【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第7章第3课时]

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2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第五章第2课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·武汉市调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3，故选C. 2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 5＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，故25－d 2＝16，d ＝3，则a 1＝2，a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝6＋99＝105.故选B.3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C.由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：选C.由已知S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选C.二、填空题6．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20.答案：207．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)解析：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＋a 9＋a 10＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋24d ＝4，4a 1＋6d ＝3，解得d ＝778.所以每一等人比下一等人多得778斤金．答案：7788．(2014·河南三市调研)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，即d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.[能力提升]一、选择题1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6，故选C.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1，(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1，则( )A ．S 2 013＝2 013，a 1 008＞a 1 006B ．S 2 013＝2 013，a 1 008＜a 1 006C ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＞a 1 006D ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＜a 1 006解析：选B.由(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1①，得(a 1 006－1)·[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1，所以a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1.由(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1②.得(a 1 008－1)．[(a 1 008－1)2＋2 013]＝－1，所以a 1 008－1＜0，即a 1 008＜1，故a 1 008＜a 1 006.①＋②得(a 1 006－1＋a 1 008－1)[(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2]＝0，因为a 1 006－1＞0，a 1 008－1＜0，所以(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2＞0. 故a 1 006－1＋a 1 008－1＝0，故a 1 006＋a 1 008＝2.故S 2 013＝2 0132(a 1＋a 2 013)＝2 0132(a 1 006＋a 1 008) ＝2 013.故选B.二、填空题3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n 2，∴n ＝6. 答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d .∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加得：a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.答案：16三、解答题5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n . (2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n－1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a n＋2，m)与向量b＝(－a n＋5,3＋a n)垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.(3)∵a n＝2n－1，∴a＝(2a n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a n＋5,3＋a n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1. ∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第七章第2课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A.32π B ．2π C ．3π D ．4π解析：选A.依题意知，该几何体是一个底面半径为12、高为1的圆柱，其表面积为2π(12)2＋2π×12×1＝32π.2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3解析：选B.设底面边长为x ，则V ＝34x 3＝23，∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3.3．(2014·武汉市部分学校调研测试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．16B ．24C ．34D ．48解析：选A. 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是长为6，宽为2的矩形，高为4，故该几何体的体积是V ＝13×6×2×4＝16.4．(2014·广东广州模拟)设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2B.6C.π6D.π2解析：选D.设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.5. (2013·高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B. 此几何体为一个长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1被截去了一个三棱锥A -DEF ，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm 3)．三棱锥的三条棱AE 、AF 、AD 的长分别为4、4、3，故其体积为13×(12×4×3)×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3)．二、填空题 6．(2014·武汉市部分学校高三调研测试)已知圆柱M 的底面半径与球O 的半径相同，且圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V 圆柱∶V 球＝________.解析：由题意，2πr 2＋2πrh ＝4πr 2，则r ＝h .故V 圆柱∶V 球＝πr 2h ∶43πr 3＝34.答案：347．(2014·武汉市部分学校高三联考)若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是________cm 2.解析：由三视图可知，原几何体是一个半圆锥，其底面半圆的半径为2，高为3，故此几何体的表面积是S ＝12π×22＋12×4×3＋12π×2×32＋22＝2π＋13π＋6.答案：2π＋13π＋6 8．(2014·湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的表面积S ＝π×1＋π×9＋12×4×(2π＋6π)＝26π.答案：26π 三、解答题 9. (2014·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.[能力提升]一、选择题 1．(2014·宜昌市一中高三模拟)一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为( )A.233B ．3 3 C.332D ．6 3解析：选B.设该三棱柱的底面边长为a ，高为h ，则底面正三角形的外接圆半径是a2sin 60°＝a 3，依题意有⎝⎛⎭⎫a 32＋⎝⎛⎭⎫h 22＝()32，即a 29＋h 212＝1,1＝a 218＋a 218＋h 212≥33a 218×a 218×h 212，当且仅当a 218＝h 212，即a ＝6，h ＝2时取等号，此时a 2h 取得最大值，因此该棱柱的体积34a 2h 的最大值是34×6×2＝3 3.2．(2012·高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：选D.由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91，而2111最接近于6π，所以选D. 二、填空题 3．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324.∴S 球＝4πR 2＝4π·(324)2＝92π.答案：92π4．(2013·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸. (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为π3(102＋10×6＋62)×9π×142＝3(寸)．答案：3 三、解答题5．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1，所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C .因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1. 6．(选做题)(2013·高考湖北卷)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1，同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算. 已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，所以四边形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE .同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又点M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则点D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点，即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1的中位线，因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)V 估<V .证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN .而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a ，即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12⎝⎛⎭⎫d 1＋d 22＋d 1＋d 32·a2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)，即V 估＝S 中·h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第五章第5课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·湖北三校联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 4·a 6＝2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5＝2a 5，则S 9＝( )A ．36B ．32C ．24D ．22解析：选A.由a 4·a 6＝2a 5，得a 25＝2a 5，即a 5＝2，所以b 5＝4，S 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝36. 2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km ，此后每秒钟通过的路程增加2 km ，若从这一秒钟起通过240 km 的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析：选C.设从这一秒钟起，经过x 秒钟，通过240 km 的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x ＋x (x －1)2×2＝240，即x 2＋x －240＝0，解得x ＝15或x ＝－16(舍去)．