2018年中考数学复习题型研究题型一数学思想方法类型三方程与函数思想针对演练
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2去分母，得y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3．当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
2018年中考数学专题冲刺复习七讲：2018年中考数学专题冲刺复习第四讲数学思想方法
数学思想方法数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧，从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台.初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等.由于我们前面各种思想方法均有渗透，故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化.类型之一整体思想例1 （2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．方法归纳：整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.1.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．类型之二分类思想例2 （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．方法归纳：在几何问题中，当图形的形状不完整时，需要根据图形的已知边角及图形特征进行分类画出图形，特别注意涉及等腰三角形与直角三角形的边和角的分类讨论.1.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．2. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为．3.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．4. （2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm．类型之三转化思想例3 （2017山东临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣πC．1 D．+π【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠A DB=90°，则可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用．弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S△BTD【解答】解：∵BT是⊙O的切线；设AT交⊙O于D，连结BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，∴AD=BD=TD=AB=，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影部分的面积=S=××=1．△BTD故选C．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．方法归纳：化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题.1.（2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD ⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．2.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．3.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25 尺．类型之四数形结合思想例4 （2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG 于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．方法归纳：数形结合主要有两种：①由数思形，数形结合，用形解决数的问题；②由形思数，数形结合，用数解决形的问题.1. （2017哈尔滨）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）A．小涛家离报亭的距离是900mB．小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD．小涛在报亭看报用了15min2. （2017山东临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？3. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6 ．4.（2017宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．=a2﹣abC．（a﹣b）5. （2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S6. （2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．类型之五方程、函数思想例5 （2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；②就以上两种情况，根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣=﹣10t2+1100t+150000=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．方法归纳：在问题中涉及“最大值”或“最小值”时，一般要运用函数思想去解决问题，解决这里问题的关键是建立两个变量之间的函数关系.1.（2017甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．2.（2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．参考答案类型之一整体思想1.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ﹣2020 ．【考点】59：因式分解的应用．【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，2x3﹣7x2+4x﹣2017=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，=6x﹣3x2﹣2017，=﹣3（x2﹣2x）﹣2017=﹣3﹣2017=﹣2020，故答案为：﹣2020．类型之二分类思想1.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．2. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为30°或150°或90°．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．【解答】解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．3.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．4. （2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10 cm．【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣1．类型之三转化思想1.（2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD ⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】ME ：切线的判定与性质；MO ：扇形面积的计算．【分析】（1）由已知条件得到△BOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°， ∴△BOC 是等边三角形， ∴∠1=∠2=60°， ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OA ∥BD ，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°， ∴AM 是⊙O 的切线； （2）∵∠3=60°，OA=OC ， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠OAC=60°， ∵∠OAM=90°， ∴∠CAD=30°， ∵CD=2， ∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S 阴影=S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC =（4+2）×2﹣=6﹣．