2015高考第一轮复习：2.12函数与方程
【高考复习方案 】2015届高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第11讲 函数与方程(50张PPT)
交点 ⇔函数y＝f(x)有 像与x轴有________ 零点 ________ f(a)f(b)<0 图像在[a，b]上连续不断，若________ ，
则y＝f(x)在(a，b)内存在零点 解方程f(x)＝0 使用零点存在性定理 数形结合
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第11讲
双 向 固 基 础
函数与方程
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点其中Δ＝b2－ b 4ac，x0＝－2a
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函数与方程
2.二分法求方程的近似解
方 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不 法 断把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二 ________， 使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法 第一步 第二步 计算 f(c)： 步 骤 第三步 (1)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)· f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (3)若 f(c)· f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))； (4)判断是否达到精确度 ε，即若|a－b|<ε，则得到零点 近似值 a(或 b)，否则重复(2)～(4) 确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)<0，给定精度 ε 求区间[a，b]的中点 c
(2)√
[解析] (1)根据二分法的具体方法可知是无限逼近的 数学思想方法．(2)根据对分区间的方法可知，进行 n 次对 b－a 分后，区间的长度是 2n ，区间内任意一个数值作为方程 b－a 的近似解， 这个数值与方程的精确解的误差都不超过 2n .
2015年高考第一轮复习数学：2.12 函数的综合问题
2.12 函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基1.已知函数f （x ）=lg （2x －b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则A.b ≤1B.b ＜1C.b ≥1D.b =1解析：当x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0，从而2x －b ≥1，即b ≤2x －1.而x ∈［1，+∞）时，2x －1单调增加，∴b ≤2－1=1. 答案：A2.（2003年郑州市质检题）若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等式|f （x +1）－1|＜2的解集是___________________.解析：由|f （x +1）－1|＜2得－2＜f （x +1）－1＜2，即－1＜f （x +1）＜3.又f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象过点A （0，3），B （3，－1），∴f （3）＜f （x +1）＜f （0）. ∴0＜x +1＜3，－1＜x ＜2. 答案：（－1，2） ●典例剖析【例1】 取第一象限内的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），使1，x 1，x 2，2依次成等差数列，1，y 1，y 2，2依次成等比数列，则点P 1、P 2与射线l :y =x （x ＞0）的关系为A.点P 1、P 2都在l 的上方B.点P 1、P 2都在l 上C.点P 1在l 的下方，P 2在l 的上方D.点P 1、P 2都在l 的下方剖析：x 1=31+1=34，x 2=1+32=35，y 1=1×32=32，y 2=34，∵y 1＜x 1，y 2＜x 2，∴P 1、P 2都在l 的下方. 答案：D【例2】 已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （2）=0，g （x ）是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g （x ）=f （x －1），求f （2002）的值.解：由g （x ）=f （x －1），x ∈R ，得f （x ）=g （x +1）.又f （－x ）=f （x ），g （－x ）=－g （x ），故有f （x ）=f （－x ）=g （－x +1）=－g （x －1）=－f （x －2）=－f （2－x ）=－g （3－x ）= g （x －3）=f （x －4），也即f （x +4）=f （x ），x ∈R .∴f （x ）为周期函数，其周期T =4.∴f （2002）=f （4×500＋2）＝f （2）=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】 函数f （x ）=m x +41（m ＞0），x 1、x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f （x 1）+f （x 2）=21. （1）求m 的值；（2）数列{a n }，已知a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （nn 1-）+f （1），求a n .解：（1）由f （x 1）+f （x 2）=21，得m x +141+m x +241=21，∴41x +42x +2m =21［421x x ++m （41x +42x ）+m 2］. ∵x 1+x 2=1，∴（2－m ）（41x +42x ）=（m －2）2. ∴41x +42x =2－m 或2－m =0.∵41x +42x ≥22144x x ⋅=2214x x +=4， 而m ＞0时2－m ＜2，∴41x +42x ≠2－m . ∴m =2.（2）∵a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （nn 1-）+f （1），∴a n =f （1）+f （n n 1-）+ f （nn 2-）+…+f （n 1）+f （0）.∴2a n =［f （0）+f （1）］+［f （n 1）+f （nn 1-）］+…+［f （1）+f （0）］=21+21+…+21=21+n .∴a n =41+n .深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】 函数f （x ）的定义域为R ，且对任意x 、y ∈R ，有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=－2.（1）证明f （x ）是奇函数；（2）证明f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f （x +y ）=f （x ）+f （y ），得f ［x +（－x ）］=f （x ）+f （－x ），∴f （x ）+ f （－x ）=f （0）.又f （0+0）=f （0）+f （0），∴f （0）=0.从而有f （x ）+f （－x ）=0.∴f （－x ）=－f （x ）.∴f （x ）是奇函数.（2）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）－f ［x 1+（x 2－x 1）］=f （x 1）－［f （x 1）+f （x 2－x 1）］=－f （x 2－x 1）.由x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0.∴－f （x 2－x 1）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），从而f （x ）在R 上是减函数.（3）解：由于f （x ）在R 上是减函数，故f （x ）在［－3，3］上的最大值是f （－3），最小值是f （3）.由f （1）=－2，得f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=f （1）+f （1+1）=f （1）+f （1）+f （1）=3f （1）=3×（－2）=－6，f （－3）=－f （3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.深化拓展 对于任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，试求m 的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得⎩⎨⎧=++=++.4632,322c b a c b a ∴b =2+2c ，a =－1－6c .又由x *m =ax +bm +cmx =x 对于任意实数x 恒成立，∴⎩⎨⎧==+.0,1bm cm a ∴b =0=2+2c . ∴c =－1.∴（－1－6c ）+cm =1. ∴－1+6－m =1.∴m =4. 答案：4.●闯关训练 夯实基础1.已知y =f （x ）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f －1（x ）的值域是［1，3］.答案：C2.（2003年郑州市质检题）关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是___________________.解析：作函数y =|x 2－4x +3|的图象，如下图.由图象知直线y =1与y =|x 2－4x +3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x +3|=1也就是方程|x 2－4x +3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a =1.答案：13.（2003年春季北京）若存在常数p ＞0，使得函数f （x ）满足f （px ）=f （px －2p）（x ∈R ），则f （x ）的一个正周期为__________. 解析：由f （px ）=f （px －2p），令px =u ，f （u ）=f （u －2p ）=f ［（u +2p ）－2p ］，∴T =2p 或2p的整数倍.答案：2p （或2p的整数倍） 4.已知关于x 的方程sin 2x －2sin x －a =0有实数解，求a 的取值范围.解：a =sin 2x －2sin x =（sin x －1）2－1. ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤（sin x －1）2≤4. ∴a 的范围是［－1，3］.5.（2004年上海，19）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）.（2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0.∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）.∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2. 而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）. 培养能力6.