3．已知实数等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 解析：选C.由a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 7＝a 4q 3，∴q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝16，∴S 5＝16[1－(12)5]1－12＝31.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C.∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1(a －1)a n －1，n ≥2.当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．5．在如图所示的程序框图中，当输出T 的值最大时，n 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．6或7 D ．8解析：选C.该程序框图的实质是输出以a 1＝64为首项，12为公比的等比数列{a n }的前n项的乘积T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1,2，…，15)，由于a 7＝1，所以在T n (n ＝1,2，…，15)中，T 6＝T 7且最大．二、填空题 6．夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．解析：∵每升高100米温度降低0.7 ℃， ∴该处的温度变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，d ＝－0.7.∴26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．答案：1 600 7．(2014·荆州市高中毕业班质量检测)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9，即S 3＋S 3(1＋q 3)＝2S 3(1＋q 3＋q 6)，即S 3(q 3＋2q 6)＝0，易知S 3≠0，所以q 3＋2q 6＝0，得q 3＝－12，故a 2＋a 5＝a 2(1＋q 3)＝2a 2×14＝2a 2q 6＝2a m ，则a m ＝a 2q 6，又显然q ≠1.所以m ＝8.答案：88．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n－1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是三、解答题9．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴{b n }是一个以23为首项，13为公比的等比数列．10．(2014·宜昌市高三模拟)“宜昌梦，大城梦”，当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造．已知旧城区的住房总面积为64a (单位：m 2)，每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为2a m 2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少2a m 2.(1)若10年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比当前的住房总面积翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？(2)设第n 年(1≤n ≤10，n ∈N *)新区的住房总面积为S n ，求S n . 解：(1)10年后新城区的住房总面积为2a ＋4a ＋8a ＋16a ＋14a ＋12a ＋10a ＋8a ＋6a ＋4a ＝84a .设每年旧城区拆除的数量是x ，则84a ＋(64a －10x )＝2×64a ，解得x ＝2a . 即每年旧城区拆除的住房面积是2a m 2. (2)设第n 年新城区的住房建设面积为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n a (1≤n ≤4)2(12－n ) (5≤n ≤10)，所以当1≤n ≤4时，S n ＝2(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝2a ＋4a ＋8a ＋16a ＋14a ＋…＋2(12－n )a＝30a ＋(n －4)(38－2n )a2＝(23n －n 2－46)a .故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(2n －1)a (1≤n ≤4)(23n －n 2－46)a (5≤n ≤10). [能力提升]一、选择题1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：选D.依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014D ．1 010×2 013解析：选D.结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2，所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝4×2 013＋2 013×2 0122＝2 013×1 010.故选D.二、填空题 3．设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 014项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，故数列{b n }是周期为6的周期数列．又b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故数列{b n }的前2 014项和S 2 014＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝1－2－3－1＝－5.答案：－54．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②已知数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等方差数列； ③{(－1)n }是等方差数列；④若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中正确命题的序号为________．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a 2n }是公差为p 的等差数列，故①正确．对于②，取a n ＝n ，则数列{a n }是等方差数列，但数列{a 2n }不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n ]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N *)为常数，所以{(－1)n }是等方差数列，故③正确．对于④，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *)，则a 2kn －a 2k (n －1)＝(a 2kn －a 2kn －1)＋(a 2kn －1－a 2kn －2)＋…＋(a 2kn －k ＋1－a 2k (n －1))＝kp 为常数，故④正确．答案：①③④ 三、解答题 5．(2014·四川成都市诊断性检测)设函数f (x )＝x 2，过点C 1(1,0)作x 轴的垂线l 1交函数f (x )图象于点A 1，以A 1为切点作函数f (x )图象的切线交x 轴于点C 2，再过C 2作x 轴的垂线l 2交函数f (x )图象于点A 2，…，以此类推得点A n ，记A n 的横坐标为a n ，n ∈N *.(1)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式；(2)设直线l n 与函数g (x )＝log 12x 的图象相交于点B n ，记b n ＝OA →n ·OB →n (其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：以点A n －1(a n －1，a 2n －1)(n ≥2)为切点的切线方程为y －a 2n －1＝2a n －1(x －a n －1)．当y ＝0时，得x ＝12a n －1，即a n ＝12a n －1.又∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴通项公式为a n ＝(12)n －1.(2)据题意，得B n ((12)n －1，n －1)．∴b n ＝OA →n ·OB →n ＝(14)n －1＋(14)n －1·(n －1)＝n (14)n －1.∵S n ＝1×(14)0＋2×(14)1＋…＋n ×(14)n －1，14S n ＝1×(14)1＋2×(14)2＋…＋n ×(14)n ，两式相减，得34S n ＝1×(14)0＋1×(14)1＋…＋(14)n －1－n ×(14)n ＝1－(14)n1－14－n ×(14)n .化简，得S n ＝169－(4n 3＋169)×(14)n ＝169－3n ＋49×4n －1.6．(选做题)(2014·武汉市高三供题训练)已知数列{a n }的各项均为正数，记 A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1， C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)证明：①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q . 由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是 B (n )A (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q (a 1＋a 2＋…＋a n )a 1＋a 2＋…＋a n＝q ， C (n )B (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B (n )A (n )＝C (n )B (n )＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． (2)充分性：若对于任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2 ＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－a 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q ，故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第二章第13课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x ＞0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C.依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0＜x ＜3时，y ′＞0；当x ＞3时，y ′＜0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大，故选C.2．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3 解析：选C.设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．(2014·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12D ．1 解析：选D.由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.4．(2014·山西诊断)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，12)C ．[12，＋∞)D ．(－∞，12]解析：选D.设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0，得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是(－∞，12]，故选D.5．(2014·浙江省名校联考)设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( ) A ．5 B. 5 C ．3 D.7解析：选D.∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D.二、填空题6．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1.要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0) 7．(2014·广州模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0时，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.当x <0时，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案：4 三、解答题8．(2013·高考北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 9．(2014·山东泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与(x －214)2成正比，且售价为10元时，年销售为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k (x －214)2，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k (10－214)2，解得k ＝2. ∴u ＝－2(x －214)2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是单调递增的，在(9,11)上是单调递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 10．