2.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE ⊥AO ，∴DE=，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×2=π﹣．3. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．类型之四数形结合思想1. （2017哈尔滨）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）A．小涛家离报亭的距离是900mB．小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD．小涛在报亭看报用了15min【考点】E6：函数的图象．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；故选：D．2. （2017山东临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，15k=27，得k=1.8，即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，，得，即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，由上可得，y与x的函数关系式为y=；（2）设二月份的用水量是xm3，当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，解得，x无解，当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，解得，x=12，∴40﹣x=28，答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．3. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6 ．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．4.（2017宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．=a2﹣abC．（a﹣b）【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选D．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．5. （2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a ﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6. （2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．类型之五方程、函数思想1.（2017甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．2.（2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为8 ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k 的几何意义．【分析】由题意A （﹣4，4），B （2，2），可知OA ⊥OB ，建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴，利用方程组求出M 、N 的坐标，根据S △OMN =S △OBM ﹣S △OBN 计算即可．【解答】解：∵A （﹣4，4），B （2，2）， ∴OA ⊥OB ，建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴．在新的坐标系中，A （0，8），B （4，0），∴直线AB 解析式为y′=﹣2x′+8，由，解得或，∴M （1.6），N （3，2），∴S △OMN =S △OBM ﹣S △OBN =•4•6﹣•4•2=8，故答案为8。
2019专题复习(一)(2018中考真题卷)数学思想方法篇
专题复习(一) 数学思想方法类型1 整体思想解题策略：整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值． 2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出． 这种思想可以应用到各种类型的题之中． 例1.（2018•云南）已知x +＝6，则x 2+＝（ ）A ．38B ．36C ．34D ．32例2．（2018•衡阳）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．例3．(2016·菏泽)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为(D )A ．36B ．12C ．6D ．3提示：设B(a ，b)，则有ab ＝6，∴S △OAC －S △BAD ＝12OC 2－12BD 2＝12(OC ＋BD)(OC －BD)＝12(OC ＋BD)(AC －AD)＝12ab ＝12×6＝3.故选D .一．选择题（共4小题）1．（2018•沙坪坝区）已知m 2﹣2m ＝1，则代教式3m 2﹣4m +3的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．52．（2018秋•綦江区期末）若a ﹣b ＝﹣2，ab ＝3，则代数式3a +2ab ﹣3b 的值为（ ） A ．12B ．0C ．﹣12D ．﹣83．（2018•沙坪坝区）若2y ﹣3x ＝7，则代数式5﹣2y +3x 的值为（ ） A ．﹣12B ．﹣2C ．2D ．124．（2018•沙坪坝区）若3a 2﹣a ﹣2＝0，则5+2a ﹣6a 2的结果为（ ） A ．10B ．﹣2C ．3D ．15．（2018•渝中区）如图，在△ABC中，直线ED垂直平分线段BC，分别交BC、AB于点D点E，若BD＝3，△AEC 的周长为20，则△ABC的周长为（）A．23B．26C．28D．306．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°7．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．38．（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2二．填空题（共2小题）9（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2+的值等于．10．（2016•凉山州）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则＝．11．（2019•沙坪坝区）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．参考答案一．选择题（共4小题）1．D；2．B；3．B；4．D；5．B；6．C；7．D；8．D；二．填空题（共2小题）9．9；10．10；11．﹣π；题型2 分类讨论思想常见的六种类型：1．方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于0，进行分类讨论．2．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决．3．直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解．4．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．5．一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论．6．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．【思路点拨】先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出∠OAC和∠OAD的度数，再根据点D位置的不确定性进行分类讨论，求出∠COD的度数．1．(2017·济宁)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥O B.点P从A出发，在⊙O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是(D)A ．①B ．④C ．②或④D ．①或③ 2．(2017·滨州)在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C(点C 在原点的右侧)，并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝1x相交于点A ，B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为(A )A ．