高三数学一轮复习教案：第一章第3课时充分条件和必要条件

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2023届高三数学一轮复习+充分条件与必要条件+课件

4
( √ )
【对接教材】
2.已知 p:x>1 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A ).
A.[1,+∞)
B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)
[解析] 设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},
因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q⫋P,因此 a≥1.
件,则实数 a 的取值范围是
a<0
.
[解析] 由 4x-3<1,解得 x<1,即 p:x<1,记 A={x|x<1}.
由 x-(2a+1)<0,解得 x<2a+1,即 q:x<2a+1,记 B={x|x<2a+1}.
因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,即 2a+1<1,解得 a<0.
方法突破充要条件的证明
1- < -2,
∴ > 0,
或 > 0,
解得 m≥9.∴实数 m 的取值范围为[9,+∞).
1 + > 10,
1 + ≥ 10
【变式设问】将本例中“p 是 q 的充分不必要条件”改为“p 是 q 的必要不充分条件”,
其他条件不变,则实数 m 的取值范围为 (0,3] .
[解析] 由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,由 x2-2x+1-m2≤0(m>0)得 1-m≤x≤1+m(m>0).
D.(-∞,-3)
3. 已知实数 x,y,则“x>0,y>0”是“x+y>0”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必

第一章第3讲充分条件与必要条件-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共27张PPT)

【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象；
(3)注意区别以下两种不同说法： ①p 是 q 的充分不必要条件，是指p⇒q 但q p； ②p 的充分不必要条件是 q，是指q⇒p 但p q.
解：p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)∵ p 是 q 的必要而不充分条件，即 q⇒ p， p q，∴p⇒q 且 q p.如图 1-3-1.
图 1-3-1 ∴A B，[－2,10] [1－m,1＋m]，
m>0，即1－m≤－2，解得m≥9，
1＋m≥10. ∴实数 m 的取值范围是[9，＋∞).
数列”的必要而不充分条件.故选 B. 答案：B
(3)(2019 年新课标Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面解析：α内有两条相交直线与β平行，则根据面面平行的判定定理α∥β，显然 B 正确. 答案：B
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：求解不等式 x3>8 可得 x>2，求解绝对值不等式|x|>2
可得 x>2 或 x<－2，据此可知：“x3>8”是“|x|>2”的充分而不
必要条件.故选 A.
答案：A
(2)(2018 年北京)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”

高三数学教案充分条件与必要条件

《充分条件与必要条件》说课教案一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

高三数学一轮复习精品教案1：1.3充分条件与必要条件教学设计

第三节充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/ B)两者的不同．『试一试』1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的____________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．『解析』因为命题q的题设与结论恰好是命题p的题设与结论的否定，故两者之间互否．『答案』否命题2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：___________.『解析』原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，『结论』∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．『答案』“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．『练一练』1．(2014·苏锡常镇调研)“x>3”是“x>5”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』“x>3”不一定能推出“x>5”，但“x>5”一定能推出“x>3”，故“x>3”是“x>5”的必要不充分条件．『答案』必要不充分2．(2013·苏锡常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q 的________条件．『解析』因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件．『答案』必要不充分考点一命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是_________________________________．『解析』命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．『答案』“若tan α≠1，则α≠π4” 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．『解析』对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 『答案』②④『备课札记』『类题通法』在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二充分必要条件的判定『典例』 (1)(2014·泰州期末)设a ∈R ，s ：数列{(n －a )2}是递增数列，t ：a ≤1，则s 是t 的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．(2)(2013·北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．『解析』 (1)由s ：数列{(n －a )2}是递增数列，知(n －a )2<『(n ＋1)－a 』2，则2a <2n ＋1得a <32，所以s 是t 的必要不充分条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』(1)必要不充分 (2)充分不必要『备课札记』『类题通法』充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.『解析』(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用『典例』已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解析』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．『备课札记』保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.『解析』由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴『－2,10』『1－m,1＋m 』．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『类题通法』利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .『针对训练』(2014·无锡期末)已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 『答案』『－1,6』『课堂练通考点』1．(2014·苏州期末)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．『解析』命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x 2>0，则x >0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．『答案』假2．(2013·盐城二模)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.『解析』由题意，m ≠0，所以－2m ＝3，所以m ＝－23. 『答案』－233．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的____________条件．『解析』依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』充分不必要4．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的____________条件．『解析』如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．『答案』充分不必要5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －16.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)。

新人教A版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件教案文

一、知识梳理１．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!pq”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论１．充要条件的两个结论（１）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．（２）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．２．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于二、习题改编１．（选修１１P8A组T２改编）命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是（）Ａ．“若x<y，则x２<y２”Ｂ．“若x>y，则x２>y２”Ｃ．“若x≤y，则x２≤y２”Ｄ．“若x≥y，则x２≥y２”解析：选Ｃ．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．故选Ｃ．２．（选修１１P１0练习T３（２）改编）“（x—１）（x＋２）＝0”是“x＝１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．若x＝１，则（x—１）（x＋２）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x—１）（x＋２）＝0，则x的值也可能为—２.故选Ｂ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!（１）不明确命题的条件与结论；（２）对充分必要条件判断错误；（３）含有大前提的命题的否命题易出错．１．命题“若△ABC有一内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（）Ａ．与原命题同为假命题Ｂ．与原命题的否命题同为假命题Ｃ．与原命题的逆否命题同为假命题Ｄ．与原命题同为真命题解析：选Ｄ．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为错误!”，它是真命题．２．已知p：a<0，q：a２>a，则綈p是綈q的________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．解析：綈p：a≥0；綈q：a２≤a，即0≤a≤１，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分３．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）（２0２0·长春质量检测（二））命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．故选Ｄ．【答案】D错误!（１）判断命题真假的两种方法（２）由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．１．命题“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（）Ａ．若a２＋b２≠0，则a≠0且b≠0Ｂ．若a２＋b２≠0，则a≠0或b≠0Ｃ．若a＝0且b＝0，则a２＋b２≠0Ｄ．若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0解析：选Ｄ．“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0”，故选Ｄ．２．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）有下列四个命题，其中真命题是（）１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题；３“若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0有实根”的逆否命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．Ａ．１２Ｂ．１２３４Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝１”，该命题为真命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直（b—c）”，由a·b≠a·c 可得a（b—c）≠0，据此可知a不垂直（b—c），该命题为真命题；３若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0的判别式Δ＝（—２b）２—４（b２＋b）＝—４b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是１２３４．故选Ｂ．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0１9·高考北京卷）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）由x２—５x<0可得0<x<５，由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．（２）b＝0时，f（x）＝cos x，显然f（x）是偶函数，故“b＝0”是“f（x）是偶函数”的充分条件；f（x）是偶函数，则有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，又cos（—x）＝cos x，sin（—x）＝—sin x，所以cos x—b sin x＝cos x＋b sin x，则２b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f（x）是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f（x）是偶函数” 的充分必要条件，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!充分条件、必要条件的三种判断方法（１）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．（２）集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．（３）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．１．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知，“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．３．已知p：x＋y≠—２，q：x，y不都是—１，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为p：x＋y≠—２，q：x≠—１或y≠—１，所以綈p：x＋y＝—２，綈q：x＝—１且y＝—１，因为綈q⇒綈p但綈p错误!綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选Ａ．充分条件、必要条件的应用（典例迁移）已知条件p：集合P＝{x|x２—8x—２0≤0}，条件q：非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若p 是q的必要条件，求m的取值范围．【解】由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【迁移探究１】（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．解：若p是q的充要条件，则P＝S，所以错误!所以错误!即不存在实数m，使p是q的充要条件．【迁移探究２】（变结论）本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p⇒q且q⇒p.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解．（２）涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．[注意] （１）注意对区间端点值的处理；（２）注意条件的等价变形．设p：—错误!<x<错误!（m>0）；q：x<错误!或x>１，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以错误!≤错误!，所以0<m≤２．答案：（0，２]思想方法系列１等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p：|x—４|≤6；条件q：（x—１）２—m２≤0（m>0）．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．【解析】条件p：—２≤x≤１0，条件q：１—m≤x≤１＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有错误!，所以0<m≤３．【答案】（0，３]错误!本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．１．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．法一：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二（等价转化法）：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y错误!x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．２．（２0２0·宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选Ｂ．[基础题组练]１．已知命题p：若x≥a２＋b２，则x≥２ab，则下列说法正确的是（）Ａ．命题p的逆命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｂ．命题p的逆命题是“若x＜２ab，则x＜a２＋b２”Ｃ．命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｄ．命题p的否命题是“若x≥a２＋b２，则x＜２ab”解析：选Ｃ．命题p的逆命题是“若x≥２ab，则x≥a２＋b２”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”，故C正确，D错误．２．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．a≠0错误!ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．３．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是（）Ａ．“a２>b２”是“a>b”的充分条件Ｂ．“a２>b２”是“a>b”的必要条件Ｃ．“ac２>bc２”是“a>b”的充分条件Ｄ．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选Ｃ．对于A，当a＝—５，b＝１时，满足a２>b２，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是a２<b２，所以必要性不成立；对于C，由ac２>bc２得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝—５，b＝１时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选Ｃ．４．已知命题α：如果x<３，那么x<５；命题β：如果x≥３，那么x≥５；命题γ：如果x≥５，那么x≥３．关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（）１命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；２命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；３命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．２３Ｄ．１２３解析：选Ａ．本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故１正确，２错误，３正确．５．“（x＋１）（y—２）＝0”是“x＝—１且y＝２”的________条件．解析：因为（x＋１）（y—２）＝0，所以x＝—１或y＝２，所以（x＋１）（y—２）＝0错误!x＝—１且y＝２，x＝—１且y＝２⇒（x＋１）（y—２）＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p：x≤１，命题q：错误!<１，则綈p是q的______．解析：由题意，得綈p：x>１，q：x<0或x>１，故綈p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故—３≤a≤0．答案：[—３，0]8．已知命题p：（x＋３）（x—１）>0；命题q：x>a２—２a—２．若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：已知p：（x＋３）（x—１）>0，可知p：x>１或x<—３，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a２—２a—２≥１，解得a≤—１或a≥３，即a∈（—∞，—１]∪[３，＋∞）．[综合题组练]１．（创新型）（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·辽宁丹东质量测试（一））已知x，y∈R，则“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．当“x＋y≤１”时，如x＝—４，y＝１，满足x＋y≤１，但不满足“x≤错误!且y≤错误!”．当“x≤错误!且y≤错误!”时，根据不等式的性质有“x＋y≤１”．故“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的必要不充分条件．故选Ｂ．３．（２0２0·湖南雅礼中学３月月考）若关于x的不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，则实数a的取值范围是（）Ａ．a≤１Ｂ．a<１Ｃ．a>３Ｄ．a≥３解析：选Ｄ．|x—１|<a⇒—a<x—１<a⇒１—a<x<１＋a，因为不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，所以（0，４）⊆（１—a，１＋a），所以错误!⇒错误!⇒a≥３．故D正确．４．下列命题中为真命题的序号是______．１若x≠0，则x＋错误!≥２；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．解析：当x<0时，x＋错误!≤—２，故１是假命题；根据逆否命题的定义可知，２是真命题；“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３是假命题；根据否命题的定义知４是真命题．答案：２４。

