含参不等式恒成立问题的求解策略乌市扬帆)--
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。
它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。
今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。
首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。
解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
1.学解法。
数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。
例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。
2.序求解法。
程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。
它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。
3.明方法。
证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。
证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。
从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。
因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。
综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。
把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。
含参数不等式恒成立问题的解题策略
解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()Mx f ≥⇔min （()M x f ≥有解⇔M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔m a x（()M x f ≤有解⇔M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s in 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442<+-=∆m m m 2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (故由①②③可知：21-≥m . 例二 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．()()()2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ， 2933++-<⋅x x x k 即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立.令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立.令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线21k x +=当021<+k ,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当021≥+k 时,对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-+=∆≥+⇔02410212k k ， 解得2211+-<≤-k综上所述,当221+-<k 时,()()02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.t =m分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式1323-+<x x k 恒成立,只要122-<k 说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例三 已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略本文旨在探讨不等式恒成立问题的求解策略。
不等式恒成立问题是一类有参数的约束优化问题，主要包括最小值问题、最大值问题和最优问题。
文中首先对不等式恒成立问题及其特点进行了简要介绍，然后主要从三个方面介绍研究求解不等式恒成立问题的策略，这三个方面分别是构造松弛优化问题、计算非线性规划问题的全局解和结合模拟退火算法构建求解策略。
具体来讲，构造松弛优化问题是通过对不等式恒成立问题的约束条件加以松弛，把形式转换为优化问题。
计算非线性规划问题的全局解，则是采用一类全局优化算法，如模拟退火算法、遗传算法等，以期解决不等式恒成立问题。
最后，结合模拟退火算法构建的求解策略是为了改进模拟退火算法的收敛性，使其能够更有效地解决不等式恒成立问题。
本文所提出的求解策略可以有效解决不等式恒成立问题。
不等式恒成立问题在数学和工程中得到广泛应用，是许多优化问题的重要组成部分。
它的出现深刻改变了优化理论和应用研究的研究方向，是很多复杂问题的突破口。
文中还分析了不等式恒成立问题的解的稳定性，给出了不等式恒成立问题的可行性图解法的一般步骤，以帮助理解不等式恒成立问题的问题特性，并介绍了不等式恒成立问题的求解算法。
本文针对不等式恒成立问题提出了一系列求解策略。
这些策略不仅有助于理解不等式恒成立问题，还有助于求解复杂的不等式恒成立问题。
然而，本文所提出的求解策略还有待进一步完善，未来可以考虑采用多种求解策略，如计算机仿真法、概率论方法、全局优化算法、勒让德方法等，以期获得更好的求解效果。
综上所述，本文探讨了不等式恒成立问题的求解策略。
文中首先介绍了不等式恒成立问题的特点，然后介绍了不等式恒成立问题求解的三种策略，在此基础上，介绍了结合模拟退火算法构建的求解策略。
本文的研究成果可以为不等式恒成立问题的研究提供有效的参考。
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略摘要：含参不等式恒成立的求解问题一直是高中数学教学的难点，综合性较强，该部分知识的得分率较低，基于此，笔者以实例的角度出发，提出几点相关求解的建议，希望能够帮助学生更深刻的理解该问题.关键词：不等式；含参；恒成立；策略含参不等式在给定范围内永远成立的问题称之为恒成立问题，具体表述为：对，有恒成立，其中函数或含有参数.在课改之后，作为选修内容的不等式修订为必修一的内容，可以看出新课改后对不等式知识模块的重视，然而在实际教学过程中发现，含参不等式恒成立问题是学生学习的难点，为了解决这一问题，笔者提出两步走策略：第一步：解题思想对于含有参不等式恒成立问题，首先需要对原不等式进行变形，整理为两类：一类是参数分离，另一类是参数混合；对于前者而言，主导思想考虑最值为切入点，对于后者而言，最值、导数与图像为切入点.第二步：解题方法1分参法分参法是学生使用较为频繁的方法之一，具体方法为：通过变形将原不等式进行参数分离，得到形如或的形式，将其等价为或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例1 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析参数为一次函数系数，首先可以对不等式进行参数分离，参数在等号一侧，另一侧为复合函数，还以与导数相结合，确定复合函数的范围.解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例2 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析由于不等式中参数为幂函数的形式，所以采用“取对数”的方式进行分参.解不等式两边同时取对数，得到，由于，所以，进行分离参数得，恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例 3 函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围.分析不等式参数为二次函数二次项系数，且为单系数，容易进行分参，采用分参法，且含有对数函数，所以的范围为 .解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，再令，对函数进行求导得，又因为当时，函数为零，所以函数在区间内恒大于零，内恒小于零，所以函数在处，取到最大值，即，故实数的取值范围为 .通过例1、例2、例3可以感受到使用分离参数解决含参不等式恒成立问题是一种便捷的方法，当把握了分参取最值的思想，就能够有正确的解题思路.分参后对于函数求值域是求解的关键，所以需要掌握求值域的方法；例1与例2在解题过程中，用到了一次求导，但例3则是典型的二次求导，并结合了零点的确认；对比例1和例2可以看出，当不等式中参数为幂函数时，可以采用等号两边同时取对数的方式.2构造函数构造函数法是解决恒成立问题的另一种常用方法，当参数不容易分离时，经常选择这种方法.具体方法为：通过移项、合并等变形将原不等式进行整理，得到形如的形式，构造新的函数，等价为讨论的最值，即或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例4 当且时，不等式恒成立，试求出的取值范围.分析试想使用分参的方法，新得到的函数由两个分式函数组成，每个函数含有对数，进行求导相对而言稍微复杂，变换思路采用构造函数的方式，寻找某些式子恒正或恒负，进而简化函数.解通过对不等式整理得，再进行通分变形得到，由于的正负可以根据的取值范围进行确定，所以令，对函数进行求导得 .接下来对参数进行分类讨论：当，在上，，函数单调递增，所以，与题意不相符.当，函数有零点（），根据根与系数的关系可得，函数在上单调递增，，与题意不相符.当，在上，恒成立，所以函数在上单调递减，且，符合题意.综上所述，参数的取值范围为 .从例4可以看出，变形后新构成的函数正负的讨论与导数单调性、零点以及二次函数根的分布有密切关系，所以掌握好这些知识点将是解决此类不等式恒成立问题的关键.例5 当，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析选择构造函数，由于考虑到例4对参数分类讨论存在不符合题意的情况，所以考虑采用缩参的方法将探讨的范围缩小，减少讨论的情况.解对不等式整理得，令，对函数进行求导得 .由于，且不等式恒成立，所以存在，满足，即，将参数的范围缩小为 .接下来，对参数的范围进行验证.当时，有成立，那么，结合经典不等式，可以得 .综上所述，实数的取值范围为 .在例5中，通过构造函数求参数方程，在求解的过程中，使用了缩参的思想，以及借用了经典不等式.结合例4、例5可以看出，构造函数的方法求参数方程，重点在于对复杂函数的分析能力.以上两种方法是解决含参不等式主观题目的常用方法，对于有些题目而言，两种方法都可以求解，但是在计算过程中，有所差异，那么应该如何选择恰当的方法，可以参考“端点效应”，即对于，不等式恒成立，确定参数范围的问题，分为两种情况：当时，满足，则选择构造函数方法，反之选择分离参数.需要强调的是，端点效应仅仅作为解决问题的参考，并不强制使用某一种方法。
含参不等式恒成立问题的求解方法
含参不等式恒成立问题的求解方法在解决含参不等式问题时，数形结合思想，函数的单调性，函数的最值，主参变更，基本不等的式使用等，都是行之有效的方法．下面我们结合实例，介绍这类问题的集中求解策略．1 分离参数法含有参数的不等式问题至少有两个变量，将两个变量分离，再通过求函数最值的方法解题，这是解决这类题目的最常用方法．例1.1 已知)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=，R t ∈是参数，当10≤≤x 时，有)()(x g x f ≤成立，求t 的取值范围．分析 题目中有x ,t 两个变量,由题意先得到关于x 与t 的关系式，10),2lg(2)1lg(≤≤+≤+x t x x .通过变形将x 与t 分别置于不等式的两边，即10,12≤≤++-≥x x x t 要使得不等式恒成立,只要t 不小于10,12)(≤≤++-=x x x x f 的最大值即可，从而把题目转化为求函数最值问题． 解 由题意，10),2lg(2)1lg(≤≤+≤+x t x x 所以有，12+≥+x t x ，即12++-≥x x t 在10≤≤x 时恒成立．令 1+=x y ，由[]1,0∈x ，所以]2,1[∈y ，则：,22122++-=++-y y x x 所以，222++-≥y y t ，当]2,1[∈y 时恒成立．因为22)(2++-=y y y h 在]2,1[∈y 上有最大值1)1(=h ，所以1≥t 有)()(x g x f ≤在10≤≤x 时恒成立．这种方法是解决参数不等式恒成立问题最常用的一种方法，也体现这类问题的常规性，不仅是函数问题，在数列问题中也很适用 ．例1.2 求所有的实数k ，使得不等式)(13333d c b a k d c b a +++≥++++对任意的[)+∞-∈,1,,,d c b a 都成立解 当1-====d c b a 时，有k )4(3-≥-，∴ 43≥k 又当21====d c b a 时，有k 223≥， 43≤∴k ． 因此43=k ． 下面证明不等式)(4313333d c b a d c b a +++≥++++ ⑴ 对任意[)+∞-∈,1,,,d c b a 的都成立． 对一切[)+∞-∈,1x ，有0)12)(1(2≥-+x x ，既x x 3143≥+所以， d d c c b b a a 314,314,314,3143333≥+≥+≥+≥+．将上面的4个等式相加，使的⑴式成立． 故欲求的实数43=k ． 