初一数学竞赛讲义1(数轴)

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初中数学竞赛讲义(1)

初中数学竞赛讲义
1、证明：对于任意自然数k，存在无穷多个不含数码0的自然数t（十进制计数法），使得t与kt数码和相同。

2、设n是一个正整数，且d是十进制中的一个一位数，若
=0.d25d25d25…，求n
3、两位数
能整除十位数字为零的三位数。

求。

4、设n=99…9（100个9），则n3 的10进制表示中含有的数字9的个数为多少
5、求
…，1234567892的和的个位数的数字
6、求数1,2,3…，10n -2,10n -1的所有数码之和
7、求最小的自然数，当它的最后一个数码排列到第一位时，它的值增加到原来的五倍
8、已知a是一个1988位的自然数且可被9整除，a的各位数字相加和为b，b的各位数字相加和为c，c的各位数字相加和为d，求d
9、求适合等式
中的数码x，y，z
10、设x=0.1234567…999中的数字依次写下整数1到999而得到的，那么小数点右边第1983位数字是什么
11、设x与y是两个有两位数码的自然数，且x<y，乘积xy是一个有四位数码的自然数.首位数是2，如果把这个首位数2去掉，剩下的数正好是x+y，例如x=30，y=70.除此之外还有一组数具有如上性质，试求出这两个数
12、试求满足下列条件的六位整数
，。

这里a,b,c,d,e,f表示不同的数码，且a，e≠0
13、求满足
=（a+b+c）3的所有三位数。

14、已知某三位整数是5的倍数，其各位数字之和是20，个位数字与百位数字的和是3的倍数，求此整数。

15、求使nn有k个数字，kk有n个数字的所有自然数n，k
16、证明：如果n是正奇数，那么数22n（22n+1-1）在十进制中的最后两位数是28。

初中七年级数学竞赛培优讲义

初中七年级数学竞赛培优讲义《初中七年级数学竞赛培优讲义》哎呀，一提到数学竞赛培优讲义，我这心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳！为啥？因为这可真是个充满挑战又超级有趣的东西啊！你想想，数学就像一座神秘的城堡，里面藏着无数的宝藏和秘密。

而七年级的数学竞赛培优讲义，那就是打开这座城堡大门的一把神奇钥匙！我们先来说说那些有趣的几何图形吧。

三角形、四边形、圆形，它们就像是城堡里不同形状的房间。

三角形稳定得像泰山，不管怎么推怎么挤，它都稳稳当当的，难道这还不够神奇吗？四边形呢，有时候像个调皮的孩子，轻轻一拉就变形了。

圆形就更妙啦，像个超级大皮球，从哪个角度看都那么圆润可爱。

再讲讲代数部分，那些字母和数字的组合，就像是一场精彩的魔术表演。

X、Y 一会儿变大，一会儿变小，一会儿又消失不见，然后又突然冒出来，这难道不像魔术师手中的道具，让人眼花缭乱又惊喜连连？我们在课堂上，老师拿着培优讲义，就像拿着一本武功秘籍，给我们传授着一招一式。

“同学们，这道题可不容易哦，大家好好想想！”老师这么一说，大家都皱起了眉头，开始苦思冥想。

我心里想：“哼，我就不信我解不出来！”然后和同桌小声嘀咕：“你觉得从哪里入手好？”同桌挠挠头：“我也不太清楚呢，咱们再看看。

”小组讨论的时候那才热闹呢！“我觉得应该这样做。

”“不对不对，应该那样。

”大家争得面红耳赤，可谁也不服谁。

最后老师来给我们指点迷津，一下子就恍然大悟，那种感觉，就像在黑暗中突然看到了光明，别提多兴奋啦！做数学竞赛题，有时候就像爬山。

一开始觉得山坡好陡啊，怎么爬都爬不上去。

可是当你咬咬牙，坚持一下，突然就发现找到了一条小路，然后顺着这条路，一下子就爬到了山顶，那种成就感，简直无与伦比！数学竞赛培优讲义里的每一道题，都是一个小怪兽，我们就是勇敢的战士，拿着知识的武器去打败它们。

