24.1.2垂直于弦的直径

活动一
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD⊥AB，垂足为E．
以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些
相等的线段和弧？为什么？
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
1 1 AE AB 8 4 2 2 在 Rt △ AOE中
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数
是60°，那么弦AB的弦心距是 5 3cm 。
O D A B
圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。
C
相等线段： AE=BE
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧：AC=BC, AD=BD
A E
·
D
O
B
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
在⊙O中，如果CD为直径，AB为⊙O的一
条弦，且CD⊥AB于点E，那么：AE=BE，
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD,AC=BC
C
·
A E B D
O
符合
符合
不符合
符合
符合
不符合
ຫໍສະໝຸດ Baidu
C
O
A
E
D
B
∵CD是直径 CD⊥AB ∴AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
①过圆心
②垂直于弦
活动三
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：
∵OE⊥AB
3.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 13 cm 4 则这弓形所在的圆的半径为 .
C A D O B
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，CA⊥BA
OEA 90

EAD 90
24.1.2垂直于弦的直径
湄港学校 李志行
复习引入
1、什么是轴对称图形？
在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够完全重合的图形.
2、轴对称图形有哪些性质？ ①对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等. ②沿对称轴对折，对称轴左右两边完全重合. ③对称轴垂直平分对称点所连线段. 3、什么是半径、直径、弦、弧、等弧？

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C 又∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
思考：
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 直吗？AC=BC,AD=BD吗？如果弦ＡＢ也是直径，上 述结论是否成立？ 推论:平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
）
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些 知识？ 本节课学习的数学知识是圆的轴对 称性、垂径定理及其推论。
作业:
1、P89第2题、第8题 2、《长江作业本》24.1.2（1）
A
D C
·
E
O
B
根据垂径定理与推论可知，对于
一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦（ ②平分弦的直线必垂直弦（ ） ）
③垂直于弦的直径平分这条弦（ ） ④平分弦的直径垂直于这条弦（ ） ⑤弦的垂直平分线是圆的直径（ ） ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（ ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧（ ）