2018年高考数学专题201月第一次周考(排列组合与二项式定理)单元测试理

第一周 排列组合与二项式定理测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查排列组合与二项式定理及其应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第16题考查二项式定理的应用、的积分的计算；注重逻辑推理能力和运算能力的考查，如第9，13，20，22等题．讲评建议：评讲试卷时应注重对逻辑推理能力和运算能力的培养，注重求解排列、组合问题常用题型及其解题方法的反思与总结；注重总结二项式定理应用题型及其解题方法．试卷中第3，10，11，16，18，20，22题各题易错，评讲时应引起足够重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若n 为奇数，则()12nx -的展开式中各项系数和为（ ） A ．2nB ．12n - C ．-1 D ．1【答案】C2．从数字0，1，2，3，4，5中任选3个数字，可组成没有重复数字的三位数共有（ ） A ．60 B ．90 C ．100 D ．120 【答案】C【解析】从0，1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，第一步先从非零的五个数中选择一个作为百位数字1C 55=，再从剩余的5个数中选择两个排在十位和个位上2A 205=．总数为520100⨯=．故选：C ．3．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种【答案】B【解析】试题分析：当丙乙在甲的左侧时： 2123242396A C A A =，同理，当丙乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法． 考点：排列、组合．点评：对于排列、组合的有关问题，相邻问题可以采取捆绑法，有特殊要求的可以采取优先排列法．本题正是灵活应用这两种方法来解决的，但要属于讨论乙丙在甲的那一侧，此为易错点．4 ）A ．-8B ．-12C ．-20D ．20 【答案】C令620r -=，即3r =，∴常数项为．故选C ．考点：二项式定理．5．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )A ．680B ．816C ．1360D ．1456 【答案】A6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ） A ．234 B ．363 C ．350 D ．346 【答案】D【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右4×4×2=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有211110A =种，甲乙分列在前后两排22128192A ⨯⨯=种，一共有44+110+192=346种．故选D ．7．将5名实习教师分配到某校高一年级的3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）A ．180种B ．150种C ．90种D ．30种 【答案】C8．()()5312x x +-展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．-150 B ．70 C ．90 D ．110 【答案】D【解析】()512x - 展开式的通项公式为()()()515·2,312rrr T C x x x +=-∴+- 展开式中， 2x 项的系数为()()221553?2?2110C C -+-= ，故选D ．9．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为,,a b c ，当且仅当,a b b c ><时称为“凹数”（如213），若{},,1,2,3,4a b c ∈，且,,a b c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（ ）个 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】由题设可知从{}1,2,3,4中任取三个所有可能为()()()()1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，将其按凹数的定义排列有： ()()()()()()()()213,312,214,412,314,413,324,423，共8个，应选答案C ．1064，则展开式中常数项为（ ）A ．60B ．45C ．30D ．15 【答案】A【解析】由题意可得：2n=64，解得n=6r=2．∴展开式中常数项为 ()226260C -=．本题选择A 选项．11．3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是（ ）A ．88AB ．5353A AC ．5355A AD ．5358A A【答案】C点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法． 12．如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列： 记这个数列前项和为，则等于( )A ．128B ．144C ．155D ．164 【答案】D【解析】由题干图知，数列中的首项是22C ，第项是12C ，第项是23C ，第项是13C ，第项是29C ，第项是19C ，()()()21212122211122339923923916S C C C C C C C C C C C C ∴=++++++=+++++++ ()()1113223239339104444120164,C C C C C C C =+++++++=+=+= 故选． 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．【2018的展开式中的常数项为 ．【答案】20- 【解析】，故答案为20-．考点：二项式定理．【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第1+r 项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第1+r 项，由特定项得出r 值，最后求出其参数． 14．【2018山东临沂一中高三模拟】动点从正方体的顶点出发，沿着棱运动到顶点后再到，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为__________．（用数字作答） 【答案】1815．【2018福建三明二中高三模拟】若()()()()100210001210012111,,1,2,3,,i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈=则13599 e e e e ++++= _______【答案】100512-【解析】在()()()()100210001210012111x e e x e x e x +=+-+-+- 中，令2x =得10001231005e e e e e +++++= ，令0x =得，012341001e e e e e e -+-+-+= ，二式相减得()10013599251e e e e ++++=- ，10013599512e e e e -∴++++= ，故答案为100512-．16．【2018河北邢台一中高三模拟】已知0a >， 展开式的常数项为15，则)d x =．2r =，所以()2246115C a ⋅-⋅=，因为0a >，所以1a =．