2.2.2椭圆的简单几何性质(张用)
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数学课件：2.2.2 椭圆的几何性质
题型三
利用椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 分别求出椭圆25x2+16y2=400的长轴和短轴的长、离心
率、焦点坐标和顶点坐标.
分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素a,b,c,即可求出答
案.
解:将椭圆方程变形为
������2 25
+
������2 16
=
1,
由方程知 a=5,b=4,所以 c=3,
所以长轴长为 10,短轴长为 8.
离心率
e=
������ ������
=
3 5
,
焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),顶点坐标为
A1(0,-5),A2(0,5),B1(-4,0),B2(4,0).
反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,
找准a与b,求出c,才能正确地得出椭圆的有关性质.
①当 e 趋近于 1 时,c 趋近于 a,从而 b= ������2-������2越小,因此椭圆越
扁平; ②当 e 趋近于 0 时,c 趋近于 0,从而 b 趋近于 a,因此椭圆越接近
于圆. 椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式
0<e<1. 当 e=0 时,曲线为圆.
题型一
题型二
解:设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,
则有
������ ������
=
2 2
,
即a=
2������.
∵b2=a2-c2,∴b=c.
∴|AB|= ������2 + ������2 = 3������, |������������| = ������ = 2������,
|AF|=a+c=( 2 + 1)������,
2.2.2椭圆的简单几何性质2
1
离心率为
2。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
1
为
3。
4.经过点P(-3,0) 、Q(0,-2);
x2
y2
(1)
1
9
4
5.长轴的长等于20,离心率等于
(2) x 2 y2 1 100 64
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕
其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC
所以，所求的椭圆方程为 x2 y2 1 4.12 3.42
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
5
解：设d是点M到直线l : x 25的距离，根据题意，
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
பைடு நூலகம்x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
复习练习：
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2。
2
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其
2.1.2椭圆的简单几何性质
复习：
标准方程 范围 对称性 顶点坐标
x2 a2
y2 b2
1(a
b
2.2.2椭圆的几何性质详解
x2 y2 y2 x2 所以椭圆方程为： 1或 1 100 64 100 64
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
课件5：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1. 理解椭圆的简单几何性质． 2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.
椭圆的简单几何性质
1.观察椭圆的图形可以发现，椭圆是_中__心__对称图形，也是 __轴___对称图形．事实上，在椭圆方程ax22＋by22＝1 中以_－___x_、 _－__y__分别代替__x_、_y__，方程不变，∴椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
)
A．2 个
B．至多一个
C．1 个
D．0 个
[答案] A
[解析] 由题意得 m24＋n2>2，∴m2＋n2<4.∴－2<m<2，－ 2<n<2.∴点(m，n)在椭圆x92＋y42＝1 内，故过点 P(m，n)的直线 与椭圆x92＋y42＝1 有 2 个交点．
6．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶 点坐标和离心率．
1.(2014·佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点
恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
1 A.3
B．12
3 C. 3 [答案] [解析]
D．
2 2
D
依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故 b＝c，a2－
c2＝c2，∴e＝
2 2.
2．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，
求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点 坐标和顶点坐标．
[答案] 长轴长 10 短轴长 8 离心率53 焦点(0，±3) 顶
点(0，±5) (±4,0) [解析] 将方程变形为2y52 ＋1x62 ＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1. 理解椭圆的简单几何性质． 2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.
椭圆的简单几何性质
1.观察椭圆的图形可以发现，椭圆是_中__心__对称图形，也是 __轴___对称图形．事实上，在椭圆方程ax22＋by22＝1 中以_－___x_、 _－__y__分别代替__x_、_y__，方程不变，∴椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
)
A．2 个
B．至多一个
C．1 个
D．0 个
[答案] A
[解析] 由题意得 m24＋n2>2，∴m2＋n2<4.∴－2<m<2，－ 2<n<2.∴点(m，n)在椭圆x92＋y42＝1 内，故过点 P(m，n)的直线 与椭圆x92＋y42＝1 有 2 个交点．
6．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶 点坐标和离心率．
1.(2014·佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点
恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
1 A.3
B．12
3 C. 3 [答案] [解析]
D．
2 2
D
依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故 b＝c，a2－
c2＝c2，∴e＝
2 2.