高三数学第一轮复习教案

集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为
A A；
②空集是任何集合的子集，记为
A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A ，那么 A = B. 如果 A B， B C，那么 A C .
[ 注 ] ：① Z= { 整数 } （√） Z ={ 全体整数 } （3）
②已知集合 S 中 A的补集是一个有限集，则集合则 CsA= {0} ）
命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式： p 或 q( 记作“ p∨ q” ) ； p 且 q( 记作“ p∧ q” ) ；非 p( 记
作“┑ q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（ 1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（ 2）“ p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（ 3）“ p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
高考数学总复习教案及知识点
第一章 - 集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
（ 1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之
.
（ 2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之
.
第三讲，简易逻辑及命题

充分条件与必要条件教案

充分条件与必要条件教案教案标题：充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解充分条件与必要条件的概念；2. 能够运用充分条件与必要条件的思维模式解决问题；3. 能够分辨充分条件与必要条件在不同情境下的应用。

教学重点：1. 充分条件与必要条件的定义和区别；2. 充分条件与必要条件的运用；3. 充分条件与必要条件在实际问题中的应用。

教学难点：1. 学生理解充分条件与必要条件的逻辑关系；2. 学生运用充分条件与必要条件解决问题的能力。

教学准备：1. 教师准备充分条件与必要条件的相关案例和练习题；2. 准备多媒体教学辅助工具；3. 制定教学计划和课堂活动安排。

教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引入充分条件与必要条件的概念，引发学生的兴趣和思考。

2. 概念讲解：通过多媒体教学工具，向学生介绍充分条件与必要条件的定义和区别，并举例说明。

3. 练习：设计一些简单的案例，让学生在小组中进行讨论，分析其中的充分条件与必要条件，并给出答案和解释。

4. 拓展：引导学生思考充分条件与必要条件在数学、逻辑和实际问题中的应用，提出一些挑战性的问题，让学生尝试解决。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调充分条件与必要条件的重要性和应用价值。

教学反思：1. 教学过程中是否能够引起学生的兴趣和主动参与；2. 学生是否能够理解充分条件与必要条件的概念和区别；3. 学生是否能够熟练运用充分条件与必要条件解决问题。

教学延伸：1. 给学生更多的练习机会，加深对充分条件与必要条件的理解和应用；2. 引导学生自主探究充分条件与必要条件在实际问题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

充分条件与必要条件教案

一、教案基本信息教案名称：充分条件与必要条件教案学科领域：数学课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。

2. 培养学生判断充分条件和必要条件的能力。

3. 使学生能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

教学重点：1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 判断充分条件和必要条件的方法。

教学难点：1. 充分条件和必要条件的区别和联系。

2. 运用充分条件和必要条件解决实际问题。

教学准备：1. 教材或教学资源。

2. 教学PPT或其他多媒体教学工具。

二、教学过程第一课时：1. 导入新课：通过复习相关概念，引导学生回顾已学过的逻辑连接词，如“如果…………”等，为新课的学习做好铺垫。

2. 学习新课：（1）讲解充分条件和必要条件的定义。

（2）通过举例让学生判断充分条件和必要条件。

（3）引导学生总结判断充分条件和必要条件的方法。

3. 巩固练习：（1）让学生独立完成教材上的练习题。

（2）教师选取部分题目进行讲解和分析。

第二课时：4. 复习导入：通过复习上节课的内容，引导学生回顾充分条件和必要条件的概念及判断方法。

5. 深入学习：（1）讲解充分条件和必要条件的运用。

（2）让学生通过实际例子体会充分条件和必要条件在解决问题中的作用。

6. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材上的练习题。

（2）教师选取部分题目进行讲解和分析。

7. 总结课堂：对本节课的内容进行总结，强调充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

三、课后作业1. 完成教材上的课后练习题。

2. 结合生活实际，找出一道运用充分条件和必要条件解决问题的题目，并与同学交流分享。

四、教学评价1. 课后收集学生的课堂练习作业，评估学生对充分条件和必要条件的理解和运用能力。

2. 在下一节课开始时，让学生分享他们找出的实际问题题目，评估学生在实际问题中运用充分条件和必要条件的能力。

3. 结合学生的课堂表现，评价学生在学习过程中的参与度和进步情况。

六、教学策略1. 案例教学：通过具体的案例，让学生更好地理解充分条件和必要条件的概念及其应用。

高考一轮复习：充分条件与必要条件教案精品

充分条件与必要条件(第一课时)[教学目标]1、初步理解充分条件与必要条件以及充要条件的概念。

2、明确两个简单命题间的充分条件关系、必要条件关系和充要条件关系。

3、掌握进行简单推理的数学技能。

[教学重点和难点]1、充分条件、必要条件以及充要条件概念的理解。

2、两个简单命题间关系的判断。

[教学过程]一、练习：命题(1)若x﹥0则x2>0。

(2)若ab=0，则a=0。

判断命题的真假性。

[问] 通过练习可得到什么结论？（1）“若p则q”为真命题，是指由p可推出q，记作p﹦﹥q。

这时，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）“若p则q”为假命题，是指由p不可推出q，记作p≠﹥q。

