2015高考第一轮复习简单的三角恒等变换
2015年高考数学(文)一轮课件：5-5简单的三角恒等变换
通关训练3 π)，求2α－β的值．
1 1 已知tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，且α，β∈(0， 2 7
tanα－tanβ 1 1 解析：由tan(α－β)＝2知， ＝ . 1＋tanαtanβ 2 1 1 将tanβ＝－ 代入上式解得tanα＝ . 7 3 1 2× 3 2tanα 3 ∴tan2α＝ ＝ 1 ＝4， 1－tan2α 1－ 3 2 3 1 ＋ tan2α－tanβ 4 7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. 3 1 1＋tan2αtanβ 1＋4×－7
通关训练1
cos2α－sin2α (1) π π ＝__________. 2tan4－αcos24－α
1 1＋cos20° ＝__________. －tan5° (2) 2sin20° －sin10° tan5°
(3)tan25° ＋tan35° ＋ 3tan25° tan35° ＝__________.
2 2 7 2 2 sin α＋ 2 cosα＝－ 10 .
7 2 答案：－ 10
π 2 5．若tanα＋4＝ ，则tanα＝__________. 5
π tanα＋1 2 解析：tanα＋4＝ ＝ ， 1－tanα 5
即5tanα＋5＝2－2tanα. 3 则7tanα＝－3，故tanα＝－7.
π . 2sinα± 4
4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值 唯一确定．
答案：
●一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范 围是防止增解的有效措施． ●两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β α＋β α－β α－β β α ＝ 2 － 2 ， 2 ＝α＋2－2＋β. (2)化简技巧：切化弦，“1”的代换等．
2015届高三数学一轮课件：第3章 第6节 简单的三角恒等变换
2．用 sin α，cos α 表示 tan
α 2
tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
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应用二倍角公式的变形求值的注意问题
(1)已知 sin α，cos α 的值求 tanα2时，应优先采用 tanα2＝
(2)f(x)＝12sin
2x＋
3 2 cos
2x＝sin2x＋π3，所以最小正周期为
T
＝22π＝π，振幅 A＝1.
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(3)由于 y＝ 3cos x＋sin x＝2cosx－π6，向左平移 m(m>0)个 单位长度后得到函数 y＝2cosx＋m－π6的图象．由于该图象关于 y 轴对称，所以 m－π6＝kπ(k∈Z，m>0)，于是 m＝kπ＋π6(k∈Z， m>0)，故当 k＝0 时，m 取得最小值π6.
(k
∈
Z)
，
即
x
＝
kπ
＋
5π 12
(k
∈
Z)
，
所
以
所
求
x
的集合为
xx＝kπ＋51π2，k∈Z
.
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规律方法 2 1.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可 能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同 化思想的体现；
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件
又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测22 简单的三角恒等变换 文 湘教版
课时跟踪检测(二十二) 简单的三角恒等变换(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．43 B.654C ．4D.2332．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 3．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1 4．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6C.π4D.π35．若sin x ＋cos xsin x －cos x ＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________.6．(2014·湖南师大附中月考)计算： tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.8．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．2．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且其图像经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1. (1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选B 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0， 分子分母都除以cos 2α得1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2＋8tan 2α2tan α＝654.2．选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1，选D. 3．选C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.故选C.4．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3. 5．解析：由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2， 所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 答案：436．解析：原式＝sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.答案：－47．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋2π＋ cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.8．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β ＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23， ∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79.法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)· cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.2．解：(1)依题意函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝3cos(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0， 所以3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0， 则2×5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π3，k ∈Z .由－π2<φ<0得φ＝－π3.故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)依题意有g (x )＝3cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫x 2＋π6－π3＝3cos x ，由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，同理g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，sin β＝1－⎝⎛⎭⎫242＝144，所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×13×24＋223×144＝2＋474. 3．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。
高考数学一轮复习简单的三角恒等变换
目录
5
5
3 10
，则α＋β＝（
10
3.已知锐角α，β满足sin α＝ ，cos β＝
3π
A.
4
π 3π
B. 或
4
4
π
C.
