推荐中考数学横向复习第四单元图形的初步认识与三角形第20讲解直角三角形考点测试题

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(沪科版)中考数学总复习课件【第20讲】解直角三角形

tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
第20讲┃解直角三角形
[ 解析]
1 2 由于 cos A － ≥ 0 ， (1 － tan B) ≥0 ，根据非负数的 2
1 性质，得 cosA＝，tanB ＝1，依据特殊角三角函数值求得∠A＝ 2 60°，∠B ＝45°，最后利用三角形内角和定理可求得∠C ＝180 °－60°－45°＝ 75°，故选 C .
点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由 45 °减至 30°，已知原台阶坡面 AB 的长为 5 m(BC 所在地面为水平面)． (1) 改善后的台阶坡面会加长多少？ (2) 改善后的台阶多占多长一段水平面？ (本大题结果精确到 0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45)
第20讲┃解直角三角形
核心练习
10． [2014·新疆 ] 如图 20－ 7，在 Rt△ ABC 中，∠C ＝90°，
Hale Waihona Puke 24 ∠B＝ 37°，BC＝ 32，则 AC＝________( 精确到整数) ．
图 20 －7
第20讲┃解直角三角形
11． [2014·宜宾 ] 菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度 5 3 数之比为 1∶2，则较长的对角线长度是________cm . 12． [2013·常德] 如图 20 －8，在△ABC 中， AD 是 BC 边上的高， 1 AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1. 3 (1) 求 BC 的长； (2) 求 tan∠DAE 的值．
时到达．已知缆车匀速直线运动速度为 180 m /min ，山路 AC 长为 2430 m，且测得∠CAB＝45 °，∠CBA＝105°. (参考数据： 2 ≈1.4 ， 3 ≈1.7) (1) 求索道 AB 的长； (2) 求乙的步行速度．

中考数学复习讲义课件中考考点全攻略第四单元三角形第20讲解直角三角形及其应用

答：济南舰距 C 处的距离是 200n mile，西安舰距 C 处的距离是 200 3n mile.
▪ 解直角三角形的实际应用题的解题步骤：
▪ (1)审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和未知量；
▪ (2)构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题，若不能在图中体现，则需添加适当的辅助线，作高线是常用的辅助线；
CE 连接 CE，则AD的值为( D )
3
A.2
B. 3
15
C. 2
D．2
7．如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，∠ABC＝∠DAC 1 BO 4 S△ABD 3
＝90°，tan∠ACB＝2，OD＝3，则S△CBD＝ 32 .
1 15 8．(2021·绵阳)在直角△ABC 中，∠C＝90°，tanA＋tanB＝2，∠C 的平分线交 AB 于点 D，且 CD＝2 2，斜边 AB 的值是 3 5 .
[解答] 解：在 Rt△ABD 中， AD 1
∵sinB＝AB＝3.又 AD＝1，∴AB＝3. ∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中， ∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1.
5.(2021·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边 AB 上的
[解析] 过点 B，C 分别作 AE 的垂线，垂足分别为 M，N，过点 C 作 CD ⊥BM，垂足为 D. 在 Rt△ABM 中，∵∠BAE＝60°，AB＝16cm，
3 ∴BM＝AB·sin60°＝16× 2 ＝8 3(cm)， ∠ABM＝90°－60°＝30°.
在 Rt△BCD 中， ∵∠DBC＝∠ABC－∠ABM＝50°－30°＝20°， ∴∠BCD＝90°－20°＝70°. ∴BD＝BC·sin70°＝8×sin70°≈8×0.94＝7.52(cm)． ∴CN＝DM＝BM－BD＝8 3－7.52≈6.3(cm)，即点 C 到 AE 的距离约为 6.3cm.

中考数学复习第一部分知识梳理第四章三角形第20讲解直角三角形课件

解：如答图1-20-4，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°， ∠DBC=53°. 设AD=x，在Rt△ABD中，BD=AD·
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11. (2017海南) 为做好防汛工作(gōngzuò)，专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD=2 m)，背水坡DE的坡度i=1∶1(即 DB∶EB=1∶1)，如图1-20-16，已知AE=4 m，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
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2. 如图1-20-6，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴” 游客中心A处修建(xiūjiàn)通往百米观景长廊BC的两条栈道AB， AC. 若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC 的距离AD的长约为___________m6.0 (sin56°≈0.8， tan56°≈1.5)
解：设BC=x m，在Rt△ABC中， ∠CAB=180°-∠EAC=50°，
在Rt△EBD中，∵i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE. ∴CD+BC=AE+AB，解得x=12，即BC=12 m. 答：水坝原来的高度BC为12 m．
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内容(nèiróng)总结
第20讲解直角三角形。仰角分别为α和β，且tanα=6，。在Rt△AEC中，根据(gēnjù)勾股定理，得。
解：如答图1-20-2,过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意,得∠BDF=α，tanα=6, tanβ= ．
设BF=3x，则EF=4x. 在Rt△BDF中，
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∴x=4． ∴BF=12. ∴BG=BF-GF=12-11=1. ∵∠BAC=120°， ∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°． ∴AB=2BG=2. 答：灯杆AB的长度为2 m．