二、用例子引出概念：1、原命题成立，逆命题不成立。

如“若两角是对顶角，则此两角相等。

”也就是说p﹦﹥q且p﹤≠q。

∴p是q的充分不必要条件。

2、原命题不成立，逆命题成立。

如“偶数一定能被4整除。

”也就是说p≠﹥q且p﹤＝q。

∴p是q的必要不充分条件。

3、原命题成立，逆命题也成立。

如“能被5整除的自然数，它的末位数是0或5。

”也就是说p=﹥q且p﹤＝q。

（即p﹤＝﹥q）∴p是q的充要条件。

4、原命题不成立，逆命题也不成立。

如“对角线相等的四边形是平行四边形。

”也就是说p≠﹥q且p﹤≠q。

∴p是q的既不充分不必要条件。

三、应用：例1、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件。

（1）若x=1则x2-4x+3=0。

（2）若f(x)=x，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数。

（3）若x为无理数，则x2为无理数。

例2、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件。

（1）若x=y则x2=y2。

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。

（3）若a﹥b则ac﹥bc。

例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件。

（1）p：b=0，q：函数f(x)=ax2＋bx＋c是偶函数。

（2）p：x﹥0，y﹥0，q：xy﹥0。

高三数学(文一轮复习课件第一章3命题及其关系充分条件与必要条件

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲呈现 1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，并理解全称量词与存在量词的含义． 2．能正确的对含有一个量词的命题进行否定.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
命题角度2 含一个量词的命题的否定
(2018河南郑州预测(二))已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是 ()
A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x0>2，x30－8≤0 C．∀x0>2，x30－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0 【答案】B
【解析】依题意，知¬p是“∃x0>2，x30－8≤0”，故选B.
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0 时，不等式恒成立的条件是
a>0， Δ＝－12－4a2≤0，
解得a≥12.
综上，命题q为真时，a的取值集合为Q＝aa≥12
.
由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”可知命题p，q一真一
假．当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩
4．(教材习题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为________．
【答案】存在两个等边三角形，它们不相似
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．(2018山东枣庄第一学期期末)如果命题“p∨q”与命题 “¬p”都是真命题，则( )
A．命题q一定是真命题 B．命题p不一定是假命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q真假相同【答案】A
【解】因为函数y＝cx在R内单调递减，所以0<c<1，即p：0<c<1. 因为c>0，且c≠1，所以¬p：c>1. 又因为f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞内为增函数，所以c≤12，即q：0<c≤12. 因为c>0，且c≠1，所以¬q：c>12，且c≠1. 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p真q假或p假q真．

高中数学充分与必要教案

高中数学充分与必要教案
主题：充分与必要条件
教学目标：
1. 了解充分与必要条件的概念；
2. 能够应用充分与必要条件解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：
1. 充分条件的定义和应用；
2. 必要条件的定义和应用；
3. 充分与必要条件的关系。

教学难点：
1. 理解充分与必要条件的概念；
2. 能够灵活运用充分与必要条件解决问题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入充分与必要条件的概念，让学生了解这两个概念在数学中的重要性，并给出生活中的例子进行解释。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解充分条件的定义和应用，指导学生如何找到充分条件；
2. 讲解必要条件的定义和应用，指导学生如何找到必要条件；
3. 讲解充分与必要条件的关系，指导学生如何应用这两个概念解决问题。