4
π
D.2kπ＋ （k∈Z）
4
解析：C 由sin α＝
5
，cos
5
10
，故cos（α＋β）＝cos
10
3 10
β＝
，且α，β为锐角，可知cos
10
）
2 5
α＝ ，sin
5
β＝
2 5 3 10
目录
1
2
2
2
2
法三：原式＝sin αsin β＋cos αcos β－ （cos 2 α－sin 2 α）·（cos 2 β－sin 2 β）
2
1
＝ （2sin 2 αsin 2 β＋2cos 2 αcos 2 β－cos 2 αcos 2 β＋cos 2 αsin 2 β＋sin 2 αcos 2 β－
＝
1
2
(1+cos)
＝4sin α.
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2
（2）sin αsin β＋cos αcos β－ cos
2
2α·cos 2β.
1 − cos2 1 − cos2
1+cos2 1+cos2
1
解 （2）法一：原式＝
·
＋
·
－ cos 2αcos 2β
2
2
2
2
2
1 − cos2 − cos2+cos2cos2
2cos10°−sin20°
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换1
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
2015年高考数学一轮复习课时训练第5节 三角恒等变换
第5节三角恒等变换课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.计算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( B )(A)-(B)(C)(D)1解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°=.故选B.2.(2013惠州模拟)函数f(x)=1-2sin2x是( D )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x,∴f(x)是最小正周期为π的偶函数,故选D.3.(2013淄博模拟)已知cos(α-)=,则sin 2α等于( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:法一∵cos(α-)=,∴cos α+sin α=,∴cos α+sin α=,∴1+sin 2α=,∴sin 2α=-.故选D.法二sin 2α=cos(2α-)=2cos2(α-)-1=2×()2-1=-.故选D.4.化简等于( C )(A)-2 (B)-(C)-1 (D)1解析:===-1.故选C.5.当-≤x≤时,函数f(x)=sin x+cos x的( D )(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1解析:f(x)=2sin(x+),∵-≤x≤,∴-≤x+≤,∴-1≤2sin(x+)≤2.故选D.二、填空题6.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sin θ+cos θ= .解析:因为θ为第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,因此π+2kπ<θ+<π+2kπ,k∈Z,又tan(θ+)=,从而sin(θ+)<0.所以sin(θ+)=-,所以sin θ+cos θ=sin(θ+)=-.答案:-7.sin α=,cos β=,其中α、β∈(0,),则α+β= . 解析:∵sin α=,cos β=,α,β∈(0,),∴cos α=,sin β=,∴cos(α+β)=×-×=0.又∵α+β∈(0,π),∴α+β=.答案:8.设tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,0<α<,π<β<,则α+β= .解析:∵tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,∴tan α+tan β=,tan αtan β=,∴tan (α+β)==1.∵0<α<,π<β<,∴π<α+β<2π,∴α+β=.答案:9.已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α= .解析:依题设得,cos β=-,∵0<β<π,∴<β<π,sin β=,又∵sin(α+β)=>0,0<α<π,∴<α+β<π,cos(α+β)=-.∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-×+×=.答案:三、解答题10.(2012洛阳模拟)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan 2α的值;(2)求β.解:(1)由cos α=,0<α<,得sin α===.∴tan α==×=4,于是tan 2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<,∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,所以β=.11.(2013广东深圳第一次调研)已知函数f(x)=2sin(+) (0≤x≤5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低点.(1)求点A、B的坐标以及·的值;(2)设点A、B分别在角α、β的终边上,求tan(α-2β)的值.解:(1)∵0≤x≤5,∴≤+≤,∴-≤sin(+)≤1.当+=,即x=1时,Sin(+)=1,f(x)取得最大值2;当+=,即x=5时,Sin(+)=-,f(x)取得最小值-1.因此,点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5,-1).∴·=1×5+2×(-1)=3.(2)∵点A(1,2)、B(5,-1)分别在角α、β的终边上,∴tan α=2,tan β=-.