说明 本题先取特殊值猜测k 的值，进而证明猜测成立，这种“先猜后证” 的方法是解决这类问题的常用方法，另外证明x x 3143≥+的，也可设x x x f 314)(3-+=，[)+∞-∈,1x ，运用导数知识证明0)(≥x f 成立．2 构造函数 间接求解通过构造函数)(x f ，先求出函数)(x f 在给定范围内的最值，再求出参数的取值范围，其依据是:设函数)(x f 在给定范围内的最大值是M ，最小值是m ，若不等式a x f ≤)(在给定范围内恒成立，则M a ≥，若不等式a x f ≥)(在给定范围内恒成立，则a ≤m ．例2.1 设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围．解析 构造辅助函数ax x x ax x f x g -++=-=)1ln()1()()(，原问题变为0)(≥x g对所有的0≥x 恒成立，注意到0)0(=g ，故问题转化为)0()(g x g ≥在0≥x 时恒成立，即函数)(x g 在[)+∞,0为增函数，于是可通过求导判断函数)(x g 的单调性,并求出使)0()(g x g ≥成立的条件．a x x g -++=1)1ln()('，由,0)('=x g 得 11-=-a e x ，当11->-a e x 时，为增函数)(,0)('x g x g >；当111-<<--a e x 时，0)('>x g ，)(x g 为减函数．那么对所有的0≥x ，都有)0()(g x g ≥，其充要条件是011≤--a e ，故得a 的取值范围是(]1,∞-．假若我们没有注意到0)0(=g ，那么在解0)(≥x g 对所有的0≥x 恒成立时，也可转化为)0(0)(min ≥≥x x g ，再以导数为工具，稍作讨论即可以得解．本题还可以采用参数分离法求解．由ax x x x f ≥++=)1ln()1()(对所有的0≥x 恒成立可得；R a x I ∈=时，当0)(；xx x a x II )1ln()1(0)(++≤>时，当 ， 设xx x x g )1ln()1()(++=，问题转化为求)(x g 在开区间()+∞,0上的最小值或下界，2')1ln()(xx x x g +-=，试图通过0)('=x g 直接求得稳定点，困难重重．退一步令)1ln()(+-=x x x h ，因为0,111)('>+-=x x x h ，故0)('>x h ，则)(x h 在()+∞,0单调递增，即0)0()(=>h x h ．从而0)('>x g ，于是)(x g 在()+∞,0单调递增，故)(x g 无最小值，此时，由于)0('g 无意义，)(x g 的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：)()(lim 0x g x g x +→>，然而求这些极限又超出所学的知识的范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无畏而终，事实上采用洛比达法则可得，[]11)1ln()1ln()1()(lim lim lim 000=++=++=+++→→→x x x x x g x x x ．故0>x 时，1)(>x g ，因而 1≤a ．综合)(),(II I 得的取值范围是(]1,∞-说明 此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数a 的范围也转化为函数最值问题，可见，利用函数的性质来处理含参数的不等式问题也是很有效的．例2.2 已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos()32(2+<-++-+a a θθθπθ对于∈θ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π恒成立，求a 的取值范围． 解 设x =+θθcos sin ，则x 224cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ，12sin 2-=x θ， ]2,1[∈x 从而，原不等式可以化为()()63126322+<--++a x x x a ，即 04363222>++---a xx ax x 整理得 ])2,1[(0)2)(32(∈>-+-x a xx x ⑵ 因为 ]2,1[∈x ， 所以 032<-x ， 不等式⑵恒成立]2,1[(2∈<+⇔x a x x 恒成立max )2(x x a +>⇔．易知xx x f 2)(+=在]2,1[上递减，则]2,1[(3121)2(max ∈=+=+x x x ），所以，a 的取值范围是3>a ． 说明 此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数的范围也是转化为函数的最值问题．可见，利用函数的性质来处理函数的不等式问题是很有效的．3 利用二次函数根的分布解题把不等式转化为一元二次不等式，利用二次函数根的分布特点，同样也可以求解可以求解恒成立问题．例3.1 设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在），（0∞-和），（∞+1都是增函数，求a 的取值范围．解析 有关三次函数的单调性问题，实质就是二次函数在相应的区间上恒正（或恒负）的问题，所以由0123)(22'≥-+-=a ax x x f 在），（0∞-和），（∞+1上恒成立, 即:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≥≥>--=∆16200)1(0)0(0)1(12422a f f a a ①或 0)1(12422≤--=∆a a ． ② 由①得261<≤a ，由②得26-≤a 或26≥a ． 综上得：[)+∞--∞∈,1)26,( a ． 例3.2 不等式13642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围． 解 因为043)43(436422>++=++x x x ，所以原不等式等价于<++k kx x 222 3642++x x ，即 对0)3()26(22>-+-+k x k x 恒成立R x ∈．∴ 0)3(8)262<---=∆k k （，解得 31<<k ． 故实数k 的取值范围为31<<k ．4 数形结合 ，直观求解先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定范围内函数与函数图象之间的关系,列出条件，求出参数的取值范围．例4.1 已知函数x x a x f 4)(2--+=与134)(+=x x g ，若恒有)()(x g x f ≤成立，试求实数a 的取值范围．解 由题意a x x x -+≤-1344_2 ，令 x x y 421--= ， a x y -+=1342 ．如图1， 当直线与半圆相切时，a x x x -+=-1344_2 ， 有221)34(13422+-+⨯-=a ，得：535-=或a ，又01>-a ， 所以5-=a ，此时61=-a ．所以要使a x x x -+≤--13442，只需 61≥-a ，得5-≤a ．综上可得：5-≤a 时)()(x g x f ≤成立．事实上，本题也可以用分离参数的方法求解，13442++---≤x x x a ，其中04≤≤-x ，然后利用导数或三角换元求最值得解，数形结合的方明显较简洁．例4.2 不等式0log 2<-x x m 在210<<x 恒成立，求m 的取值范围 解 令2)(x x f =，x x g m log )(=，则在210<<x 时，函数)(x f 的图象总在函数)(x g 的图象的下方．如图2： 因为41)21(=f ，所以4121log 0=m 得1610=m 又为常数）)1,0((log )(00∈=x x m h m在10<<m 单调递增，所以1161<≤m ．。