有时候会被小怪兽打得晕头转向，但是只要不放弃，总有战胜它们的时候。

经过这么长时间的学习和努力，我深深地觉得，数学竞赛培优讲义虽然难，但是它就像一个超级好玩的游戏，只要你用心去玩，就能从中获得无尽的乐趣和收获。

七年竞赛辅导(1)数轴

5-3.电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由 k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4 个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是。
4-2.如图，已知数轴上A,B,C所对应的数a,b,c都不为0，且C是AB的中点，如果 |a+b|-|a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0,那么原点O的位置在（） A. 线段AC上 B. 线段CA的延长线上 C. 线段BC上 D. 线段CB的延长线上
4-3.在如图所示的数轴中，OA=OB=BC=n，化简： |a-b|-|b+c|+|a+b+c|.
1.如果a<0,b>0,a+b<0,那么下列关系中正确的是（ D ） A. a>b>-b>-a B. a>-a>b>-b C. b>a>-b>-a D. -a>b>-b>a
பைடு நூலகம்
1-1.如图，在数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、 D对应的数分别是a,b,c,d，且d-2a=10,则数轴原点应是（） A. 点 A B. 点B C. 点C D.点D
。
借助数轴，进行分类讨论不易发生遗漏。
４.如果a+b+c=0 且 |c|＜|b|＜|a|，则下列说法中可能成立的是（
）
Ａ. a,b为正数，c为负数
C. c,b为正数，a为负数
B. a,c为正数，b为负数
D. a,c为负数，b为正数

初中数学竞赛辅导资料(初一用)

初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99(能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.练习一1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)

初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。

初中数学竞赛第01讲有理数数轴真题讲解

第1讲有理数和数轴知识方法扫描1. 正数和负数自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．如+5，+78，+2.4等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。

如-65，-78，-92.4等带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，2．有理数的分类（1）⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数（2）⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数3. 数轴规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数. 4．相反数只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. 互为相反数的和为0，在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.经典例题解析例1（1996年第7届“希望杯”数学邀请赛试题）若a、b互为相反数，c,d互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=______解因a、b互为相反数，故a+b=0；因c,d互为负倒数，故cd = -1，于是(a+b)1996+(cd)323 = 01996+(-1)323 = -1评注互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。

例2 （2000年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题）三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，ba，b的形式，那么a+3b=解由题意知，a 与a+b 中必有一个等于0，b 与b a 中必有一个等于1，但显然a ≠0，故a+b =0，从而b a=－1，于是b =1，这样就有a =－1， ∴a +3b =2。

七年级数学培优竞赛1——数轴上的点的移动

数轴上的点的移动1．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是．2．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．（1）点A和点B两点所对应的数分别为和．（2）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求点C对应的数．（3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段PO﹣AM 的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．3．（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴t，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是，若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'点E重合，则点E表示的数是．4．如图，在数轴上，点A表示的数是1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，点A1表示的数是；第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，点A2表示的数是；第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，点A3表示的数是；（1）数轴上分别用点把A1、A2、A3表示出来（2）按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．5．已知数轴上有A，B，C三点，分别代表﹣24，﹣10，10，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒．（1）问多少秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，问甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）在（1）（2）的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回．问甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．。

全国初中数学竞赛辅导(初1)_绝对值

第七讲初中数学竞赛中绝对值的应用（一）绝对值在计算中应用从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．因为这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．因为绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法实行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式实行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在实行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就能够分类讨论化简了。

七年级数学培优讲义竞赛辅导第1讲数轴

初一数学培优讲义第1讲数轴数轴是我们学习有理数的有力工具，主要反映在：(1)直观地表示有理数；（2）比较有理数的大小；(3)解释相反数的概念；(4)解决与绝对值有关的数学问题。

基本结论：(1)有理数都可以在数轴上表示出来。

但数轴上不是所有的点都表示有理数，比如π.（2）互为相反数的两点在数轴上关于原点对称。

(3)点A(a)与B(b)的中点表示的数为2a b +。

例1、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是___________.例2、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点距离1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且d —2a=10,那么原点应是( )A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点例3、我们知道，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义。

