2014人教A版高中数学必修四《任意角和弧度制》-弧度制及其应用文字素材

合集下载

人教版高中数学高一A版必修4 弧度制

高中数学-打印版
精校版 1.1.2 弧度制
一览众山小
诱学导入
材料：弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度.印度著名数学家阿利耶毗陀(476—550)定圆周长为21 600分，相应地定圆半径为3 438分(即取圆周率π≈3.142)，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念.严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉(1707—1783)于1748年引入.欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ=0，同理，
41圆周的弧长为2π，此时的正弦为1，记为sin 2π=1.从而确立了用π、2π分别表示半圆及4
1圆弧所对的中心角,其他的角也可依此类推. 问题：数学上为什么要引入弧度制？弧度制表示角有什么好处？
导入：引入弧度制是为了将角的六十进制转化为实数的十进制，以达到简化计算的目的.弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显.
温故知新
1.多大的角度数是1°？答：我们通常把周角的360
1看作1°，这样用1°为单位来度量角的大小的制度叫做角度制. 2.初中学过的弧长公式怎样？答：初中学过的弧长公式是l=
180r n π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的角度数.。

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总

任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45）（180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第象限角 300? ； ?60?是第象限角585? ； 1180?是第象限角 ?2000?是第象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

高中数学人教A版必修四1.1.2教学课件《弧度制》

(1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第
几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角。
人民教育出版社 |必修四
【解析】
(1)2
005°＝2
π 005×180
401π rad＝ 36
rad＝5×2π＋4316π
41π 3π rad，又 π< 36 < 2 ，
人民教育出版社 |必修四
化解疑难
1.正确理解弧度与角度的概念区 (1)定义不同；别 (2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无联
关的值；系
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 2.角度制与弧度制换算公式的理解 (1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算。 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是 0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同。
(4)如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l
角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝r
人民教育出版社 |必修四
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
【例 1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ 9 .
人民教育出版社 |必修四
π 2π
π 5π
【解析】 (1)72°＝72×180＝ 5 ； (2)－300°＝－300×180＝－ 3 ；

人教A版必修四第一章.2 弧度制

但量数相同（都是0）
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180
把弧度换成角度
1ra= d180 57 .30 =5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋势越来越明显，不少诗歌批评为了应酬需要，违心而作，学术含量可疑，甚至堕落为诗人小圈子里击鼓传花的游戏道具。这类批评对诗歌创作来说类同饮鸩止渴，还不如索性没有的好。
•
3.批评文章却写得天花乱坠，一再上演“皇帝的新衣”闹剧。这些批评牵强附会、肆意升华，外延无限扩张，乃至另起炉灶，使批评成为原创式的畅想，早已失去了与原作品的联系。
•
4.评庸俗化表现为概念代替文本，行为代替写作。较之个体性的埋头创作，不少诗人似乎更喜欢混个脸熟，在这样的背景和语境下，诗歌批评基本沦为诗人间的交际和应酬。哪怕是纷纷攘攘的流派或主义之争，也往往是你方唱罢我登场，名目噱头不少，却未见得与文学和读者有何关系。
解：∵
67
30
=
135 2
∴ 6730=rad135=3rad
180 2 8
例2
把
4 rad 5
化成度．
解： 4rad =4180=144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数

任意角和弧度制(人教版A版必修4)教程

当k=3时，β= －950º12′ +3×360°= 129º48’ ∴在0º~360º范围内，与－950º12′终边相同的角是129º48’，它是第二象限角．
同步练习：课本练习第4题、第5题
例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来.
解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪
{β∣β= 225°+k·360°,k∈Z} ={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z}
S中适合-360 °≤β＜ 720 °的元素是:
45 º- 2×180°=- 315 º, 45 º- 1×180°=- 135º, 45 º+0×180°=45 º, 45 º+1×180°=225 º, 45 º+ 2×180°=405º, 45 º+3×180°=585 º,
|1 o k 8 3 o 0 6 2 o 0 k 7 3 o , k 0 6 Z
（4）第四象限角构成的集合 | 2 o k 7 3 o 0 6 3 o 0 k 6 3 o , k 0 6 Z
探讨2 、若是第二象限角
则2是第几象限角？
是第几象限角？
A. A=B=C C. A∩C=B
B. B∪C=A D. B∪C=C
·若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z) 所在的象限是( C )
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
例2. 在0º~360º范围内，找出与－950º12′终边相同的角，并判断它是第几象限角.
解：∵与－950º12′终边相同的角表示为： β= －950º12′ +k·360°（ k∈Z ）

高中数学必修四1.1.2弧度制课件人教A版

-6-
1.1.2
1 2AOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限第一象限第二象限第三象限第四象限集合 �� x 2k�� < α < 2k�� + ,��∈Z 2 π �� 2��π + < �� < 2��π + π,��∈Z 2 3π �� 2��π + π < �� < 2��π + ,��∈Z 2 3π �� 2��π + < �� < 2��π + 2π,��∈Z 2