例谈高考中含参不等式恒成立问题的解题策略
例谈高考 中含 参不等式恒成 立 问题 的解题策 略
扬州大学数学科学学院 （ ２ ２ ５ ０ ０ ２ ） 张馨心 濮安 山
通 过研究 近几 年全 国高考题， 我们 不难 发现， 含参数 不 关 于 Ｑ的不等式组， 进而求 出 Ｏ Ｚ 的取 值范围． 等式 恒成立 问题是 高考 中的热点 问题 ， 亦是 函数 中的难点问 题， 几乎每年 必考． 其综合性较强 ， 考察 了学生灵 活运 用知识
上 是 单 调 减 函 数， 在 （ 一１ ， １ １ 上 是 单 调 增 函 数．所 以 当
＝ 一
解 ｆ （ Ｘ ）一 ￣ ／ ３ ｓ ｉ ｎ ３ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ３ ｚ＝ ２ ｓ ｉ ｎ （ ３ ｘ＋ ） ， 得
－
１时， ， （ ｚ ） 取 最 小 值 ．即 ， （ ） ｉ ： ， （ 一 １ ）＝ 一 ２ ．
的能力． 对 此类 问题 的分析 与总结， 可 以帮 助学 生形成 良好
三、 分离 参数 法
在 除了未知数还有一 个参数的不等式 中， 当参数易 于与 未知数 分离 ， 并 且分离 后另 一边 的 函数 的取值 范 围可求 时， 常考虑采用分 离参数法， 进 而转化为求不等式另一边 函数的
．
（ ２ ０ １ ３ ， 重庆， 文） 设 ０≤ ≤７ ｒ ， 不等式 ８ ｚ 。 一 （ ８ ｓ ｉ ｎ ｃ ｅ ） ｚ ＋
Ｃ Ｏ Ｓ ２ ≥０对 ∈Ｒ恒成立， 则 的取值范 围为 ．
解
由二 次 函数 的 图像 性 质 可 得 Ａ ＝ ｆ 一 ８ ｓ ｉ ｎ ｃ ｅ ） ０ —
、
最 值法
对于在 给定定义域上， 含参数 函数 的函数值 大于等于或
解 不等式变形为 ｎ 。≥ 。 一４ ｘ一３ ， ∈［ 一 ２ ， １ 】 ． 当
高中数学含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
含参不等式恒成立问题的解法标准版资料
例2、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数m的取值 范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数x的取值
范解围(2). : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
件为：
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为：
(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综上可知: 适合条件的m的范围是:
-11<m
<
3 2
。
第七页，共10页。
练习 3.若不等式x2-kx+2>0,对x∈[-3,3]恒成
∴x 解得:
（ 1<m_<，_C_<_）0________Δ_=_b__2-_4_a_c__<_0。
问题(wèntí)获解。
题，分类讨论。
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，
３、ａ≥f(x)恒成立的等价(děngjià)条件ａ是≥[：f (x)] max
_____________;
ａ≤[f (x)] min
题，分类讨论。 3、通过分离参数，将问题(wèntí)转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立，求x的取值范围. 一、基础(jīchǔ)知识点：
含参不等式恒成立问题的解法例析
教学参谋解法探究2018年2月含参不等式恒成立问题的解法例析!山东省乳山市第一中学孙梅彦“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几 何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性 强，解法灵活等特点而备受高考、竞赛命题者的青睐.另 一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方 程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思 想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、 创造性都有着独到的作用.本文就结合实例谈谈这类问 题的一般求解策略.一、转换主元法首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解.此 方法常适用于化为一次函数.对于一次函数，#"[(，）]有恒成立1)>0,心)>0,/#)<0恒成立％ f[m ) <0,(n ) <0.例1已知K #)$#2+m #+l ，试求实数#的取值范围，使得不等式K #) & 3对任意的m ' [-1，1]恒成立.分析:题中已知m 的范围，故可转化为y =g {m ).-10 1解析:令/(m )$#m +(#2+1)，此为关于m 的一次函数， 相应直线的斜率为#，结合图1知，/(#) &3对任意的m " [-1，1 ]恒成立％(1) & 3且（-1) & 3，可求得#的取值范 围为|#1#&2或#(-2 }.一般地，在运用“变换主元法”求解“含参不等式恒 成立问题”时，遵循“已知谁的范围，则视为谁的函数”， 可快速判定函数类型.二、 判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数（# ) $a #2+'#+c ( a ) 0， #"!)，<(1 )(# ) >0对# " R 恒成立％ $<0，！>0，(2)(#)<0对# " R 恒成立％$>0，！<0，例2 (1)已知不等式#2-2a #+1>0对# "R 恒成立，求 实数a 的取值范围.(2)已知不等式a #2-2a #+1>0对# "R 恒成立，求实数a 的取值范围.分析：（1)结合二次函数图像，直接利用！<0即可.(2 )需要对二次项前的系数分类讨论.解：（1 )!=4a 2-4<0*-1 <a < 1.(2)"2=0时，1>0恒成立；② a >0，！=4a 2-4<0*0<a < 1.综上可知，0(a <1.三、 最值法当#!0时图1将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一 种处理方法，其一般类型有：74 十•？