山西省晋城市陵川一中等校联考2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年山西省晋城市陵川一中等校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，4}，集合B={1，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2，4}B．{1，2，4}C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣26．已知定义在R上的函数f（x）关于直线x=1对称，若f（x）=x（1﹣x）（x≥1），则f（﹣2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣127．函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的大致区间是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}9．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜010．已知函数f（x）=，若k＞0，则函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．14．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．15．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．16．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤17．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．18．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．某工厂生产A，B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，需生产x+2吨B产品．已知生产A产品的成本与产量的平方成正比．经测算，生产1吨A产品需要4万元，而B产品的成本为每吨8万元．（1）求生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值；（2）若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A产品的产量x在[0，]∪[2，8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A产品多少吨，才可使平均成本最低？20．已知函数f（x）=log2（4x+b•2x+4），g（x）=x．（1）当b=﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．21．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）+，求函数y=g（x）的单调区间．2017-2018学年山西省晋城市陵川一中等校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，4}，集合B={1，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2，4}B．{1，2，4}C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，4}，集合B={1，5}，所以∁U B={2，3，4}，所以A∩（∁U B）={2，4}．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出奇偶性．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）=﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于y轴对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；故选：A．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】对数的运算性质；幂函数的性质．【分析】先设log2f（2）=n，求出函数f（x）的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．【解答】解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n∴f（x）=x n又∵由幂函数y=f（x）的图象过点∴，故选A．6．已知定义在R上的函数f（x）关于直线x=1对称，若f（x）=x（1﹣x）（x≥1），则f（﹣2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣12【考点】图形的对称性．【分析】根据函数的图象关于x=1对称，得到在x=1的左右两边是一系列对称点点，得到横标为﹣2的点与横标是4的点对应，根据所给的解析式得到结果．【解答】解：由题意知函数f（x）关于直线x=1对称，∴f（﹣2）=f（4），∵f（x）=x（1﹣x）（x≥1），∴f（﹣2）=f（4）=4（1﹣4）=﹣12故选D．7．函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的大致区间是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意知，函数f（x）是单调函数，根据f（1）＞0，f（2）＜0知，函数f（x）的零点必在区间（1，2）上．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x3﹣3x+5是单调递减函数，又∵f（1）=﹣13﹣3×1+5=1＞0，f（2）=﹣23﹣3×2+5=﹣9＜0，∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，故必存在零点的区间是（1，2），故选：C．8．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】指、对数不等式的解法．【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．9．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B10．已知函数f（x）=，若k＞0，则函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】问题转化成f（x）=1或f（x）=﹣1．当x＞0时，可解得x=e或；当x≤0时，可解得或，即方程有4个根，则函数有4个零点．【解答】解：由y=|f（x）|﹣1=0得|f（x）|=1，即f（x）=1或f（x）=﹣1．当x＞0时，由lnx=1或lnx=﹣1，解得x=e或．当x≤0时，由kx+2=1或kx+2=﹣1，解得或．所以函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是4个，故选D．11．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x ≤时，BP=tanx ，AP==，此时f （x ）=+tanx ，0≤x ≤，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，≤x ≤且x ≠时，如图所示，tan ∠POB=tan （π﹣∠POQ ）=tanx=﹣tan ∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO ﹣OQ=1+，PC=BO +OQ=1﹣，∴PA +PB=，当x=时，PA +PB=2，当P 在AD 边上运动时，≤x ≤π，PA +PB=﹣tanx ，由对称性可知函数f （x ）关于x=对称，且f （）＞f （），且轨迹为非线型，排除A ，C ，D ，故选：B ．12．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．14．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．15．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【考点】函数的值．【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．16．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤17．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．18．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由，可得¬p：B={x|x＞10或x＜﹣2}，对于q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），|x﹣1|≤m．￢q：A={x|x＜1﹣m，或x＞m+1}．由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得A⊊B⇔．【解答】解：由，解得﹣2≤x≤10．∴¬p：B={x|x＞10或x＜﹣2}，对于q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴|x﹣1|≤m．∴1﹣m≤x≤m+1．∴￢q：A={x|x＜1﹣m，或x＞m+1}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴A⊊B⇔，解得m≥9．∴实数m的取值范围是m≥9．19．某工厂生产A，B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，需生产x+2吨B产品．已知生产A产品的成本与产量的平方成正比．经测算，生产1吨A产品需要4万元，而B产品的成本为每吨8万元．（1）求生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值；（2）若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A产品的产量x在[0，]∪[2，8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A产品多少吨，才可使平均成本最低？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（1）设生产A产品的成本为y1万元，生产B产品的成本为y2万元，由题意可得y1=kx2，（k为比例系数），求得k=4，可得生产A，B两种配套产品的平均成本为y=，变形为y=2（x+1+），运用基本不等式即可得到所求最小值；（2）令t=x+1，则y=2（t+），t∈[1，]∪[3，9]，求出导数，判断单调性，即可得到所求最小值及对应x的值．【解答】解：（1）设生产A产品的成本为y1万元，生产B产品的成本为y2万元，由题意可得y1=kx2，（k为比例系数），生产1吨A产品需要4万元，可得k=4．即有生产A，B两种配套产品的总成本为4x2+8（x+2），则生产A，B两种配套产品的平均成本为y===2（x+1+），由x＞0，x+1＞0，可得x+1+≥2=2，当且仅当x+1=，即x=﹣1，取得等号．即生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值为4万元/吨；（2）由x在[0，]∪[2，8]，可得x+1∈[1，]∪[3，9]，令t=x+1，则y=2（t+），t∈[1，]∪[3，9]，由导数y′=2（1﹣），可得函数y在[1，]递减，在[3，9]递增，当t=时，y=2×（+2）=7；当t=3时，y=2×（3+1）=8．可得该工厂应生产A产品吨，才可使平均成本最低．20．已知函数f（x）=log2（4x+b•2x+4），g（x）=x．（1）当b=﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质；函数的定义域及其求法．【分析】（1）化简f（x）=log2（4x﹣5•2x+4），从而可得4x﹣5•2x+4＞0，从而求定义域；（2）由f（x）＞g（x）得4x+b•2x+4＞2x，从而可得b＞1﹣（2x+），令h（x）=1﹣（2x+），从而化为最值问题．【解答】解：（1）当b=﹣5时，f（x）=log2（4x﹣5•2x+4），则4x﹣5•2x+4＞0，故x＜0或x＞2；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；（2）∵f（x）=log2（4x+b•2x+4），g（x）=x，∴由f（x）＞g（x）得4x+b•2x+4＞2x，即b＞1﹣（2x+），令h（x）=1﹣（2x+），则h（x）≤﹣3，∴当b＞﹣3时，f（x）＞g（x）恒成立，故b的取值范围是（﹣3，+∞）．21．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；函数单调性的性质．【分析】（1）由对数函数的性质知其真数必须大于0，对字母a进行分类讨论：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；（2）由题意知函数f（x）是由y=和复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．【解答】解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．（2）令，因为为减函数，故要使f（x）在（2，4）上是减函数，则在（2，4）上为增且为正．故有．故a∈[1，2）．22．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）+，求函数y=g（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）将a=1的值代入，求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，代入切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），f′（x）=1+﹣，f（1）=0，f′（1）=1+1﹣2=0，∴切线斜率是0，过（1，0），故切线是x轴；（2）g（x）=f（x）+=ax﹣2lnx，（x＞0），g′（x）=a﹣=，a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增．2018年8月20日。