【配套K12】[学习]2018高中数学第1章解三角形 1.1 正弦定理、余弦定理的应用学案苏教

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[配套K12]2018版高中数学第一章解三角形 1.1.2 余弦定理(二)学案新人教A版必修5

1．1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C ．2．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是________． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形； (2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，其中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形答案 A解析方法一在△ABC 中，由已知得1＋cos B 2＝12＋a2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形．方法二原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，即△ABC 为直角三角形．反思与感悟一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．题型二正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.证明在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ，即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ，∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C，故等式成立．反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b 2，求证：a ＋c ＝2b .解由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2，整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ，故等式成立．例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围．错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(13，5)C ．(5，13)D ．(1，5)∪(13，5) 答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形答案 B解析由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sinC sin B ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．30° 答案 C解析由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍)．∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8)答案 B解析只需让3和a 所对的边均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22·1·3>012＋a 2－322·1·a >01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍)．6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形．答案钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系． 2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．。

2018版高中数学第一章解三角形1.1正弦定理二课件苏教版必修5

2b，2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状.
反思与感悟
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.
跟踪训练3 形状.
解答
已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之
和，其中a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的
当堂训练
75°
答案解析
2 6 2 由正弦定理得sin A＝sin 60° ，∴sin A＝ 2 . ∵BC＝2<AC＝ 6，∴A 为锐角.∴A＝45° .∴C＝75° .
1
2
3
4
2.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔
思考2
已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
答案
如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.
梳理解三角形4个基本类型：
(1)已知三边； (2) 已知两边及其夹角； (3)已知两边及其一边对角；
类型二
正弦定理在实际生活中的应用
例2 如图，一渔船在海上由西向东航行，在A处望见
灯塔C在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile，半
小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30°，当船行至D
处望见灯塔在船的西北方向时，求A、D两点之间的距
离(精确到0.1 n mile).
解答
反思与感悟
在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中

【配套K12】[学习]2017-2018学年高中数学第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.2 余弦定理[课时作业] [A 组基础巩固]1．△ABC 中，a 2＝bc ，则角A 是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角D ．60°解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝b －c 2＋bc2bc>0，∴A <90°.答案：A2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理，a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C <0，∴C >90°.答案：A3．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154B.34C.31516D.1116解析：由正弦定理：6a ＝4b ＝3c ，∴b ＝32a ，c ＝2a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ＝a 2＋4a 2－94a 2a2＝1116. 答案：D4．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝( )A.1010B.103 C.31010D.55解析：在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2＋9－6＝5，∴AC ＝5，由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，解得sin A ＝31010.答案：C5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝a2＋a 2－a 22×2a ×2a ＝78.答案：D6．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：设边长为5,7,8的对角分别为A ，B ，C ，则A <B <C . ∴cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°. 答案：B7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：∵b ＋c ＝7，∴c ＝7－b . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cosB ＝________.解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：349．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解析：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，求bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值．解析：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)．∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.[B 组能力提升]1．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加长度决定解析：设直角三角形的三条边分别为a ，b ，c ，c 为直角边，设同时增加长度k ，则三边长变为a ＋k ，b ＋k ，c ＋k (k >0)，最大角仍为角C ，由余弦定理 cos C ＝a ＋k2＋b ＋k 2－c ＋k 2a ＋kb ＋k＝a 2＋2ak ＋k 2＋b 2＋2bk ＋k 2－c 2－2ck －k 2a＋k b ＋k＝2ka ＋b －c ＋k 2a ＋kb ＋k>0，∴新三角形为锐角三角形．答案：A2．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A. 3 B ．2 C ．2 2D ．3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋()232－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因为b <c ，所以b ＝2，故选B. 答案：B3．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析：由已知：a 2－c 2＝b 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，由余弦定理：cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案：120°4．若2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边长，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，所以{ 2a ＋aa －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大，要使2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，还需a ＋2a －1>2a ＋1，解得a >2.设最长边2a ＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ＝a 2＋a －2－a ＋22a a －＝a a －2a a －<0，解得12<a <8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8)．答案：(2,8)5.如图所示，△ABC 中，AB ＝2，cos C ＝277，D 是AC 上一点，且cos ∠DBC ＝5714.求∠BDA 的大小．解析：由已知得cos ∠DBC ＝5714，cos C ＝277，从而sin ∠DBC ＝2114，sin C ＝217， ∴cos ∠BDA ＝cos(∠DBC ＋C ) ＝5714·277－2114·217＝12，∴∠BDA ＝60°.6．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求内角A 的大小；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．解析：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12.∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×(－12)，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去).。