（理）已知二次函数f （x ）=x 2+bx +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f （x ）存在，∵函数图象的对称轴是x =－2b ， 又b ≥0，∴－2b≤0. ①当－21＜－2b≤0，即0≤b ＜1时，函数x =－2b有最小值－1，则⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1,0011240)1(1)2(22c b c b c b b f b f 或⎩⎨⎧==3,4c b （舍去）. ②当－1＜－2b ≤－21，即1≤b ＜2时，则 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0,20)0(1)2(c b f b f （舍去）或⎩⎨⎧=-=0,2c b （舍去）. ③当－2b≤－1，即b ≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧=-=-,0)0(,1)1(f f 解得⎩⎨⎧==.0,2c b综上所述，符合条件的函数有两个， f （x ）=x 2－1或f （x ）=x 2+2x .（文）已知二次函数f （x ）=x 2+（b +1）x +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x =－21+b ，又b ≥0，∴－21+b ≤－21.设符合条件的f （x ）存在， ①当－21+b ≤－1时，即b ≥1时，函数f （x ）在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=++-⇒⎩⎨⎧=-=-.0,101)1(10)0(1)1(c b c c b f f ②当－1＜－21+b ≤－21，即0≤b ＜1时，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-)0(1)21(f b f ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-+0,1012)1()21(22c b c c b b （舍去）. 综上所述，符合条件的函数为f （x ）=x 2+2x . 7.（2005年春季上海，21）已知函数f （x ）=x +xa的定义域为（0，+∞），且f （2）=2+22.设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N.（1）求a 的值.（2）问：|PM |·|PN |是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.解：（1）∵f （2）=2+2a=2+22，∴a =2.（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），则有y 0=x 0+2x ，x 0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM |=2||00y x -=1x ，|PN |=x 0，∴有|PM |·|PN |=1，即|PM |·|PN |为定值，这个值为1.（3）由题意可设M （t ，t ），可知N （0，y 0）.∵PM 与直线y =x 垂直，∴k PM ·1=－1，即t x t y --00=－1.解得t =21（x 0+y 0）.又y 0=x 0+02x ，∴t =x 0+22x . ∴S △OPM =221x +22，S △OPN =21x 02+22. ∴S 四边形OMPN =S △OPM +S △OPN =21（x 02+201x ）+2≥1+2. 当且仅当x 0=1时，等号成立.此时四边形OMPN 的面积有最小值1+2.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1； （2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1.x(a ) (b )解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，∴V 1=（4－2x ）2·x =4（x 3－4x 2+4x ）（0＜x ＜2）. ∴V 1′=4（3x 2－8x +4）.令V 1′=0，得x 1=32，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －32）（x －2）， 又当x ＜32时，V 1′＞0；当32＜x ＜2时，V 1′＜0，∴当x =32时，V 1取最大值27128.（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.故第二种方案符合要求.23 114① ②③●思悟小结1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.●教师下载中心 教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】 设f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a 、b ∈［－1，1］，当a +b ≠0时，都有ba b f a f ++)()(＞0.（1）若a ＞b ，比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）解不等式f （x －21）＜f （x －41）； （3）记P ={x |y =f （x －c ）}，Q ={x |y =f （x －c 2）}，且P ∩Q =∅，求c 的取值范围.解：设－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2≠0，∴)()()(2121x x x f x f -+-+＞0.∵x 1－x 2＜0，∴f （x 1）+f （－x 2）＜0. ∴f （x 1）＜－f （－x 2）.又f （x ）是奇函数，∴f （－x 2）=－f （x 2）. ∴f （x 1）＜f （x 2）. ∴f （x ）是增函数.（1）∵a ＞b ，∴f （a ）＞f （b ）. （2）由f （x －21）＜f （x －41），得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ∴－21≤x ≤45. ∴不等式的解集为{x |－21≤x ≤45}. （3）由－1≤x －c ≤1，得－1+c ≤x ≤1+c ，∴P ={x |－1+c ≤x ≤1+c }.由－1≤x －c 2≤1，得－1+c 2≤x ≤1+c 2， ∴Q ={x |－1+c 2≤x ≤1+c 2}. ∵P ∩Q =∅，∴1+c ＜－1+c 2或－1+c ＞1+c 2， 解得c ＞2或c ＜－1.【例2】 （2003年南昌市高三第一次质量调研测试题）已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称.（1）求f （x ）的解析式； （2）（文）若g （x ）=f （x ）·x +ax ，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.（理）若g （x ）=f （x ）+xa，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解：（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ，y ），点（x ，y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ，2－y ）在h （x ）的图象上.∴2－y =－x +x-1+2. ∴y =x +x 1，即f （x ）=x +x1. （2）（文）g （x ）=（x +x1）·x +ax ，即g （x ）=x 2+ax +1.g （x ）在（0，2］上递减⇒－2a≥2， ∴a ≤－4.（理）g （x ）=x +x a 1+. ∵g ′（x ）=1－21xa +，g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21xa +≤0在x ∈（0，2］时恒成立，即a ≥x 2－1在x ∈（0，2］时恒成立. ∵x ∈（0，2］时，（x 2－1）max =3， ∴a ≥3. 【例3】 （2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f （n ）关于时间n （1≤n ≤30，n ∈N *）的函数关系如下图所示，其中函数f （n ）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m ，且第m 天日销售量最大.（1）求f （n ）的表达式，及前m 天的销售总数；（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.解：（1）由图形知，当1≤n ≤m 且n ∈N *时，f （n ）=5n －3. 由f （m ）=57，得m =12.∴f （n ）=⎩⎨⎧+--93335n n .,3012,,121**N N ∈≤<∈≤≤n n n n 且且前12天的销售总量为5（1+2+3+…+12）－3×12=354件. （2）第13天的销售量为f （13）=－3×13+93=54件，而354+54＞400，∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行. 设第n 天的日销售量开始低于30件（12＜n ≤30），即f （n ）=－3n +93＜30，解得n ＞21.∴从第22天开始日销售量低于30件， 即流行时间为14号至21号.∴该服装流行时间不超过10天.。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题2(函 数)
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 为使f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－12，0)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 要有f (2x ＋1)有意义，应有0<2x ＋1<1， ∴－12<x <0，故选B.2．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)·f (1)＝(e 0－2)·(e －1)<0，∴选C.3．(文)(2014·枣庄市期中)函数y ＝16－3x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] 要使函数有意义，应有16－3x ≥0，∴3x ≤16， 又3x >0，∴0<3x ≤16，∴0≤16－3x <16，∴0≤y <4，故选C.(理)(2014·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝tan x[答案] C[解析] ∵x ≥0，ln x ∈R,2x >0，tan x ∈R ，∴选C.4．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 0.34，则( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．c <a <b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log 0.34<log 0.31＝0，∴c <a <b . (理)(2014·北京朝阳区期中)若0<m <1，则( ) A ．log m (1＋m )>log m (1－m ) B ．log m (1＋m )>0 C ．1－m >(1＋m )2 D ．(1－m )13>(1－m )12[答案] D[解析] ∵0<m <1，∴1<m ＋1<2,0<1－m <1，∴y ＝log m x 为减函数，y ＝(1－m )x 为减函数，∴log m (1＋m )<log m 1<log m (1－m )，A 、B 错；(1＋m )2>1>1－m ，C 错；(1－m )13>(1－m )12，故正确答案为D.5．(2014·山东省菏泽市期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] ∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3，∵f (x )周期为5， ∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.6．