(2014·黄冈市高三检测)设f (x )＝e x －a (x ＋1)．(1)若a ＞0，f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；(2)设g (x )＝f (x )＋aex ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y ＝g (x )上任意两点，若对任意的a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；(3)求证：1n ＋3n ＋…＋(2n －1)n ＜ee －1(2n )n (n ∈N *).解： (1)因为f (x )＝e x－a (x ＋1)，所以f ′(x )＝e x －a ，因为a ＞0，f ′(x )＝e x －a ＝0的解为x ＝ln a . 所以f (x )min ＝f (ln a )＝a －a (ln a ＋1) ＝－a ln a ，因为f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，所以－a ln a ≥0，所以a ln a ≤0，所以a max ＝1. (2)设x 1、x 2是任意的两实数，且x 1＜x 2， g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1＞m ，故g (x 2)－mx 2＞g (x 1)－mx 1.∴不妨令函数F (x )＝g (x )－mx ，则F (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴F ′(x )＝g ′(x )－m ＞0恒成立．∴对任意的a ≤－1，x ∈R ，m ＜g ′(x )恒成立，g ′(x )＝e x －a －a ex ≥2e x ·⎝⎛⎭⎫－a e x －a ＝－a ＋2－a ＝(－a ＋1)2－1≥3，故m ＜3.(3)证明：由(1)知e x≥x ＋1，取x ＝－i 2n ，i ＝1,3，…，2n －1，得1－i 2n ≤e －i 2r ，即⎝⎛⎭⎫2n －i 2n n≤e －i2，累加得，⎝⎛⎭⎫12n n ＋⎝⎛⎭⎫32n n ＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －12n n ≤e －2n －12＋e－2n －32＋…＋e －12＝e －12(1－e －n)1－e －1＜e e －1. ∴1n ＋3n ＋…＋(2n －1)n ＜ee －1(2n )n .[能力提升]1．(2014·浙江省名校联考)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的单调区间；(2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x .令f ′(x )＝12－e x ＝0，得x ＝－ln 2.当x <－ln 2时，f ′(x )>0；当x >－ln 2时，f ′(x )<0.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)． (2)证明：令F (x )＝x －f (x )＝e x －(a －1)x .①当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴f (x )≤x 成立；②当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a －1)，当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln(a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a －1)－(a －1)ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]， ∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln(a －1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立．综上，当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x . 2．(2014·湖北省教学合作联考)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)．g (x )＝x 3－ax . (1)求f (x )的最大值；(2)若对∀x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[1,2]使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)证明不等式：⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n＋…＋⎝⎛⎭⎫n n n ＜e e －1. 解：(1)因为f (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －1＝1－x x，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0. 所以f (x )≤f (1)＝0.所以f (x )的最大值为0.(2)∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈[1,2]使得f (x 1)≤g (x 2)成立，等价于f (x )max ≤g (x )max . 由(1)知f (x )max ＝0，当a ≤0时，g (x )＝x 3－ax 在x ∈[1,2)时恒为正，满足题意；当a ＞0时，g ′(x )＝3x 2－a ，令g ′(x )＝0，解得x ＝±a3.所以g (x )在(－∞，－a 3)及(a3，＋∞)上单调递增．若a 3≤1，即0＜a ≤3时，g (x )max ＝g (2)＝8－2a ，所以8－2a ≥0.所以a ≤4.所以0＜a ≤3；若1＜a 3≤2，即3＜a ≤12时，g (x )在[1，a 3]上递减，在[a3，2]上单调递增．而g (1)＝1－a ＜0，g (2)＝8－2a 在(3,4]为正，在(4,12)为负，所以3＜a ≤4.当a 3＞2，即a ＞12时，g (1)＜0，g (2)＜0不合题意．综上a 的取值范围为a ≤4.(3)由(1)知f (x )≤0，即ln x ≤x －1(x ＞0)．取x ＝k n ，所以ln k n ≤kn －1＝k －n n.所以n ln kn≤k －n ，即⎝⎛⎭⎫k n n ≤e k －n . 所以⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n n ≤e 1－n ＋e 2－n ＋…＋e n －n ＝e 1－n －e n －n ·e 1－e ＝e 1－n －e 1－e ＝e －e 1－n e －1＜e e －1.3．(2014·广东韶关阶段检测)已知函数f (x )＝ln x －x ，h (x )＝ln x x.(1)求h (x )的最大值；(2)若关于x 的不等式xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，其中e 为自然对数的底数，求实数b 的值．解：(1)因为h (x )＝ln xx (x >0)，所以h ′(x )＝1－ln xx 2.由h ′(x )>0，且x >0，得0<x <e.由h ′(x )<0，且x >0，得x >e ，所以函数h (x )的单调增区间是(0，e]，单调减区间是[e ，＋∞)．所以当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e.(2)因为xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即x ln x －x 2≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤ln x ＋x ＋12x 对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x )＝ln x ＋x ＋12x ，因为φ′(x )＝x 2＋x －12x 2＝(x －3)(x ＋4)x 2，故φ(x )在(0,3]上递减，在[3，＋∞)上递增，φ(x )min ＝ φ(3)＝7＋ln 3，所以a ≤7＋ln 3.即实数a 的取值范围是(－∞，7＋ln 3]．(3)因为方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，即ln x －x －x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，即ln xx＝x 2－2e x ＋b ＋1恰有一解．由(1)知，h (x )在x ＝e 时，h (x )max ＝1e，而函数k (x )＝x 2－2e x ＋b ＋1在(0，e]上单调递减，在[e ，＋∞)上单调递增，故x ＝e 时，k (x )min ＝b ＋1－e 2，故方程ln xx＝x 2－2e x ＋b ＋1恰有一解时当且仅当b ＋1－e 2＝1e，即b ＝e 2＋1e－1.4．(2014·武汉市武昌区训练)设函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的最小值；(2)设x 1，x 2＞0，p 1，p 2＞0，且p 1＋p 2＝1，证明： p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)≥f (p 1x 1＋p 2x 2)；(3)设x 1，x 2，…，x n ＞0，p 1，p 2，…，p n ＞0，且p 1＋p 2＋…＋p n ＝1，如果p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n ≥e ，证明：p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p n f (x n )≥e. 解：(1)f ′(x )＝1＋ln x .由f ′(x )＞0，得x ＞1e ；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1e.∴f (x )在(0，1e )上单调递减；f (x )在(1e，＋∞)上单调递增．∴f (x )在x ＝1e 处取最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. (2)证明：令g (x )＝p 1f (x 1)＋p 2f (x )－f (p 1x 1＋p 2x )，不妨设x 1≤x ≤x 2，则g ′(x )＝p 2f ′(x )－p 2f ′(p 1x 1＋p 2x )． ∵p 1x 1＋p 2x －x ＝p 1x 1－p 1x ≤0， ∴p 1x 1＋p 2x ≤x .而f ′(x )＝1＋ln x 是增函数， ∴f ′(x )≥f ′(p 1x 1＋p 2x )．∴g ′(x )＝p 2f ′(x )－p 2f ′(p 1x 1＋p 2x )≥0，所以g (x )在(x 1，x 2)上是增函数． ∴g (x 2)≥g (x 1)＝0，即p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)－f (p 1x 1＋p 2x 2)≥0. ∴p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)≥f (p 1x 1＋p 2x 2)．(3)证明：先证明p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p n f (x n )≥f (p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n )．当n ＝2时，由(2)知不等式成立．假设当n ＝k 时，不等式成立，即p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p k f (x k )≥f (p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p k x k )．当n ＝k ＋1时，f (p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p k x k ＋p k ＋1x k ＋1)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－p k ＋1)p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p k x k 1－p k ＋1＋p k ＋1x k ＋1≤(1－p k ＋1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p k x k 1－p k ＋1＋p k ＋1f (x k ＋1)≤(1－p k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤p 11－p k ＋1f (x 1)＋p 21－p k ＋1f (x 2)＋…＋p k ＋11－p k ＋1f (x k ＋1) ＋p k ＋1f (x k ＋1)＝p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p k ＋1f (x k ＋1)＋p k ＋1f (x k ＋1)．所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立，∴p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p n f (x n )≥f (p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n )．由(1)知f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，因此f (x )在(e ，＋∞)上也单调递增． ∵p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n ≥e ，∴f (p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n )≥f (e)＝e. ∴p 1f (x 1)＋p 2f (x 2)＋…＋p n f (x n )≥e.。