【配套K12】[学习]2018版高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理同步精选测试新人教

同步精选测试正弦定理(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.在△ABC 中，a ＝4，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B.23＋1 C.2 6D.2＋2 3 【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6.【答案】 C2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150° 【解析】由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝32.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.【答案】 B3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )【导学号：18082057】A.1∶2∶3B.1∶3∶2C.2∶3∶1D.3∶1∶2 【解析】设三角形内角A ，B ，C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90° ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 【答案】 B4.在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，cos A ＝cos C ，则△ABC 形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b ＝2R ·sin B ，a ＝2R ·sin A ，则3b ＝23a ·sin B 可化为： 3sin B ＝23sin A ·sin B . ∵0°<∠B <180°， ∴sin B ≠0， ∴sin A ＝32， ∴∠A ＝60°或120°，又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ， ∴∠A ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 C 二、填空题5.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________.【导学号：18082058】【解析】由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知∠B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】636.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，∠C ＝π6，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<∠B <π，∴∠B ＝π6或∠B ＝56π.又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝23π.∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 【答案】 17.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.【解析】由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A .又由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255.因为b ＝5，∠B ＝π4，根据a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.【答案】 210 三、解答题 8.在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，试判断△ABC 的形状. 【导学号：18082059】【解】令asin A＝k ，由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C . 又∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形.9.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围. 【解】 (1)由a ＝2b sin A 及正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得∠B ＝π6.(2)cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形，知π2－∠B ＜∠A ＜π2. 又因为π2－∠B ＝π2－π6＝π3，所以2π3＜∠A ＋π3＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫32，32. [能力提升]1.在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A.4∶5∶6 B.6∶5∶4 C.7∶5∶3D.7∶5∶6【解析】设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.【答案】 C2.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin AD.a ≥b sin A【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A .故选D.【答案】 D3.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长l ＝f (B )＝________.【解析】在△ABC 中，由正弦定理得ACsin B＝332，化简得AC ＝23sin B ，ABsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝332，化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以三角形的周长为l ＝3＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3.【答案】 6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋34.在△ABC 中，已知c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 的值.【解】由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，即sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2∠A ＝π－2∠B ，即∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.。