进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么AB=|a —b|。

(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和5 的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；(2) 数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是_______,如果|AB|=2，那么x 的值为_____;（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义________________________________________,当x 取何值时，该式取值最小：______________________.（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x -2005|的最小值。

注：一般地，设123,,,...n a a a a 是数轴上依次排列的有理数，则(1)当n 为奇数时，若12n x a +=亦即x是中间一个点时，则x 到这n 个点的距离之和12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小；(2)当n 为偶数时，若122n n a x a +≤≤亦即x 位于中间两个点之间任何位置时，则12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小。

初一数学《数轴》讲义

初一数学《数轴》讲义学习目标：（1）知道数轴的定义，并会画数轴；（2）能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数；（3）锻炼观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，领略数形结合的数学思想和方法.学习重点：数轴的定义，画数轴并把一些数在数轴上表示出来.学习难点：辨别所画数轴是否正确.[来源:]学习过程：一、情景引入请看温度计，你能读出温度计上显示的温度吗？你能在图1-1和1-2上分别标出表示0℃和-13℃的位置吗？二、探究学习1、在数学上我们有能表示出所有正数、0、负数的工具——数轴，下面我们通过画数轴来了解它：如何画数轴呢？请同学们在下边边画边用语言表达一下。

总结：像这样规定了、和的直线叫做数轴2、判断下列数轴的画法是否正确，若不正确，请指出错误原因。

三、【例题讲解】例1 如图，指出数轴上点A、B、C表示的数：例2 在数轴上画出表示下列各数的点：想一想：表示负数、0、正数的点在原点的哪一边？四、应用新知1. 分别指出数轴上点A、B、C、D所表示的数：[来源:学+科+网][来源:Z&xx&]2. 在数轴上画出表示下列各数的点：-3.5，3.5，-2.5，2.5，-4，4.[来源3.数轴上，在原点左边且离原点3个单位长度的点表示的数是______；距离原点4个单位长度的点表示的数是_______；点A表示的数是－1，则距离A点2个单位长度的数是___________.4. 一个蚂蚱在数轴上跳动，先从A点向左跳一个单位到B点，然后由B点向右跳两个单位到C点. 如果C点表示的数是－3，则A点表示的数是 .五、当堂达标一、选择题：1.在数轴上，原点及原点右边的点所表示的数是（）A、负数B、非负数C、非正数D、正数2.在数轴上距原点4个单位长度的点所表示的数是（）A、4B、－4C、4或－4D、2或－23.下列各图表示的数轴中，正确的是（）A、B、C、2D、4.在数轴上表示数－3，0，2.5，0.4的点中，不在原点右边的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个二、填空题：5.数轴上一个点表示的数为4，这个点向左移动5个单位后所表示的数是_______.6.在数轴上位于－2与5之间的点表示的整数有：___________.7、在数轴上的点A表示－3，现在把点A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，则到达终点所表示的数是。