2．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，
求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点 坐标和顶点坐标．
[答案] 长轴长 10 短轴长 8 离心率53 焦点(0，±3) 顶
点(0，±5) (±4,0) [解析] 将方程变形为2y52 ＋1x62 ＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c
第二课时-2.2.2--椭圆的简单几何性质
y a2 c
例2．椭圆
y2 a2
x2 b2
（1 a>b>0）的离心率
e
3，
2焦点到椭圆上点的最短距离源自2－ 3求椭圆 的方程.例3.
设F1、F2为椭圆ax22
y2 b2
1 a
b
0
的两焦点，若椭圆上存在点P，使
∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取
值范围.
e [1 ,1) 2
y
BP
F1 O
F2
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时
知识回顾
1. 椭圆 y2 x2 1 a b 0,a2 b2 c2 a2 b2 的范围、对称性、顶点、离心率
范围：－a≤y≤a，－b≤x≤b.
对称性：关于x轴、y轴、原点对称.
顶点：(0 ，± a)，(±b ,0 ). 离心率： e c .
a
知识回顾
2.椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
新知探究
对于椭圆
x2 b2
y2 a2
1a
b 0
y
M
O
x
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是最大值为a，最小值为b.
新知探究
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小
值分别是什么？
y
|MF2|min=|A2F2|
B2 M
=a-c
A1 F O
1
B1
F2
A2
x
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
2.2.2(1)椭圆的简单几何性质
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
创新设计 P24 (3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c，e 对应的线段或量
为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|， c |OF2| e＝a＝|F B |＝cos∠OF2B2. 2 2 x2 y2 (4)若椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， 则椭圆与 x 轴的交点 a b A1， A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小， 且|A1F2|＝a＋c， |A2F2| ＝a－c.
复习：
1.椭圆的定义:
平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数 （大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？ c a b b [3]e与a,b的关系: e 1 a a a
B2
A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
2018学年高中数学选修2-1课件：2.2.2 第一课时 椭圆的简单几何性质 精品
81－9＝72.
答案：A
2．椭圆 C1：2x52＋y92＝1 与椭圆 C2：25x－2 k＋9－y2 k＝1(k＜9) (
)
A．有相同的长轴
B．有相同的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的离心率
解析：25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点． 答案：C
3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________． 解析：由1x62＋y42＝1 可知 b＝2， ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
2．2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质
[提出问题] 图中椭圆的标准方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？ 提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是 以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形． 问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？ 提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可 得B1(0，－b)，B2(0，b)．
利用椭圆的几何性质求其标准方程 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是45； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且 焦距为 6. [解] (1)设椭圆的标准方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． 由已知得 2a＝10，a＝5. 又∵e＝ac＝45，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1 或2y52 ＋x92＝1.
答案：2 5 5
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 23，且椭圆上一点 到两个焦点的距离之和为 12； (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 12， ∴2a＝12，即 a＝6. ∵椭圆的离心率为 23，∴e＝ac＝ a2a－b2＝ 366－b2＝ 23， ∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为3x62 ＋y92＝1.
原创1：2.2.2 椭圆的简单几何性质
48
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、
短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
解由已知得椭圆标准方程为
������2
1
+
������2
1
=1,
9 16
于是 a=13,b=14,c=
1 9
-
1 16
=
127.
∴长轴长 2a=23,短轴长 2b=12,
|PF1|=2m,|F1F2|=
3m,故离心率
e=������������
=
2������ 2������
=
|������1������2| |������������1|+|������������2|
=
3������ 2������+������
=
33.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下: (1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称; (2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称; (3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于 原点对称.
3.因为离心率 e=������������ =
所以 b=2.因为 2a=2×2b,所以 a=4.
所以方程为������2
16
+
���4���2=1.
综上所述,椭圆的标准方程为���4���2+y2=1
或������2
16
+
���4���2=1.
探究一
探究二
2.2.2椭圆的简单几何性质及其应用
2
2
2
2
标准方程 图象
范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴，y轴，原点对称
|x|≤ b,|y|≤ a
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a， 方程变为x2+ y2=a2（圆）
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为 :
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
（
（
a ,0
(
）;(0,b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
2.2.2椭圆的简单几何性质1
P2（-x，-y）
y
P1（-x，y）
P（x，y）
x
x2 y2 2 1a b 0 2 a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
o c
B1 (0,-b)
A2(a，0)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1 ） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
( c,0)、(c,0) b2=a2c2
(0,c)、(0,c)
分母哪个大，焦点就在哪一个坐标轴上
x2 y2 2 1a b 0 2 a b
y
1、范围：
横坐标的范围 : a x a 纵坐标的范围 : b y b
利用方程说明理由：
A1 F1
b
B2
a c
B1
O
c e a
a2=b2+c2
F2 A 2
x
y2 x2 2 1 2 0, b a
x2 2 1,即 a x a. a
y2 2 1, b y b . b
这说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形框里.