炎，？高中版2018年2月解法探究>教学--参谋(1)&" )>af旦成立！a<,")一(2 )&" )<af旦成立！a>&" )%〇■例3 函/：")%"2+2"+# ,""[1，+#)，若对任5""[1，&#)，恒成立:,")>〇,求实数#8取值范围.解：若对任意""1,+#)，/(")>〇恒成立，即对""[1，+#恒成立，考虑到不等式的分母"""[1，+ #(，只需"2+2"+a>0在""[1，+ #)时恒成立■而抛 物线'("）％"2+2"+a在""[1，+#)的最小值' (1)%3+a>0,得 a>-3.注：本题还可将&"(变形为/(")%"+1 +2，讨论其单"调性从而求出（")最小值■数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形缺数时难人微■”这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用■我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系：(1) /(")>'("(!函数（")图像恒在函数'(")图像上 方；(2) /(")<(")!函数（")图像恒在函数'(")图像下 上方.四、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分 离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它 思路更清晰，操作性更强■一般地有：(1 )(")<(#)(#为参数)恒成立！（#)<(")%…;(2)&")>&a)(a为参数)恒成立！&a)>/t")ra■实际上，上题就可利用此法解决.例4已知不等式"2-2〇"+1>0对""[1，2]恒成立，求 实数#的取值范围.解：通过分离变量，转化为a< " +1 % #+$■令&")%丄%+丄)，只需求（")的最小值为1，所以2"a<1.五、数形结合法例5若对任意实数"，不等式1"+1',"恒成立，则实数,的取值范围是______■分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究yi%l"+ 11，.2%,"的图像的位置关系.解：画出.i%l"+1l，.2%,"的图像，由图2可看出0(,例6 设（")％)-"2-4"，'("）％^~"+1-a，若恒有（"）((")成立，求实数#的取值范围.分析:在同一直角坐标系中作出/(")及'(")的图像 如图3所示，（")的图像是半圆("+2)2+y2%4(.'0).(")的图像是平行的直线系4"-3.+3-3#%0.要使&")('(")恒成立，则圆心（-2,0)到直线4"-3.+3-3#%0的距离满足 1% 丨^+^ ^#1'2,解得#(-5或#'A(舍去)■3由上可见，在解综合性较强的不等式恒成立问题 时，有时一题多法■应以题为本，关键抓住恒成立的本 质，具体问题具体分析，灵活运用这几种方法，选择最行 之有效的方法，而不要拘泥于一种方法.含参不等式恒 成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核 心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万 变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结■高中版十炎，？75。
浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１４数学学习与研究㊀２０１９ ２２浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略Һ张智云㊀(广元市八二一中学ꎬ四川㊀广元㊀６２８０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ不等式问题是高中数学中的重要内容之一ꎬ而含参数不等式恒成立问题又是历年高考中的一个热点ꎬ也是高中数学的一个难点ꎬ含参数不等式恒成立问题综合性强ꎬ在解决这类问题的过程中ꎬ学生较难找到解题的切入点和突破口ꎬ基于此ꎬ本文结合实例谈谈这类问题的解决策略.ʌ关键词ɔ参数分离ꎻ变量转换一㊁分离参变量策略在含参数不等式中参数与变量能分离且函数最值容易求出时ꎬ可以将参数不等式经过变形ꎬ将参数分离出来ꎬ将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题ꎬ从而求出参数范围.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ａｘ＋３－ａꎬ若ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｆ(ｘ)ȡ２恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解㊀ｆ(ｘ)ȡ２在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立等价于:ａɤ－ｘ２－１ｘ－１在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立.令ｈ(ｘ)＝－ｘ２－１ｘ－１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｘ＋１(ｘ－１)２＝－(ｘ－１)２＋２(ｘ－１)２.当ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｈ(ｘ)在[－２ꎬ１－２)上单调递减ꎬ在[１－２ꎬ０]上单调递增ꎬʑｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(１－２)＝２２－２ꎬʑａɤ２２－２ꎬʑ实数ａ的取值范围为(－ɕꎬ２２－２].二㊁主参换位策略某些含参不等式恒成立问题ꎬ在分离参数会遇到讨论的麻烦㊁但函数的最值却难以求出时可以通过变量转换ꎬ构造以已知取值范围的参数为自变量的函数ꎬ利用函数求出另一参数的取值范围.例２㊀若不等式ａｘ２－２ｘ－ａ＋１<０对满足－２ɤａɤ２的所有ａ都恒成立ꎬ求实数ｘ的取值范围.解㊀原不等式可以转化为ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１<０.令ｆ(ａ)＝ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１(－２ɤａɤ２)ꎬ它的函数图像表示一条线段ꎬ且该线段在ｘ轴下方ꎬʑｆ(－２)<０ꎬｆ(２)<０ꎬ{即－２ｘ２－２ｘ＋３<０ꎬ２ｘ２－２ｘ－１<０ꎬ{解得－１＋７２<ｘ<１＋３２ꎬʑ实数ｘ的取值范围为－１＋７２ꎬ１＋３２æèçöø÷.以上介绍了两种含参数不等式恒成立问题的求解策略ꎬ只是从某一个方面突破去探讨了不等式参数的取值范围ꎬ在具体的解题过程中ꎬ往往需要综合考虑ꎬ灵活运用ꎬ才能更好地解决这类问题.ʌ参考文献ɔ[１]郭宏.浅谈高中数学恒成立问题的解题方法[Ｊ].中国基础教育研究ꎬ２００９(６):１６６－１６７.[２]叶海明.高中数学恒成立问题的解题策略浅探[Ｊ].读与写ꎬ２００９(８):１１３ꎬ１９２.。