[配套K12]2018版高中数学第一章解三角形疑难规律方法学案新人教B版必修5

第一章解三角形1 正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A 与B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC 中，若A >B ，则sin A 与sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．一、结论例1 在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B .分析题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明因为sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，根据正弦定理变式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，可得sin A >sinB ⇔a >b ，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得a >b ⇔A >B . 所以sin A >sin B ⇔A >B . 二、结论的应用例2 在△ABC 中，A ＝45°，a ＝4，b ＝22，求B .分析在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B ＝30°或B ＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现．解由正弦定理，得sin 45°4＝sin B 22，sin B ＝12.又sin B <sin A ，所以B <A ，所以B ＝30°.点评同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况．例3 在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝3，c ＝33，求A .分析同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C 时不要丢解．解由正弦定理及已知条件，得 sin C ＝c sin B b ＝32，因为sin C >sin B ，所以C >B ，所以C 有两解． (1)当C ＝60°时，有A ＝90°； (2)当C ＝120°时，有A ＝30°.点评除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.2 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．一、通过角之间的关系定“形”例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形分析通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析方法一利用正弦定理和余弦定理， 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b .所以△ABC 是等腰三角形．故选B.方法二因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )．由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B点评根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系．二、通过边之间的关系定“形”例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋ca ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形分析先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状．解析在△ABC 中，由正弦定理，可得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋ca ，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )，即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C点评本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.3 细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．一、出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下： ①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ； ②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ； ③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解．二、解决问题的策略 1．正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝bsin B，可得sin B ＝b sin Aa. 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B <1，B 有两解，再根据a ，b 的大小关系确定A ，B 的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B 的两个解的取舍． 2．余弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c . 利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，整理得c 2－2bc cos A －a 2＋b 2＝0.适合上述问题的一元二次方程的解c 便为此三角形的解． 3．公式法当已知△ABC 的两边a ，b 和角A 时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：三、实例分析例在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2(其中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )，试判断符合上述条件的△ABC 有多少个？分析此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况．解方法一由正弦定理asin A ＝bsin B，可得sin B ＝22sin 45°＝12<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°，所以符合条件的△ABC 只有一个．方法二由余弦定理，得22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos 45°，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1± 3.而1－3<0，故仅有一解，所以符合条件的△ABC 只有一个．方法三因为A 为锐角，且a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个.4 走出解三角形的误区解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．1．忽视构成三角形的条件而致误例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． [错解] ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋k ＋2－k ＋22k k ＋＝k 2－4k －122k k ＋<0. ∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 又∵k 为三角形的边长，∴k >0. 综上所述，0<k <6.[点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0.[正解] ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k k ＋<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边，得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，综上所述，k 的取值范围为2<k <6.2．忽视三角形解的个数而致误例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． [错解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°，∴A ＝90°.则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.[点拨] 上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sin C ＝32，可得C ＝60°或C ＝120°，它们都满足条件．[正解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3.例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a2b 2，试判断三角形的形状．[错解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2Asin 2B⇔cos B cos A ＝sin A sin B⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°. [正解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2Asin 2B⇔cos B cos A ＝sin A sin B⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．