23＋3或23－3B .2＋1或2－1C ．23－3D .2－13．(2017·潍坊)点A ，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(D )A .5或2 2B .5或2 3C .6或2 2D .6或2 34．(2017·鹤岗)△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC5．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 6．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为32类型3 化归思想解题策略：化归的思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．(2017·贵港)如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，3(结果保留π)【思路点拨】连接OD，根据点C为OA的中点可得∠CDO＝30°，继而可得∠DOC＝60°，求出扇形AOD 的面积，最后用S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)即可求出阴影部分的面积．1．(2017·山西)如图是某商品标志的图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A．5πcm2B．10πcm2C．15πcm2D．20πcm2第1题图第2题图2．(2017·福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于108度．3．(2017·赤峰)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：如图，作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16(cm)，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12(cm)．∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6(cm)．∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292.∵17＝289<292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．类型4数形结合思想解题策略：数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．例 1. （2017•黄石）已知关于x 的不等式组恰好有两个整数解，求实数a 的取(2017·十堰)如图，直线y ＝3x －6分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，AC ·BD ＝43，则k 的值为(A )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－6【思路点拨】 分别过点C ，D 作CE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于点F.由已知条件可求出点A ，点B 的坐标，再由tan ∠OBA ＝OAOB 即可求出∠OBA 的度数．设M(x ，y)，在Rt △BDF 和Rt △CEA 中，分别用含x ，y 的代数式表示出BD ，CA 的长，再由AC·BD ＝43，可求出xy 的值 ，则k 值即可求出．1．(2017·孝感)如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，连接OB ，OC ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是(B )2．(2017·白银)如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 以每秒2 cm 的速度从点A 出发，沿AB →BC 的路径运动，到点C 停止．过点P 作PQ ∥BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度y(cm )与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示．当点P 运动2.5秒时，PQ 的长是(B )A ．2 2 cmB ．3 2 cmC ．4 2 cmD ．5 2 cm 3．(2017·河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB ＝2，BC ＝1，如图所示．设点A ，B ，C 所对应数的和是p.(1)若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？ (2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO ＝28，求p. 解：(1)以B 为原点，点A ，C 分别对应的数为－2，1， p ＝－2＋0＋1＝－1；以C 为原点，点A ，C 分别对应的数为－3，－1， p ＝0＋(－1)＋(－3)＝－4.(2)p ＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)＝－88.类型5 方程、函数思想解题策略：方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．(2017·宿迁)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm .点P 在边AC 上，从点A向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1 cm /s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是(C )A ．20 cmB ．18 cmC ．2 5 cmD ．3 2 cm【思路点拨】 根据P ，Q 两点的运动方向和运动速度用含t 的式子表示出PC ，CQ 的长度，进而用勾股定理表示出PQ 2，根据二次函数的性质在0≤t ≤2的范围内求出PQ 2的最小值，则PQ 的最小值即可求出．1．(2017·衢州)如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于(B )A .35B .53C .73D .54第1题图 第2题图2．(2017·泰安)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm /s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(C )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2。
走进2018年中考数学专题复习讲座：走进2018年中考数学专题复习第六讲数学思想方法
走进2018年中考数学专题复习第六讲数学思想方法【专题分析】著名的生物学家达尔文曾经说过:“最有价值的知识,就是关于方法的知识”.数学思想方法是数学知识的灵魂,是数学知识、数学技能的本质体现,是解决数学问题的金钥匙,具有“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法,不仅是学习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中考中取得好成绩.安徽中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类思想等.在中考复习备考阶段,应系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三,预计2018中考仍将对数学思想方法进行重点考查.【知识归纳】1.整体思想:整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决.2.分类思想:体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.分类的原则:①分类中的每一部分是相互独立的;②一次分类按一个标准;③分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复,也不遗漏.3.转化思想:在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.4.数形结合思想:从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形).数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决.5.方程思想:用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.6.构造思想:用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,构造函数或几何图形,运用函数性质或图形性质分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.