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0，则f [f (116)]＝( )A ．9B ．－19C.19D ．－9[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0∴f (116)＝log 4116＝－2，f [f (116)]＝f (－2)＝3－2＝19，故选C.(理)(2014·江西临川十中期中)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，则f (－4)等于( )A ．2 B.12 C ．32 D.132[答案] D[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，∴f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝2－5＝132.7．(文)(2014·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝e x －e －x 2D ．y ＝x 3＋1[答案] B[解析] y ＝x 3＋1是非奇非偶函数；y ＝e x －e －x2为奇函数；y ＝cos2x 在(1,2)内不是单调增函数，故选B.(理)(2014·广东梅县东山中学期中)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是单调递增的是( )A ．y ＝2|x ＋1|B ．y ＝x 2＋2|x |＋3C ．y ＝cos xD ．y ＝log 0.5|x |[答案] B[解析] y ＝2|x ＋1|是非奇非偶函数；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调增函数，y ＝log 0.5|x |在(0，＋∞)上单调递减，故选B.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013[答案] B[解析] ∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B.9．(文)(2014·枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[答案] D[解析] 由图象知，张大爷散步时，离家的距离y 随散步行走时间x 的变化规律是，先均速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(理)(2014·泸州市一诊)函数f (x )＝(1－1x2)sin x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 首先y ＝1－1x 2为偶函数，y ＝sin x 为奇函数，从而f (x )为奇函数，故排除C 、D ；其次，当x ＝0时，f (x )无意义，故排除B ，选A.10．(2014·安徽程集中学期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[32，3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－2a ≤0，∴32≤a <3，故选C. 11．(文)(2014·银川九中一模)如果不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y＝f (－x )的大致图象是( )[答案] C[解析] 由于不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，∴a <0，且－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选C.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x 2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C. 12.(2014·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关 [答案] B[解析] 设直线OM 、ON 与正六边形的另一个交点分别为M ′、N ′，由于正六边形关于点O 成中心对称，∴OM ′＝OM ，ON ′＝ON ，从而△OM ′N ′与△OMN 成中心对称，设直线l 交y 轴于T ，直线M ′N ′交y 轴于T ′，则|OT |＝|OT ′|，且S △OM ′N ′＝S △OMN ，即当t <0时，有S ＝f (t )＝f (－t )，∴S ＝f (t )为偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·营口三中期中)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)，∵0<log 232<1，14．(文)(2014·河南省实验中学期中)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．[答案] x ＝log 23[解析] 令2x ＝t ，则t >0，∴原方程化为t 2－2t －3＝0，∴t ＝3. 即2x ＝3，∴x ＝log 23.(理)(2014·长安一中质检)方程33x－1＋13＝3x －1的实数解为________． [答案] x ＝log 34[解析] 令3x ＝t ，则t >0，∴原方程化为3t －1＋13＝t3，∴t ＝4，即3x ＝4，∴x ＝log 34.15．(2014·北京海淀期中)已知a ＝log 25,2b ＝3，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． [答案] a >b >c[解析] 因为，a ＝log 25>log 24＝2，c ＝log 32<log 33＝1，由2b ＝3得，b ＝log 23,1＝log 22<log 23<log 24＝2，所以a >b >c .16．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ， x ≥0，x 2－2x ， x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：可知函数f (x )在整个定义域上是单调递减的， 由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. (理)(2014·湖南省五市十校联考)下列命题： ①函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；②点A (1,1)，B (2,7)在直线3x －y ＝0两侧；③数列{a n }为递减的等差数列，a 1＋a 5＝0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n ＝4时，S n 取得最大值；④定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2b 1b 2＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点(1，13)处的切线方程是6x －3y －5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{a n }为递减等差数列，∴d <0，∵a 1＋a 5＝0，∴a 1>0，a 5<0，且a 3＝0，∴当n ＝2或3时，S n 取得最大值，故③错；由新定义知f (x )＝13x 3＋x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2，故f (x )在(1，13)处的切线方程为y －13＝2(x －1)，即6x －3y －5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2ax 2＋4x －3－a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f (x )在R 上有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x 2＋4x －4 ＝2(x 2＋2x )－4＝2(x ＋1)2－6.因为x ∈[－1,1]，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2>0，a ≠0，∴a <－2或－1<a <0或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．(理)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围；(3)设函数g (x )＝bx ＋5－2b ，b ∈R .当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求b 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的图象与x 轴无交点，∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[－1,1]上单调递减，欲使f (x )在[－1,1]上存在零点，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0. (3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )值域的子集即可．∵函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b >0时，g (x )在[1,4]上的值域为[5－b,2b ＋5]，只需⎩⎪⎨⎪⎧5－b ≤－1，2b ＋5≥3，∴b ≥6；当b ＝0时，g (x )＝5不合题意，当b <0时，g (x )在[1,4]上的值域为[2b ＋5,5－b ]，只需⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋5≤－1，5－b ≥3，∴b ≤－3.综上知b 的取值范围是b ≥6或b ≤－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)已知二次函数f (x )满足条件：①在x ＝1处导数为0；②图象过点P (0，－3)；③在点P 处的切线与直线2x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求在点Q (2，f (2))处的切线方程．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (0)＝－3，f ′(0)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c ＝－3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，f ′(x )＝2x －2，∴切点Q (2，－3)，在Q 点处切线斜率k ＝f ′(2)＝2， 因此切线方程为y ＋3＝2(x －2)，即2x －y －7＝0.(理)(2014·河南淇县一中模拟)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)证明当m ≤2时，f (x )>0. [解析] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需要证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，所以ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)>0， 综上，当m ≤2时，f (x )>0.19．(本小题满分12分)(文)(2014·枣庄市期中)已知函数f (x )＝a －22x －1(a ∈R )．(1)用单调函数的定义探索函数f (x )的单调性； (2)求实数a 使函数f (x )为奇函数．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．