∵tan 2β==-,∴tan(α-2β)==.12.(2013惠州市高三第一次调研)已知函数f(x)=sin (ωx+ϕ) (ω>0,0≤ϕ≤π)为偶函数,周期为2π.(1)求f(x)的解析式;(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.解:(1)∵T=2π,则ω==1.∴f(x)=sin (x+ϕ).∵f(x)是偶函数,∴ϕ=kπ+(k∈Z),又0≤ϕ≤π,∴ϕ=.则f(x)=cos x.(2)f(α+)=cos(α+)=,∵α∈(-,),∴α+∈(0,).则sin(α+)=.∴sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.B组13.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于( A )(A)-(B)(C)2 (D)-2解析:因为α是第三象限的角,且cos α=-,所以sin α=-.====-.故选A.14.(2013赣州模拟)已知sin(α+)+cos α=,则cos(-α)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:∵sin(α+)+cos α=,∴sin α+cos α+cos α=,即×(sin α+cos α)=,∴sin(α+)=,∴cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(α+)=,故选A.15.设函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则= .解析:f′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f′(x)得sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x,于是===-.答案:-。
高考一轮复习简单的三角恒等变换
【解析】(1)错误.α在第一象限时, 在第一或第三象限. 当 在第一象限时, sin 1 cos ,当 在第三象限时,
2 1 cos sin . 2 2 2
2
2
2
(2)错误.此式子必须使tan 有意义且1+cosα≠0.即
≠kπ+ 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). 2 2 2
θ θ θ θ θ cos 2cos 2 )(sin －cos ) 2 2 2 2 2 【解析】原式= θ 4cos 2 2 θ θ θ θ cos (sin 2 －cos 2 ) －cos cos θ 2 2 2 2 , θ θ | cos | | cos | 2 2 (2sin
因为0<θ<π,所以0< θ π ,所以cos θ >0,
x 2 +1=cos 1 x+2, 【解析】因为y=2· 2 2 所以函数的最小正周期T= 2π =4π. 1 2 1 cos
.
答案:4π
(2)(必修4 P143B组T2改编)若sin80°=m,则用含m的式子表示
cos5°=
.
【解析】由题意,得sin80°=cos10°=m, 又cos10°=2cos25°-1, 所以2cos25°-1=m,cos25°= 所以cos5°= 答案: 2 2m
1 2
＝_______.
【解析】原式＝
2cos 2 x cos 2 x 1
π π 2tan( x) sin 2 ( x) 4 4 1 1 1 2 2cos 2 xsin 2 x sin 2x 2 2 2 ＝ ＝ π π 2sin( x) 2cos( x) π π 4 4 sin 2 ( x) sin 2 ( x) π π 4 4 cos( x) sin( x) 4 4 1 cos 2 2x 1 ＝ 2 ＝ cos 2x. π sin ( 2x) 2 2 答案： 1 cos 2x 2
2015高考数学(人教A版)一轮课件：4 5简单的三角恒等变换
题型三 三角变换的简单应用
【例 3】 (2014·安徽合肥一模)设函数 f(x)＝ 22cos(2x＋π4) ＋sin2x.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π2)＝g(x)，且当 x∈[0， π2]时，g(x)＝12－f(x)，求 g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
由于对任意 x∈R，g(x＋π2)＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋2π)＝12sin[2(x＋π2)] ＝12sin(π＋2x)＝－12sin 2x.
②当 x∈[－π，－π2)时，x＋π∈[0，π2)，从而 g(x)＝g(x＋π)＝12sin[2(x＋π)]＝12sin 2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为
(2)由(1)知，f(α)＝ 22cos(α＋π4)＝3102， 所以 cos(α＋π4)＝35. 所以 sin2α＝－cos(2π＋2α) ＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋4π) ＝1－285＝275.
使用公式时不注意使用条件
【例 1】 若 sinα＝m，α 为第二象限角，则 tan2α 的值为( )
(1)C
10 (2)13
1－11232＝153，
[方法·规律] 1.本题(2)求解时，也可将 cos(π4－α)，sin(π4＋α) 展开化简最终转化为求 cosα－sinα 的值．
2．三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未 知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所 求函数式能使用的形式，或者将所求函数式经过变形后再用条件 达到求值的目的．
sin2 cos2
＝cos2α2α－sinα2α2·csoinsαα sin2·cos2
＝2scionαsα·csoinsαα＝2.