忽略角的隐含范围而致误例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求ba的取值范围． [错解] 由正弦定理，得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝A ＋2A sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵0≤cos 2A ≤1， ∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0<b a≤3.[点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致b a取值范围求错． [正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝A ＋2A sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A ， ∴A ＋B ＝4A <180°，∴0°<A <45°.∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2A －1<3，∴1<b a<3.温馨点评解三角问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.5 正、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例．一、平面几何中的长度问题例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．分析如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE 为所求的高．由∠BAD ＝60°，知∠ADC ＝120°，又边CD 与AC 的长已知，故△ACD 为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt△ADE ，需先求AD 的长，这只需在△ACD 中应用余弦定理．解由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ，即19＝AD 2＋4－2AD ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)．在△ADE 中，DE ＝AD ·sin 60°＝332.点评依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现．二、求范围例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0<x <1时，f (x )＝x －1x为增函数)．分析把BD 的长表示为∠ABC 的函数，转化为求函数的值域．解设∠ABC ＝α.因为∠ABC ＝∠C ，所以∠A ＝180°－2α，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝180°－2α＋α2＝180°－3α2.因为BC ＝1，在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝sin αsin 3α2＝2sin α2cosα2sin αcos α2＋cos αsinα2＝2cosα24cos 2α2－1＝24cos α2－1cosα2，因为0°<α2<45°，所以22<cos α2<1，而当cos α2增大时，BD 减小，且当cos α2＝22时，BD ＝2；当cos α2＝1时，BD ＝23，故BD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 点评本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．三、判断三角形的形状例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ，又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ，∴b cos A ＝a cos B . 方法一 ∴si n B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π， ∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二利用余弦定理将角化为边． ∵b cos A ＝a cos B ，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知a ＝b .∴AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.6 测高、测距精彩汇一、测量高度问题，是解三角形实际应用问题中的一类热点问题，正弦定理和余弦定理是解决这类问题的两个得力工具，下面举例说明．例1 如图，某人欲测量某建筑物的高度BC ，在A 处测得建筑物顶端C 的仰角为30°，然后，向建筑物方向前进200 m 到达D 处，在D 处测得C 的仰角为75°，则建筑物的高度为( ) A ．50(3＋1) m B ．50(2＋1) m C ．50(3－1) mD ．50(3＋2) m分析先求出∠ACD ，然后在△ACD 中运用正弦定理求出CD ，最后在Rt△BCD 中求BC . 解析依题意，可得∠CAB ＝30°，∠CDB ＝75°，所以∠ACD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝200sin 30°sin 45°＝1002(m)．所以BC ＝CD sin 75°＝1002×6＋24＝50(3＋1)(m)．故选A.答案 A点评本题的测高方案：先在地面上选定两点，然后测量这两点之间的距离和从两点看被测物体顶端的仰角，进而用正弦定理求得高度．其中的解三角形问题属于已知两角和一边解三角形问题，适合用正弦定理求解．例2 如图，在100 m 高的山顶A 处，测得一建筑物CD 底部和顶部的俯角分别为60°和30°，则建筑物的高度为________ m.分析先在Rt△ABC 中，求出AC ，然后在△ADC 中，运用正弦定理求CD .解析在Rt△ABC 中，AC ＝100sin 60°＝20033(m)．在△ADC 中，∠ADC ＝120°，∠CAD ＝30°，由正弦定理，得CD ＝AC sin 30°sin 120°＝2003m.答案 2003 点评本题的测高方案：在某一高度测量被测物体的顶部和底部的俯角，然后用正弦定理求高度．其中的解三角形问题也属于已知两角和一边求其他角和边的三角形问题．例3 如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在A ，B 两点测得塔顶C 的仰角分别为60°，45°，又测得AB ＝24 m ，∠ADB ＝30°，则此铁塔的高度为( )A ．18 3 mB ．120 3 mC ．32 mD ．24 3 m分析先设出塔高，用它分别表示出AD ，BD ，然后在△ABD 中，运用余弦定理列方程，解之即得塔高．解析设塔高为h ，因为∠CAD ＝60°，∠CBD ＝45°，所以AD ＝h tan 60°＝h 3，BD ＝h .在△ABD 中，由余弦定理得242＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 32＋h 2－2·h3·h ·cos 30°，解得h ＝24 3 m ．故选D.答案 D点评本题的测高方案：先测出地面上两点间的距离，然后在这两点分别测出被测物体顶部的仰角及两点相对于被测物体底部的张角，再用余弦定理求高度．二、实际测量中的距离问题是高考常考知识点之一．下面我们通过第一道例题找出规律，再通过第二道例题灵活运用，一起来探寻距离问题如何求解．例4 如图，一渔船在海上由西向东航行，在A 处望见灯塔C 在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile ，半小时后在B 处望见灯塔在船的北偏东30°，当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时，求A 、D 两点之间的距离(精确到0.1 n mile)．分析对于实际问题，我们需要画出示意图，由图知，要求△ACD 的边AD ，此时就转化成解三角形的问题了．解在△ABC 中，AB ＝30×0.5＝15(n mile)，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝120°，所以∠ACB ＝15°.由正弦定理，可得AB sin∠ACB ＝AC sin∠ABC，所以AC ＝AB ·sin∠ABC sin∠ACB ＝15sin 120°sin 15°. 在△ACD 中，∠CAD ＝45°，∠CDA ＝45°，所以∠ACD ＝90°，由正弦定理，得AD ＝ACsin∠CDA ＝15sin 120°sin 15°sin 45°≈71.0(n mile)．答 A 、D 两点之间的距离约为71.0 n mile.点评第一步：画出示意图；第二步：构建三角形，把实际问题中的长度、角度作为三角形相应的边和角；第三步：解三角形．例5 如图，为了测量河对岸(不可到达)A 、B 两点之间的距离，在河的这边测得CD ＝200 m ，∠ACD ＝80°，∠BCD ＝35°，∠CDA ＝40°，∠CDB ＝70°，求A 、B 两点间的距离(精确到1 m)．分析 △ACD 和△BCD 都是已知两角一边，可用正弦定理分别求出AC 和BC ，再在△ABC 中用余弦定理求AB 的长．解在△ACD 中，CD ＝200 m ，∠ACD ＝80°，∠CDA ＝40°，所以∠CAD ＝60°.由正弦定理，得AC ＝CD ·sin∠CDA sin∠CAD ＝200sin 40°sin 60°≈148.4(m)．在△BCD 中，∠BCD ＝35°，∠CDB ＝70°，所以∠CBD ＝75°.由正弦定理，得BC ＝CD ·sin∠CDB sin∠CBD ＝200sin 70°sin 75°≈194.6(m)．在△ABC 中，∠ACB ＝80°－35°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB＝148.42＋194.62－2×148.4×194.6×cos 45°≈19 051.2，所以AB ≈138(m)．答 A 、B 两点的距离约为138 m.点评分析出题目中几个点的相对位置，根据已知构造出三角形，明确三角形的已知边角和所求边角．。