任取非零实数x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，0)上单调递增． 同理可证，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)解法一：对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝a －22x －1＋a －22－x －1＝2a －22x －1－2·2x1－2x ＝2a ＋2·2x －22x －1＝2a ＋2.若函数f (x )为奇函数，则有2a ＋2＝0，解得a ＝－1， 此时f (－x )＝－f (x )． 所以a ＝－1为所求．解法二：若函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，即a －22－1－1＝－(a －221－1)．解得a ＝－1.当a ＝－1时，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝－1－22x －1－1－22－x －1＝－2－22x －1－2·2x1－2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 所以a ＝－1为所求．(理)(2014·泉州实验中学期中)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)已知f (x )是减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，定义域为R ， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知，1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，∴判别式Δ＝4＋12k <0，∴k <－13.20．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)函数f (x )＝2ax －x 2＋ln x ，a 为常数． (1)当a ＝12时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x －x 2＋ln x ，则f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－2x ＋1x ＝－(2x ＋1)(x －1)x .由f ′(x )>0，得0<x <1；由f ′(x )<0，得x >1； ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝0. (2)∵f ′(x )＝2a －2x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，则f ′(x )≥0，或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立． ∴2a －2x ＋1x ≥0，或2a －2x ＋1x ≤0在区间[1,2]上恒成立．即2a ≥2x －1x ，或2a ≤2x －1x 在区间[1,2]上恒成立．设h (x )＝2x －1x ，∵h ′(x )＝2＋1x 2>0，∴h (x )＝2x －1x 在区间[1,2]上为增函数．∴h (x )max ＝h (2)＝72，h (x )min ＝h (1)＝1，∴只需2a ≥72，或2a ≤1，∴a ≥74，或a ≤12.(理)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．[解析] (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)∵OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，∴(32x 2＋1)＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x，∵f (x )＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝3x 2＋1x 在(0，＋∞)上恒正，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(理)(2014·河北冀州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2(a ＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)对任意m ∈(0,2]，关于x 的不等式f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1. 由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3x 2＋2bx ＋c ， ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1,2)， ∴f ′(x )＜0的解是1＜x ＜2.所以方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，12＋4b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－92，c ＝6.∴f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋1.(2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3， 要使f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，应有12m 3－m ln m －mt ＋3>f (x )min ，∴12m 3－m ln m －mt ＋3>3， mt <12m 3－m ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立，即t <12m 2－ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立．设h (m )＝12m 2－ln m ，m ∈(0,2]，则t ＜h (m )min ，h ′(m )＝m －1m ＝m 2－1m ＝(m －1)(m ＋1)m，令h ′(m )＝0得m ＝1或m ＝－1， 由m ∈(0,2]，列表如下：∴当m ＝1时，h (m )min ＝h (m )极小值＝12，∴t <12.22．(本小题满分14分)(文)(2013·泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2013年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2013年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2013年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2013年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ [解析] (1)设比例系数为k (k ≠0)．由题意知，3－x ＝kt ＋1.又t ＝0时，x ＝1.∴3－1＝k 0＋1.∴k ＝2，∴x 与t 的关系是x ＝3－2t ＋1(t ≥0)．(2)依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3＋32x x ·150%＋t2x)元/件．于是，y ＝x ·(3＋32x x ·150%＋t2x )－(3＋32x )－t ，化简得，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)．因此，工厂2013年的年利润y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)万元．(3)由(2)知，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)＝50－(32t ＋1＋t ＋12)≤50－232t ＋1·t ＋12＝42(当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立)．所以，当2013年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元． (理)(2014·安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p .(以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，…，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．[分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f (x )＝x (x －q )2－p 为其模拟函数；(2)由题中条件：f (0)＝4，f (2)＝6，得方程组，求出p ，q 即可得到f (x )的解析式；(3)确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该海鲜产品在哪几个月份内价格下跌．[解析] (1)根据题意，应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)∵f (0)＝4，f (2)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，(2－q )2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0得，1<x <3，又∵x ∈[0,5]，∴f (x )在(0,1)，(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌．。
2015高三第一轮复习一次函数二次及函数与幂函数的最值恒成立及根的分布
[答案] －1
[小题能否全取]
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应 正确的是 ( )
A．① y＝ x ，② y＝ x2，③ y＝ x ，④ y＝ x－1 B．① y＝ x3，② y＝ x2，③ y＝ x ，④ y＝ x－1 C．① y＝ x2，② y＝ x3，③ y＝ x ，④ y＝ x－ 1 D．① y＝ x ，② y＝ x ，③ y＝ x2，④ y＝ x－1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象
限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；
0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选
1 3
(
)
解析：当 0<x<1 时，x >x，当 ห้องสมุดไป่ตู้>1 时，x <x，知只有 B 符合．
1 3
1 3
答案：B
3．(教材习题改编)设α∈
1 －1，1， ，3 2
，则使函数y＝ ( )
xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为
A．1,3 C．－1,3
B．－1,1 D．－1,1,3
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 y＝x y＝x2 y＝x3 性质
y＝x
1 2
y＝x－1
图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
函数
特征 性质
值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝ x
【高考考案】2015届高考数学第一轮复习 第二单元总结课件 文