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等三

第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。

中考总复习数学20-第一部分第20讲锐角三角函数及解直角三角形(精练册)

解:如图，过点D作DG⊥EF于点G,则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,
AB=CD=FG=1.58米,设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan

60°= = =

3,
解得EG= 3x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,tan

3
3
30°= =
3 2 1 6+
+ × =
2 2
2
4
2
×
2
−
2
,则sin 15°的值为_________.

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第20讲锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练
6.(2022·黑龙江牡丹江)如图，小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小
明在坡比为5:12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则
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第20讲锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练

4.(2022·广东)sin 30°=________.
5.(2022·黑龙江绥化)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsin β,sin(αβ)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当α=45°,β=3时,sin(45°+30°)=
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第20讲锐角三角函数及解直角三角形
基础全练

人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理

第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形三、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的

第二节三角形的基本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答17 全等三角形全等三角形的判定及其性质8 82015解答17 三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等8 82014选择 5 全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15 三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角3 62013选择 5 三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得到两点间的距离3 32012解答19 全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11 三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3 132011选择 2 三角形内外角的关系利用三角形的外角与内角的关系比较大小3 3命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的基本概念及全等三角形”这一考点除2010年没考查外，其余各年都有考查，基本概念考查层次偏低，全等三角形考查中等，其中，三角形内外角关系考查2次，三角形中位线考查3次，全等三角形考查3次．命题预测预计2017年怀化中考会以三角形中的重要线段，三角形的内外角关系为主要考查对象，全等三角形的判定和性质也会在解答题中考查.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2011怀化中考)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B) A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2014怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC到D，则∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2013怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，则A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2012怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2014怀化中考)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2016怀化二模)如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上．添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( D)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD7．(2016怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( C)A．7 B．9 C．12 D．9或128．(2016鹤城模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D)A．2或4 B．11或13C．11 D．139．(2016芷江模拟)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D)A．3个B．4个C．5个D．6个10．(2016怀化考试说明)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝5，B C＝3，则BD的长为( D)A．2.5 B．1.5 C．2 D．111．(2012怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连接AE，DE.求证：AE＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2016怀化中考)如图，已知AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2016怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝C F ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2016洪江模拟)已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. 求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 和△A CE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8类型图形已知条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA∠B1＝∠B2，∠C1＝∠C2，A1C1＝A2C2是AASA1B1＝A2B2，是__SAS__∠B 1＝∠B2，B1C1＝B2C2续表直角三角形的判定A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，是__HL__ 【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2015洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间距离的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．10【解析】已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7.【学生解答】C1．(2016岳阳中考)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm 三角形的内角和外角关系【例2】(2016原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( ) A ．50° B ．60° C ．40° D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2016乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A＝( C ) A ．35° B ．95° C ．85° D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，则OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2016枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，试探究线段ME 与BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2016南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定与性质【例5】(2015苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC ＝∠E，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2016怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2016淄博中考)如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF，∠CAD ＝∠AFE，∴∠AEF ＝∠AFE，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。

中考数学横向复习第四单元图形的初步认识与三角形第20讲解直角三角形考点测试题(2021年整理)

云南省曲靖市师宗县2018届中考数学横向复习第四单元图形的初步认识与三角形第20讲解直角三角形考点测试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（云南省曲靖市师宗县2018届中考数学横向复习第四单元图形的初步认识与三角形第20讲解直角三角形考点测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第20讲解直角三角形1．（2017·天津）cos60°的值等于(D)A.错误!B．1 C.错误!D.错误! 2．（2017·湖州）如图，已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5，BC＝3，则cos B的值是(A）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D.错误!3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6 cm,则BC的长度为(C)A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm4．如图,以O为圆心，任意长为半径画弧,与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于(C）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!5．在Rt△ABC中,∠C＝90°，sin A＝错误!，则tan B的值为(D）A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!6．(2017·宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中,错误的是(C）A．sinα＝cosαB．tan C＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝17．(2017·滨州)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（A)A．2＋错误!B．2错误!C．3＋错误!D．3错误!8．(2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)（B）A。