【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第3章第7课时]

[基础达标]一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则sin B ＝( )A.12 B ．－12 C.32 D.22解析：选A.由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ≠0，约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.2．(2014·安庆模拟)在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶1解析：选C.由sin C ＝1，∴C ＝π2，由A ∶B ＝1∶2，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶22＝1∶3∶2.3．(2014·石家庄质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac .又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，故选B.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1C ．23－2 D.3－1解析：选B.∵B ＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝csin C，得2sin π6＝c sinπ4，即212＝c 22， ∴c ＝2 2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.故选B.5．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.法一：∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．法二：由正弦定理得：sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ， ∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．二、填空题 6．(2014·福建厦门模拟)已知△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________.解析：∵a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 1＝3＋c 2－3c ，即c 2－3c ＋2＝0，因式分解得(c －1)(c －2)＝0，解得c ＝1或c ＝2，经检验都符合题意，所以c ＝1或2. 答案：1或27．(2012·高考北京卷)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，∴b ＝4. 答案：4 8．(2014·襄阳市高三调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则(1)sin A ＝________；(2)a ＝________.解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＝sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得⎩⎨⎧sin A ＝255，cos A ＝55.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 255，＝5sin π4解得a ＝210.答案：(1)255(2)210三、解答题 9．(2013·高考浙江卷)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c, 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.10．(2013·高考四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解：(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA → 在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.[能力提升]一、选择题 1．(2014·威海调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．4＋2 3解析：选A.由S △ABC ＝12ab sin π3＝34ab ＝3，得ab ＝4.根据余弦定理知4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，所以a ＋b ＝4.故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6，故选A. 2．(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D.∵A ＞B ＞C ，∴a ＞b ＞c .设a ＝b ＋1，c ＝b －1，由3b ＝20a cos A 得3b ＝20(b ＋1)×b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1).化简，得7b 2－27b －40＝0.解得b ＝5或b ＝－87(舍去)，∴a ＝6，c ＝4.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4. 二、填空题3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________.解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°. 答案：60° 4．(2014·金华调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析：x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin π4<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2 ]．答案：(1，2 ] 三、解答题 5．(2014·武汉市部分学校高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos(B －C )＋1＝4cos B ·cos C .(1)求A ；(2)若a ＝27，△ABC 的面积为23，求b ＋c .解：(1)由2cos(B －C )＋1＝4cos B cos C ，得2(cos B cos C ＋sin B sin C )＋1＝4cos B cos C ，即2(cos B cos C －sin B sin C )＝1，亦即2cos(B ＋C )＝1，所以cos(B ＋C )＝12.因为0＜B ＋C ＜π.所以B ＋C ＝π3.因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝2π3.(2)由(1)，得A ＝2π3.由S △ABC ＝23，得12bc sin 2π3＝23，所以bc ＝8.①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即b 2＋c 2＋bc ＝28.所以(b ＋c )2－bc ＝28.②将①代入②，得(b ＋c )2－8＝28，所以b ＋c ＝6.6．(选做题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2 C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第七章第3课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是( ) A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝A D ．l ∩α＝B解析：选A.∵a ⊂α，l ∩a ＝A ，∴A ∈α，A ∈l ，同理B ∈α，B ∈l ，∴l ⊂α. 2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直解析：选A.直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．3．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m 与n 相交解析：选C.对于选项A ，n 可以与平面α 相交，对于选项B ，n 可以与平面α平行，故选项A 、B 均错；由于m ⊂α，n ∥α，则m 、n 无公共点．又m 、n 共面，所以m ∥n ，选项C 正确，选项D 错．4. 如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M解析：选D.∵AB ⊂γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．5．在四面体SABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C.取SB 的中点G ，则GE ＝GF ＝a2，且GF ∥SA ，则∠GFE 即为异面直线SA 与EF 所成的角(或其补角)．由于FC＝32a＝SF，故EF⊥SC，且EF＝22a，则GF2＋GE2＝EF2，故∠EFG＝45°.二、填空题6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或47．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________个．解析：∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交，平行，异面，故①错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.答案：08．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．解析：B1C与AD1异面，连接B1C，BC1(图略)，则BC1∥AD1，且BC1⊥B1C，所以AD1与B1C所成的角为90°.答案：1三、解答题9. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．解：如图所示．PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．10．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B 、C 、A 、D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾．所以BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形．又EG 、FH 是平行四边形EFGH 的对角线，所以EG 与HF 相交．[能力提升]一、选择题1. 如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A.连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1. ∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1.又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线． 2．(2012·高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A.在如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他棱的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 二、填空题 3．(2012·高考大纲全国卷)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．解析：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35.答案：354.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 三、解答题5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)连接EF、CD1、A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．6. (选做题)如图所示，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC ＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A-EBC的体积．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2) 取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角．∵∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，P A⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，∴异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)∵E 是PC 的中点，∴E 到平面ABC 的距离为12P A ＝1，V A -EBC ＝V E -ABC ＝13×(12×2×2×32)×1＝33.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第七章第5课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·河南郑州市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．2．(2014·黑龙江齐齐哈尔质检)在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是()解析：选A.A 中，∵CD ⊥平面AMB ，∴CD ⊥AB ；B 中，AB 与CD 成60°角；C 中，AB 与CD 成45°角；D 中，AB 与CD 夹角的正切值为 2.3．(2014·武汉市部分学校高三联考)设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中，不正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥bb ⊂βc 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C.⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 解析：选D.A 项是正确的；由三垂线定理可知B 项是正确的；由线面平行的判定定理可知C 项是正确的；D 项中，有可能b 与α平行或相交或b ⊂α，故D 项错误；故选D.4．(2013·高考山东卷)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选B. 如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334，V ABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠P AO ＝POAO ＝3，∴∠P AO ＝π3.5．(2014·黄冈市黄冈中学高三适应性考试)已知三棱锥S -ABC 的三视图如图所示．在原三棱锥中给出下列命题：①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中所有正确命题的代号是( ) A ．① B ．② C ．①③ D ．①②解析：选A.显然由三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱SA 垂直于底面ABC ，底面是个直角三角形AC ⊥BC ，从而我们易知只有①是正确的．二、填空题 6.如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△P AC 的边所在的直线中：与PC 垂直的直线有________；与AP 垂直的直线有________．解析：∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC .∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ，∴AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案：AB ，BC ，AC AB 7．(2014·湖北武汉武昌区联考)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________．解析：①正确，∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，又m ⊂β，∴l ⊥m ；②错误，l ，m 还可以垂直、斜交或异面；③正确，∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又m ⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．答案：①③8. 点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1.∴BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P -AD 1C 的体积不变．又VP -AD 1C ＝VA -D 1PC ，∴①正确．∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂ 平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确．由于DB 不垂直于BC 1，显然③不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．答案：①②④ 三、解答题 9. (2014·吉林长春市调研测试)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 的中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)若E 是线段A 1B 上一点，且满足VE -BCC 1＝112·VABC -A 1B 1C 1，求A 1E 的长度．解：(1)证明：∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC .又∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C ∩底面ABC ＝AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)∵V E -BCC 1＝112V ABC -A 1B 1C 1＝14V A 1-BCC 1，∴BE ＝14BA 1，即A 1E ＝34A 1B .连接OB (图略)，在Rt △A 1OB 中，A 1O ⊥OB ，A 1O ＝3，BO ＝1，故A 1B ＝2，则A 1E的长度为32.10．(2014·黄冈市黄冈中学高三模拟考试)在如图所示的组合体中，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．(1)求证：无论点C 如何运动，平面A 1BC ⊥平面A 1AC ； (2)当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥A 1-BCC 1B 1与圆柱的体积比．解：(1)证明：因为侧面ABB 1A 1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，所以AC ⊥BC .又圆柱母线AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面A 1AC .因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1AC . (2)设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ，当点C 是弧AB 的中点时，AC ＝BC ＝2r ，V A 1－BCC 1B 1＝13·()2r ·()2r ·h ＝23r 2h ，V 圆柱＝πr 2h ，所以V A 1－BCC 1B 1∶V 圆柱＝2∶3π.[能力提升]1．(2013·高考江苏卷) 如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC . 因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .2．如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，凸多面体ABCED 的体积为12，F 为BC 的中点．(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：平面BDE ⊥平面BCE .证明：(1)∵AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，∴四边形ACED 为梯形，且平面ABC ⊥平面ACED . ∵BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC .∵平面ABC ∩平面ACED ＝AC ， ∴AB ⊥平面ACED ，即AB 为四棱锥B -ACED 的高， ∵V B -ACED ＝13·S ACED ·AB ＝13×12×(1＋CE )×1×1＝12， ∴CE ＝2.取BE 的中点G ，连接GF ，GD ， ∴GF 为三角形BCE 的中位线， ∴GF ∥EC ∥DA ，GF ＝12CE ＝DA ，∴四边形GF AD 为平行四边形， ∴AF ∥GD .又GD ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .(2)∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点， ∴AF ⊥BC .又GF ⊥AF ，BC ∩GF ＝F ，∴AF ⊥平面BCE . ∵AF ∥GD ，∴GD ⊥平面BCE . 又GD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCE . 3. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．解：(1)在四棱锥P -ABCD 中，因P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面P AD ，故PB 在平面P AD 内的射影为P A ，从而∠APB 为PB 和平面P AD 所成的角．在Rt △P AB 中，AB ＝P A ，故∠APB ＝45°，所以PB 和平面P AD 所成的角的大小为45°. (2)证明：在四棱锥P -ABCD 中，因P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD ⊥P A . 由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .又AE ⊂平面P AC ，所以AE ⊥CD . 由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A -PD -C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a .在Rt △ADP 中，因为AM ⊥PD ，所以AM ·PD ＝P A ·AD ，则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144.所以二面角A -PD -C 的正弦值为144.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第九章第2课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．不等式A x 8<6×A x －28的解集为( )A ．[2，8]B ．[2，6]C ．(7，12)D ．{8}解析：选D.8！（8－x ）！<6×8！（10－x ）！， ∴x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12.又x ≤8，x －2≥0，∴7<x ≤8，x ∈N *，即x ＝8.2．(2012·高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：选C.把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．3．(2014·东北三校联合考试)将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为( )A ．12B ．36C ．72D ．108解析：选B.由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C 24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A 33种，这样，所求的不同的方案种数为C 24A 33＝36.4．(2014·湖北省七市高三联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种解析：选C.将甲、乙两看成一个整体，在不考虑丙、丁是否相邻的情况下，不同的着舰方法有A 22A 44＝48种；但由于丙、丁不能相邻着舰，故不同的着舰方法有482＝24种． 5．(2012·高考浙江卷)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：选D.满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C 45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．二、填空题6．(2013·高考大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C16C25C33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：607．(2013·高考大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一排，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4808．(2014·湖北省黄冈中学高三适应性考试)从a，b，c，d，e这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有________种不同的放法．(用数字作答)解析：间接法：A45－A34＝96.答案：96三、解答题9．男运动员6名，女运动员4名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246.法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760(个)．[能力提升]一、选择题1．(2012·高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：选B.当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．2．(2014·武汉市部分学校高三联考)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C.本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2(种)结果．∵程序B和C 在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48(种)结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96(种)结果，故选C.二、填空题3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A37＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．答案：3364．(2012·高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有__________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有__________个．解析：(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．答案：909×10n三、解答题5．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C36·C14·A33＋C26·C24·A24＝1 560(种)不同放法．6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．(1)图中共有多少个矩形？(2)从A点到B点最近的走法有多少种？解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C27·C25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C610＝C410＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第二章第7课时