2、对称性：
y
P1（-x，y）
P（x，y）
x
x2 y2 2 1a b 0 2 a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
o c
B1 (0,-b)
A2(a，0)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1 ） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
( c,0)、(c,0) b2=a2c2
(0,c)、(0,c)
分母哪个大，焦点就在哪一个坐标轴上
x2 y2 2 1a b 0 2 a b
y
1、范围：
横坐标的范围 : a x a 纵坐标的范围 : b y b
利用方程说明理由：
A1 F1
b
B2
a c
B1
O
c e a
a2=b2+c2
F2 A 2
x
y2 x2 2 1 2 0, b a
x2 2 1,即 a x a. a
y2 2 1, b y b . b
这说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形框里.
2、对称性：
课件11：2.2.2椭圆的简单几何性质
解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭 圆不相交（为什么?）.设直线m平行于直线l,则直线m 的方程可以写成
4x 5 y k 0.
①
由方程组
4 x 5 y k 0,
x2 25
y2 9
1,
消去y，得25x2+8kx+k2-225=0
令方程②的根的判别式△=0，得
②
64k 2 4 25(k 2 225) 0.
解 (1)已知方程化为标准方程为 x2 y2 = 1，
16 4
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为
3， 2
焦点坐标为 （ 2 3 , 0），顶点坐标（±4,0），(0,±2).
(2)已知方程化为标准方程为 y2 x2 1，故可得长轴长 81 9
为18，短轴长为6，离心率为
2 2， 3
焦点坐标为（0, 6 2），顶点坐标（0,±9），（±3,0）.
25 x
5
4
将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225, 即 x2 y2 1.
25 9
所以，点M的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.
例4 已知椭圆 x2 y2 1 ，直线l：4x-5y+40=0，椭 25 9
圆上是否存在一点，到直线l的距离最小？最小距离 是多少？
【解析】作出直线l及椭圆（如图）.观察图形,可以 发现,利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直 线，可以求得相应的最小距离.
例2 如图，一种电影放映灯泡的反射镜是旋转 椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）
的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上.由椭圆一个焦点 F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射集中到另 一个焦点F2.已知BC垂直F1F2，|F1B|=2.8cm， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的直角坐标系，求截 口BAC所在的椭圆方程.（精确到0.1cm）
课件：第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质
3．椭圆的几何性质.
方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
不
同 点
范围 焦点
坐标
顶点
－a≤x≤a，－b≤y≤b F1(－c,0)，F2(c,0) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－b≤x≤b，－a≤y≤a F1(0，－c)，F2(0，c) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
续表
方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
对称性 关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于坐标原点成中心对称
定义
相 同
a，b，c 的关系
点 离心率
焦点位 置的判
平面内到两个(大定于点|FF1F1，2|)的F2点的的距轨离迹的和等于常数 a2＝b2＋c2 e＝ac(0<e<1)
分母哪个大，焦点在哪个轴上
断
4．椭圆的第二定义．
平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离之比是
常数 e(0<e<1)．
5．椭圆的标准方程与准线间的关系如表.
标准方程
图形
准线
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝±ac2
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
y＝±
【要点 1】观察椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的形状，你能从图上 看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特 殊？
自主解答：(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
课件5：2.2.2椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
由已知，得 a-c=|FA|=6371+212=6583， a+c=|FB|==6371+41891=48352. 解得a=27467.5，
b a2 c2 (a c)(a c) 48352 6583 17841.0
因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
__F_1_(－__c，__0_)_、_F_2_(c_，__0_) __ ___F_1_(0_，__－_c_)_、_F_2_(0_，__c_) _
|F1F2|＝_2_c_ 对称轴_x_轴_和__y_轴___，对称中心_(_0_，_0_)_
e＝_ac_(_0_＜_e_＜__1_)
x2 27467.52
y2 17841.02
1.
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)， 离心率 e＝ac＝ 35.