2018版高中数学第1章解三角形 1.1.1 正弦定理课件新人教B版必修5

[小组合作型] 已知两角及一边解三角形
(1)在△ABC 中，c＝ 3，∠A＝75°，∠B＝60°，则 b 等于( )
32 A. 2
32 B. 4
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，∠A＝60°，∠B＝45°，则 8082000】
【精彩点拨】 (1)可先由角 A、B 求出角 C，然后利用正弦定理求 b； (2)直接利用正弦定理求解.
阶
阶
段
段
一
三
1.1 正弦定理和余弦定理
学
阶段二
1.1.1 正弦定理
业分层测
评
1.掌握正弦定理及基本应用.(重点) 2.会判断三角形的形状.(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 正弦定理阅读教材 P3～P4 例 1 以上内容，完成下列问题.
【自主解答】法一：根据正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴∠A 是直角，∠B＋∠C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin
B＝
2 2.
∵0°<∠B<90°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，
【解析】
∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得siAnBC＝sAinCB，即sin
6 60°
＝sinAC45°，解得 AC＝2.
【答案】 2
已XX知X 两边及一边的对角解三角形
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知∠A＝ 60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝________.

2018高中数学第1章解三角形1.1正弦定理学案苏教版必修5

正弦定理二、重难点提示重点：正弦定理的运用（解三角形，判定三角形的形状，解决实际生活中的问题）。

难点：判定三角形解的情况。

1. 正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法cb CBAaaa正弦定理的证明方法较多，但都离不开化斜三角形为直角三角形这一基本思想，同时需要分类讨论。

2. 正弦定理的内容及其常见变形内容：2sin sin sin a b cR A B C ===（三角形的各边和它所对角的正弦之比相等）。

变形：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b RB c RC ===；（2）sin ,sin ,sin 222ab c A B C R R R===；（3）其它变形。

3. 正弦定理解斜三角形的两种类型（1）AAS 、ASA ；（2）SSA 。

4. 已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况试一试：ABC ∆分别满足如下条件，试判定解的情况。

（1）已知4,120a b A ===︒；（2）a =b =45A =︒；（3）已知︒===30,34,4A b a 。

小结：已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边和角时，怎样判断解的个数?（1）求小边所对的角时，有一个解。

（2）求大边所对的角时，若所求的正弦值等于1时，有一个解；若所求的正弦值小于1时，有两个解；若所求的正弦值大于1时，没有解。

此外，三角形的解的情况也可以结合图形进行思考。

例题1 （天津高考）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C = 。

思路分析：两个已知条件需要统一化为边（或角）的关系，一种是均化为边，需要对C=2B 两边同时进行正弦变形，再运用正弦定理求解；另一种思路是均化为角，即8b=5c 直接运用正弦定理化为8sin 5sin B C =，再进行求解。

答案：解：因为B C 2=，所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==。

【K12教育学习资料】[学习]2018年秋高中数学第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1

第2课时正弦定理(2)学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)[自主预习·探新知]1．正弦定理及其变形 (1)定理内容：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为外接圆半径)． (2)正弦定理的常见变形：①sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ②asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； ③a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； ④sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.思考：在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示：可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a ，b 和A 解三角形为例说明[提示] sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解． 3．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长．(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(2)在△ABC 中，若∠A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×提示：(2)由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，即2sin 30°＝23sin B ，所以sin B ＝32，则B ＝60°或120°，又因为b >a ，所以B >A ，故B ＝60°或120°.(3)当b sin A <a <b 时，△ABC 有两解．2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )【导学号：91432015】A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形B [由正弦定理可得sin A ＝sinC ⇒a 2R ＝c2R，即a ＝c ，所以△ABC 为等腰三角形．]3．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( )A.b cB.sin Bsin A C.sin CcD.csin CC [由正弦定理可得sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，故选C.]4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( )【导学号：91432016】A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定A [由b <a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．][合作探究·攻重难]三角形解的个数的判断已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.【导学号：91432017】[解] (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， ∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ，∴三角形有两解．由正弦定理得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B 1＝60°，B 2＝120°. 当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.1．△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是________． 2<x <22 [由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2.]三角形的面积在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 思路探究：根据C ＝π4及cos B 2＝255.利用sin A ＝sin(B ＋C )求出sin A 的值．然后利用正弦定理a sin A ＝c sin C 求出c 值．利用S ＝12ac sin B 求解．[解] ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35. ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin B ＝45. ∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝csin C， ∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.2．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.【导学号：91432018】(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________． (1)23 (2)32或34 [(1)∵cos C ＝13， ∴C ∈(0°，90°)，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3×121＝32，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.]正弦定理的综合应用[探究问题]1．你能用坐标法证明S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 吗？提示：(以已知a ，b ，C 为例)以△ABC 的顶点C 为原点，射线CB 的方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )．过点A 作BC 边上的高AE ，则根据三角函数的定义可得AE ＝b sin C ，所以△ABC 的面积S ＝12·BC ·AE ＝12·a ·b sin C ＝12ab sin C .同理可得S ＝12bc sin A ，S ＝12ac sin B .故S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？提示：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π⇒sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；A ＋B 2＝π2－C2⇒sinA ＋B2＝cos C2. (2)若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，A ＋C >π2，B ＋C >π2；A ＋B >π2⇔A >π2－B ⇔sin A >cosB ，cos A <sin B.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝－sin 2C .(1)求C 的大小；(2)若c ＝23，A ＝π6，求△ABC 的面积.【导学号：91432019】思路探究：(1)由m ·n ＝－sin 2C ，利用三角恒等变换求出C 的大小； (2)由正弦定理可得b 的大小利用三角形的面积公式求解． [解] (1)由题意，m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝－sin 2C ，即sin(A ＋B )＝－sin 2C ，sin C ＝－2sin C cos C . 由0<C <π，得sin C >0. 所以cos C ＝－12.C ＝2π3.(2)由C ＝2π3，A ＝π6，得B ＝π－A －C ＝π6.由正弦定理，b sin B ＝csin C ，即bsin π6＝23sin2π3，解得b ＝2. 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×23×sin π6＝ 3.母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝－sin 2C ”换为“若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cos B ＋5＝0”求角B 的大小并判断△ABC 的形状．[解] ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0， ∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0. ∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0. 解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π， ∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b . 由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3.化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．1．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数多B [因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为1.]2．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )【导学号：91432020】A ．3B ．3 3C ．6D ．6 3B [由S ＝12ab sinC ＝12×4×3×32得S ＝33，故选B.]3．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.1 [由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0<C <π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1.]4．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.【导学号：91432021】255210 [由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.] 5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．[解] 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.。