下面比较 f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小． 由 f(x)在[－2，－1]，[1，2]上单调递增，有 f(－2) ≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)． 5 1 又由 f(1)＝f(－2)＝－ ，f(－1)＝f(2)＝－ ，从而 3 3 1 5 M(t)＝f(－1)＝－ ，m(t)＝f(1)＝－ . 3 3 4 所以 g(t)＝M(t)－m(t)＝ . 3 4 综上，函数 g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为 . 3
将 p，q 的值代入验证可知选 B. B 14* 14 9． 若 x>0， 记 x*＝lg x， a＝ ， b＝( )*， 则( )． 3* 3 A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法确定 14* lg 14 14 14 a＝ ＝ ＝log314>log39＝2， b＝( )*＝lg 3* lg 3 3 3 <lg 10＝1，故 a>b. A 3 3 10．已知曲线 f(x)＝ x －x(a>0)在点(x1，f(x1))处的
x＋1
(x)＞0.所以 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g(α)，又 由 g′(α)＝0， 可得 eα＝α＋2， 所以 g(α)＝α＋1∈(2， 3)． 由于①式等价于 k＜g(α)，故整数 k 的最大值为 2. 已知函数 f(x)＝ln(x＋1)－ f(0)x－f′(0)x2 ＋2. (1)求 f(x)的解析式及递减区间； b－3 2 (2)若 fx≤x ＋ax＋b，求 的最小值． a＋2 (1)令 x＝0 得 f(0)＝2， 1 又 f′(x)＝ －2－2f′(0)x，∴f′(0)＝－1， x＋1 ∴f(x)＝ln(x＋1)－2x＋x2＋2，
ln（a＋2） 设 h(a) ＝ － ， 则 h ′ (a) ＝ a＋2 a＋2 1＋ln（a＋2） ， 2 （a＋2） 1 1 由 h′(a)>0 得 a> －2，h′(a)<0 得－2<a< －2， e e 1 b－3 ∴h(a)≥h( －2)＝1－e，∴ 的最小值为 1－e. e a＋2
高考一轮总复习函数与方程篇
高考一轮总复习函数与方程篇高考一轮总复习：函数与方程篇函数与方程是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试的重点之一。
在备战高考一轮总复习时，加强函数与方程的学习和理解，对于提升数学成绩至关重要。
本文将从函数和方程的基本概念、常见类型、解题方法以及应试技巧等方面进行论述，为广大考生提供复习的参考指导。
一、函数1.1 函数的定义函数是高中数学中的基础概念之一，通俗地说，函数就是输入一个值，通过一个规则，产生一个唯一的输出值。
在数学中，函数可以用符号语言来描述，即$f(x)$，其中$x$是自变量，$f$是函数关系。
1.2 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
了解函数的性质有助于解题和理解函数图像。
1.3 常见函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
不同类型的函数有着特定的图像和性质，需要考生熟练掌握。
1.4 函数的图像与变换了解函数的图像和变换规律，可以帮助考生更好地理解函数的性质和规律。
例如，函数的平移、翻折、伸缩等操作会对图像产生什么样的影响，考生需要牢记并运用于解题中。
二、方程2.1 方程的定义方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。
在高中数学中，常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。
2.2 方程的解法不同类型的方程对应着不同的解题方法，如一次方程可用逆运算法和代入法解决，二次方程可用配方法、因式分解法、求根公式等解决。
了解各种类型方程的解法，并多做相关的习题，有助于考生在考试中灵活运用。
2.3 方程在问题中的应用方程在实际问题中的应用广泛，例如运动问题、几何问题等。
考生需要具备将实际问题转化为方程，并通过解方程得到问题的解的能力。
三、复习策略与应试技巧3.1 制定复习计划针对函数与方程篇的复习，考生可以制定合理的复习计划，合理安排每天的学习时间和内容，确保能够充分复习全面掌握。
3.2 多做习题做习题是学习函数与方程的重要环节，通过做题可以巩固知识点，熟悉解题方法。
2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示
2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示基础巩固强化一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.(理)(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题， 由条件知f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2014)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝4a ， ∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2013·银川模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D [解析]1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)． (理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.二、填空题 7．(文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防范] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价． 8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－(1x )21＋(1x)2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．(2012·辽宁辽南协作体期中)已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x ， x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． [解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000，∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000.令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数． ∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B. 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．二、填空题[答案] －1或1[解析]14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |； ⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≥0)－x 2＋bx ＋c (x <0)取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．16．(文)某地区预计2014年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2014年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式． (2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析](1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝175x(x＋1)(19－x)－175(x－1)x(20－x)＝125x(13－x)．(2)g(x)＝125(－x 2＋13x)＝－125[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q 与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *). (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *). 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)，(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *). 若0<t <25(t ∈N *)， 则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．考纲要求1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用． 4．会求一些简单函数的定义域．5．了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域． 6．会求一些简单函数的解析式． 补充说明1．掌握几类题型：求定义域，分段函数求值、解不等式，已知分段函数值求自变量的值及函数的图象变换．2．函数的定义域是一个集合，应该用集合或区间表示，有几段时，要用“∪”连接，函数解析式是几个代数式的和时，定义域是使各部分有意义的x 的集合的交集．3．了解求函数解析式的常见类型及方法 (1)配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．(2)换元法已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求f (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝φ(t )．将x ＝φ(t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得f (x )的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．[例1] 已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2] (2012·德州模拟)设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．[解析] ∵二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)， ∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， 故可设f (x )＝a (x ＋2)2＋c ， ∵f (x )的图象在y 轴上的截距为1， ∴f (0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f (x )的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a (x ＋2)2＋c ＝0的两根， ∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f (x )＝12(x ＋2)2－1，即f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(4)消元法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其它未知量，如f (－x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[例3] 已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (－x )＝x ，则f (x )＝________.