运用构造思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质.【题型解析】题型1: 整体思想例题：（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．方法指导：整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.求代数式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些代数式,字母的值不知道或不易求出时,灵活变形,采用整体代入的方法,往往使问题简便获解.题型2: 分类思想例题：（2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE =S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．方法指导：在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.题型3: 转化思想例题：（2017山东烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，故选C．指导：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机.题型4: 数形结合思想（2017青海西宁）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB 方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，示出S△AMN 的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B 点时运动同时停止，∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5，分两部分：①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，△AMN故选A．方法指导：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
初中数学2018年中考专题复习：数学思想问题
专题复习（一）数学思想方法问题题型概述数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。
因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等。
结合中考走向，我们重点就以下几种思想方法进行赏析强化。
【题型例析】 类型1：整体思想整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼与它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密的联系这的量作为整体来处理运用的思想方法。
【例题】．（1）(2015•湖南株洲,第13题3分)因式分解：2(2)16(2)x x x ---＝ 。
【解析】本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式(2)x -，然后还要注意彻底分解，2(16)x -仍可以利用平方差公式分解。
答案为：(2)(4)(4)x x x --+ （2）（2015•广东梅州,第18题，7分）已知，求代数式的值.考点：整式的混合运算—化简求值．. 专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：原式=a 2﹣2a +1+2ab +b 2+2a =（a +b ）2+1， 把a +b =﹣代入得：原式=2+1=3．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则整体运用是解本题的关键．【变式练习】（1）（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= 2π．考点：代数式求值．分析：根据整体代入法解答即可．解答：解：因为4a﹣2b=2π，所以可得2a﹣b=π，把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．点评：此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．（2）（2015•甘南州第23题 4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015= 2015 ．考点：因式分解的应用．分析：首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．解答：解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，故答案为：2015．点评：本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．类型2：分类讨论思想（1）代数问题中的分类讨论针对代数中的有些问题，需要对整体问题进行分解，从不同的角度、不同的范围和不同的思路进行分类，把问题既不重复，不遗漏的分成几种情况进行分析，化整为零，各个击破的解题策略，这样使问题得以轻松解决。
中考数学复习专题讲座(精编含详细参考答案)数学思想方法()
2018年中考数学复习专题讲座：数学思想方法<2）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组>。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 <2018•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2018年、2018年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：<1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：<1）设年平均增长率为x．根据题意2018年公民出境旅游总人数为5000<1+x）万人次，2018年公民出境旅游总人数 5000<1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；<2）2018年我国公民出境旅游总人数约7200<1+x）万人次．解答：解：<1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000<1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 <不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018年我国公民出境旅游总人数为 7200<1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2018年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
2018年中考数学复习全国用湘教版特色专题课件专题四 数学思想方法
专题四┃ 数学思想方法
解： 设原计划平均每天生产 x 个零件， 则现在平均每 天生产 (x＋25)个零件． 600 450 由题意，得 ＝ ，解得 x ＝75， x＋25 x 检验，当 x＝75 时，x(x＋25) ≠0， 所以 x ＝75 是原方程的解． 答：原计划平均每天生产 75 个零件．
4．李老师家距学校 1900 米，某天他步行去上班，走到一 半时发现忘了带手机，此时离上班时间还有 23 分钟，于是 他立刻步行回家取手机，随后骑电动车去上班．已知李老 师骑电动车到学校比他步行到学校少用 20 分钟，且骑电动 车的平均速度是步行速度的 5 倍，李老师到家开门、取手 机、启动电动车等共用 4 分钟．请你判断李老师能否按时 上班，并说明理由．
专题四┃ 数学思想方法
解题方法归纳
运用整体思想解题的关键是把研究对象的某一部分(或全部
)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系， 从而在客观上寻求解决问题的新途径．整体是与局部对应的， 按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据 题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而
x（x＋1）－x （x＋1） 解：原式＝ · ＝x(x＋1) x＋1 x ＝x2＋x. 2 ∵x ＋x－2＝0， 2 ∴x ＋x＝2，即原式＝2.
2
专题四┃ 数学思想方法
例题分层分析 x x (1) 将 分 式 (x － )÷ 2 化简的结果是 x＋1 x ＋2x＋1 ________； 2 (2) 将条件 x ＋ x－2 ＝ 0 中常数项移项到等号右边是 ________．
[解析] 由(m－n)2＝8 得 m2－2mn＋n2＝8；由(m＋n)2 ＝2 得 m2＋2mn＋n2＝2，两式相加，得 2m2＋2n2＝10，所 2 2 以 m ＋n ＝5，故选 C.