高考数学一轮复习三角恒等变换
1
A.
2
C.
2
2
B.
3
3
D.
3
2
12
解析：D 法一（通解）：因为cos
π
π
2
2
＝cos －sin ＝cos
12
12
2×
π
12
5π
＝sin
12
）
π 5π
−
2 12
＝sin
π
π
5π
，所以cos2 －cos2
12
12
12
π
3
＝cos ＝ .故选D.
6
2
π
6+ 2
5π
6− 2
π
5π
2
2
法二（优解）：因为cos ＝
1
1
2.（2023·烟台一模）已知tan（α＋β）＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（π－2α）
2
3
＝
.
解析：因为tan（π－2α）＝－tan 2α，由结论2可知tan 2α＝
tan(+)+tan(−)
＝
1−tan(+)tan(−)
1 1
+
2 3
1 1
1 2×3
−
＝1，所以tan（π－2α）＝－1.
第三节
三角恒等变换
1.经历推导两角差余弦公式的过程，了解两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角
的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半
角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
2015届高三数学第一轮总复习课件：第21讲 简单的三角恒等变换
右边＝1－2sicnos2α2α＝4si2nsαin·c2αos α＝tan2 α，
所以ta1nα2－tanα2＝1－2sicnos2α2α.
8 第八页，编辑于星期五：八点 五十二分。五十二分。
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理数
一 三角函数式的化简与证明
【例1】已知f(x)＝22tacnos4π4x－－x2scions22xx＋＋12π4. (1)化简f(x)； (2)若f(x)＝25，且x∈(0，π2)，求证：3tan x＝1.
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理数
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
12 第十二页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
(2)证明：由(1)知f(x)＝12cos2x＝25，所以cos2x＝45. 又x∈(0，π2)，所以2x∈(0，π)，从而sin2x＝53. 所以tan x＝csoins xx＝2si2nsixnc2oxs x＝1－sicno2sx2x
＝13× 33＋232× 36＝593.
33 第三十三页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
3.(2013·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
34 第三十四页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
解析：4cos
50°－tan
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理数
【拓展演练2】计算：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝
.
21 第二十一页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
解析：原式＝ 2cos
2015高考数学一轮配套课件：3-6 简单的三角恒等变换
高考总复习 数学
解析：4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csoins
40° 40°
＝4cos
40°sin 40°－sin cos 40°
40°
＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°c－os4400°°－sin 40°
＝
3cos 40°＋sin 40°－sin 40° cos 40°
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第十九页，编辑于星期五：十四点 三分。
高考总复习 数学
针对训练 1．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°＝
A. 2 C. 3
2＋ 3 B. 2 D．2 2－1
()
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第二十页，编辑于星期五：十四点 三分。
解析：∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈2π，π，
∴cos α2＝－
1＋cos 2
α＝－
1＋2 13＝－
6 3.
答案：B
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第九页，编辑于星期五：十四点 三分。
高考总复习 数学
(3)用 sin α，cos α 表示 tan α2.(半角化单角)
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第十一页，编辑于星期五：十四点 三分。
高考总复习 数学
解析：∵α 是第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－275. ∴tanα2＝1－sicnoαs α＝1－＋2227455＝－43. 答案：C
2015高考理数一轮复习课件：4.3 三角恒等变换
第十五页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第十六页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第十七页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第十八页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第十九页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第二十页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第二十一页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十三页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十四页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十五页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十六页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十七页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第三十六页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第三十七页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第三十八页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第三十九页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第四十一页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第四十二页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十二页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十三页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十四页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十五页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十六页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
第二十七页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
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第三十页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第三十一页，编辑于星期五：十五点 二十六分 。
ห้องสมุดไป่ตู้
2015届高考数学总复习配套课件：3-6 简单的三角恒等变换
太 阳 书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十四页，编辑于星期五：十点 十三分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
三角函数式的求值能力 Nhomakorabea提升
【例2】 (2014年江南十校联考)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.