[分析] 由于难以判断f (x )是何种类型的函数，故不可能先设出f (x )的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把f (x )、f (－x )作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ② ②×2－①得，f (x )＝－x . [答案] －x[点评] 充分抓住已知条件式的结构特征，运用x 取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f (x )－f (－1x )＝2x －1，你会求f (x )吗？(5)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．[例4] 已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． [解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1 再令－b ＝x 得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1) ＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ， ∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (6)转化法已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．[例5] 已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)， 设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ； 设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)； 设2<x ≤3，则0<x －2≤1， ∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )， ∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2(x ＋2)(x ＋4) －3≤x <－2，kx (x ＋2) －2≤x <0，x (x －2) 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4) 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f (x )在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．[点评] 可用导数讨论单调性． 备选习题1．值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( ) A ．1 B ．8 C ．27 D ．39[答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12 x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154 B ．3 C ．4 D.34[答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12 x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)，lg x (x ≥1).若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，lg x 0>1.∴x 0<0或x 0>10.5．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称[答案] D[解析] 若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上，则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]，可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上，反之亦然，而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称，故选D.6．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法1：取AA 1、CC 1的中点E 、F ，EF 交BD 1于O ，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1， MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EF BO·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数， 当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点O 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BO 中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎨⎧a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 8．某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3)．(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． [解析] (1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10]．(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )·(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x )．由L ′(x )＝0，得x ＝11∉[7,10]或x ＝17＋2a3.因为1≤a ≤3， 所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以L (x )max ＝L (7)＝16(4－a )．②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，L (x )max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3. 当1≤a ≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元．当2<a ≤3时，在每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元．。
高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧
高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧函数和方程是高中数学重要的内容之一，在高考数学中占有很大的比重。
掌握函数和方程的巧妙技巧，将对我们的考试成绩起到明显的提升作用。
本文将介绍一些高考数学函数与方程的巧妙技巧，帮助同学们更好地备考。
一、函数的巧妙技巧1. 利用平移变换简化函数图像当函数图像进行平移操作时，可以通过学习特定的平移规律，快速推导出平移后函数的性质。
例如，对于$f(x)$的图像进行横向平移$h$个单位，得到$f(x-h)$。
同样，对于纵向平移$k$个单位，可得到$f(x)+k$。
利用这样的平移规律，可以简化函数图像的分析和计算。
2. 利用对称性简化函数的运算对称性是函数图像常见的性质之一。
利用函数的对称性，可以简化函数的运算过程。
例如，假设函数$f(x)$满足奇函数的性质，即$f(-x)=-f(x)$，如果我们需要计算$f(-3)$，可以直接利用奇函数性质得出结论，即$f(-3)=-f(3)$，从而省去了对函数图像的具体计算过程。
3. 复合函数的分解求解对于复合函数的求解，有时会比较复杂，需要进行多次代入和运算。
这时，我们可以灵活运用分解的技巧，将复合函数拆解成多个简单的函数。
通过简化复合函数的形式，可以更加快速地求解和计算。
二、方程的巧妙技巧1. 倍角公式的巧妙应用倍角公式是高中数学中常用的公式之一，可以用来求解一些特定的方程。
例如，对于$sin2x=0$的方程，我们可以运用倍角公式将其转化为$sinx\cdot cosx = 0$，从而得到$x=0$或$x=\frac{\pi}{2}$。
这样，在方程的求解过程中，我们可以通过巧妙地应用倍角公式，将方程转化为更简单的形式，减少计算难度。
2. 参数法的灵活运用参数法是解二元一次方程组的一种常用方法，也可以用于求解高中数学中的一元方程。
通过引入一个新的参数，将方程转化为参数方程，则可以通过参数的取值范围，最终求解得出方程的解。
3. 方程的化简与转化有时，方程较为复杂，难以直接进行求解。
2015届高三数学第一轮总复习课件：第12讲 函数与方程
6 第六页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
3．函数f(x)＝－
1 x
＋log2x的一个零点落在下列哪个区间
(B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
7 第七页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
解析：根据零点存在定理得到f(1)·f(2)＝－1×
1 2
＜0，故
根属于(x1，x2)．
23 第二十三页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
分析：(1)证明f(x)必有两零点，即证明f(x)＝0有两不等 实根，可用判别式；(2)中证明(x1，x2)中有零点，可由所对 应函数的函数值异号证明．
证明：(1)因为f(1)＝0，即a＋b＋c＝0. 又因为a>b>c，所以a>0，c<0，即ac<0. 所以Δ＝b2－4ac≥－4ac>0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，即函数f(x) 必有两个零点．
选B.
8 第八页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次
经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，第
二次应计算 ，这时可判断x0∈
.
9 第九页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
解析：由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25， 这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x0∈(0.25,0.5)．
图象，如图，由图可得零点个数为2.
34 第三十四页，编辑于星期五：八点 五十二分。
2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题12函数与方程(新课标版)
y 轴对称 .
（ 3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性，则其单调性恰恰相反 .
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数
.
③若 f ( x) 为偶函数，则 f ( x) f ( x) f (| x |) .
特殊函数图象 :
(1) 函数 y
ax b (c
0, ad
bc) : 可由反比例函数
y
k (k
0) 图象平移、伸缩得到 . 图 1 示例 .
cx d
x
①图象是双曲线 , 两渐近线分别直线 x
d ( 由分母为零确定 ) 和直线 y a ( 由分子、分母中 x 的系数确
c
c
定) ；
②对称中心是点 ( d , a ) .