七年级数轴相遇问题知识点

七年级数轴相遇问题知识点数轴相遇问题是初中数学中比较基础的问题，但其中涉及的概念和方法对初学者来说可能有些难以理解。

本文将详细介绍七年级数轴相遇问题的知识点，帮助读者掌握这一基础概念。

一、数轴的概念在学习数轴相遇问题之前，我们需要先了解数轴的概念。

数轴是数学中一个非常重要的概念，用于表示实数的位置关系。

数轴包括正数轴、负数轴和原点三个部分，其中原点是整个数轴的中心点，它的坐标值为0。

正数轴由原点向右延伸，负数轴由原点向左延伸。

在数轴上，每个点都对应着一个实数，这个实数的值就是这个点的坐标值。

比如，在数轴上标出点A，其坐标值为3，就表示实数3位于点A的位置。

二、数轴相遇问题的定义数轴相遇问题是指，设有两个人分别从数轴上的两个点出发，以不同的速度向对方方向移动，求他们相遇的位置。

这种问题常见于初中数学竞赛中，属于数学竞赛中的思维逻辑题。

三、数轴相遇问题的解法1. 首先，我们需要确定两人出发点之间的距离，然后计算出他们相对移动的速度。

2. 接着，我们可以设两人出发的位置分别为A和B，两人的速度分别为va和vb。

3. 由于两人是相向而行的，因此我们可以用两人的速度之和来表示他们相对移动的速度，设其为v=va+vb。

4. 由于两人出发的位置不同，因此需要根据两人的出发位置以及速度来确定他们相遇的位置。

我们可以先设两人的相遇点为M，其距离A点的距离为x，距离B点的距离为y，则有：x + y = AB根据速度公式，我们可以得到：x / va = (AB - x) / vb将上式中的AB用x + y替换，化简得到：x / va + y / vb = x / vb + y / va移项化简可得：x = (va * AB) / (va + vb)y = (vb * AB) / (va + vb)因此，两人相遇的位置为A + x或B – y。

四、数轴相遇问题的实例例如，甲人从点-3处以每秒2个单位的速度向正方向移动，乙人从点7处以每秒3个单位的速度向负方向移动，求两人相遇的位置。

七年级数学竞赛辅导讲座第一讲有理数

第一讲有理数一、有理数的概念及分类。

二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。

三、例题示范1、数轴与大小例1已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。

提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。

例3观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。

试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。

分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。

例4在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。

提示：P=na b a -+（n 为大于是的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。

例5在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧例6计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。

2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。

例7计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。

结论：2003。

例8计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。

七年级奥数竞赛——数轴

七年级奥数竞赛——数轴数轴的用处：1、数轴上的点与实数一一对应；2、一个实数的绝对值可以用数轴上点到原点的距离来表示；3、两个数若为相反数，则它们可以用位于数轴上的原点两侧且到原点的距离相等的点来表示；4、数轴上的点可以反应数的大小关系——从左至右，点对应的数越来越大。

例1、（1）如图，数轴上标出若干点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a, b, c, d, 且d-2a=10, 那么数轴的原点应是（）A. A点B. B点C. C点D. D点（2）数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是-2，且A，B两点的距离为3，那么点B对那个的数是 .在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到（3）点A，B分别是数-3，−12A’B’, 且线段A’B’的中点对应的数是3，则点A’对应的数是，点A移动的距离是 .练习1、如图，A ，B ，C ，D ，E 为数轴上的五个点，且AB=BC=CD=DE ，则图中与P 点表示的数比较接近的一个数是（） A. -1 B. 1 C. 3 D. 5练习2、已知数轴上有A ，B 两点，AB 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 .练习3、在数轴上，N 点与O 的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是 .例2、已知a, b 为有理数，且a>0, b<0, a+b<0, 将四个数a, b, -a, -b 按由小到大的顺序排列是 .练习4、已知a, b 为有理数，且a>0, b<0, a+b>0, 将四个数a, b, -a, -b 按由小到大的顺序排列是 .练习5、如图，数轴上的点A ，B ，C ，D 对应的数分别是a, b, c, d ，那么a+c 与b+d 的大小关系是（）A. a+c<b+dB. a+c=b+dC. a+c>b+dD. 不确定的9-5练习6、数轴上的点A ，B ，C 分别对用数：0，-1，x. 且C 与A 的距离大于C 与B 的距离，则（）A. x>0B. x>-1C. x<−12 D. x<-1例3、（1）阅读下面材料：点A ，B 在数轴上分别表示a, b. 且A ，B 两点之间的距离表示为|AB|. 当A, B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图甲，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|. 当A, B 两点都不在原点时：① 如图乙，点A ，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|; ② 如图丙，点A ，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|; ③ 如图丁，点A ，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|= a+(-b)=|a-b|综上，数轴上A ，B 两点之间的距离 |AB| = |a-b|. （2）回答下列问题：① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；② 数轴上表示x 和 -1 的两点A 和B 之间的距离是，如果 |AB|= 2, 那么x 为；③ 当代数式 |x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x 的取值范围是； ④ 试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|的最小值是 .甲乙丙丁bO (A )B ab0OAB abO A B ab练习7、不相等的有理数a, b, c在数轴上对应点分别为A，B，C，若|a-b|+|b-c|=|a-c|, 那么点B（）A. 在A，C点右边B. 在A，C点左边C. 在A，C点之间D. 以上均有可能练习8、若a>0, b<0, 则使|x-a|+|x-b|=a-b 成立的x的取值范围是 .练习9、如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数a, b, c 都不为0，且C是AB的中点. 如果|a+b|-|a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0, 试确定原点O的大致位置.【参考答案】例1（1）B（2）-5或1（3）4.75练习1、C练习2、±4 或±2练习3、24或40例2、b<−a<a<−b练习4、−a<b<−b<a练习5、A练习6、D例3（2）①|5−2| |-5-(-2)| |1-(-3)|② 1,-3③−1≤x≤2④ 997002练习7、C练习8、b≤x≤a练习9、点O在AC两点之间。