含参不等式成立问题的求解策略
、
分 类 讨 论 法
例１ 、 若不等式 Ⅲ ＋ Ｍ； ＋１ ＞０ 对一切实数恒成立 ， 求 实数 ｍ的 取值范圈 。 分析 ： ０最特殊 。 应考虑 二次项 系数 等于 ０或不 等于 ０来解 决 问
题。
解： 由 于 ４ ＞ ０ ， 故 本 题 可 转 化 为口 ＞ 一 （ 寺） 一 （ ÷） 对 一 切
ｔ △＞ ｏ
例２ 、 若不等式 ［ （ １ — ４ ） ｎ— ａ ］ ｌ ｓ ａ＜０ 对 于任意 正整数 ， ； 恒成立 ， 求 实数 ｎ的取值 范围
解： 出题意 Ⅱ ＞０ Ｈ 口≠ １
（ １ ） 当０＜口＜１ 时， 即要使不等式 （ １ 一 口 ） 一口＞０ 对 一切ｊ Ｅ 整 数ｎ 恒成立。 令ｇ （ ｎ ）： （ １ 一 ａ ） ｎ一 Ⅱ， （ １一 ｑ＞０） 所 以当ｎ：１ 时， ｇ （ １ ）
＝ １ —２ ｔ １．
（ ２ ） 当ｘ ∈ｆ １ ， ＋ ） 时， ｆ （ ｘ ） ）ａ 恒成立 ， 求实数 ａ 的取值范围 ； 解： （ １ ） 因为当 ｘ ∈［ １ ， ＋ ＊） 时， ｆ （ ｘ ） ＞０恒成 崴， 即 ￡ 垒 ＞０ 恒成立 ， 可转化为 口＞ 一 一 缸 对 一切 ｘ Ｅ［ １ ， ＋∞） 恒成立 ， 令ｇ （ ）＝一 。 － ２ ｘ， 由于函数 （ ）＝一 － ２ ｘ 在 区间［ １ ， ＋ ∞） 足 减两数。 所以 ｇ （ ） ～ ｇ （ １ ）＝－ ３， 即实数 ａ 的取值 范围为［一 ３， ＋ ＊）
四、 变换主元法
系内作 出函数， （ ）＝（ ＊一 １ ） 与函数 ｇ （ ）＝ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ 在（ １ ， ２ ） 上的图 象， 借助 图形可直观 、 简捷求解。 解： 在 同 一平 两直 角坐 标系 内作 出涵数 ， （ ）＝ （
含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略
含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作者：刘飞来源：《理科考试研究·高中》2016年第01期含参不等式恒成立问题是高考中的热点问题，此类问题由于题型多样，有利于考查学生的综合解题能力，解答此类问题主要通过转化来解决问题.下面举几种常见的解答方法.一、分离参数此法是把不等式中的参数t与未知数x分离出来，得到t>f（x）或tf（x）max，或t例1已知对于任意x∈（0，1），不等式|loga（2-x）|>|loga（2+x）|-1恒成立，求实数a 的取值范围.解显然a>0且a≠1，当x∈（0，1）时，loga（2+x）>0，loga（2-x）>0，原不等式可化为lg2+x2-x所以2+x2-x=42-x-1∈（1，3），所以lg2+x2-x∈（0，lg3），因为对于任意的x∈（0，1），不等式lg2+x2-x所以|lga|≥lg3，解得a的范围是：a≥3或0二、联系二次函数如果原不等式可化为二次不等式型，可充分联系二次函数的图象及性质解决问题.例2当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3-a≥0恒成立，求实数a的范围.解构造二次函数f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3.当-a2-a2f（-2）=（-2）2+a（-2）+3-a≥0，解集为空集.当-2≤-a2≤2时，原不等式等价于：-2≤-a2≤2，f（-a2）=（-a2）2+a（-a2）+3-a≥0，解得-4≤a≤2.当-a2>2时，原不等式等价于：-a2>2，f（2）=22+2a+3-a≥0.解得-7≤a≤-4.综上，a的取值范围为-7≤a≤2.三、数形结合某些不等式的恒成立问题，可通过构造函数，借助函数的图象来研究.例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2解设f（x）=（x-1）2，g（x）=logax.当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2当0当a>1时，画出f（x）及g（x）的图象，由图象可得，当x∈（1，2）时，要使不等式f（x）则需要f（2）≤g（2），即（2-1）2≤loga2，解得a≤2，故1综上，a的取值范围为1四、变更主元将不等式中的参数与变量地位互换，反客为主，实现难题巧解.例4若x∈（0，13]，不等式1+x+（a-a2）x2>0恒成立，求实数a的取值范围.解原不等式可化为关于a的不等式：x2a2-x2a-（x+1）即[ax-（x+1）]（ax+1）因为x∈（0，13]，所以不等式的解为-1x由条件知[-1x]max所以-3。
求解含参不等式恒成立问题的三种途径
考点透视赵爱华含参不等式恒成立问题的常见命题形式有求参数的取值范围、证明不等式恒成立.由于不等式中含有参数，导致问题中的其他参变量不确定，这给我们解题带来了很大的不便.因而解答此类问题，需采用一些途径，如分离变量、变更主元、分类讨论.下面结合实例，探讨一下如何求解含参不等式恒成立问题.一、分离变量对于含参数不等式恒成立问题，可以将不等式进行变形，使其变量和参数分离，即使变量和参数分别置于不等号的左右两边，然后通过求含有变量式子的最值，将问题转化为解关于参数的不等式问题.例1.对任意θ∈R ，不等式cos 2θ-3>2m cos θ-4m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由cos 2θ-3>2m cos θ-4m 得：cos 2θ-3>2m ⋅()cos θ-2，由θ∈R 知cos θ-2<0，所以m >cos 2θ-32()cos θ-2=-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4.当2-cos θ=22-cos θ，即cos θ=2-2时，-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4取得最大值4-22，所以实数m的取值范围为m >4-22.将不等式变形为一边只含有变量、一边只含有参数的式子，便可将变量分离，再根据函数的单调性和有界性求得-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4的最值，即可建立使不等式恒成立的新不等式.二、变更主元对于含参不等式恒成立问题，很多同学习惯于将x 视为变量，其他字母看作参数.事实上，有时为了求得参数的取值范围，我们可变更主元，将所求的参数看作主元、变量视为参数，根据题目中对变量的限制情况，建立关于参数的不等式，从而求得参数的取值范围.例2.对任意||m ≤2，不等式2x -1>m ()x 2-1恒成立，求x 的取值范围.