提素能
高效
训练
(1)若f(x)＝2f(－x)，求cos2x1－＋ssiinn2xxcos x的值；
悟典题 能力 提升
提素能 高效
∴原式＝1＋tacnoπ4s＋2xx2－ cos22coπ4s＋2xx－1
训练
＝ sin
4π＋coxsc2o2xsπ4＋x＝si2ncπ2o＋s222xx
山 东 金
＝2ccooss222xx＝2cos 2x＝2×11－ ＋ttaann22xx＝2×11－＋1919＝85.
)
悟典题 能力 提升
5 A.4
B．－54
提素能 高效 训练
4 C.3
D．－43
解析：∵1＋sinco2sα2α＝2si2ncoαsc2oαs α＝csions αα＝12，
山 东 金
∴tan α＝2，∴tan 2α＝12－tatnanα2α＝1－4 4＝－34.
太 阳 书
业
答案：D
有
限
公
司
菜 单 隐藏
)
山 东 金
A．－2
B．2
C．－1
D．1
太 阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第九页，编辑于星期五：十点 十三分。
高考总复习 A 数学（文）
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3
1 tan tan
1 4
考向 3 asin x bcos x a 2 b 2 sin(x ) 的应用
【典例3】(2013·天津高考)已知函数f(x)=+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.
2 sin(2x+
) 4
(1)求f(x)的最小正周期.
【规范解答】(1)tan 2
1 sin 2 1 cos 2 cos 2 cos 2
sin 2 1 2sin cos 1 cos 2 cos 2 sin 2
sin cos
2
cos 2 sin 2 cos sin 1 tan . cos sin 1 tan 1 tan 2 012， 1 tan
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
4 3 13 1 3 3 49 3 3 . 7 14 7 14 7 14 2 又 0＜＜ . . 2 3 答案： 3
1 tan 1 1 tan 如何求解 呢？ “ 2”， 2 2sin cos cos 1 tan 【解析】由已知得 tan 1 . 3 1 sin 2 cos 2 所以 2 2sin cos cos 2sin cos cos 2 1 1 tan 2 1 2 9 . 2tan 1 2 1 1 3 3
(3)化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角 .
【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，
特别是“1”的代换经常用到.
【变式训练】化简: 2 1 sin 2 1 cos , (, 3 ). 【解析】∵ 1 sin sin 2 cos 2
又∵π＜α＜2π,∴ ＜ ＜.
＜0. 2 cos cos 2 ∴原式 cos . cos 2 ［(sin cos )2 (cos 2 sin 2 )］(sin cos ) 2 2 2 2 2 2 方法二：原式= 2(1 cos )
2 2
x 2 3 3x 4 0 的两个根，求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得：
tan tan 3 3，tan tan 4, tan ＜0, tan ＜0. , ( , )， ＜ ＜0. 2 2
又 tan tan tan 3 3 3.
1 =______. cos 2
(2)(2013·兰州模拟)已知 cos 1 ,cos 13 , 且
0＜＜＜ ，则β=______. 2 7 14
【思路点拨】(1)将所求式子“切化弦”，通过应用倍角公式
展开，再“弦化切”可解. (2)构造角“β=α-(α-β)”从而可解.
2
2
∴ cos
(sin
cos )2cos (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 | cos | 2
=
cos
cos 2 . |cos | 2
下同方法一.
答案：cos α
1 4cos 4 x 4cos 2 x 1 (2)原式= 2 sin( x) 4 2 cos 2 ( x) 4 cos( x) 4
(2)条件求值的一般思路 ①先化简所求式子或已知条件; ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入 手); ③将已知条件代入所求式子,化简求值. 2.三角函数式给值求角的注意点 一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角， 二是涉及的角的范围要确定准.
【加固训练】已知 , ( , )， 且tan α,tan β是方程
故所求式子=2 012.