人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_任意角和弧度制_基础

人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。

必修4-1.1_任意角和弧度制

例1：写出终边落在x轴上的角的集合。

解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=00+K∙3600,K∈Z} ={β| β=2K∙1800,K∈Z} ={β| β=1800 的偶数倍} 终边落在x轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=1800+K∙3600,K∈Z} ={β| β=1800+2K∙1800,K∈Z}
风车,风扇叶片等转动
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角
A（B） O
没有作任何旋转形成的角叫做零角
这样，我们就把角的概念推广到了任意角
在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含第一、二、三、四象限角）
2．象限角和坐标轴上角终边终边 y x
o
终边
始边终边
是第一象限角
是第二象限角
是第三象限角
是第四象限角
900是第几象限角？？
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
1. 锐角是第几象限角？
| k 360 270 k 360 360
1的角是周角的
1 360
这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制
但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据据大，书写不便等有引入不同单位的需要。
为了方ห้องสมุดไป่ตู้使用，数学上还采用另一种度量角的单位制———弧度制

高中数学第一章三角函数 1.1任意角和弧度制(第2课时

1.1任意角和弧度制1．弧度制的定义(1)角度制111360⎧⎪⎨⎪⎩度的角：规定周角的为度的角定义：用度作为单位来度量角的单位制(2)弧度制11 rad1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角记作：或弧度定义：用弧度作为单位来度量角的单位制思考1在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等，这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．2．弧度数的计算思考2弧度制公式|α|＝r 是否可以写成α＝r，|α|的取值与所取圆的半径大小是否有关？提示：使用公式|α|＝lr求角时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α终边的旋转方向决定，故不能写为α＝lr.|α|的取值与所在圆的半径大小无关，它由比值lr唯一确定．3．角度制与弧度制的相互转化4提示：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法，应写成α＝2k π＋6π，k ∈Z . 5．弧度制下的弧长与扇形面积公式若扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2. 思考4在上述公式中的角α是否可以用角度制表示？提示：不可以，在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式的形式是不同的，在应用时必须选用与角的度量制对应的公式．。

高一数学必修4任意角和弧度制课件WORD格式样本

高一数学必修4任意角和弧度制课件WORD格式样本高一数学必修4任意角和弧度制课件第一课时1.1.1 任意角教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.②讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角）③示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子×360°＋α表示，∈Z，写成集合呢？⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）②出示例2：写出与下列终边相同的`角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析的取值→试练→订正）③讨论：上面如何求的值？（解不等式法）④练习：写出终边在x轴上的角的集合，轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？⑤出示例3：写出终边直线在=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式的元素写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线=-x呢？2. 作业：书P6 练习3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x轴上角的集合 .2. 写出终边在轴上角的集合 .3. 写出终边在第三象限角的集合 .4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1. 教学弧度的意义：①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：＝ .②讨论：是否为定值？其值与什么有关系？→结论：＝=定值.③讨论：在什么情况下为值为1？是否可以作为角的度量？④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad表示，读作弧度.⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？⑥探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝ . 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：； .分析：如何依据换算公式？（抓住：180°=p rad）→如何设计算法？→计算器操作：模式选择MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=②练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；；；120°；135°；150°；③讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在轴上.3. 小结：弧度数定义；换算公式（180°=p rad）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线=x；终边在第二象限；终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题.第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－π、π、－210°、75°3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1. 教学例题：①出示例：用弧度制推导：S ＝LR； .分析：先求1弧度扇形的面积（πR ）→再求弧长为L、半径为R的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.②练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③出示例：计算sin 、tan1.5、cs（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）②练习：求、、的正弦、余弦、正切.2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.π、－675°②用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？③讨论：α＝×360°＋与β＝2π＋30°是否正确？④α与－的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝ .⑤已知扇形AOB的周长是6c，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54°，它的半径为20c，求扇形的周长和面积.3. 已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.高一数学必修4任意角和弧度制课件WORD格式样本。

人教A版高中数学必修四任意角和弧度制任意角和弧度制知识梳理文字素材

《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈．区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断．（１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置．（２）确定角的范围判断已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。

《任意角和弧度制-任意角和弧度制教材解读》文字素材6(人教A版必修4)