为了画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为
y 2 9 x2 (3 x 3) 3
由
y
2 3
9 x2 (3 x 3) ，可以求出椭圆在第
典例精析 题型一 椭圆的几何性质 例1 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、 顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．
解 将椭圆方程变形为x92＋y42＝1， 可知椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴长 b＝2， ∴半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6，2c＝2 5，
2.2.2 椭圆的几何性质
课标要求
1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
������2 1.(2013 四川高考)从椭圆 2 ������
+
������2 ������
2 =1(a>b>0)上一点 P 向 x
轴作垂线,
垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半 轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是(
预习交流 2
������ ������ 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么? ������ ������ ������ 提示:可以,利用 ������ ������2 -������2 ������ ������ 1-������ 2 或 ������ ������2 -������2 ������2 ,能对椭圆 1-������2
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
例1
������2 已知椭圆 5
������2 + =1 ������
的离心率 e=
10 ,求 5
m 的值.
解:当焦点在 x 轴上时,a2=5,b2=m, ∴ c2=a2-b2=5-m. 又∵ e=
-b≤x≤b,-a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) F1(0,-c),F2(0,c)
长轴长为 2a,短轴长为 2b
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
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2.2.2椭圆的简单几何性质
2. 2.2椭圆的简单几何性质课前预习学案一、 预习目标：预习椭圆的四个几何性质二、 预习内容：(1)范围:----------------，椭圆落在-----------------组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的---------，简称-----．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ---------------加两焦点----------共有六个特殊点. 21A A 叫椭圆的-----，21B B 叫椭圆的-----．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的-------和------.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ace =⇒2)(1a b e -= 10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变---，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变---，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。
2 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系二、学习过程：探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。
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解： 若焦点在y轴上，
4x 同理求得椭圆方程为： 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为：
y
2
2
x
2
20
y
2
5
1 或
y
2
65
x
2
65 4
1.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
x y (1)9 x y 36与 1； 16 12 2 2 x y 2 2 （2）x 9 y 36与 1。 6 10
2 2
2
2
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
c 3 0.6 a 5
x2 y2 解：把已知方程化成标准方程 2 2 1 5 4
这里， 5, b 4, c a
基本量：a、b、c、e、（共四个量） 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
42 52 尝试遇到困难怎么办? d 4 x0 5 y0 40 4 x0 5 y0 40 41
且
x0 2 25 y0 2 9 1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
几何画板显示图形
26
x2 y2 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ [3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？ [4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？ [5]2a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？
回顾
直线与椭圆的位置关系 ：
x2 y2 直线和椭圆方程分别为: Ax By C 0 ， 2 2 1 a b
y
y
y
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
Ax By C 0 则由 x 2 y 2 a/ x2 b/ x c/ 0 2 2 1 b a
8 （ ）（3， ） 1 ; 5 48 70 ( 2) 0,2） （ ,( , ). 37 37
通过直线方程和椭圆方程联立成方程组， 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。
2、弦长公式： 设 弦端点 A( x1，1) ， ( x2 ， 2) ，则 y B y
f ( x，y) 0 消去 y 得：ax2 bx c 0 (a 0) y kx m
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 (k x1 k x2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1x2 1 k 2 ( b )2 4 c a a 2 | AB | 1 k |a|
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a， 椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
小试身手：
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
x y x y (1) + =1与 1； 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y （2）x + =1与 1。 2 6 10
2 2 2
2
根据：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
f ( x，y) 0 消去 x 得：a' y2 b' y c' 0 (a' 0) y kx m
1 | AB | 1 2 k | a'|
练习：已知椭圆4 x 2 y 2 1及直线y x m， （1）当直线与椭圆有公共点时，求m的范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
y
解：)将y x m代入椭圆 (1
1
4 x 2 ( x m) 2 1 0
5x 2mx m 1 0
2 2
O
1 2
x
直线与椭圆有公共点，
4m 2 20(m 2 1) 0
所以当
5 5 m 2 2
5 5 m 时，直线与椭圆有公共点 2 2
|x|≤ b,|y|≤ a
（
（
a ,0
(
）;(0, b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c e a
x2 y2 课堂小结用曲线的图形和方程 2 2 1 (a b 0) a b
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上， 必须讨论两种情况
练习
2.离心率为 方程为 多少?
3 ,且过点(2,0)的椭圆的标准 2
x
4
2
y 1; x 4
2
2
y
2
16
1.
例1已知椭圆mx 5 y 5m的 .