三、练习（20分钟）
1. 完成课本上的练习题，巩固充分与必要条件的应用；
2. 让学生分组进行练习，提高他们解决问题的能力。

四、总结（10分钟）
让学生总结本节课所学内容，强调充分与必要条件在解决问题中的重要性，并展示典型的应用例子。

五、作业（5分钟）
作业：完成课后练习题，巩固所学内容。

教学后记：
通过本节课的教学，学生应该能够了解充分与必要条件的概念，掌握灵活运用这两个概念解决问题的能力。

希望学生能够在日常生活和学习中应用这些知识，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

高三数学一轮复习精品教案3：1.3充分条件与必要条件教学设计

第三节充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．『梳理自测』一、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系设a，b是向量，针对下列四种命题，填空并判定真假：A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______，______(真假)，其否命题为______，________(真假)，其逆否命题为________，________(真假)．『答案』D假A假C真◆此题主要考查了下列内容：1．四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若p⌝，则q⌝；逆否命题是若q⌝，则p⌝．2．四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．三、充分条件，必要条件，充要条件 1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．(2014·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2012·高考北京卷)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『答案』1.A 2.C 3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作：p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．『指点迷津』1．否命题和命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p ，则q ”，则该命题的否命题是“若p ⌝，则q⌝”；命题的否定为“若p ，则q⌝”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p 与q 之间的关系时，要注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如：a ＝0是“a ·b ＝0”的充分不必要条件，“a ·b ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件．考向一四种命题及其关系(1)(2014·潍坊市三模)命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是()A．若a＞b，则2a≤2b B．若2a＞2b，则a＞bC．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b(2)(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞bB．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＜bC．若e a－2a＝e b－3b，则a＞bD．若e a－2a＝e b－3b，则a＜b『审题视点』(1)根据否命题的定义改写．(2)利用逆否命题真假关系判定．『典例精讲』(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．(2)通过逆否命题判断真假．当0＜a≤b时，显然e a≤e b，且2a≤2b＜3b，∴e a＋2a＜e b＋3b，即e a＋2a≠e b＋3b成立，所以它的逆否命题：若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞b成立，故A正确，B错误；当0＜a≤b时，由e a≤e b，2a＜3b，知e a－2a与e b－3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．『答案』(1)C(2)A『类题通法』在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．『解析』①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．『答案』②③⑤考向二充分条件与必要条件的判定(1)(2014·济南市高考模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x ＞0”是“x ＞4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2014·福建省普通高三质量检查)已知向量a ＝(m 2，4)，b ＝(1，1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『审题视点』 (1)从解不等式x 2－3x ＞0入手，求x 的取值，寻找推导关系． (2)从判断a ∥b 的条件入手，寻找推导关系．『典例精讲』 (1)由x 2－3x ＞0，得x ＞3或x ＜0，此时得不出x ＞4，但当x ＞4时，不等式x 2－3x ＞0恒成立，所以正确选项为B.(2)依题意，当m ＝－2时，a ＝(4，4)，b ＝(1，1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』 (1)B (2)A『类题通法』命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．(2012·高考上海卷)对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.分别判断条件的充分性、必要性是否成立．∵mn ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＜0，当m ＞0，n ＞0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，但m ＜0，n ＜0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn ＞0，所以“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．考向三充分、必要、充要条件的应用已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且q⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12B.⎣⎡⎦⎤12，2 C ．『－1，2』 D.⎝⎛⎦⎤－2，12∪『2，＋∞) 『审题视点』q⌝的充分不必要条件是p ⌝，等价于p 是q 的必要不充分条件，化简p和q 后，借助集合间的包含关系即可求得a 的范围．『典例精讲』由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0，化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，由q⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，可知p ⌝是q⌝的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝－a 2＋a ＋6＞0f （1）＝－a 2＋a ＋2≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a ≤2， ∴－1≤a ≤2，故选C. 『答案』 C『类题通法』 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p ⌝是q⌝的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．3．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a ≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a ≤－1或a ≥6『解析』选B.设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.充分、必要条件的判定方法(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『正解』 ①弄清题目中谁是条件，谁是结论：条件是“|a·b |”＝|a ||b |，结论是“a ∥b ”．解题目标是什么？判定|a·b |＝|a ||b |⇒a ∥b 还是a ∥b ⇒|a·b |＝|a ||b |. ②探究转化关系一方面：由|a·b |＝|a ||b |，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a 与b 的关系．另一方面：由a ∥b ，计算|a·b | 解答过程若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；若a ，b 均不为零向量，则 |a ·b |＝|a||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， ∴|cos 〈a ，b 〉|＝1， ∴〈a ，b 〉＝π或0， ∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b . 若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π， ∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b|＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．『答案』 C『回归反思』 ①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b |＝|a |·|b |⇒a ∥b 后，还要探究a ∥b ⇒|a·b |＝|a ||b |，结合充要条件的概念，才能正确作答．1．(2013·高考湖南卷)“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』选A.利用集合间的关系转化．设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜2}， ∴A⊆B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的充分不必要条件．2．(2013·高考天津卷)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③『解析』选C.对各个命题逐一进行判断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43·πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q⌝的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A.借助原命题与逆否命题等价判断．若p ⌝是q 的必要不充分条件，则q ⇒p ⌝但p ⌝⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒q⌝但q⌝⇒/ p ，∴p 是q⌝的充分不必要条件．4．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.先解一元二次方程(2x －1)x ＝0，再利用充分条件、必要条件的定义判断．当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．。

1.2.3 高中必修一数学教案《充分条件、必要条件》

高中必修一数学教案《充分条件、必要条件》教材分析常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语，表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

学情分析从学生学习的角度看，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时，知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，比较切合教学实际。