loga N
栏目导引
第二章
基本初等函数、导数及其应用
(3)对数的运算法则如果 a>0，且 a≠ 1， M>0， N>0，那么
logaM＋logaN ； ① loga(M· N)＝ _______________
M logaM－logaN ； ② loga ＝ ________________ N
栏目导引
第二章
基本初等函数、导数及其应用
(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数 a＞ 1 或 0＜a＜ 1 的两种不同情况． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
栏目导引
第二章
基本初等函数、导数及其应用
2． (1)已知 lg a＋ lg b＝ 0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－ logbx 的图象可能是( B )
b c 1 1 (2)设 a，b，c 均为正数，且 2a＝ log1a，2 ＝ log1b，2 ＝
log2c，则 ( A ) A． a＜ b＜ c B． c＜ b＜ a C． c＜a＜ b D． b＜ a＜ c
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第二章
基本初等函数、导数及其应用
[解析 ](1)首先判断定义域为 R.又 f(－ x)＝ f(x)，所以函数 y ＝log2(|x|＋1)为偶函数，当 x＞ 0 时，y＝ log2(x＋1)．故选 B. 1 x 0 ＜ x ≤ (2)由题意得，当 0＜a＜ 1 时，要使得 4 ＜logax 2 ， 1 即当 0＜x≤ 时，函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图象的 2 下方．

2015年湖北省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A ．i B．﹣i C．1 D．﹣1考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．解答：解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A ．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A ．212B．211C．210D．29考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．解答：解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x ）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D ．点评：本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．（5分）（2015•湖北）设X ～N （μ1，ς12），Y ～N （μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）B ． P （X ≤ς2）≤P（X ≤ς1） C ．对任意正数t ，P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ）D ．对任意正数t ，P （X ≥t ）≥P （Y ≥t ）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．解答：解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ）．故选：C ．点评：本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．5．（5分）（2015•湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．解答：解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnxC．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]函数与方程的综合运用．考点：专函数的性质及应用．题：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．分析：解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．点评：本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A ．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．解答：解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．解答：解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A ．77 B．49 C．45 D．30考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A ．3 B．4 C．5 D．6考点：进行简单的演绎推理．专题：创新题型；简易逻辑．分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4解答：解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．解答：解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定．专题：创新题型；简易逻辑．分析：（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．解答：解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．解答：解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．解答：解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．解答：解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．数列的求和．考点：等差数列与等比数列．专题：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；分析：（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解解：（1）设a1=a，由题意可得，答：解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．解答：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．考点：简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．解答：（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C （6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．点评：本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x．取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n．解答：（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（） A ． i B ． ﹣i C ． 1 D ． ﹣1 2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ． 134石 B ． 169石 C ． 338石 D ． 1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x ）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A ． 212B ． 211C ． 210D ． 294．（5分）（2015•湖北）设X ～N （μ1，ς12），Y ～N （μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）B ． P（X ≤ς2）≤P （X ≤ς1） C ．对任意正数t ，P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ） D ．对任意正数t ，P（X ≥t ）≥P （Y ≥t ）5．（5分）（2015•湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，则（） A ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ． p 是q 的充分必要条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．s gn[g（x）]=sgnx B．s gn[g（x）]=﹣sgnx C．s gn[g（x）]=sgn[f（x）]D．s gn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．。

【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第7章第8课时]

[基础达标]一、选择题 1. (2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.255 D.35解析：选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( )A.64B.16C.63D.32 解析：选C.建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为1，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0n ·DB →＝x ＋y ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝1.∴n ＝(－1,1,1)，∴sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋13·2＝63. 二、填空题 3．(2014·江苏徐州一模)在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角，则B ，D 两点间的距离为________．解析：如图所示．∵AB ＝AC ＝1，∴AD ＝2，BC ＝2，BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)·(BA →＋AC →＋CD →) ＝BA →2＋BA →·AC →＋BA →·CD →＋AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＋CD →·BA →＋CD →·AC →＋CD →2 ＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →.∵AB ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴BA →·AC →＝0，AC →·CD →＝0.当B ，D 在AC 两侧时，BA →和CD →成60°角；当B ，D 在AC 同侧时，BA →和CD →成120°角． ∴|BD →|2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2×1×1×cos 60°，或|BD →|2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2×1×1×cos 120°， ∴|BD →|2＝12＋12＋12＋1＝4，|BD →|＝2，或|BD →|2＝1＋1＋1－1＝2，|BD →|＝ 2. 答案：2或 2 4．(2014·浙江温州质检)如图(1)，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF ，则二面角A ′-FD -C 的余弦值为________．解析：取线段EF 的中点H ，连接A ′H .∵A ′E ＝A ′F ，H 是EF 的中点，∴A ′H ⊥EF . 又∵平面A ′EF ⊥平面BEF ， ∴A ′H ⊥平面BEF .如图(2)，可建立空间直角坐标系A -xyz ，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)，故F A →′＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，∴⎩⎨⎧－2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0.取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝33，∴二面角的余弦值为33.答案：33三、解答题 5．(2013·高考江苏卷) 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.6．(2014·宜昌市模拟)如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 的中点，G 为AC 上一点．(1)确定点G 在线段AC 上的位置，使FG ∥平面PBD ，并说明理由；(2)当二面角B －PC －D 的大小为2π3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．解：(1)当G 为EC 中点，即AG ＝34AC 时，FG ∥平面PBD ，理由如下：连接PE (图略)，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE ，而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故FG ∥平面PBD . (2)作BH ⊥PC 于H ，连接DH (图略)．因为 P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，所以PB ＝PD ，又因为BC ＝DC ，PC ＝PC ，所以△PCB ≌△PCD ，所以DH ⊥PC ，且DH ⊥BH .所以∠BHD 是二面角B －PC －D 的平面角，即∠BHD ＝2π3.因为P A ⊥面ABCD ，所以∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角．连接EH ，则EH ⊥BD ，∠BHE ＝π3，EH ⊥PC ，所以tan ∠BHE ＝BEEH＝3，BE ＝EC .所以EC EH ＝3，所以sin ∠PCA ＝EH EC ＝33，所以tan ∠PCA ＝22.所以PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22.[能力提升]1. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．解：(1)证明：由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝2310×3＝105.由此即知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为105.2．(2013·高考湖北卷)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E -l -C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β .解：(1)直线l ∥平面P AC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)法一(综合法)：如图(1)，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BF . 故∠CBF 就是二面角E -l -C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD . 连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影．故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠BDF 为锐角．故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.法二(向量法)：如图(2)，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD .由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F (0,0，c )．于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )，所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝aa 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2 .取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m·n||m||n|＝b b 2＋c2，从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c 2.故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝c a 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β. 3. (2014·江西省七校联考)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE .(2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°. ∴EDBD＝ 3.由AD ＝3，得BD ＝32，DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)．∴BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3,0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝03x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4,2，6)． ∵AC ⊥平面BDE ， ∴CA →＝(3，－3,0)为平面BDE 的一个法向量．∵cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313.(3)依题意，设M (t ，t,0)(t >0)，则AM →＝(t －3，t,0)，∵AM ∥平面BEF ，∴AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时DM →＝23DB →，∴点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第一章第2课时课后达标检测