答案：2 012
1 4 3 0＜＜＜ ,cos . sin . 2 7 7 且 0＜ ＜ ,cos 13 . sin 3 3 . 2 14 14
(2)
∴sin β=sin［α-(α-β)］
cos (sin cos ) 2， 2 2 2 2 2 1 cos 2(1 2cos 2 1) 4cos 2 ， 2 2 ∴原式 2|sin cos | 2|cos |. 2 2 2 3 3 (, ), ( , ). 2 2 2 4 sin cos ＞0，cos ＜0. 2 2 2 2sin 2 2 2
=2sin2x-2cos2x=2 2 sin(2x). 4 2 所以f(x)的最小正周期T= =π. (2)因为f(x)在区间[0, 3 ]上是增函数,在区间[ 3 , ]上
2 2 8 8 3 是减函数,又f(0)=-2,f( )=2 2 ,f( )=2,故函数f(x)在区 2 8 间[0, ]上的最大值为2 2 ,最小值为-2. 2
故 2|sin cos | 2 | cos |
2 2
2 2sin 2cos 2cos 2sin . 2 2 2 2
考向 2
三角函数的求值与求角问题
1 tan
【典例2】(1)(2013·威海模拟)若 1 tan 2 012, 则 tan 2
【解析】(1)错误.α在第一象限时，
(3)正确.由半角公式推导过程可知正确. (4)错误.由 cos a,b的值有关. 答案：(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)〓
a a b
2 2
,sin
b a b
2 2
可知φ的取值与 ，
1 1.已知 cos , α∈(π,2π)，则 sin 等于( ) 5 2 (A) 10 (B) 10 (C) 2 5 (D) 2 5 5 5 5 5 【解析】选B. (, 2)， ( , ). 2 2
第六节
简单的三角恒等变换
1.半角公式
2sin 2 2cos 2
2
1 2sin 2 2
2cos 1 2
2
1-cos 2
1+cos 2
1-cos 1 cos
2.辅助角公式
asin x+bcos x=________sin(x+ φ)， a 2 b2
【规律方法】 asin x bcos x a 2 b 2 sin(x ห้องสมุดไป่ตู้ 在解决三角函数
性质问题中的应用
(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为 asin x bcos x
b a 2 b 2 sin(x ) (其中 tan )的形式去讨论.这样的变形， a
(π＜α＜2π)=______. (2)化简：
2cos 4 x 2cos 2 x 1 2
【思路点拨】(1)分子左边利用倍角公式、分母利用半角公式
升幂，整理后可解. (2)利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解.
2tan( x)sin 2 ( x). 4 4
【规范解答】(1)方法一：原式
【互动探究】本题(1)中若将“ 1 tan 2012 ” 改为
【规律方法】 1.三角函数式求值的类型和思路 (1)三角函数式求值的类型 分为直接求值和条件求值, ①直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化 简变形求得三角函数式的值； ②条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求 得所需要的值，同时注意所给角的范围.
其中sin φ=
b a b
2 2
, cos φ=
a a b
2 2
.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1 cos ( (1)当α是第一象限角时， sin . 2 2 1 cos 都成立.( (2)对任意角α， tan 2 2 1 cos
) )
(A)3
(B)6
(C)12
=2+2tan α=3.
3.若 sin( ) a, 则 cos( ) 等于(
4
4
) (D)1+a
(A)-a
(B)a
4
(C)1-a
4
【解析】选B.∵ cos( ) cos( )
sin［ ( )］ sin( ) a. 2 4 4
(2cos 2 x 1) 2 4sin( x)cos( x) 4 4 cos 2 2x cos 2 2x 1 cos 2x. 2sin( 2x) 2cos 2x 2 2
【规律方法】三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的则求值. (2)化简要求： ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
4.函数f(x)=
3sin x cos x 的值域是______.
【解析】由已知得 f x 2( 3 sin x 1 cos x) = 2sin(x ),
2 2
6 ∵ sin(x ) ∈［-1,1］,∴f(x)∈［-2,2］. 6
答案：［-2,2］
5.计算:
cos 10 3sin 10 =______. 1 cos 80
2sin cos )(sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2cos 2 2 2cos (cos sin )(sin cos ) 2 2 2 2 2 2 | cos | 2 cos cos 2 . |cos | 2 (2cos 2
1 3 2( cos 10 sin 10) 2 2 【解析】原式= 2sin 2 40 2sin 40 2. 2sin 40