与命题结合，考查函数根的存在性，属于基础题
. 在 2014 年理科高考题，主要考查函数奇偶性，属于基础
题，而文科除考查函数奇偶性，还考查了分段函数，解不等式，使得题目难度较低
. 从这三年高考题可以看
出，函数的性质，不等式的解，函数与方程，函数零点是高考考查的热点，每过几年都要涉及，考查根的
存在性定理的题较基础，而函数零点往往结合函数性质与函数图像，作为把关题存在，主要考查转化与化
热点十二 函数与方程
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1. 【 2012 新课标全国文】
设函数
f
(
x)=
(x+1) 2+sin
2
x的最大值为
M ，最小值为
m，则 M+ m=____
x +1
2. 【 2013 新课标全国】已知命题 p : x R ， 2 x 3x ；命题 q : x R ， x3 1 x2 ，则下列命题中为真
2015年高中数学高考《函数与方程》专题复习名师讲解PPT多媒体课件
1．若函数 f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点 3，
那么函数 g(x)＝bx2＋3ax 的零点是( )
A．0
B．－1
C．0，－1
D．0,1
解析： ∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为 3，
∴3a－b＝0,3a＝b. 令 g(x)＝0 得 bx2＋3ax＝0， 即 bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，
f(x)＝g(x)的根，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)， 函数 F(x)的零点即为方程 f(x)＝g(x)的根．
若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附
近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.375)＝－ f(1.437 5)＝ f(1.406 25)＝
故(0,1)为函数 f(x)的零点所在的一个区间．
答案： C
3．(2010·浙江卷)已知 x0 是函数 f(x)＝2x＋1－1 x 的一个零点，若 x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)， 则( ) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
0.260
0.162
－0.054
那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精
确度 0.1)为________．
解析： 通过参考数据可以得到：f(1.406 25)
＝－0.054＜0，f(1.437 5)＝0.162＞0，从而
易知 x0≈1.406 25. 答案： 1.406 25
【变式训练】 2.用二分法求方程 ln x＝1x在 [1,2]上的近似解，取中点 c＝1.5，则下一个 有根区间是________．
高三数学一轮复习备考试题：函数(含答案解析)
江苏省2015年高考一轮复习备考试题函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2、（2014年江苏高考）已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|212|)(2+-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3、（2013年江苏高考）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
4、（2012年江苏高考）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．5、（2012年江苏省高考）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 6、（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．7、（2015届江苏南京高三9月调研）设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲8、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数23 1 ()x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，，，1，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲9、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ▲ 10、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲11、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．112、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A I B = ▲13、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ．14、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲15、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数1()()e x af x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲16、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ 17、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ 18、（2014江苏百校联考一）函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．19、（南京、盐城市2014高三第一次模拟）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 20、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ 21、（南通市2014届高三上学期期末考试）设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 22、（苏州市2014届高三1月第一次调研）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲23、（泰州市2014届高三上学期期末考试）设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 24、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设12()1f x x=+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ . 26、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）已知函数ln (),()xf x kxg x x==，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ▲ .27、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）已知函数()()2log ,12,01x x f x f x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥，则()3212f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ▲28、（无锡市2014届高三上学期期中）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为＿＿＿＿＿。
高三数学一轮复习专题：函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第8节 函数与方程
【解析】 由函数图象可知 0<b<1，f(1)＝0，
从而－2<a<－1，
f′(x)＝2x＋a，所以 g(x)＝ln x＋2x＋a，函数
g(x)＝ln x＋2x＋a 在定义域内单调递增，g12＝ln
1 2
＋1＋a<0，g(1)＝ln 1＋2＋a>0，所以函数 g(x)＝ln x
＋f′(x)的零点所在的区间是12，1，故选 C. 【答案】 C
规律方法 1 1.函数零点的判断常用的方法有：(1)零点存 在性定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)＝0.
2．(1)求函数的零点，从代数角度思考就是解方程 f(x)＝ 0；从几何角度思考就是研究其图象与 x 轴交点的横坐标；
(2)本题的求解过程，其实质就是转化过程，应注意两点： ①转化的方式：变形；②转化的方向，由数到形．
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
规律方法 2 用二分法求函数零点的近似解必 须 满 足 ①y ＝ f(x) 的 图 象 在 [a ， b] 内 连 续 不 间 断 ， ②f(a)·f(b)＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩 短，以减少计算量及计算次数．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
D．f(x1)<0，f(x2)>0
(2)(2014·昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x
－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上 f(x)＝x，若关于 x 的方程 f(x)＝
logax 有三个不同的根，试求 a 的取值范围．
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
【思路点拨】 (1)在同一坐标系内画出函数 y＝12x 与 y ＝－1x的图象，确定 x1，x2 的位置，从而确定 f(x1)与 f(x2)的正 负；
高考数学一轮复习 2.12 函数与方程 理 课件
【命题立意】(1)本题考查函数的零点问题，考查学生 作图的能力，考查数形结合的思想方法．
(2)本题考查了函数零点的存在区间，对数函数和一次 函数的性质等知识，本题可运用函数零点的判定来解 决，也可画出对数函数y＝logax(2<a<3)的图象和直线y ＝－x＋b(3<b<4)再进行直观判断．
【解析】(1)解法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0. 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． 解法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
当k＝1时，方程(*)有一个解x＝－m2 ，
此时，函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m2 ；
当k≠1时，方程(*)有两个解 ⇔Δ＝4－4m(1－k)＞0.
若m＞0，则k＞1－
1 m
，此时，函数y＝f(x)－kx有
两个零点
x＝－2± 24－1－4mk1－k＝1± 1－k－m11－k；
【知识要点】
1．函数零点的几个等价关系 方程f(x)＝0有 根 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交 点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续 不断 的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ， 那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零 点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这 个c也就是方程f(x)＝0的 根 .
【解析】(1)当x<2时，f′(x)＝3(x－1)2≥0， f(x)在(－∞，2)上单调递增，f(x)∈(－∞，1)； 当x≥2时，f(x)在[2，＋∞)上单调递减， f(x)∈(0,1]； 要使f(x)＝k有两个不同的实根，则0<k<1.
2015高考数学一轮总复习课件：2.12 函数与方程
设 g(x)＝－1＋x＋12logax，12<x<1， 则 g′(x)＝2xl1n a＋1<2xln1e－12＋1＝－1x＋1<0 所以当12<x<1 时，g(x)为减函数，g(x)>g(1)＝0， 所以当12<x<1 时，g(x)＝0 无实根，即|x－k|－12logax ＝0 在12<x<1 无实根； ④当 0<x≤12时， 方程|x－k|－12logax＝0 可化为 x－12logax＝0；
第十七页，编辑于星期五：十二点 三十分。
设 φ(x)＝x－12logax0<x≤12，显然 φ(x)为增函数， 所以 φ(x)≤φ12<0
所以当 0<x≤12时，φ(x)＝0 无实根，即|x－k|－12 logax＝0 在 0<x≤12无实根；
综上可得 f(x)－loga x＝0 有且只有一个实根为 x ＝1.
第七页，编辑于星期五：十二点 三十分。
2．二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布
根的分布
(m<n<p 为常数)
图象
满足条件
x1<x2<m
Δ>0
－2ba<m f（m）>0
m<x1<x2
Δ>0 －2ba>m f（m）>0
第八页，编辑于星期五：十二点 三十分。
x1<m<x2
m<x1<x2<n
第十一页，编辑于星期五：十二点 三十分。
一、一元二次方程根的分布 例1已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另 一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范 围．
2015高考数学配套课件：2-10 函数与方程
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第三页，编辑于星期五：十五点 七分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
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高考调研
பைடு நூலகம்
新课标版 ·高三数学（文）
1．函数零点的概念 零点不是点！ (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x； (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图像与 x 轴交点的横 坐标．
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第二十四页，编辑于星期五：十五点
七分。
高考调研
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由图像可知，当 0<－a<4， 即－4<a<0 时，g(x)与 h(x)的图像有 4 个交点，即 f(x)有 4 个 零点．故 a 的取值范围为(－4,0)．
【答案】 (－4,0)
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两函数图像有且只有一个交点，即方程 f(x)＝0 有且只有一
个根．
【答案】 1 个
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第二十一页，编辑于星期五：十五点
七分。
高考调研
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(2)已知函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2 的
零点依次为 a，b，c，则( )
零点所在区间为( )
A．(－14，0)
B．(0，14)
C．(14，12)
D．(12，34)
答案 C
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1．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x) 的零点 ( ) A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个 答案：B
2．如下图所示的函数图象与x轴均有交点，其 中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )
A．①② D．③④ 答案：B
B．①③
C．①④
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点 时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中 一个零点x0∈________，第二次应计算 ________．以上横线上应填的内容为 ( ) A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25) C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.125)
解：(1)若 a＝0，则 f(x)＝－x－1， 令 f(x)＝0，即－x－1＝0，得 x＝－1，故符合题意； 若 a≠0，则 f(x)＝ax2－x－1 是二次函数； 故有且仅有一个零点等价于 Δ＝1＋4a＝0， 1 解得 a＝－4， 1 综上所述 a＝0 或 a＝－ . 4
(2)若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点． 即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2| ＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 作出g(x)的图象，由图象可知如果要使 |4x－x2|＝－a有四个根， 那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点． 故需满足0<－a<4，即－4<a<0. ∴a的取值范围是(－4,0)．
此类方程根的分布问题，通常有两种解法．一 种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思 想结合图象求解，二是构造两个函数分别作出 图象，利用数形结合法求解．此类题目也体现 了函数与方程、数形结合的思想.
【例 3】
3 用二分法求函数 f(x)＝x －x－1 在区间[1，2]
3
内的一个零点(精确度 0.1)．
1 解法一：取 m＝0，有 f(x)＝－3x＋1 的零点 x＝3>0，即 m ＝0 符合题设，所以排除 A、B；当 m＝1 时，f(x)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2，它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.故选 D.
解法二：∵f(0)＝1， ∴①当 m<0 时必成立，排除 A、B. ②当 m>0 时，要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧， 则 m>0 Δ＝(m－3)2－4m≥0 m－3 － 2m >0
用二分法求函数的零点的近似值，使精确度为 正数ε，指将零点的初始值区间[a，b]逐次二等 分所得的区间[a′，b′]满足|a′－b′|<ε， 此时，取[a′，b′]的一个端点值a′(或b′)作 为函数的零点的近似值即可.
【例4】 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x ＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点 右侧，则实数m的取值范围是 ( ) A．(0,1] B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0 ， 那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点， 即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也 就是f(x)＝0的根．
【例 1】 ＝f(x )
1 (2009· 天津卷)设函数 f(x)＝3x－lnx(x>0)，则 y ( )
1 A．在区间( ，1)(1，e)内均有零点 e 1 B．在区间( ，1)(1，e)内均无零点 e 1 C．在区间( ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 e 1 D．在区间(e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x －2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在 一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值 范围．
解：二次函数 f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数 c， 使 f(c)>0 的否定是对于区间 [ － 1,1] 内的任意一个 x 都有
f(1)≤0 f(x)≤0，∴ f(－1)≤0
，
2 4 － 2( p － 2) － 2 p －p＋1≤0 即 2 4 ＋ 2( p － 2) － 2 p －p＋1≤0
2 2p ＋3p－9≥0 整理得： 2 2p －p－1≥0
，
3 解得：p≥ 或 p≤－3. 2 ∴ 二次函数在区间 [ － 1,1] 内至少存在一个实数 c ，使 3 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是(－3，2)．
变式迁移 4 若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4 ＝0的两实根α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的 取值范围是________． 解析：依题意，函数f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4的 两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f(x)过 点(0,4)，则必有
4>0 f(0)>0 f(1)<0 ，即3t＋3－7t＋4<0 f(2)>0 12t＋6－14t＋4>0 7 解得4<t<5. ，
(3)我们可用二分法来求方程的近似 解．由于计算量较大，而且是重复相同的 步骤，因此我们可以通过设计一定的计算 程序，借助计算器或计算机完成计算．其 流程图如下：
，∴0<m≤1.
1 ③当 m＝0 时原函数的零点为 x＝ >0，故选 D. 3
(1)这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要 注意结合图象，从判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大 小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件． (2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题 解决，也可用数形结合法.
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为 求方程的根． (2)求曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点的横坐标，实 际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x) －g(x)＝0的根．
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤须注 意的问题 (1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)、 f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函 数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求 方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－ g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的 根．
2
9 当－1≤x≤1 时，0≤f′(x)≤2， ∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．
【例2】 (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅 有一个零点，求实数a的值； (2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求 实数a的取值范围． 思路分析：(1)二次项系数含有字母，分类讨论 即可． (2)利用函数图象求解．
解：依据二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤． 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点， 取区间[1,1.5]作为计算的 初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：
端(中) 点坐标
1.25 1.375 1.3125
1．函数零点的理解 (1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的 三种不同表达形式，方程根的个数就是函 数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点 的个数．
(2)变号零点与不变号零点 ①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值 异号，则称该零点为函数f(x)的变号零 点． ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值 同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零 点． (3)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一 条连续的曲线，则f(a)·f(b)<0是f(x)在区 间(a，b)内有零点的充分不必要条件．
考 纲 要 求
热 点 提 示
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点 与方程根的联系，判断一元二次方程根 的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法 求相应方程的近似解. 本节的复习，应充分利用二次函数的图 象，理顺三个“二次”的关系，进而把 握函数与方程之间的关系，重点解决： (1)三个“二次”的关系；(2)函数的零点 ；(3)用二分法求方程的近似解.
(x1,0) 一个零点
无交点
无零点
3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函 数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定 精确度ε； 第二步，求区间(a，b)的中点x1； 第三步，计算 f(x1) ； ①若 f(x1)＝0 ，则x1就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a， x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1， b))； 第四步，判断是否达到精确度ε；即若|a－b|<ε， 则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、 四步．
思路分析：本题是函数零点的问题，由函数零 点的定义判断即可．
1 1 解析： 由题意， 得 f(e)· f(1)>0 且 f(1)· f(e)<0， 又 f′(x)＝3－ 1 ，当 0<x<3 时，f′(x)<0，f(x)在(0,3)上单调递减．所以 D 正 x 确．故选 D.