2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

角 A 为锐角
角 A 为钝角或直角
图形
角 A 为锐角关 ①a=bsin A bsin A< 系 a<b ②a≥b 式解的一解两解情况 a<bsin A
角 A 为钝角或直角 a>b a≤b
无解
一解
无解
在具体解题时,作出已知角A、边AC,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.
�� (2) ��
sin�� sin�� sin�� = , = , = ; sin�� sin�� sin�� +��+�� (3) = = = ; sin�� sin�� sin�� sin��+sin��+sin��
=
c �� C
解三角形、判断三角形的形状等
�� sin��
知识拓展设△ABC的外接圆的半径为R,
则
=
�� = sin�� sin��
= 2�� .
由此还可以推出以下结论: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
10 2 = = 20 3 − 20. sin(45° + 30° )
已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,已知下列条件,解三角形: (1)a=10,b=20,A=80°; (2)b=10,c=5 6, �� = 60° ; (3)a= 3, �� = 2, �� = 45° . 解(1)由正弦定理,

(新人教A版)2018-2019学年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第3课时正、余弦定理的综合应用课

• 2．应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
• (1)_____已_知__三__角_形__的_任__意_两__个_角__与_一__边_，__解__三_角__形_________． • (2)_____已__知_三__角_形__的_两__边_与__其__中_一__边_的__对_角__，_解__三_角__形__________．
• 3．应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？ • (1)____已_知__三__角__形__的_两__边__及__其__夹_角__，__解__三__角_形______． • (2)___已__知__三__角__形_的__三__边__，__解_三__角__形_____．
• 4．三角形的面积公式
• 由正弦定理可得三角形的面积S＝___12_a_b_si_n_C__＝__12_a_cs_i_nB____＝_12_b_c_si_n_A___．
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c＝1，B＝45°，
cosA＝35，则b等于
(C )
A．53
B．170
C．57
D．5142
[解析] 因为cosA＝35，所以sinA＝ 1－cos2A＝ 1－352＝45，
所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝
2 2
，且B为锐角，三角形的形状为
[解析] 由lgsinB＝lg 22，得sinB＝ 22.又B为锐角， ∴B＝45°．又由lga－lgc＝lg 22，得ac＝ 22．
根据正弦定理，得ssiinnCA＝ 22， ∴ 2sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，
即sinC＝sinC＋cosC．
第一章
解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理

18学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)课件新人教B版必修5

asin C 20sin 45° c＝ sin A ＝ sin 30° ＝20 2，
∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2 )，c＝20 2 .
(2)a＝8，B＝60°，C＝75°. 解 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
b a 由正弦定理，＝ sin B sin A
28
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1.1.1 正弦定理(一)
29
a c 由正弦定理sin A＝sin C，
＋45° sin C sin 105° sin60° 得 c＝a· sin A＝5·sin 30°＝5· sin 30° sin 60° cos 45° ＋cos 60° sin 45° 5 ＝5· ＝2( 6＋ 2). sin 30°
要点三已知两边及一边的对角解三角形
[知识链接] 下列说法中，正确的有________.
a (1)在直角三角形中，若C为直角，则sin A＝ . c (2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B.
(3)在△ABC中，C＝π－A－B. (4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等. 2 π (5)在△ABC中，若sin B＝，则B＝ . 2 4
a sin A a sin A b sin B (2) ＝ . ，＝，＝ b sin B c sin C c sin C
(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
a b c 跟踪演练1 在钝角△ABC中，如何证明仍然成立？ sin A＝sin B＝sin C
π (2)a＝2，c＝ 6 ，A＝ . 4 csin A 3 a c 解 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .

[配套K12]2017-2018年高中数学第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理第1课时

1.1 第1课时正弦定理A 级基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由2B ＝A ＋C ⇒3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°.答案：C2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3. 答案：B3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sinB ，1532＝10sin B，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B ＝63. 答案：D4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2BC.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B＝2R ，由a ＝b sin A 得：2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2. 答案：B二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4. 答案：π47．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin B sin C＝________．解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k －3k 5k＝1. 答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝ABsin C ，所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32，所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .因为2A 、2B ∈(0，2π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a，所以cos A cos B ＝sin B sin A. 则sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. 所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.B 级能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a. 因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以sin B sin A ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72. 答案：D2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析：因为 sin B ＝12，所以B ＝π6或B ＝5π6. 当 B ＝π6时，a ＝3， C ＝π6，所以 A ＝2π3，由正弦定理得， 3sin 2π3＝b 12，则b ＝1. 当B ＝5π6时，C ＝π6，与三角形的内角和为π矛盾．答案：13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又因为sin A ＝cos C ，所以sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin (C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°，所以C ＝15°.。

2018_2019版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理课件新人教A版必修

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答案(1)× (2)× (3) (4) (5)×
123
【例 1】在△ABC 中,已知 B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 思路分析由三角形的内角和定理可求 A 的度数.根据正弦定理可求 a,c.
解因为 B=30°,C=105°,所以 A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
解由正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin Acos B-sin Bcos A=0, 所以sin(A-B)=0,所以A=B,故△ABC是等腰三角形.
忽视对三角形解的个数的讨论致误
【典例】在△ABC 中,若 a=2 3,b=2,A=60°,则角 B=
变式训练 1 在△ABC 中,已知 A=60°,tan B= 2,a=2,则 c=
.
解析因为 tan B= 2,所以 sin B= 36,cos B= 33.又 A=60°,所以 sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin
定理,得
c=��s��sinin��
=
2sin105° sin45°
=
3+1.
反思感悟已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法: (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角, 这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
=
�� sin��
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[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课堂探究学案新人教B版必

[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课堂探究学案新人教B版必1.1.2 余弦定理课堂探究一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．知识拓展：除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决．(1)(坐标法)如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A，B，C的坐标分别为A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根据两点间的距离公式，得，即a2=b2+c2-2bccos A．同理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．(2)(用正弦定理证明)∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴b2＋c2－2bc cos A＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin B sin C cos(B＋C)]＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2B sin2C＋2sin B sin C cos B cos C)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin B sin C cos B cos C]＝4R2(sin2B cos2C＋2sin B sin C cos B cos C ＋sin2C cos2B)＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2．同理可证b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．题型一用余弦定理解三角形【例1】在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(3)a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求∠A ，∠B ，∠C ．分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x ，3x ，2x ．解：(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3， ∴c ＝3．(2)显然∠C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12， ∴∠C ＝120°．(3)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x ．由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22·3x·2x＝32，∴∠A＝30°．同理cos B＝12，cos C＝0，∴∠B＝60°，∠C＝90°．反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．(2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余两角．另外也可由边长关系，判断出∠C为直角，再求角．题型二判断三角形的形状【例2】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状．分析：利用余弦定理先求出∠A＝60°，再根据三角变换公式求得∠B＝∠C．解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc．而a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴2cos A＝1．∴cos A＝12．∴∠A＝60°．又sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，sin A＝2sin B·cos C，∴sin B cos C－cos B sin C＝0，即sin(∠B－∠C)＝0，∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝120°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．故△ABC为等边三角形．反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．(3)常见结论：设a，b，c分别是△ABC 的角A，B，C的对边，①若a2＋b2＝c2，则∠C＝90°；②若a2＋b2>c2，则∠C<90°；③若a2＋b2<c2，则∠C>90°；④若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2．题型三三角形的面积公式的应用【例3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且cos Bcos C＝－b2a＋c．求：(1)∠B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．分析：先由余弦定理求出∠B ，再结合条件列方程求出ac ，利用面积公式求出△ABC 的面积．解：(1)∵cos B cos C ＝－b 2a ＋c， ∴(a 2＋c 2－b 2)2ab (a 2＋b 2－c 2)2ac ＝－b 2a ＋c，整理，得a 2＋c 2－b 2＝－ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，从而∠B ＝120°．(2)由(1)得a 2＋c 2＋ac ＝13．①又a ＋c ＝4，∴a 2＋c 2＋2ac ＝16．② 由①②，得ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×sin 120°＝334．反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．题型四正、余弦定理的综合应用【例4】 (2013·课标全国Ⅰ高考，理17)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA ．分析：(1)在△PBA 中，利用余弦定理求得PA ；(2)在△PBA 中，再利用正弦定理列出与∠PBA 和∠APB 有关的方程即可．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°．在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74．故PA＝72．(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin(30°－α)，化简得3cos α＝4sin α．所以tan α＝34，即tan∠PBA＝34．反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤其在边角转化方面功能显著．余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出有效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到．题型五易错辨析【例5】在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )A ．1<a <3B ．1<a < 5C ．3<a < 5D ．不确定错解：由三角形的性质，知c －b <a ，得a >1．又∠A 为锐角，从而cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝5－a 22bc>0，得0<a <5．所以1<a <5．故选B ．错因分析：上述解法忽视了三角形三个内角的关系，即∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，cos A >0只能推出∠A 为锐角，而不能推出△ABC 一定为锐角三角形，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以当△ABC 为锐角三角形时，不仅cos A >0，还必须满足cos B >0，cos C >0．正解：由三角形的性质，知c －b <a ，得a >1．又由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5－a 22bc>0，得0<a<5．由cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋32ac>0，得a∈R．由cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2－32ab>0，得a>3．综上，知3<a<5．答案：C【例6】在△ABC中，已知a＝2，b＝22，∠C ＝15°，求∠A．错解：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，所以c＝6－2．又由正弦定理，得sin A＝a sin Cc＝12．因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°．错因分析：没有注意到b>a这一隐含条件，致使增解．正解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－2．又由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12．因为b >a ，所以∠B >∠A ．又因为0°<∠A <180°，所以∠A ＝30°．。