2 2
10 离心率e , 求m的值。 5
思考 2:(课本例 7) x2 y2 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆上是 已知椭圆 25 9 否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点,
来研究椭圆的简单几何性质
y
B2(0,b)
A1 (-a, 0) Ｏ
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现．
小试身手：
2.说出椭圆 的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x y2 1 9 16
2
3 x 3, 4 y 4 2a 8, 2b 6 (0, 7 )
C
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
令x=0,得y=？说明椭圆
A1(-a,0)
2 2
B1(0,b) o
A2(a,0) x
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性
y
F1 O 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
F2
x
x2 y 2 小试身手：1.已知点P(3，6)在 2 2 1 上,则( a b
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴 都对称的是（ D ） A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
注意：焦点落在椭圆的长轴上
3 2. 长轴的长等于20，离心率等于 . 5
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b F1 a
a
长半轴长和短半轴长；
②
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B a2=b2+c2， 2F2|=a；
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
x y + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
x y 故椭圆方程为: + = 1. 20 5
2 2
2
2
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
3 则其离心率e=__________ 5
标准方程 图象
范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
4x 同理求得椭圆方程为： 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为：
y
2
2
x
2
20
y
2
5
1 或
y
2
65
x
2
65 4
1.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
x y (1)9 x y 36与 1； 16 12 2 2 x y 2 2 （2）x 9 y 36与 1。 6 10
2 2
2
2
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
c 3 0.6 a 5
x2 y2 解：把已知方程化成标准方程 2 2 1 5 4
这里， 5, b 4, c a
基本量：a、b、c、e、（共四个量） 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
42 52 尝试遇到困难怎么办? d 4 x0 5 y0 40 4 x0 5 y0 40 41
且
x0 2 25 y0 2 9 1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
几何画板显示图形
26
x2 y2 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ [3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？ [4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？ [5]2a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？
回顾
直线与椭圆的位置关系 ：
x2 y2 直线和椭圆方程分别为: Ax By C 0 ， 2 2 1 a b
y
y
y
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
Ax By C 0 则由 x 2 y 2 a/ x2 b/ x c/ 0 2 2 1 b a
8 （ ）（3， ） 1 ; 5 48 70 ( 2) 0,2） （ ,( , ). 37 37
通过直线方程和椭圆方程联立成方程组， 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。
2、弦长公式： 设 弦端点 A( x1，1) ， ( x2 ， 2) ，则 y B y
f ( x，y) 0 消去 y 得：ax2 bx c 0 (a 0) y kx m
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 (k x1 k x2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1x2 1 k 2 ( b )2 4 c a a 2 | AB | 1 k |a|
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a， 椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
小试身手：
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
x y x y (1) + =1与 1； 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y （2）x + =1与 1。 2 6 10
2 2 2
2
根据：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
f ( x，y) 0 消去 x 得：a' y2 b' y c' 0 (a' 0) y kx m
1 | AB | 1 2 k | a'|
练习：已知椭圆4 x 2 y 2 1及直线y x m， （1）当直线与椭圆有公共点时，求m的范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
y
解：)将y x m代入椭圆 (1
1
4 x 2 ( x m) 2 1 0
5x 2mx m 1 0
2 2
O
1 2
x
直线与椭圆有公共点，
4m 2 20(m 2 1) 0
所以当
5 5 m 2 2
5 5 m 时，直线与椭圆有公共点 2 2
|x|≤ b,|y|≤ a
（
（
a ,0
(
）;(0, b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c e a
x2 y2 课堂小结用曲线的图形和方程 2 2 1 (a b 0) a b
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上， 必须讨论两种情况
练习
2.离心率为 方程为 多少?
3 ,且过点(2,0)的椭圆的标准 2
x
4
2
y 1; x 4
2
2
y
2
16
1.
例1已知椭圆mx 5 y 5m的 .
2 2
10 离心率e , 求m的值。 5
思考 2:(课本例 7) x2 y2 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆上是 已知椭圆 25 9 否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点,
来研究椭圆的简单几何性质
y
B2(0,b)
A1 (-a, 0) Ｏ
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现．
小试身手：
2.说出椭圆 的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x y2 1 9 16
2
3 x 3, 4 y 4 2a 8, 2b 6 (0, 7 )
C
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
令x=0,得y=？说明椭圆
A1(-a,0)
2 2
B1(0,b) o
A2(a,0) x
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性
y
F1 O 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
F2
x
x2 y 2 小试身手：1.已知点P(3，6)在 2 2 1 上,则( a b
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴 都对称的是（ D ） A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
注意：焦点落在椭圆的长轴上
3 2. 长轴的长等于20，离心率等于 . 5
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b F1 a
a
长半轴长和短半轴长；
②
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B a2=b2+c2， 2F2|=a；
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
x y + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
x y 故椭圆方程为: + = 1. 20 5
2 2
2
2
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
3 则其离心率e=__________ 5
标准方程 图象
范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b