任意角和弧度制教材解读【温故知新】过去我们学习了0°～360°范围的角，但在生活、生产中还会遇到其他角.如在体操、跳水比赛中，常常听到“转体三周”、“转体三周半”这样的解说.还如我们骑的自行车的车轮按逆时针方向旋转一周的过程中，其中一根的辐条就转动了0°～360°的所有角；在车轮继续转第二周的过程中，那根辐条就转过了360°～720°的所有角.再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等，它们按照不同方向旋转所成的角都不仅是0°～360°范围内的角，为了研究它们的运动规律，我们有必要将角的概念进行推广.下面是本节的知识结构梳理：【答疑解惑】1．如何理解任意角的概念？答：（1）正确理解任意角的概念，应从运动思想去认识，抓住终边的旋转方向及是否转动.（2）零角的始边和终边重合，但是始边和终边重合的角不一定是零角，始边和终边重合的角是周角的倍数，即.2.判定一个角是第几象限角时需要注意什么？答：（1）角的顶点与坐标轴的原点重合.（2）角的始边与轴的正半轴重合.（3）角的终边落在第几象限我们就说这个角是第几象限角，落在坐标轴上，不属于任何象限.3.如何理解终边相同的角？答：（1）为任意角.（2）与之间是“+”，可理解为.（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.（4）这一条件不可缺少.4.弧度与角度是如何换算的？答：引入弧度度制后，对任意角都有唯一的实数与之对应.用角度制与弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同，角度与弧度的互化是以周角的弧度数与角度数为载体实现的.另外，若保留单位应写成rad.5.运用弧长公式与扇形面积公式时有什么注意事项？答：（1）弧长公式：，扇形面积公式：两者相比较，在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式具有更为简单的形式，其记忆和应用更方便（2）由于角的度量制度不同，所以对应着不同的弧长、面积公式.在不同的条件下应灵活运用不同形式的弧长、面积公式求解有关问题.【课堂练习】1．终边在直线上的角的集合为（）A． B．C． D．2．集合，则等（）A． B. C. D.3.地球赤道的半径是6340，赤道上所对的弧长是________.（精确到0.01）4.已知一扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？课堂练习答案：1．D 提示：直线的斜率为，∴直线的倾斜角.又∵角的终边可能落在第二象限，也可能落在第四象限，∴终边落在直线上的角的集合为.2. C 提示：令，则，当时，不等式均成立，所对应的角分别为，故选C.3. 1.85 提示：∵赤道周长.又，∴所对的弧长为.4. 解：设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，则，∴，∴.∴当半径时，扇形的面积最大，这个最大面积为，这时.。

人教版数学高一A版必修4素材课前引导弧度制

1.1.2 弧度制课前导引问题导入下图是半径不等的两个圆，在每圆上取长等于半径的一条弧，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，你认为这两个角是否相等？思路分析：将其中一个圆上得到的角剪下来，放到另一个圆上，结果两个角完全相同.实际上，这两个角就是我们这一节课要学习的弧度的角，不管在半径多大的圆上，两个1弧度的角是相等的.知识预览1.我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2.如果角α是一个负角，那么它的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0；正角的弧度数是一个正数.角α的弧度数的绝对值是rl (其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧长，r 是圆半径). 3.角度制和弧度制的换算关系是：1°=180π(rad).1 rad=(π180)°. 4.弧长计算公式：l=nπr180(其中n 是扇形圆心角度数)或l=|α|·r(α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式：S=3602r n π(n 是圆心角度数)或S=21lr 或S=21|α|·r 2(α是弧度数). 5.填写下表中各角度的弧度数.度数360° 180° 1° （π180）° 弧度数 2π π 180π 1 6.（1）若α、β是终边相同的角，则β=α+2kπ,（k ∈Z ).(2)第一象限角的集合：{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }; 第二象限角的集合：{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }; 第三象限角的集合：{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }; 第四象限角的集合：{α|2kπ+π23＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }; （3）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合为：{α|α=2kπ,k ∈Z };终边在x 轴的非正半轴上的角的集合为：{α|α=2kπ+π,k ∈Z };终边在x 轴上的角的集合为：{α|α=kπ,k ∈Z };终边在y 轴的非负半轴上的角的集合为：{α|α=2kπ+2π,k ∈Z };终边在y 轴的非正半轴上的角的集合为：{α|α=2kπ-2π,k ∈Z }; 终边在y 轴上的角的集合为：{α|α=kπ+2π,k ∈Z }；终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2πk ,k ∈Z }； (4)若α与β终边关于x 轴对称，则α+β=2kπ(k ∈Z ); 若α与β终边关于y 轴对称，则α+β=(2k+1)π(k ∈Z); 若α与β终边关于原点对称，则α-β=（2k+1）π(k ∈Z ); 若α与β终边在一条直线上，则α-β=kπ(k ∈Z ).。

人教A版高中数学必修四课件1.1.2弧度制3.pptx

弧长公式和扇形面积公式：
lR
S
1
2
R2
1 2
lR
l2
2
练习1
时间经过了4小时,时针转了
1200
度,
等于
2
3
若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是； 2.若α与βα的十β终＝k边·36关0°于(ky∈轴Z)对称，则α与β的关系是； 3.若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是； 4.若角αα十是β第＝1二80象°十限k·角360，。(则k∈1Z8)0°-α是第象限角。
空白演示
在此输入您的封面副标题
一复习:
弧度制的定义 zxxk
角度制与弧度制的互化
1、公式 : 1800 rad
2、角度化弧度 : 10 rad 0.01745 rad
3、弧度化角度 :
180
公式1: 1800
公式2 : 1 rad (180)0 57.300 57018
学科网
α一β＝180°十k·360°(k∈Z)
一
练习3
如图,已知角的终边区域 ,求出角的范围.
y
450
0 (1)
x
| 2
4
2
2
y
450
0
x
( )
(2)
|
4
2
( )
练习4
已知
则:
A | 2 (2k 1) ( ) B | 6 6
A B | 6 ,或0
解 : 如图
2 6
0
6 2
当 2,3, 时,或当 1,2, 时, 已超出 (6,6)的范围.
练习5
已知角
是第二象限角，分别求
.