浙江省中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型二数形结合思想针对演练(2021年整理)
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第二部分题型研究题型一数学思想方法类型二数形结合思想针对演练1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2;②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有（)第1题图A。
①② B。
①③C。
②③ D。
①②③2. 若m、n（其中n＜m）是关于x的一元二次方程1－(x－a）（x－b)＝0的两个根,且b ＜a,则m，n，b，a的大小关系是( ）A. m＜a＜b＜n B。
a＜m＜n＜bC。
b＜n＜m＜a D。
n＜b＜a＜m3. （2017凉山州）小明和哥哥从家里出去买书，从家出来走了20分钟到一个离家1000米的书店，小明买了书后随即按原速返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返回家．下面的图形中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系( )m<0的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点在4. 如图,函数y＝mx－4m（）x轴的垂足分别为A，B1，若OA1＋OB1〉4，则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系1是( ）第4题图A. S1〉S2B. S1＝S2C. S1〈S2D. 不确定5。
如图,已知函数y＝x＋b和y＝ax＋3的图象交点为P，则不等式x＋b〉ax＋3的解集为_________．第5题图6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为错误!，错误!，错误!，…，错误!的矩形彩色纸片(n为大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律,计算错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝________。
五大数学思想方法训练-中考数学复习专题类型突破专题
5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△AB C 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当1≤x＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260. 当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）.(2)当1≤x＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324， ∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324. 当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520， ∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元． (3)当1≤x＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13， 当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时， 令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金． 类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ， 小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)， a ＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507km.(3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20，∴直线CD 的解析式为s ＝t －20. 当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h.答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10. 变式训练 3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60.(2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 类型三【例3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A ＝BCAB ，∴AB＝BC tan A ＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)． (2)如图，延长FE 交DG 于点I ，则四边形GHFI 为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE ＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DEBE＝AECE，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r ， 则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4， ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝D E·CE，∴(42)2－(25)2＝DE·25， 解得DE ＝655.变式训练 9．8 10.127类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x .②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1，∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3， ∴x＋3x＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对． ∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5， ∴x＋3x＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10， ∴方方的说法对． 变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6， 当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2， 解得y ＝114，∴点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO， ∴AO 2＝OC·OF.∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE ＝2.如图，过点A 作AM⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。
中考数学专题复习一 数学思想方法问题_初三专题复习课件
当点 C 在 y 轴上时，设 C 点坐标是 (0，y)，∵y 轴是 AB 的对称轴，∴AC＝ BC ， ∴AC ＝ BC ＝ 3 ， ∴ y2＋5 ＝ 3 ， ∴y＝±2，∴所有点 C 的坐标为(3,0)， (－3,0)，(0,2)，(0，－2)．
10．已知 2a－3b2＝5，则 10－2a＋3b2 的值是 5 . 解析：∵2a－3b2＝5，∴10－2a＋3b2＝10－(2a－ 3b2)＝10－5＝5.
∴a≤32200－a，
解得 78≤a≤80.
180a＋220200－a≤40 880.
∵a 为整数，∴a＝78,79,80. ∴共有 3 种方案．
设购买课桌凳总费用为 y 元， 则 y＝180a＋220(200－a)＝－40a＋44 000. ∵－40<0，∴y 随 a 的增大而减小． ∴当 a＝80 时，总费用最低，此时 200－a＝120. 即总费用最低的方案是：购买 A 型课桌凳 80 套， 购买 B 型课桌凳 120 套．
∵∠OAB＝30°，∴OA＝ 3OB，OE＝－a，BE ＝na，OF ＝B，AF＝mb .∵∠BOE＋∠OBE＝90°，∠AOF＋∠BOE ＝90°，∴∠OBE＝∠AOF.又∵∠BEO＝AFO＝90°，
n ∴△BOE∽△OAF.∴OAFE＝OBEF＝OAOB ，即－ma＝ab ＝
b
1 ，解得 m＝－ 3aB，n＝ ab ，∴m＝－3n.故选 A.
