2015-2016年重庆市巴蜀中学高一上学期数学期中试卷带答案

2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={3，|a|}，B={a，1}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3，﹣2}2．（5分）已知a，b∈R+，则=（）A．B．C．D．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=2x﹣1•2x+1，g（x）=4x B．C．D．4．（5分）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A．B．y=|x+1|﹣1 C．y=x|x|D．y=x25．（5分）函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．[﹣1，1]D．[1，3]6．（5分）“”是“2x﹣1≤1”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）关于x的方程x2+kx﹣k=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足1＜x1＜2＜x2＜3，则实数k的取值范围是（）A．B． C．（﹣6，﹣4）D．8．（5分）函数的值域为（）A．B．[2，4]C．D．9．（5分）关于x的方程有负实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．10．（5分）若函数的定义域为R，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2015，2015] B．[﹣2014，2016]C．（﹣∞，2014]∪[2016，+∞）D．（﹣∞，﹣2016]∪[2014，+∞）11．（5分）用|A|表示非空集合A中集合元素个数（例如A={1，3，5}，则|A|=3），定义M（a，b）=，若A={B|B⊆{1，2，3}且B中至少有一个奇数}，C={x|x2﹣4|x|+3=0}，那么M（|A|，|C|）可能取值的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设函数，恒成立，则实数k的取值范围为（）若f（n+1）＜f（n）对于一切n∈N+A．B．C．D．k＜1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡对应位置.13．（5分）已知，则f（5）=．14．（5分）若函数f（x+1）的定义域是[﹣2，2]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是．15．（5分）有如下几个结论：①若函数y=f（x）满足：，则2为y=f（x）的一个周期，②若函数y=f（x）满足：f（2x）=f（2x+1），则为y=f（x）的一个周期，③若函数y=f（x）满足：f（x+1）=f（1﹣x），则y=f（x+1）为偶函数，④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1﹣x）=2，则（3，1）为函数y=f（x﹣1）的图象的对称中心．正确的结论为（填上正确结论的序号）16．（5分）已知函数，若函数F（x）=f[f（x）]与y=f （x）在x∈R时有相同的值域，实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+2≥0，x∈R}，集合．（1）求集合A∩B，A∪B；（2）求集合（∁u A）∩B．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）+ax（a∈R）．①求f（x）的解析式；②若函数g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若，当x∈（0，1]时，求g（x）的值域．20．（12分）已知，若函数f（x）=ax2﹣2x+1的定义域[1，3]．（1）求f（x）在定义域上的最小值（用a表示）；（2）记f（x）在定义域上的最大值为M（a），最小值N（a），求M（a）﹣N（a）的最小值．21．（12分）函数f（x）对于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1成立．（1）求证为R上的增函数；（2）若对一切满足的m恒成立，求实数x的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=|2x|，现将y=f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h（x）的图象．（1）求函数h（x）的解析式；（2）函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在上至少有一个交点，求实数k的取值范围．四、附加题：本小题满分0分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，本题所得分数计入总分.23．已知，如果存在x1，x2∈[﹣1，1]使得成立，求a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={3，|a|}，B={a，1}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3，﹣2}【解答】解：∵A={3，|a|}，B={a，1}，且A∩B={2}，∴|a|=2，即a=2或﹣2，当a=﹣2时，A={2，3}，B={1，﹣2}，不合题意，舍去，∴a=2，即A={2，3}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3}，故选：B．2．（5分）已知a，b∈R+，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===，故选：B．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=2x﹣1•2x+1，g（x）=4x B．C．D．【解答】解：f（x）=2x﹣1•2x+1=4x，g（x）=4x两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数．两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．故选：A．4．（5分）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A．B．y=|x+1|﹣1 C．y=x|x|D．