教师在教学充要条件这一内容时，不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

2、在理解定义的基础上转化定义，转化成推理关系及集合的包含关系。

3、培养学生的观察问题、归纳规律、建构体系的能力，培养学生多方位审视问题的创造技巧。

教学重难点理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年8月4日）；（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；（4）“文字不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）。

本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件，二、学习新知1、充分条件、必要条件（1）在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。

高三数学一轮复习精品教案2：1.3充分条件与必要条件教学设计

第三节充分条件与必要条件考纲传真1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是()①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件； ④“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的充要条件．A ．②④B ．②③C ．②③④D ．③④『解析』由于|a |＞|b |⇔a 2＞b 2，a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，故②③正确．由于a ＞bD /⇒a 2＞b 2，且a 2＞b 2D /⇒a ＞b ，故①错；当c 2＝0时，a ＞bD /⇒ac 2＞bc 2，故④错．『答案』 B2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3『解析』命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，将条件与结论进行否定． ∴否命题是：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3. 『答案』 A3．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.『答案』 C4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『解析』原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.『答案』 B5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．『答案』 A四种命题及其关系(1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b(2)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题『思路点拨』(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”．(2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．『尝试解答』(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”，故选C.(2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题．『答案』(1)C(2)A,1．本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断．2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．(1)命题“若x 、y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)(2013·启东模拟)已知命题p ：若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________．『解析』 (1)“x ＋y 是偶数”的否定为“x ＋y 不是偶数”，“x ，y 都是偶数”的否定为“x ，y 不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故选C.(2)命题p 是真命题，从而其逆否命题也是真命题；命题p 的逆命题是“若方程ax 2＋2x ＝0有解，则a ＞0”是假命题，从而命题p 的否命题也是假命题，故真命题的个数为2. 『答案』 (1)C (2)2充分条件与必要条件的判定(1)(2013·郑州模拟)已知条件p ：(1－x )(x ＋1)＞0，条件q ：lg(1＋x ＋1－x 2)有意义，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·泰安模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是________．『思路点拨』 (1)把条件和结论转化为x 的取值范围，通过集合间的关系来判断． (2)根据BA 可求m 的值，取其中的一个m 值即可．『尝试解答』 (1)由(1－x )(x ＋1)＞0得－1＜x ＜1，即条件p ：－1＜x ＜1；由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x 2≥0，1＋x ＋1－x 2＞0得－1＜x ≤1，即条件q ：－1＜x ≤1；从而綈p ：x ≤－1或x ≥1，綈q ：x ≤－1或x ＞1，由于{x |x ≤－1或x ＞1}{x |x ≤－1或x ≥1}，故綈p 是綈q 的必要不充分条件． (2)A ＝{－3，2}，当B ＝∅时，BA ，此时m ＝0，当B ≠∅时，B ＝{－1m }，则－1m ＝－3或－1m＝2，∴m ＝13或m ＝－12故B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是m ＝0(答案不唯一)．『答案』 (1)B (2)m ＝0(答案不唯一),充分、必要条件的判断方法．(1)命题判断法：通过判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立确定p 是q 的什么条件．(2)集合判断法：建立命题p ，q 相应的集合p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么从集合的观点看，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B ，则p 是q 的充要条件．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3『解析』由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立．故选A. 『答案』 A充分条件、必要条件的应用(2013·大同模拟)设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．『思路点拨』先解不等式把命题p 、q 具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p 、q 之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．『尝试解答』由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，由綈p 是綈q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1∴0≤a ≤12.『答案』『0，12』,1．本题也可先求出綈p ，綈q ，再根据綈p 、綈q 之间的关系，确定集合间的关系求解．2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．(2013·苏北四市模拟)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．『解析』命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知， {x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m }， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10， ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『答案』『9，＋∞)一个区别_“A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．两条规律1.逆命题与否命题互为逆否命题； 2．互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B 的充要条件．从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力．常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误．易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件『错解』“函数f(x)＝a x在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是0＜a＜2且a≠1.故“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件，故选B.『答案』 B错因分析：(1)错选B，究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆，导致颠倒充分性与必要性．(2)不会用集合法判断充要条件．防范措施：(1)在判断充要条件的问题中，“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的，“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断．(2)设p，q对应的集合分别为A，B，则p，q之间的关系可转化为相应的两个集合之间的关系，“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”为真时，a 的取值集合A ＝(0，1)；“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”为真时，a 的取值集合B ＝(0，1)∪(1，2)．显然AB ，故p 是q 的充分不必要条件．『正解』 “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但qD /⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A.『答案』 A1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0. 故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．『答案』 B2．(2013·西安模拟)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________．『解析』 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 『答案』 3或4。