2018版高中数学第一章解三角形1.1正弦定理一学案苏教版

1.1 正弦定理（一）学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1 如图，在Rt△ABC 中，a sin A 、b sin B 、csin C 各自等于什么？思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？课本是如何说明的？梳理任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆，向量或建立直角坐标系，利用三角函数定义来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A ＝________＝________＝2R (其中R 是________________)． 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A . 3．sin A ＝a 2R，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三解三角形解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________元素(至少有一个是________)，求其余三个未知元素的过程．类型一定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝b sin B，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A＝2R .类型二用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解三角形．反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三边角互化例3 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．反思与感悟利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.1．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B ，AC ＝2，则BC ＝________.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则边a ，c 的大小关系是________．3．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝________.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1 a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边BC 上的高AD ＝b sin C ＝c sin B 来证明．知识点二1.b sin B csin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2R c2R知识点三三个边题型探究例1 证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b＝sin∠CAD ＝sin(180°－A ) ＝sin A ，CD a ＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B .∴a sin A ＝bsin B . 同理，b sin B ＝c sin C .故a sin A ＝b sin B ＝csin C. 跟踪训练1 证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BCA ′B ＝a 2R ， ∴sin A ＝a 2R ，即a sin A＝2R . 例 2 解根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝42.9sin 81.8°sin 32.0°≈80.1(cm)；根据正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝42.9sin 66.2°sin 32.0°≈74.1(cm)．跟踪训练2 解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6. 例3 解设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .由正弦定理，得asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝3＋33sin B ＋3cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9. 跟踪训练3 证明由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得：左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B )＝0＝右边，所以等式成立．当堂训练1．4 2.a ＝c 3.60°或120° 4.π3或2π3。

2018版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理一课件新人教A版必修5

解 ∵a∶b∶c＝2 6∶(6＋2 3)∶4 3，
b c 即＝＝， 2 6 6＋2 3 4 3
不妨设 a 2 6 ＝k，则 a＝2 6k，b＝(6＋2 3)k，c＝4 3k，
a
下同例题解法.
解析答案
题型三已知两边及其中一边的对角解三角形
例3 在△ABC 中，已知角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a＝2 3，
第一章 § 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
余弦定理及其证明
1.余弦定理的表示及其推论
b＝ 6，A＝45° ，求边 c.
反思与感悟
解析答案
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析
由余弦定理及其推论知只有A正确.
解析答案
1
2
3
4
5
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝ 5，c＝2， 2 cos A＝3，则 b＝( D ) A. 2 B. 3 C．2
2 2
题型一
已知两边及其夹角解三角形
例1
在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15° ，求角 A，B 和边 c 的
6＋ 2 6－ 2 值(cos 15° ＝ 4 ，sin 15° ＝ 4 ).
反思与感悟
解析答案
D
解析

【配套K12】[学习]2018高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理、余弦定理的应用学案 苏教

[配套K12]2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(二)学案 新人教A版必修5