初一年级奥数知识点：数轴

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：数轴，欢迎⼤家阅读。

1、数轴的定义规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫数轴。

2、画数轴的步骤⑴画⼀条直线。

⑵选取原点、正⽅向。

⑶规定单位长度。

⑷数轴上⽤短竖标出刻度。

⑸数轴下⽤标出数值。

3、数轴三要素原点、正⽅向和单位长度4、数轴特点⼀般地，设a是⼀个正数，则数轴上表⽰数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表⽰数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

5、数轴上点与有理数关系：每⼀个有理数都可以⽤数轴上的⼀个点来表⽰;但数轴上的点不都表⽰有理数。

注意：不能出现相同长度表⽰的不等的量。

数轴两端不能画点。

练习题1、在数轴上，原点及原点左边的点所表⽰的数是( )A.正数B.负数C.⾮负数D.⾮正数2、与原点距离是2.5个单位长度的点所表⽰的有理数是( )A.2.5B.-2.5C.正负2.5D.这个数⽆法确定3、⼀个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是( )A.+6B.-3C.+3D.-94、不⼩于-4的⾮正整数有( )A.5个B.4个C.3个D.2个。

初一数学奥赛基础知识讲义

七年级奥赛数学基础知识讲义第二讲和绝对值有关问题一、绝对值意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 点到原点距离叫做数a 绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数绝对值是它本身；②负数绝对值是它相反数；③零绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

二、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 值等于（） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般有理数计算。

脱去绝对值符号时，必须先确定绝对值符号内各个数正负性，再根据绝对值代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合数学思想，由a 、b 、c 在数轴上对应位置判断绝对值符号内数符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂不等关系借助数轴直观、轻松找到了x 、y 、z 三个数大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题意识。

例3．（分类讨论思想）已知甲数绝对值是乙数绝对值3倍，且在数轴上表示这两数点位于原点两侧，两点之间距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数点位于原点同侧呢？0)()(=--+-+=--+++y x z y z x yx z y z x201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 分析：从题目中寻找关键解题信息，“数轴上表示这两数点位于原点两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

湘教七年级数学上册《数轴》赛课课件

规定直线的正方向（标上箭头）.通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向.
•1、教师的影响是永恒的;无法估计他的影响会有多深远。 •2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 •3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、与其不受教育，不知不生，因为无知是不幸的根源。
6、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。2021年11月2021/11/262021/11/262021/11/2611/26/2021
•7、教育是一个逐步发现自己无知的过程。2021/11/262021/11/26November 26, 2021 •8、is a admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing worth knowing can be taught.教育是令人羡慕的东西，但是要不时地记住：凡是值得知道的，没有一个是能够教会的。2021/11/262021/11/262021/11/262021/11/26
结论
①原点、单位长度和正Байду номын сангаас向三者缺一不可 ②单位长度要统一 ③负方向无箭头
小知识数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数的大小关系？
越来越大
-3 -2 -1 0 1 2 3
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. 正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
例1、指出数轴上A，B，C，D各点分别表示