解：由2x -1>m ()x 2-1可得()x 2-1m +1-2x <0，设f (m )=(x 2-1)m -2x +1,-2≤m ≤2，所以要使f ()m <0恒成立，只需使f ()-2<0且f ()2<0，ìíîïï-2()x 2-1+1-2x <0，2()x 2-1+1-2x <0，解得x.解答本题，需变更主元，将m 视为变量、x 看作参数，构造关于m 的一元一次函数，根据一次函数的单调性建立关于x 的不等式，进而通过解不等式求得x 的取值范围.三、分类讨论由于含参不等式恒成立问题中涉及了参数，所以常需运用分类讨论法，对不等式中的某些参数、变量进行分类讨论，使一些不确定因素变成确定因素，建立使目标不等式恒成立的关系式，即可解题.例3.对任意x ∈[-2,2]，不等式x 2+ax +3-a ≥0恒成立，求a 的取值范围.解：设f ()x =x 2+ax +3-a =æèöøx +a 22-a 24-a +3，令f (x )在x ∈[-2,2]上的最小值为g (a ).①当-2+a2>0，即a >4时，g (a )=f (2)=7-3a ，要使g (a )≥0，需使7-3a ≥0，即a ≤73，显然a 不存在.②当2+a 2≥0≥-2+a 2，即-4≤a ≤4时，g (a )=f (-a 2)=-a 24-a +3.由g (a )≥0得-6≤a ≤2，所以-4≤a ≤2.③当2+a2<0，即a <-4时，g (a )=f (-2)=7+a ，由g (a )≥0得a ≥-7，所以-7≤a <-4.综上所述，a 的取值范围为-7≤a ≤2.要使目标不等式恒成立，需使f (x )的最小值大于或等于0.而函数f (x )的最小值受参数影响，于是分三种情况：-2+a 2>0、2+a 2≥0≥-2+a 2、2+a 2<0进行讨论，从而确定f ()x min .总之，含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，在解题时不仅要灵活运用函数、不等式、方程等知识，还需根据不等式的特点来分离变量、变更主元、分类进行讨论.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）40。
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式的求解是高考、竞赛中的热点问题，而这类习题中含参数不等式恒成立的问题，方法灵活多样，令不少同学望而生畏，束手无策。
本文将结合事例，谈谈这类习题的常见求解策略。
一、利用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n]有f(x)>0 恒成立f(m)0f(m)0;f(x)对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈(m,n)有f(x)>0恒成立f(m)0f(m)0;f(x)例1、已知不等式x2+(t-4)x+(4-2t)>0对满足t∈(-1,1)的所有t都成立，求x取值范围。
分析：若直接解关于x的不等式，再由t的范围求出x的范围，不仅过程繁杂，而且也不易得出正确结论，然而，换一个角度，反客为主，整理成关于t的形式: (x-2)t+(x-2)2>0（显然有x≠2）令f(t)=(x-2)t+(x-2)2,则f(t)是t的一次函数。
由于f(t)>0对t∈(-1,1)恒成立，则有x25x60f(1)02x≥3或x≤1 f(1)0x3x20二、利用二次函数的判别式对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有f(x)>0对x∈R恒成立a0; 0a0. 0f(x)例2、已知二次函数f(x)满足f(-2)=0，且3x+5≤f(x)≤2x2+7x+7对一切实数x都成立.(1)求f(-1)的值;(2)求f(x)的解析式分析:(1) ∵2≤f(-1)≤2 ∴f(-1)=2(2)设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)则由f(-2)=0及f(-1)=2,得4a2b c0b3a 2 a b c2c2a4∴有3x+5≤ax2+(3a+2)x+(2a+4)≤2x2+7x+7对x∈R恒成立即ax2+(3a-1)x+(2a-1)≥0且(a-2)x2+(3a-5)x+(2a-3)≤0恒成立a0a2(显然a2)且22(3a1)4a(2a1)0(3a5)4(a2)(2a3)012a2a0a 1 且22(a1)0a3a10∴f(x)=x2+5x+6点评：此题第（2）问条件较隐蔽，但最终转化成了含参数a的两个不等式恒成立问题得到了解决。
含参不等式恒成立问题的求解
含参不等式恒成立问题的求解王丹+谢伟含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.数形结合法有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）A. [a-1]B. [a≤1]C. [a1]D. [a≥1]解析如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g （x）=ax，x∈R]的图象. 因此，[a≤1].答案B例2 若不等式[3x2-logax0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，不等式[3x2 p如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.若[a1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.若[0则[loga13≥13]，解得，[a≥127].所以，[127≤a1].综上所述，实数a的取值范围是[127，1].答案[127，1]点评对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.不等式解集法若不等式[f（x）0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.例3 已知[f（x）=x+a+__2]，若[f（x）≤__4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析由题意知，[x+a+__2≤__4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2__≤4__]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，所以[[1，2]][?-2-a，2-a].从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].答案[-3，0]例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a，a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，[f（x）=2x].则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.