[基础达标] 一、选择题1．(2014·江西九江质检)命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( )A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2”B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．2．(2013·高考山东卷)给定两个命题p 、q .若￢p 是q 的必要而不充分条件，则p 是￢q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若￢p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒￢p 但￢p q ，其逆否命题为p ⇒￢q 但￢q p ，∴p 是￢q 的充分不必要条件．3．(2014·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 4．(2014·山东聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；若a ，b 均不为零向量，则|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0，∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b .若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．二、填空题6．(2014·黑龙江教研联合体调研)已知p ：0＜x ＜2，q ：x ＜a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，所以0＜x ＜2⇒x ＜a ，但x ＜a 0＜x ＜2，所以a ≥2.答案：[2，＋∞)7．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]8．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③三、解答题9．(2014·开封调研)已知命题p ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m .解：(1)若a ＋b ＝2，则圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立．反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ，因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)∵l ∥α l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，∴p 是q 的必要不充分条件.[能力提升]一、选择题1．(2014·南昌模拟)下列说法中，不正确的是( )A ．点(π8，0)为函数f (x )＝tan(2x ＋π4)的一个对称中心 B ．设回归直线方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：x x －1≥0，则￢p ：x x －1＜0 解析：选D.由f ⎝⎛⎭⎫π8＝tan π2无意义可知，点⎝⎛⎭⎫π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心，即得命题A 正确；由回归直线方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位，得命题B 正确；命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则△ABC 为等腰三角形”是真命题，则其逆否命题也是真命题，得命题C 正确；由命题p ：“x x －1≥0”，则￢p ：“x x －1＜0或x ＝1”得命题D 不正确，综上可得错误的命题为D ，故应选D.2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A.对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．二、填空题3．下列命题：①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④4．已知集合A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题5．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．6．(选做题)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第七章第3课时

第七章
立体几何
第3课时
空间点、直线、平面的位置关系
第七章
立体几何
1．四个公理两点在一个平面内，那么这公理1：如果一条直线上的 ________ 条直线在此平面内．
不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2：过________________
公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． _______________
立体几何
[证明 ](1)∵ E， F 分别为 AB， AD 的中点， ∴ EF∥ BD. BG DH 1 在△ BCD 中，＝＝， GC HC 2 ∴ GH∥ BD，∴ EF∥ GH. ∴ E， F， G， H 四点共面． (2)∵ EG∩ FH＝ P，P∈ EG， EG⊂ 平面 ABC， ∴ P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴ P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点．又平面 ABC∩平面 ADC＝ AC， ∴ P∈ AC， ∴ P， A， C 三点共线．
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第七章
立体几何
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点
相交
平行直线在平面内与平平行面相交
a∩α＝A
a∥α a⊂α α∥ β
1 个 ______
0 个 ______α∩β＝l
无数个 ______
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第七章
立体几何
2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类平行 _______ 共面直线相交 _______
异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
① 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第十章第2课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2012·高考山东卷)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：选D.对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．2．(2013·高考辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B.根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50. 3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a <b <c . 4．(2014·浙江杭州模拟)某商贩有600千克苹果出售，有以下两个出售方案：①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克，每千克售价1.20元； ②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售价1.00元．两种出售方案的平均价格分别为x 1和x 2，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＝x 2C ．x 1<x 2D ．x 1与x 2的大小不确定解析：选C.x 1＝1600×(200×2.40＋400×1.20)＝1.60， x 2＝1600×(400×2.00＋200×1.00)≈1.67， ∴x 1<x 2.5．(2014·黄冈中学高三适应性考试)右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910解析：选C.记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5，令90>442＋x 5，解得x <8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45.选C. 二、填空题6. (2014·湖南省五市十校联合检测)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________．解析：依题意，甲班学生的平均分85＝78＋79＋85＋80＋x ＋80＋92＋967，故x ＝5，乙班学生成绩的中位数为83，故其成绩为76，81，81，83，91，91，96，所以y ＝3，x ＋y ＝8.答案：87．(2014·宜昌市一中高三考前模拟)对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是________；中位数是________.解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2＋2.52＝2.25；中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，故中位数为2＋0.010.25×0.5＝2.02.答案：2.25 2.028．(2014·安徽省“江南十校”联考)某次摄影比赛，9位评委为某参赛作品给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分．复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分员计算无误，则数字x 是________．解析：由茎叶图知，最高分为94，最低分为88，由题意知89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋917＝91.解得x ＝1. 答案：1三、解答题9．(2013·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2 的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知30n＝0.05，解得n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1、x ′2.根据样本茎叶图可知30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分．10．(2014·.(1)(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数；(3)估计每分钟脉搏跳动次数的范围．解：(1)作出频率分布直方图如图．(2)由组中值估计平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72.(3)由样本数据可求得s ≈8.69，∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[x －s ，x ＋s ]，即[63.31，80.69]，取整数即[64，81]．[能力提升]一、选择题1．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a 、b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由x 2－5x ＋4＝0两根分别为1，4，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1. 又a ，3，5，7的平均数是b . 即a ＋3＋5＋74＝b ，a ＋154＝b ，a ＋15＝4b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4符合题意，则方差s 2＝5. 2．(2014·黄冈中学高三适应性考试)气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：选C.甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 ℃，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，10.8×5－(32－26)2＝18≥(x －26)2，若x ≤21，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29.二、填空题3．(2014·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正、副队长，则这2人的体重不在同一组内的概率为________．解析：体重在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a ，b ，c ；A ，B ；M .从这6人中选取2人共有15种结果，其中体重不在同一组内的结果有11种．故概率P ＝1115. 答案：11154. (2014·武汉市武昌区联考)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34.由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2，10，18，26，34 (2)62三、解答题5．(2014·广东省惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，解得a ＝0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85. 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.(3)成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有C 26＝15(种)．如果2名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为C 22＋C 24＝7，所以所求概率为P ＝715. 6．(选做题)某高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽合计 ④(1)根据上面图表，求出①②③④处应填的数值；(2)在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图及折线图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129，155]中的频率．解：(1)由题意和表中数据可知，随机抽取的人数为120.300＝40.由统计知识有④处应填1，③处440＝0.100，应填0.100，②处1－0.050－0.100－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025，应填0.025，①处0.025×40＝1，应填1.(2)频率分布直方图及折线图如图．(3)利用组中值算得平均数为：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129，155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.故总体平均数约为122.5，总体落在[129，155]上的频率约为0.315.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第七章第7课时