y=x2【解答】解：A，是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函数，不合题意；B，不是奇函数，不合题意；C，设f（x）=x|x|，可得f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）所以函数y=x|x|是奇函数；又∵当x≥0时，y=x|x|=x2，在（0，+∞）上是增函数，且当x＜0时，y=x|x|=﹣x2，在（﹣∞，0）上是增函数∴函数y=x|x|是R上的增函数因此，函数y=x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得正确；D是偶函数，正确，故选：C．5．（5分）函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．[﹣1，1]D．[1，3]【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，则由﹣x2+2x+3≥0可得﹣1≤x≤3∵﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴当1≤x≤3时，函数单调递减∵在定义域内为增函数∴函数的单调递减区间是[1，3]．故选：D．6．（5分）“”是“2x﹣1≤1”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由，解得：0＜x≤1，由2x﹣1≤1，解得：x≤1，故“”是“2x﹣1≤1”成立的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）关于x的方程x2+kx﹣k=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足1＜x 1＜2＜x2＜3，则实数k的取值范围是（）A．B． C．（﹣6，﹣4）D．【解答】解：关于x的方程x2+kx﹣k=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足1＜x1＜2＜x2＜3，可得：，解得：k．故选：A．8．（5分）函数的值域为（）A．B．[2，4]C．D．【解答】解：设2x=sinθ，则=+=|sin+cos|+|sin﹣cos|=|sin（+）|+|sin（﹣）|=（|sin（+）|+|cos（+）|）∵1≤|sin（+）|+|cos（+）|≤，∴≤（|sin（+）|+|cos（+）|）≤2，故选：C．9．（5分）关于x的方程有负实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．【解答】解：∵x＜0时，＞1，∴＞1，∴a∈（0，1）；故选：B．10．（5分）若函数的定义域为R，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2015，2015] B．[﹣2014，2016]C．（﹣∞，2014]∪[2016，+∞）D．（﹣∞，﹣2016]∪[2014，+∞）【解答】解：∵函数的定义域为R，∴|x+1|+|x﹣t|≥2015恒成立．而|x+1|+|x﹣t|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到t对应点的距离，它的最小值为|t+1|，故有|t+1|≥2015，解得t∈（﹣∞，﹣2016]∪[2014，+∞）．故选：D．11．（5分）用|A|表示非空集合A中集合元素个数（例如A={1，3，5}，则|A|=3），定义M（a，b）=，若A={B|B⊆{1，2，3}且B中至少有一个奇数}，C={x|x2﹣4|x|+3=0}，那么M（|A|，|C|）可能取值的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：C={x||x2﹣4|x|+3=0}={﹣3，﹣1，1，3}，则|C|=4，A={B|B⊆{1，2，3}且B中至少有一个奇数}，{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}则|A|=1或2或3，所以M（|A|，|C|）=|C|=4，故选：D．12．（5分）设函数，恒成立，则实数k的取值范围为（）若f（n+1）＜f（n）对于一切n∈N+A．B．C．D．k＜1恒成立，【解答】解：f（n+1）＜f（n）对于一切n∈N+可得{f（n）}在n∈N为递减数列，+当x≥2时，对称轴为x=＜2，即有k﹣1＜0，即k＜1①，又x＜2时，由指数函数的单调性，可得为减函数，由单调性的定义可得f（2）＜f（1），即为4（k﹣1）﹣6（k﹣1）+＜﹣1，解得k＜﹣，②由①②可得k＜﹣，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡对应位置.13．（5分）已知，则f（5）=2．【解答】解：，则f（5）=f（5+2）=f（7）=7﹣5=2．故答案为：2．14．（5分）若函数f（x+1）的定义域是[﹣2，2]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[0，1] ．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2]，∴﹣2≤x≤2，则﹣1≤x+1≤3，即函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，由，解得0≤x≤1，故答案为：[0，1]．15．（5分）有如下几个结论：①若函数y=f（x）满足：，则2为y=f（x）的一个周期，②若函数y=f（x）满足：f（2x）=f（2x+1），则为y=f（x）的一个周期，③若函数y=f（x）满足：f（x+1）=f（1﹣x），则y=f（x+1）为偶函数，④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1﹣x）=2，则（3，1）为函数y=f（x﹣1）的图象的对称中心．正确的结论为①③④（填上正确结论的序号）【解答】解：①，∴f（x+1）=﹣，∴f（x）=f（x+2），则2为y=f（x）的一个周期，故正确；②f（2x）=f（2x+1），令t=2x，∴f（t）=f（t+1），∴f（x）=f（x+1），则1为y=f（x）的一个周期，故错误；③y=f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故正确；④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1﹣x）=2，令t=x+3，则x=t﹣3，1﹣x=4﹣t，即f（t）+f（4﹣x）=2，即函数y=f（x）的图象关于（2，1）点对称，则函数y=f（x﹣1）的图象的对称中心为（3，1），故正确；故正确的结论为：①③④故答案为：①③④16．（5分）已知函数，若函数F（x）=f[f（x）]与y=f （x）在x∈R时有相同的值域，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．．【解答】解：F（x）=f[f（x）]=|f（x）+|+，，∴≤﹣，∴t≤﹣2或t≥4，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+2≥0，x∈R}，集合．（1）求集合A∩B，A∪B；（2）求集合（∁u A）∩B．【解答】解：（1）A={x|x+2≥0，x∈R}=[﹣2，+∞），由，得，即．解得：﹣3≤x＜﹣1．∴B=[﹣3，﹣1），则A∩B=[﹣2，﹣1），A∪B=[﹣3，+∞）；（2）∵∁u A=（﹣∞，﹣2），∴（C u A）∩B=[﹣3，﹣2）．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）+ax（a∈R）．①求f（x）的解析式；②若函数g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：①f（0）=f（2）=3；∴f（x）的对称轴为x=1；∴设f（x）=m（x﹣1）2+1；∴f（0）=m+1=3；∴m=2；∴f（x）=2（x﹣1）2+1；②g（x）=2x2﹣（4﹣a）x+3；∴g（x）的对称轴为x=；∵g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数；∴；解得0＜a＜8；∴实数a的取值范围为（0，8）．19．（12分）已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若，当x∈（0，1]时，求g（x）的值域．【解答】解：（1）因为为偶函数，所以恒成立，解得k=1．（2）所以．20．（12分）已知，若函数f（x）=ax2﹣2x+1的定义域[1，3]．（1）求f（x）在定义域上的最小值（用a表示）；（2）记f（x）在定义域上的最大值为M（a），最小值N（a），求M（a）﹣N（a）的最小值．【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣2x+1的对称轴为x=，∵≤a≤1，∴1≤≤3，∴f（x）在[1，）递减，在（，3]递增，∴f（x）在[1，3]上，所以；（2）∵f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），∴①当1≤≤2，即≤a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，N（a）=f（）=1﹣．∴M（a）﹣N（a）=9a+﹣6．②当2＜≤3，即≤a＜时，M（a）=f（1）=a﹣1，N（a）=f（）=1﹣∴M（a）﹣N（a）=a+﹣2，∴，当时，最小值为，当时，最小值也是，综上，M（a）﹣N（a）的最小值为．21．（12分）函数f（x）对于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1成立．（1）求证为R上的增函数；（2）若对一切满足的m恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）证明：设x1＞x2（x1，x2∈R），则x1﹣x2＞0，又当x＞0时，f （x）＞1，所以f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣1﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1＞1﹣1=0，所以f（x1）＞f（x2），故f（x）为R上的增函数；（2）因为f（x）为R上的增函数，由，∴f[（1+x）]＞f（x2﹣1），∴（1+x）＞x2﹣1，对恒成立令t=，则t∈[，]，原式等价于（1+x）t＞x2﹣1，t∈[，]恒成立，令g（t）=（1+x）t﹣x2+1，要使得时恒成立，只需要，解得﹣1＜x＜．22．（12分）已知函数f（x）=|2x|，现将y=f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h（x）的图象．（1）求函数h（x）的解析式；（2）函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在上至少有一个交点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由图象的平移，h（x）=2|x﹣1|+1（2）解：函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在上至少有一个交点，等价于h（x）﹣g（x）=0在上有解，即2|x﹣1|+1﹣kx2=0在上有解，解法一：用分离参数处理：kx2=2|x﹣1|+1在上有解，在上有解，等价于在x∈[1，3]上有解或者在上有解，因为综上，．解法二：用实根分布：原题等价于kx2﹣2（x﹣1）﹣1=0在x∈[1，3]上有解或者kx2﹣2（1﹣x）﹣1=0在上有解，（1）kx2﹣2（x﹣1）﹣1=0在x∈[1，3]上有解令g（x）=kx2﹣2（x﹣1）﹣1，k=0时显然无解．当k＜0时，（舍）当k＞0，或者所以（2）kx2﹣2（1﹣x）﹣1=0在上有解：令h（x）=kx2+2x﹣3，k=0时显然无解．当k＞0时，，所以1≤k≤8当k＜0时，（舍）或者所以1≤k≤8综上，．四、附加题：本小题满分0分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，本题所得分数计入总分.23．已知，如果存在x1，x2∈[﹣1，1]使得成立，求a的取值范围．【解答】解：首先存在x1，x2∈[﹣1，1]使得成立的意思是：在x∈[﹣1，1]上，f（x）max﹣f（x）min≥，f（x）==a•2x+﹣2令，原题函数模型变为g（t）=at+﹣2，t∈[，2]，1°当a≤0时，g（t）在单调递减，所以等价于，所以a≤02°当0＜a＜1时，，g（t）在上单调递减，在上单调递增所以需要比较的位置与的关系，从而得到分类标准：①时，时，g（t）在单调递增，∵，∴g（2）﹣g（）≥，解得a≥，∴≤a＜1，②当时，时，g（t）在单调递减，∵，∴g（）﹣g（2）≥，解得a≤，∴③时，，最大值在中取较大者，作差比较，得到分类讨论标准：（1）当时，，此时由得到g（）﹣g（）≥，∴32a2﹣40a+9≥0，解得a≥，或a≤∴，（2）当≤a＜时，g（）﹣g（2）=3a﹣＞0，此时g（t）max=g（2），由，∴g（2）﹣g（）≥，∴a≥2，解得a≥，∴此时a∈∅，在此分类讨论中，a∈（0，]∪[，1）3当a≥1时，g（t）在t∈[，2]上单调递增，由，∴g（2）﹣g（）≥，解得a≥，∴a≥1，综上三大类情况，可得a的范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。