也就是[3x2-2a__a2≤0]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.（1）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[a，-a3].则[[a，a+2]][?a，-a3].从而[a0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为.则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].（3）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[-a3，a].则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].答案[-∞，-32]点评对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.函数最值法含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[kf（x）]，或[k f（x）]恒成立[?kf（x）max]；②[kp（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a 的最小值是（）A. 0B. -2C. -2.5D. -3解析两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥__+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=__+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0]. 1]，由图可知，函数[f（x）=logax]的圖象必须经过点[a13，13]，或在[a]点的上方.方法一：将不等式转化为[a≥__+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.构造函数[g（x）=__+1x，x∈0，0.5].因为[y=g（x）=__+1x]在[0，0.5]上是增函数，所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].所以[a≥-2.5].所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.则[f（x）1]，所以[a≥0]符合题意.②当[-1由题意得，[-1所以[-1③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]所以[-2.5≤a≤-1].综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].点评一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.例6 已知函数[f（x）=xln__ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.解析方法一：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[gx=lnx+1x]，则[gx=-ln__2].所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，故[gxmin=g1e2=-e2].所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].方法二：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[h（x）=ln__2ax+1，x∈1e2，+∞]，则[h（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.则[h（x）=1__2a=-2ax+1x].①当[a≤0]时，[h′（x）0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].则[a≤0，-2ae2-1≥0.]解得，[a≤-e22].②当[a]0时，由[h′（x）0]得，[x=12a].当[1e212a]，即[0当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.当[1e212a]，即[ae22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].点评两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法. 0].0，1-a24≥0.]0]时，[ymin=f（-a2）=1-a24].。
含参不等式恒成立的解题策略
含参不等式恒成立的解题策略发表时间：2020-10-12T07:15:02.423Z 来源：《中国科技人才》2020年第17期作者：王彩琴[导读] 含参不等式恒成立问题把不等式、函数与导数、三角、几何等内容有机地结合起来，以覆盖知识点多、综合性强、解题灵活等特点备受高考命题者的青睐。
高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。
阳泉市第十一中学校山西阳泉 045000含参不等式恒成立问题把不等式、函数与导数、三角、几何等内容有机地结合起来，以覆盖知识点多、综合性强、解题灵活等特点备受高考命题者的青睐。
高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。
解决这类问题涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，可以锻炼学生的综合解决问题的能力，培养学生的思维，提高学生的创新能力。
针对高考命题的特点，通常这类问题的解题策略大致可以转化为最值问题。
我们实际操作时，首先，选择参変量分离的做法，这样可以避规对参数的繁冗讨论；其次，可以选择部分分离，问题可以转化为两个函数比较大小的问题，这样可以降低讨论参数的难度，问题往往落实在求曲线的切线斜率；最后，也可以不分离，直接对参数讨论，这个办法难度较大。
一方面，参数讨论比较复杂；另一方面，式子的运算和处理技巧性强。
下面以2020年全国一卷第21题第二问为例，具体叙述解题策略这类问题解法策略通常是以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数单调性最值等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数性质问题。
对这类问题的处理，需要学生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活应用这些知识研究函数性质问题。
在高三复习课堂有意识给学生这方面的训练，提高学生的数学素养。