高三数学充分条件和必要条件教案

城东蜊市阳光实验学校高考资源网充分条件和必要条件〔1〕【教学目的】 1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合详细命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．【教高考资源网学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回忆1．命题：可以判断真假的语句，可写成：假设p 那么q ．2．四种命题及互相关系：3．请判断以下命题的真假：〔1〕假设xy =,那么22x y =;〔2〕假设22x y =,那么x y =; 〔3〕假设1x >,那么21x >;〔4〕假设21x >,那么1x >二、讲授新课1.推断符号“⇒〞的含义：一般地,假设“假设p ,那么q 〞为真,即假设p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ⇒〞;假设“假设p ,那么q 〞为假,即假设p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ⇒/〞.用推断符号“⇒和⇒/〞写出以下命题：⑴假设a b >，那么ac bc >；⑵假设a b >，那么a c b c +>+；2．充分条件与必要条件一般地，假设p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．如何理解充分条件与必要条件中的“充分〞和“必要〞呢？由上述定义知“p q ⇒〞表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p .充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“假设p 那么q 〞为真〔即p q ⇒〕的形式．“有之必成立，无之未必不成立〞．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“假设非q 那么非p 〞为真〔即q p ⌝⇒⌝〕的形式．“有之未必成立，无之必不成立〞．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：〔1〕充分必要条件〔充要条件〕，即p q ⇒且q p ⇒；〔2〕充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/；〔3〕必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；〔4〕既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/． 3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义〔1〕借助“子集概念〞理解充分条件与必要条件。

高三数学一轮复习 1.3.1 推出与充分条件、必要条件

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等；(2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ；(4)p ：a >b ，q ：ac >bc .考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 [－1,5]解析因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案－4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，∴由根与系数的关系得x1x2＝ca<0，即ac<0，此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[素养评析](1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．答案充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时，l1：y＝12a x－12a，l2：y＝1a x－12a.令12a＝1a，方程无解．当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．。

充要条件教学设计

高三第一轮复习教案第一章集合与简易逻辑1.3充要条件河北省邢台市第三中学高三数学组王文东一．教学目标知识与技能1.掌握充要条件相关的四种定义及其判断的方法。

2.会用充分条件和必要条件的定义判断两个命题间的关系。

过程与方法1.复习充分条件、必要条件和充要条件——应用举例——课堂练习——纵向联系——课外扩充——作业布置。

2.讲练结合法。

情感态度与价值观理顺推出关系，理解充分条件和必要条件的本质，提高人的认识能力。

教学重点：四种条件关系的判断．二．学习要求1.掌握充要条件的定义。

2.会用充分条件和必要条件的定义判断两个命题间的关系。

3. 判断充要条件相关的四种定义要分成两个步骤，既要判断充分性又要判断必要性。

三．教学过程：1复习引入：填空：若全集为U p: x∈A q: x∈B①p或q：x∈ ______ ；②p且q：x∈______ ；③┐p： x∈______ 。

通过填空得出结论：逻辑连接词中的“或”相当于集合中的“并集”；“且”相当于集合中的“交集”；“非”相当于集合在全集中的“补集”介绍引出两命题或条件之间的关系相当于两集合间的关系。

由此介绍符号⇒2知识点复习：结合高一所学定义给出：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分又不必要条件的四个定义并要求学生加深理解。

p,q分别表示某条件（1）如果既有p⇒q，又有q p，那么p就是q的充分不必要条件（2）如果既有p q，又有q⇒p，那么p就是q的既必要不充分条件（3）如果既有p⇒q，又有q⇒p，那么p就是q的既充分又必要条件，即充要条件（4）如果既有p q，又有q p，那么p就是q的既不充分又不必要条件充分条件sufficient condition有之必然，无之未必不然必要条件necessary condition有之未必然，无之必不然充要条件sufficient and necessary condition有之必然，无之必不然3.例题示范（1）已知p,q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？介绍用图示法解此题p ⇐ r ⇒ q⇑s答案自然迎刃而解。

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