设已知
两个消费者的效用函数为：
a a X X X X U -=1211121111),(，b
b X X X X U -=122
1222122),( 各自相应的初始禀赋为
）（2111,w w ，）（2212,w w
题目要求均衡的价格比率，为此先求出两个消费者的提供曲线。

提供曲线是在价格变化时单个消费者效用最大化点的轨迹，为此我们建立如下最大化问题拉格朗日方程，先考虑第一个消费者：
MAX a
a X X X X U -=121
1121111),( St 212111212111w P w P X P X P +=+
求解此最大化问题得：
121211111/)(P w P w P a X +=
221211121/))(1(P w P w P
a X +-= 所以第一个消费者的提供曲线就表示为
）
，（221211112121111/))(1(/)()(P w P w P a P w P w P a P OC +-+= 同理，第二个消费者的提供曲线可以表示为：
）
，（222212112221212/))(1(/)()(P w P w P b P w P w P b P OC +-+= 为了求得均衡时的价格，还需利用均衡时两种商品是出清的特点，以商品2为例， 商品2的总需求为：
22221212212111/))(1(/))(1(P w P w P b P w P w P a +-++-
商品2的总供给为：
21w +22w
由总供给等于总需求可得均衡时的价格比率为：
12
1122
21*2*1)1()1(/w b w a bw aw P P -+-+=
将此均衡价格比率带入到提供曲线中即可得在此均衡价格下的均衡配置，
))1()1(1,)(
)1(()(121122211221221121111w b w a a
bw aw a w w b w bw w w P OC -+--+-++=
))1()1(1,)(
)1(()(12
1122212211122122122w b w a b
bw aw b w w a w aw w w P OC -+--+-++=
最后看以上几项怎样随着11w 的变化而变化：
0/)/(11*1*1<∂∂w P P
0/11*11>∂∂w P OC ）（ 0/11*21>∂∂w P OC ）（ 0/11*12>∂∂w P OC ）（ 0/11*22<∂∂w P OC ）（
1
23221112111
2112(,)(()),37
u x x x x ---=+1(1,0)w =
1322
221222122212(,)(()),37
u x x x x ---=+2(0,1)w =
11121212112222
11121
x p x p p x p x p p x x +=⎧⎨
+=⎩+=
我们可以令2p =1，于是，这个式子可以写为
111211
21122
1x p x p x p x +=⎧⎨
+=⎩ 下面就是求1121x x 与之间的关系，1222x x 与之间的关系 Max 11222(,)u x x
s.t 111211x p x p += 令1111211()F u x p x p λ=-+-则
11
21
00F
x F x ∂⎧=⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩ 1
112
122
u p x u x λλ∂⎧=⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩ ,
所以，1
111
121
=u x
p u x ∂∂∂∂ 由题意有
3
11111
33
121
21
12()37u Ax x u A x x --∂⎧=⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩,其中，A 是相同的部分 求出1
3211111237
x p x = 再带入111211x p x p +=
得到111
13
11
431211
311
123712371237p x p p p x p p ⎧
=⎪⎪+⎪⎪⎨⎪
=⎪⎪+⎪⎩
同样地，我们可以求出2122x x ，之间的关系 Max 21222(,)u x x
s.t 121221x p x += 令212122(1)F u x p x λ=-+-则
12
22
00F x F x ∂⎧=⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩ 2112
222u p x u x λλ
∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩我们有2
121222u x p u x ∂∂=∂∂
332
12
12
3
222
22
12()37u B x x u Bx x --∂⎧=⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩其中，B 是相同的部分 3322112
1237x p x =（
）（） 132********
x p x =,再由211221x p x +=，得到
12
13
11
1
31221
3
111371237123712
x p p p x p p ⎧
=⎪⎪+⎪⎪⎨⎪
=⎪⎪+⎪⎩
我们知道11121x x +=
于是，111
3311111
+112373712
p p p p p =++
令1
31
p x =,我们得到
333
1
+112373712x x x x x
=++,得到(1)(34)(43)0x x x ---= 所以，43
134x x x ===或或
111642712764
p p p ==
=或或 1112226427
12764
p p p p p p ******
===或或
当两种商品的价格都为正时，两个消费者的提供曲线是
()(){}
2
,,:p b p b p b OC p p x
x R x x αα
ααα++=
∈=；
()()()
{}12
2
,,:p b p b p b OC p p x
x R x x ββ
βββ++
=
∈=。

在
30,0,0,20p b p b ααββωωωω====的情况下没有内点解，不会发生交易。

在30,0,0,20p b p b ααββωωωω====的情况下，根据Walras 定律，有：
30p p b b p p p p x p x p p αααω+==，20p p b b b b b p x p x p p βββω+==
当00p b p p =且＞时，00p p p p x x αα=⇒=，2020b b b b p x p x ββ=⇒=。

在均衡配置
下，p x β需要≥201/2，否则{}12,p b u Min x x βββ=会取12
b u x ββ=，即β会选择全部消费
自己已持有的商品b ，不会与α进行交换；
当00p b p p =＞且时，3030p p p p p x p x αα=⇒=，00p p p p x x ββ=⇒=。