中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形第20课时相似三角形课件

D.(-2,1)或(2,-1)
2021/12/9
第十四页，共三十五页。
课前双基巩固
7.如图 20-5,点 D,E,F 分别位于△ ABC 的三边上,满足 DE∥
BC,EF∥AB,如果 AD∶DB=3∶2,那么 BF∶FC=
.
[答案] 3∶2

[解析] ∵DE∥BC,∴
2,AB=AD+DB,∴

∴
=

3
= ,
=

5
= ,∴
'' '' 5 '' '' 7

≠

'' ''
,
∴新矩形与原矩形不相似.∴乙的说法正确.
2021/12/9
第二十六页，共三十五页。
高频考向探究
拓考向
4.[2018·石家庄裕华区一模] 李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能
2
△ A'OB',点 M'为 OB'的中点,则 MM'的长为
.
5
15
2
2
[答案] 或
[解析] 如图,在 Rt△ AOB
中,OB= 62 + 82 =10,
5
①当△ A'OB'在第四象限时,MM'= ;
2
15
②当△ A″OB″在第二象限时,MM″= .
2
5
15
2
2
故答案为或 .
图 20-3
2021/12/9
考点五相似多边形的概念(gàiniàn)和性质
相似多边形

中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第20课时直角三角形

________．
15
[解析] ∵DE 是 BC 的垂直平分线，图20－11
∴DB＝DC.∴△ABD 的周长＝AB＋DB＋DA＝AB＋DC＋DA＝
AB＋AC＝6＋9＝15.
12/9/2021
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考点聚焦
第二十一页，共二十三页。
考向探究
第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
【2016·德州】如图 20－12，在△ABC 中，∠B＝55°， 1
∠C＝30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于2AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为( A )
A．65° B．60° C．55° D．45°
图20－12
【方法模型】应用线段(xiànduàn)的垂直平分线的性质或判定定理时
图20－10
[解析] 过点 P 作 PE⊥BC 于 E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴ PD⊥CD，∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA＋PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4，∴PE＝4.
12/9/2021
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2．如图20－6，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分 (píngfēn)∠CAB交BC于点D，若CD＝1，则BD＝___2_____．
【方法模型】
图20－6
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对
的直角边等于斜边的一半可以在直角三角形中得出线段的倍半
关系．通常由“一半”想到三角形中位线或等腰三角形，由等
5，D是AB的中点(zhōnɡ diǎn)．