第二部分 专题突破 强化训练 专题一 数学思想方法问题
初中数学中的主要数学思想方法有：化归与转化 思想、分类讨论思想、方程与函数思想、数形结合思 想等．
1．分类讨论思想：是指当被研究的问题存在一些 不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的 表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各 种情况下相应的结论．分类的原则是：(1)分类中的每 一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准； (3)分类讨论应逐级进行．
中考数学专题复习专题三大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练
专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想类型十五方程思想在实际生活中的应用例15Q （ 2018-台湾中考）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）A. 360B. 480C. 600D. 720【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可.【自主解答】17.（2018 •新疆中考）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但5这次每支的进价是第一次进价的4倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是元.类型十六方程思想在几何中的应用例150 （ 2018 ・湖南湘1M中考）如图，AB是以。
为圆心的半圆的直径，半径COLAQ点M是AB上的动点, 且不与点A C, B重合，直线AM交直线OC于点D,连结0M h l CM.（1）若半圆的半径为10.①当/AOM= 60°时，求DM勺长；②当AM= 12时，求DM的长.(2)探究：在点M运动的过程中，/ DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【分析】(1)①当/AOM= 60°时，^AMO是等边三角形，从而可知/ MOD 30° , Z D= 30° ,所以DM OM = 10;②过点M乍M口OA于点F,设AF= x,。
已10 —x,利用勾股定理即可求出x的值.易证明△ AMQ/XADQ从而可知AD的长度，进而可求出MD勺长度.(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案.【自主解答】心命题研究专家点拨数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决.要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的.18.(2018 •山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCDi CD上一点，连结AM彳DH AM于点E, BF AM 于点F,连结BE.(1)求证：AE= BF;已知AF= 2,四边形ABED勺面积为24,求/ EBF的正弦值.(2)类型十七方程思想在函数中的应用例17。
2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型五整体思想针对演练
第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型五 整体思想针对演练1. 已知：a －b ＝35，b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于________．2. 如图，已知△ABC 的周长为20，一半径为1的圆紧贴三角形外侧旋转一周所经过的路程为________．第2题图3. 已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，则阴影部分的面积为________．第3题图4. 角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算115(α＋β＋γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确定有正确的答案，那么α＋β＋γ＝________．5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝55x ＋4y ＝7，求代数式x ＋y 的值等于________．6. 已知1x ＋1y ＝2，则2x －3xy ＋2yx ＋xy ＋y的值为________．7. 计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是________．8. 如图，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中AB ＝2，则这个三角形的面积是________．第8题图9. 如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．第9题图10. 分解因式：(x 2－3x ＋2)(x 2－3x －4)－72.11. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是BC 上一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的长．第12题图 答案1. －225【解析】可将ab ＋bc ＋ca 当作整体去求解，不用分别求出a 、b 、c 的值．∵a－b ＝35，b －c ＝35，∴a －c ＝65，则有(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝5425，即a 2＋b 2＋c 2－ab－bc －ac ＝2725，又∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴ab ＋bc ＋ac ＝－225.2. 20＋2π 【解析】⊙O 在△ABC 的三个顶点处所转过的圆心角度数和为360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以总长度为L ＝20＋2π.3. 3π2 【解析】将五个扇形的圆心角度和作为整体，∵五个扇形的圆心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r ＝1，∴S 阴影部分＝540×π×12360＝3π2.4. 352.5° 【解析】将a ＋β＋r 看作整体．设0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜115(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正确答案，∴115(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5. 43【解析】将(x ＋y )作为整体，方程组中的两个方程相加得：9x ＋9y ＝12，∴9(x ＋y )＝12，即x ＋y ＝43.6. 13 【解析】∵1x ＋1y ＝2，∴x ＋y ＝2xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy （x ＋y ）＋xy ＝xy 3xy＝13. 7. 16 【解析】设12＋13＋14＋15＝a ，则原式＝(1－a )·(a ＋16)－(1－a －16)a ＝16＋56a －a 2－56a ＋a 2＝16.8. 12【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝22，即(a ＋b )2－2ab ＝4，又∵a ＋b ＝6，∴(6)2－2ab ＝4，∴ab ＝1，∴S ＝12ab ＝12.9. 13 【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，则△BCE 的周长＝BC ＋EC ＋EB ＝BC ＋EC ＋EA ＝BC ＋AC ＝13.10. 解：设x 2－3x ＝a ， 则原式＝(a ＋2)(a －4)－72 ＝a 2－2a －80 ＝(a －10)(a ＋8)＝(x 2－3x －10)(x 2－3x ＋8) ＝(x －5)(x ＋2)(x 2－3x ＋8)．11．解：设甲、乙、丙三种货物的单价各为x 、y 、z 元，由题意可得：3x＋7y＋z＝3.15 ①，4x＋10y＋z＝4.20 ②，三个未知数，2个方程，故考虑将x＋y＋z当作整体来解答．②－①得x＋3y＝1.05 ③，③×3得3x＋9y＝3.15 ④，②－④得x＋y＋z＝1.05，答：购甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12. 解：由已知条件并不能求得PE、PF的长，我们把PE＋PF的值看成一个整体．由题设条件可知：△BPE∽△BDC，∴PEDC＝BPBD，∵△CPF∽△CAB，∴PFAB＝CPCA，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC＝6，AC＝BD＝AB2＋AD2＝62＋82＝10，∴PE＋PFAB＝BP＋CPAC＝810，∴PE＋PF＝4.8.。