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【2018湖北武汉模拟】（本小题满分10分）用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算： （1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？ （3）求即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式） 【答案】（1）；（2）；（3）．试题解析：（1）百位数子只能是2、3、4、6中之一，百位数字确定后，十位和个位数字的组成共有种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有个．（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．共有个（3），∴144的所有正约数的和为．考点：排列组合综合应用．18．【2018南京市联合体学校调研测试】（本小题满分12分）已知{}123*,2,,,,,1,1,n n N n k k k k ∈≥⋅⋅⋅∈- {}2120|222n n A x x k k k =>=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅记()A n 为集合A 中所有元素之和（1）求()3A 的值；（2）求()A n （用n 表示） 【答案】（1）32；（2）()212n A n -=．【解析】试题分析：1）3,n A =中元素有4个：由题意求出这4个元素，即可得到()332A = （2）由等比数列前n 公示可证明： ()2122222,*n n n n N -++⋅⋅⋅+<≥∈要使集合A 中元素0x > 1n k ∴= 从而1231,,,,n k k k k -⋅⋅⋅可任意取1或1-，由乘法原理 集合A 中所有元素的和为： 121222nn n --⨯= ()212n A n -∴=．试题解析：（1）3,n A =中元素有4个：23232323222,222,222,222++-++-+--+，其和为32，()332A ∴=，19．【2018江西上饶高三模拟】（本小题满分12分）已知：，函数，（1）当时，展开式中的系数是25，求的值；（2）当时，…，（I ）求； （II ）求…．【答案】（1）；（2）（I ） ；（II ）．【解析】试题分析：（1）根据函数展开式中 的系数列方程，求出的值； （2）ⅰ）赋值法：分别令两式相加得的值；ⅱ）赋值法：令和，即可求出的值．试题解析： （1），……4分 （2）ⅰ）赋值法：分别令相加得------8分ⅱ）赋值法：令，，，因此------12分考点：1．二项式定理；2．赋值法求二项展开式的系数和． 20．【2017江苏南京盐城高三一模】设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈． （1）求值： ①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++．【答案】（Ⅰ）①0，②，0，（Ⅱ）()22254n nn -++【解析】()()2221212k k k k k n n n n nk C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦又01232n nn n n n n C C C C C +++++=L ，代入化简得结果试题解析：解：（1……………2分………………4分()23nn n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++．…10分 方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++ ，两边同乘以x ，得()1223111nk k n n n n n n x x x C x C x C x C x+++=++++++ ，两边对x求导，得()()()()11221112311nn k k n n n n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++ ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++ ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++ ． ……………8分令1x =，得()121221222n n n n n n n n ---++-+()()22212212311k nn n n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，即()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++． …………10分 考点：组合数定义及其性质【思路点睛】二项式通项与展开式的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．②可证明整除问题(或求余数)．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断． ③有关组合式的求值证明，常采用构造法．21．【2018天津和平区高三模拟】（本小题满分12分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）30；（2）91种；（3）120种．（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 试题解析：(1) 225260C C ⋅=；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：449791C C -= (种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有37C 种，乙在内甲不在内有37C 种，甲、乙都在内有27C 种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：3277291C C += (种)．11 3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为： 444954120C C C --= (种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：132231545454120C C C C C C ++= (种)．点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．22．（本小题满分12分）已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．（I ）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（II ）求n x x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数． 【答案】（I ）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（II ）233+． 【解析】∵∈-65r Z ，∴0=r ，6，有理项为550101x x C T ==，446107210x x C T == （II ）∵r n r n r n C C C 11+-=+，∴r n r n r n C C C -=+-11，2x 项的系数为)()()(310311343533342102423C C C C C C C C C -++-+-=+++ 16433311=-=C C 考点：二项式定理及通项公式的综合运用．。