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第七章
立体几何
利用空间向量证明平行与垂直
如图，已知 AB⊥平面 ACD ， DE ⊥平面 ACD ，△ ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
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第七章
立体几何
[证明 ](1)设 AD＝ DE＝ 2AB＝ 2a，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0， 0)， C(2a，0， 0)， B(0， 0，a)， D(a， 3a， 0)， E(a， 3a，2a)． ∵ F 为 CD 的中点， 3 3 ∴ F a， a，0. 2 2 → → 3 3 AF＝ a， a，0， BE＝ (a， 3a， a)， 2 2 → BC＝ (2a， 0，－a)． → 1 → → ∵AF＝ (BE＋ BC)， AF⊄平面 BCE， 2 ∴ AF∥平面 BCE.
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第七章
立体几何
(1)利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上． (2)用向量法证线面平行时，还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选
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第七章
立体几何
利用向量法求空间距离
如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面
AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝ 2，CC1＝3，BE＝
1.
(1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离．
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第七章
立体几何
[解 ](1)建立如图所示的空间直角坐标系，则各相关点的坐标为： D(0， 0， 0)， B(2，4， 0)，

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第二章第3课时

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第二章
基本初等函数、导数及其应用
2．若函数 f(x)＝ax＋1 在 R 上递减，则函数 g(x)＝ a(x2 － 4x＋3)的增区间是 ( B ) A．(2，＋∞ ) C． (4，＋∞ ) B．(－∞， 2) D． (－∞，4)
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第二章
基本初等函数、导数及其应用
3．若函数 f(x)＝ x － 2x＋m 在[3，＋∞)上的最小值为 1，则实数 m 的值为( B ) A．－ 3 C．－ 1 B．－ 2 D． 1
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第二章
基本初等函数、导数及其应用
1 1 [解 ](1)当 a＝时，f(x)＝x＋＋ 2 在 [1，＋∞ )上为增函数， 2 2x 7 f(x)min＝ f(1)＝ . 2 a (2)f(x)＝ x＋＋ 2， x∈ [1，＋∞ )． x ①当 a≤ 0 时， f(x)在 [1，＋∞ )内为增函数．最小值为 f(1)＝ a＋ 3. 要使 f(x)＞ 0 在 x∈ [1，＋∞ )上恒成立，只需 a＋ 3＞ 0，即 a ＞－3，所以－ 3＜ a≤ 0. ②当 0＜a≤1 时， f(x)在 [1，＋∞ )上为增函数， f(x)min＝ f(1)＝ a＋ 3.所以 a＋3＞0，a＞－3，所以 0＜ a≤ 1. 综上所述， f(x)在 [1，＋∞ )上恒大于零时， a 的取值范围是(－ 3，1]．
2
函数，故 a＞1，所以 a 的取值范围为 1＜a≤2.
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第二章
基本初等函数、导数及其应用
函数的最值与应用
x2＋2x＋ a (2014· 云南昆明模拟 )已知函数 f(x)＝， x∈ x [1，＋∞ )， a∈ (－∞，1]． 1 (1)当 a＝时，求函数 f(x)的最小值； 2 (2)若对任意 x∈ [1，＋∞ )， f(x)＞ 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．

2015优化方案高考总复习新课标湖北理科第二章第7课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．若log a (2a )＝2，则log a (2＋a )＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由log a (2a )＝2得a 2＝2a ，因为a ＞0，a ≠1，所以a ＝2，所以log a (2＋a )＝log 24＝2，故选B.2．函数y ＝lg1|x ＋1|的大致图象为( )解析：选D.因为y ＝lg 1|x |是单调递减的偶函数，关于y 轴对称，则y ＝lg 1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.3．(2014·宁夏质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0，因此选C. 4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c解析：选D.a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32， b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52， c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c ，故选D.5．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12)C ．(12，1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选C.由题意得a ＞0，故必有a 2＋1＞2a ，又log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，所以0＜a ＜1，同时2a ＞1，∴a ＞12，综上，a ∈(12，1)．二、填空题6．(2013·高考安徽卷)函数y ＝ln(1＋1x )＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(0,1]7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝________.解析：由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：328．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0) 三、解答题 9．计算：(1)(lg 14－lg 25)÷100－12；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－2lg 2＋1.解：(1)(lg 14－lg 25)÷100－12＝－2×lg 2＋lg 5100－12 ＝－2×lg 10÷110＝－20.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.10．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[能力提升]一、选择题 1．(2013·高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2] 解析：选 C.∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.2．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，43]C ．[0，32) D ．[1,2)解析：选D.法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 二、填空题3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：104．(2014·河南郑州模拟)已知函数y ＝F (x )的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (3)＝________.解析：由题意y ＝F (x )的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，令F (3)＝a ，则点(a,3)必在函数y ＝2－x －1的图象上，所以2－a －1＝3，解得a ＝－2，即F (3)＝－2.答案：－2 三、解答题5．已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R .又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3＞1，解得a ＜1或a ＞2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．6．(选做题)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1， ∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第八章第7课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·河北邢台质检)抛物线y 2＝4x 上与焦点的距离等于5的点的横坐标是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C.利用抛物线的定义可知，抛物线y 2＝4x 上与焦点的距离等于5，则x ＋1＝5，所以点的横坐标为4.2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x . 3．(2014·河南郑州市质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16. 4．(2014·福建省质量检查)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：选C.设点P 的坐标为(x P ，y P )，则|PF |＝x P ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x P ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x P －32，解得x P ＝92，所以|PF |＝6. 5．(2014·武汉市部分学校高三联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选D.抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为x ＝my ＋1，设A ，B 的坐标为(x 1，y 2)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为x 1＋x 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.所以x 1＋x 2＋4＝4m 2＋6≥6>5.即A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为大于5.所以过焦点使得到直线x ＝－2的距离之和等于5的直线不存在．故选D.二、填空题6．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝47．(2014·武汉市部分学校高三起点调研测试)已知△F AB ，点F 的坐标为(1,0)，点A ，B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是________．解析：抛物线的准线方程为直线x ＝－1.设点B (x ，y )(1<x <3)．由抛物线的定义得|AF |＋|AB |＝x ＋1，故△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x ＋1＋2＝x ＋3∈(4,6)．即△F AB 的周长的取值范围是(4,6)．答案：(4,6) 8．(2012·高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，联立方程组，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.[能力提升]1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.2.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C.分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，G ，过点F 作FH ⊥AE ，垂足为H ，设EC 与x 轴交于点M ，如图所示．由抛物线的定义，可知|BF |＝|BG |，|AF |＝|AE |.在Rt △BCG 中，sin ∠GCB ＝|BG ||BC |＝|BF ||BC |＝12，故∠GCB ＝∠ECA ＝30°.又CE ⊥AE ，所以∠CAE ＝60°.在Rt △AFH 中，cos ∠F AH ＝|AH ||AF |，即cos 60°＝|AH |3，解得|AH |＝32.故|EH |＝|AE |－|AH |＝3－32＝32.因为AE ⊥EC ，FH ⊥AE ，所以四边形MFHE 是矩形．故|MF |＝|EH |＝32，而|MF |＝p ，所以p ＝32.故抛物线的方程为y 2＝3x .3．(2014·河南开封模拟)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则抛物线的焦点坐标是________，梯形PQRF 的面积是________．解析：把P (1,2)代入y ＝ax 2，得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝⎛⎭⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178，所以梯形的面积为12×⎝⎛⎭⎫14＋178×1＝1916. 答案：⎝⎛⎭⎫0，18 19164．(2014·湖北省七市高三联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点．则：(1)y 1y 2＝________；(2)△ABF 面积的最小值是________．解析：(1)不妨设点A 在x 轴上方，当直线AB 的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时点A (2,22)，B (2，－22)，故y 1y 2＝－8；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，故直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝4，所以y 1y 2＝(2x 1)·(－2x 2)＝－4x 1x 2＝－8；综上，y 1y 2＝－8.(2)△ABF 面积为S ＝12×1×|y 1－y 2|.当直线AB 的斜率不存在时，S ＝12×1×|22－(－22)|＝22；当直线AB 的斜率存在时，△ABF 面积为S ＝12×1×|y 1－y 2|＝12y 21＋y 22－2y 1y 2 ＝12 4x 1＋4x 2－2×2x 1×()－2x 2 ＝12 16k 2＋32>1232＝22，综上，△ABF 面积的最小值是2 2. 答案：(1)－8 (2)2 2 三、解答题5．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.6．(选做题)(华约自主招生试题)点A 在直线y ＝kx 上，点B 在y ＝－kx 上，其中k >0，|OA |·|OB |＝k 2＋1且A 、B 在y 轴同侧．(1)求AB 中点M 的轨迹C ；(2)曲线C 与抛物线x 2＝2py (p >0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则y 1＝kx 1，y 2＝－kx 2.由|OA |·|OB |＝k 2＋1得，x 21＋(kx 1)2·x 22＋(－kx 2)2＝k 2＋1，化简得x 1x 2＝1.因为点M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝k (x 1－x 2)2，所以x 20－y 20k 2＝(x 1＋x 2)24－(x 1－x 2)24＝x 1x 2＝1.故点M 的轨迹方程为x 2－y 2k 2＝1，点M 的轨迹C 是焦点为(±k 2＋1，0)，实轴长为2的双曲线．(2)证明：将x 2＝2py (p >0)与x 2－y 2k2＝1联立，消去x 得y 2－2pk 2y ＋k 2＝0.①因为曲线C 与抛物线相切，所以Δ＝4p 2k 4－4k 2＝0. 又因为p 、k >0，所以pk ＝1.结合①解得y ＝k ，x ＝±2，因此两切点分别在定直线 x ＝2，x ＝－2上，两切点为D (2，k )，E (－2，k )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p ，于是抛物线在点D (2，k )处的切线方程为y ＝2p (x －2)＋k ，即y ＝2p x －1p ，在点E (－2，k )处的切线方程为y ＝－2p (x ＋2)＋k ，即y ＝－2px －1p.。