中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第20课时直角三角形检测湘教版-湘教版初中九年级

课时训练(二十)直角三角形|夯实基础|一、选择题1．[2017·某某]一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形图K20－12．[2016·某某]如图K20－1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．33．[2016·东营]在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2 10，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或104．如图K20－2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠A＝30°，BD ＝2，则AC 的长为( ) A ．4 B ．4 3 C ．8 D ．16K20－2K20－35．[2017·枣庄]如图K20－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB＝15，则△ABD 的面积为( )A ．15B ．30C ．45D ．60图K20－46．[2017·某某]如图K20－4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2aB ．2 2aC ．3a D.4 33a图K20－57．[2017·某某]四个全等的直角三角形按图K20－5所示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，Rt △ABM 较长直角边，AM ＝2 2EF ，则正方形ABCD 的面积为( )A ．12SB ．10SC ．9SD ．8S8．[2016·株洲]如图K20－6，以直角三角形的a ，b ，c 为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况中阴影部分面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形个数有( )图K20－6A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．[2017·株洲]如图K20－7，在Rt△ABC中，∠B的度数是________．K20－7K20－810．[2017·某某]如图K20－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段________．11．[2017·某某]如图K20－9，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝________．K20－912．[2017·某某]如图K20－10，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值X围是________．K20－10K20－1113．如图K20－11，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．三、解答题14．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图K20－12，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，____________________．求证：________．请你补全已知和求证，并写出证明过程．图K20－1215．[2017·某某]如图K20－13，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图K20－13|拓展提升|16．[2017·某某]如图K20－14，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，…，如此下去，则线段OA n的长度为________．图K20－1417．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC 为__________三角形．(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形．(3)当a ＝2，b ＝4时，根据△ABC 的不同形状，求出对应的c 的取值X 围．参考答案1．B [解析] 根据三角形的内角和为180°，可知最大角为180°×31＋2＋3＝90°，因此这个三角形是直角三角形．故选B.2．D [解析] ∵DE 是AC 的垂直平分线，∠ACB ＝90°，∴DE 是△ABC 的中位线，又在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，由勾股定理可知BC ＝6，∴DE ＝12BC ＝3.3．C [解析] 根据题意画出示意图．因为AB ＝10，AC ＝2 10，AD ＝6，根据勾股定理得BD ＝8，CD ＝2，图①中，BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，BC ＝BD －CD ＝8－2＝6，所以BC 的长为6或10.4．B [解析] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＝30°. ∵BD ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，∴AB ＝2BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝4 3.5．B [解析] 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE⊥AB 于E ，又∵∠C＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12B.6．B [解析] 由于CD⊥AB，CD ＝DE ＝a ，所以CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a ，又△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，所以AE ＝BE ＝CE ，所以AB ＝2CE ＝2 2a ，故选B.7．C [解析] 由题意可知小正方形EFGH 边长：EF ＝EH ＝HG ＝GF ＝S ，4个白色的矩形全等，且矩形的长均为2S ，宽为(2S －S)，则直角三角形的短直角边长为S.由勾股定理得AB ＝BM 2＋AM 2＝S ＋8S ＝3 S ，所以正方形ABCD 的面积为9S.8．D [解析] (1)S 1＝34a 2，S 2＝34b 2，S 3＝34c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴34a 2＋34b 2＝34c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (2)S 1＝π8a 2，S 2＝π8b 2，S 3＝π8c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴π8a 2＋π8b 2＝π8c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (3)S 1＝14a 2，S 2＝14b 2，S 3＝14c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴14a 2＋14b 2＝14c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (4)S 1＝a 2，S 2＝b 2，S 3＝c 2，∵a 2＋b 2＝c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.综上，阴影部分面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形有4个． 9．25°10．BC ＝BE(或DC ＝DE ，BD ＝AD 等)11.132 [解析] AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，因为52＋122＝132，所以△ABC 是直角三角形，因为CD 是AB 边上的中线，所以CD ＝12AB ＝132.12．0<CD<5 [解析] 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，当点D 运动至A 点时，CD 最长，且最大值为5，所以CD 的取值X 围是0<CD<5.13．8 [解析] ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE ＝5， ∴DE ＝12AC ＝5，AC ＝10.在直角△ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，根据勾股定理，得 CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.14．解：补充已知为：PD⊥OA，垂足为D ，PE ⊥OB ，垂足为E.求证为：PD ＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO＝90°. 在△PDO 和△PEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠POD＝∠POE，∠ODP ＝∠OEP，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS)， ∴PD ＝PE. 15．解：(1)4(2)∵AC＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△CAD 是等边三角形，∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE⊥BC 于E. ∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30°. 在Rt △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， ∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝2 3，∴BE ＝3，在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.16．(2)n [解析] 在Rt △A 1OB 中，OA 1＝OB sin45°＝2，OA 2＝OA 1sin45°＝222＝(2)2，…，∴OA n ＝(2)n.17．解：(1)锐角钝角 (2)＞＜ (3)∵a＝2，b ＝4，∴4≤c ＜6.当a 2＋b 2＝c 2，即c ＝2 5时，△ABC 是直角三角形；当4≤c＜2 5时，△ABC 是锐角三角形；当2 5＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．。

广东省2019年中考数学突破复习第四章三角形第20讲解直角三角形课件

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7．(2018 济宁)如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2 km 的 A， B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 3 km.
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8．(2018 娄底)如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452 m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高 340 m，为了测量高楼 BC 上发射塔 AB 的高度，在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 α，sin α＝2245，在顶端 E 点测得 A 的仰角为 45°，求发射塔 AB 的高度．
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10．(2018 襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向东行驶．在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30°方向上，继续行驶 40 秒到达 B 处时，测得建筑物 P 在北偏西 60°方向上，如图，求建筑物 P 到赛道 AB 的距离(结果保留根号)．
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解：如图，过点 C 作 CM⊥AB，垂足为 M，在 Rt△ACM 中， ∠MAC＝90°－45°＝45°，则∠MCA＝45°，
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∴AM＝MC，由勾股定理得：AM2＋MC2＝AC2＝(20 2×2)2，解得：AM＝CM＝40，∵∠ECB＝15°，∴∠BCF＝90°－15° ＝ 75°， ∴∠B ＝ ∠BCF － ∠MAC ＝ 75°－ 45°＝ 30°，在 Rt△BCM 中，tan B＝tan 30°＝CBMM，即 33＝B4M0 ，
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解：如图，过 P 点作 PC⊥AB 于 C，由题意可知：∠PAC＝60°， ∠PBC＝30°，在 Rt△PAC 中，APCC＝tan∠PAC，∴AC＝ 33PC，在 Rt△PBC 中，BPCC＝tan∠PBC，∴BC＝ 3PC， ∵AB＝AC＋BC＝ 33PC＋ 3PC ＝10×40＝400，∴PC＝100 3. 答：建筑物 P 到赛道 AB 的距离为 100 3米．

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