在均衡配置下，b x α需要≥p αω，否则{},p b u Min x x ααα=会取p u x αα=，即α会选择全部消费自己已持有的商品p ，不会与β进行交换；
∴当两种商品的其中一种的价格为零，提供曲线是：
()(){}(){}()(){}(){}1,0:000,,,:00.,20:2000,,0,:000.
p p p
b
p b p b b p p
b
p p p
b
p b b b p
b
x x if p p OC p p x x if p p x x if p p OC p p x x if p p α
α
αα
α
α
α
β
β
ββ
β
ωω⎧
≥⎪
=⎨
≥⎪⎩⎧≥⎪
=⎨
≥⎪⎩
＝且＞＞且＝＝且＞＞且＝
所有的均衡点在埃奇沃斯盒的边界上，均衡价格比是
0p b p p =，均衡配置是
()(){}
12
30,0,,20:2030p p p x x
x β
β
β⎡⎤-≤≤⎣⎦。

（120303020p x β≤-≤-，均衡点都在横轴涂黑实线上。

）
在5,0,0,20p b p b ααββωωωω====的情况下，根据Walras
定律，有内点解
,520⎧⎫⎛⎪⎪ ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
（解方程组x b =x p , x b =-(x p -5)2
+20而得）
在当两种商品的其中一种价格为零的情况下，
()()55
52020=20p p b b p p p p p p b b p p b b b b b b p x p x p p x x x x x p x p x p p x αααααββαβ
βββωω+===⎧-=-⇒⎨
+⎧⎫⇒⎨⎬⎩==⎭⎩， 边角均衡的价格比是0p b p p =，内点均衡配置是
()(){}5,,0,20:520b b b x
x x α
αα-≤≤⎡⎤⎣⎦
当p αω从30降到5后，α的效用水平增加，β的效用水平降低，不论均衡点在内部还是在边角上，这是因为当30p αω=时，商品p 相对于商品b 来说太充足，其均衡价格为0，商品b 是交换经济中至关重要的禀赋。

当5p αω=时，商品p 足够稀缺以至于其产生了正的价格，α对两种商品的消费也就有了正数量。

商品b 的价格可以降到0，在这种情况下他会消费经济中所有的禀赋。

由于生产函数为1
2
()f z z =，且劳动总禀赋1L =, 代入效用函数1212(,)ln ln u x x x x =+可得：
1
122
(,1)ln ln(1)u z z z z -=+- 求一阶导数可得：
11021z z -=-，所以13
z = 假定产出价格1p =，由利润最大化条件可得：
max ()f z wz π=-1
2
z wz =-
求一阶导数可得：1
2102
z w --=，从而代入13z =得，1
23/2w =
所以均衡利润12
1/(2)π=
同时可知，均衡消费为12
((1/3),2/3)
证明：可以加强斯托珀—萨缪尔森定理的结论，即证明密集要素价格上升的比例要大于产品价格上升的比例。

证明：由命题15.D.1可知 设w=（w 1,w 2）为要素价格向量
c j （w ）代表生产单位产品j 的最小成本
a j （w ）=（a 1j （w ），a 2j （w ））代表这一最小成本达到时的投入组合。

给定不变规模报酬的假设，（w 1*，w 2*）成为内点均衡中的要素价格的必要条件是
c 1（w 1，w 2）=p 1 （1） c 2（w 1，w 2）=p 2 （2） 又由谢波德引理可知
12()((),())
j j j c w a w a w ∇=
所以将（1）、（2）式全微分可得
写成矩阵形式为
又设产品1的生产比产品2相对更多地密集了要素1，所以有
111221
22()()
()()a w a w a w a w >
可知
假设p1上升而p2保持不变，那么可知dp2=0，dp1>0 所以
*1221
****
1111212(()/)()()dw a w A dp p a w w a w w ==+
最后可证
证毕。

（1）根据分散决策15.D.1和15.D.2
**
*
f ()P j j
l lj
lj
l
j
z w z z
z ∂=∂=∑
根据利润最大化条件有
1/2
1/211111122111211112212()
()P f w z w z z z w z w z π=--=+--
11110w z π∂=-=∂
12210w z π∂=-=∂
1/21/22221122221222112222()2()P f w z w z z z w z w z π=--=+--
21120w z π∂=-=∂
22220w z π∂=-=∂ 根据上述式子可得：
1
2
w w =
= 另由于11121z +z =z ，21222z +z =z
从而****112211
12212244,,,5555z z z z ====z z z z
，**
12w w == （2）社会计划者决策
(,...,)0
Max
()
s..i j j j
j x x j
j j
P f
z t z z
≥=∑∑
建立拉格朗日函数
1122111112222122(--)+(--)P f P f λλ+-L=z z z z z z
111L 0z λ∂==∂
221L 0z λ∂=-=∂
112L 0z λ∂=-=∂
222L 0z λ∂==∂ 111121
L
--0λ∂==∂z z z 221222L
--0λ∂==∂z z z
1
2
λλ=
=
实用标准文案
精彩文档 ****11221112212244,,,5555
z z z z ====z z z z 又112212
L L ,z z λλ∂∂==∂∂w =w =
计算可得**1
2w w == 比较社会分散决策，与社会计划者决策，发现在一般均衡时，二者得到的结果相同。

如果,
那么一定有。

如果，在偏好是局部非饱和的情况下，在中存在连续的，使得，那么n ，所以是价格向量P 之下，最小化的指出。

如果偏好是局部非饱和的，而且厚的无差异曲线在所画区域内。

那么任何产品曲线的在该区域内的交叉点以及厚的无差异曲线都是帕累托最优点，但是并不能说它有转移价格均衡或者有转移的价格准均衡。