2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第十章第3课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题 1．(2014·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)由上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )A ．48个B ．49个C ．50个D ．51个解析：选B.由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ^＝109.当x ＝15时，y ^＝109－15×4＝49.2．(2014·武汉二中高考模拟试题)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是( )A ．成正相关，其回归直线经过点(30, 76)B ．成正相关，其回归直线经过点(30, 75)C ．成负相关，其回归直线经过点(30, 76)D ．成负相关，其回归直线经过点(30, 75)解析：选A. 随着x 的增大，y 也增大，所以成正相关．又x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝64＋69＋75＋82＋905＝76，所以回归直线经过点(30, 76)．3根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为( )A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.5 解析：选C.由已知得x －＝5，y －＝54，则(5，54)满足回归直线方程y ^＝10.5x ＋a ^，解得a ^＝1.5，因此y ^＝10.5x ＋1.5.当x ＝20时y ^＝10.5×20＋1.5＝211.5.4．(2014·山东东营模拟)已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i 的值等于( ) A ．3 B ．4 C ．0.4 D ．40解析：选B.依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过(x ，y )，所以y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，∴∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4.5．已知x 与y假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：选C.由(1，0)，(2，2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x －＝3.5，y －＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b^<b ′，a ^>a ′. 二、填空题 6．从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为y ＝b x ＋4 055.25，则b ^＝________，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为________．解析：因为x －＝2 004＋2 005＋2 006＋2 0074＝2 005.5，y －＝47＋45.5＋43.5＋414＝44.25，且点x －，y －在回归直线方程y ＝b ^x ＋4 055.25上，代入得b ^＝－2，所以回归直线方程为y ＝－2x ＋4 055.25.当x ＝2 012时，y ＝31.25.故可预测2012年该地区的恩格尔系数为31.25.答案：－2 31.257．(2014·辽宁大连市双基测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为y ^＝3.8x ＋a ，则a 的值为________.解析：由已知得，x ＝4，y ＝258，因为点(x ，y )在回归直线上，所以a ＝242.8. 答案：242.8 8．(2014·山东济南市模拟考试)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．解析：由题意知，0.15(x ＋1)＋0.2－(0.15x ＋0.2)＝0.15. 答案：0.15 三、解答题 9．(2014·武汉市高三模拟考试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ^＝y －－b ^x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．为了分析某个高二学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7.(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？解：(1)x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100，所以数学的方差是17(144＋289＋289＋64＋64＋144)＝142.物理的方差是17(36＋81＋64＋16＋16＋1＋36)＝2507.从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到，a ^＝y －－b ^x －＝50，则y ＝0.5x ＋50.所以回归直线方程为y ＝0.5x ＋50.当y ＝115时，x ＝130，即该生物理是115分时，数学成绩是130.[能力提升]一、选择题 1．(2014·黄冈中学高三模拟)经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y ＝b x ＋a ，则点a ，b与直线x ＋18y ＝100的位置关系是( )A ．点在直线左侧B ．点在直线右侧C ．点在直线上D ．无法确定解析：选 B.样本数据的中心点为(18，110)，在直线y ^＝b ^x ＋a ^上，则a ^＋18b ^＝110>100.故点()a ^，b ^在直线x ＋18y ＝100的右侧．2．(2014·安徽合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.(x 0，y 0)为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x －，y －)，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x －，y －)．二、填空题 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根解析：零件个数的平均值x －＝30，设零件为20个的对应加工时间为t min ，加工时间的平均值y －＝307＋t 5，因为回归直线必经过点(x －，y －)，代入回归方程y ＝0.67x ＋54.9，计算得t ＝68.答案：68 4．(2014·广东梅州质检)在2013年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x9 9.5 m 10.5 11 销售量y11 n 8 6 5 由散点图可知，y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________．解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，线性回归直线一定经过样本中心(x －，y －)，即6＋n 5＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又∵m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案：10三、解答题5．一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x 和商场实际销售额的试验，投入促销费用x (万元)2 3 5 6 商场实际营销额y (万元)100 200 300 400 (1)的线性相关性；(2)求出x ，y 之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？解：(1)散点图，如图所示，从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．(2)x －＝2＋3＋5＋64＝4，y －＝100＋200＋300＋4002＝250，故所求的回归直线方程为y ^＝70x －30. (3)即70x －30≥600，即x ≥600＋3070＝9(万元)．即该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．6．(选做题(1)(2)求y 与x 的回归直线方程；(3)预测所挂物体重量为27 g 时的弹簧长度(精确到0.01 cm)．解：(1)散点图如图所示：(2)采用列表的方法计算a ^与回归系数b ^(如下表所示).63011.80900354b ^＝1 077.7－6×17.5×9.502 275－6×17.52≈0.183，a ^＝y －－b ^x －＝9.50－0.183×17.5≈6.30.所以y 与x 的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝0.183x ＋6.30.(3)当重量为27 g 时，有y ^＝0.183×27＋6.30≈11.24(cm)．故当所挂物体重量为27 g 时，弹簧的长度大约为11.24 cm.。

【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第7章 第3课时]

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第五章第2课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第2课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第五章第5课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第13课时课后达标检测

【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第3章 第7课时]

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第3课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第5课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第九章第2课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第7课时