中考数学一轮总复习解题思想方法专项训练 第3讲 方程、函数思想型问题
第3讲方程、函数思想型问题类型一运用方程思想求解几何综合性问题例1如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．(1)当x为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ能否与△CQB相似？若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．1．(2016·舟山)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A.5B.136C．1 D.56类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题例2 (2017·杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)，其中a ≠0. (1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P(x 0，m)和Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围．2．(1)已知函数y ＝x 和y ＝x ＋2的图象如图，则不等式x ＋2>x 的解集为( ) A ．－2≤x<2 B ．－2≤x ≤2C ．x<2 D ．x>2(1)图(2)图(2)如图，已知函数y ＝－3x 与y ＝ax 2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋3x＝0的解为 .类型三 运用方程、函数思想求解几何最值问题例3 (2016·黄冈模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)，旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H, 四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连结HK ，设BH ＝x.①当△CKH 的面积为52时，求出x 的值；②试问△OHK 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，请说明理由．3．(2015·德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E 、F 是在AB 上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm .若广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取的值为 cm .类型四运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题例4(2015·汕尾)如图，已知直线y＝－34x＋3分别与x、y轴交于点A和B.(1)求点A、B的坐标；(2)求原点O到直线l的距离；(3)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．4．如图，已知抛物线y＝12x2＋bx与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点C为OA的中点，求BC的长；(3)以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式．类型五运用方程、函数思想求解实际问题例5某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？5．(2015·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？【开放探究题】实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y＝kx(k＞0)刻画(如图所示)．(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45.求k的值；(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【忽视变量范围而出错】在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P 作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连结AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长．课后练习35 方程、函数思想型问题A 组1．若a ＋b ＝3，a －b ＝7，则ab ＝( ) A ．－10 B ．－40 C ．10 D ．402．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m ，3≈1.73)( )A ．3.5mB ．3.6mC ．4.3mD ．5.1m第2题图3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( )第3题图A ．－1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜－1且x ＞5D ．x ＜－1或x ＞54．如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF ⊥DE 并截取EF ＝DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C .设BE＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是( )第4题图A ．y ＝－12x x －4B ．y ＝－2x x －1C ．y ＝－3x x －1D ．y ＝－8xx －45．(2016·宁夏)如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，1)，把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为.第5题图6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA 与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.第6题图(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：第7题图(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．8．如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6m，AD＝4m，设AM的长为x m，矩形AMPQ 的面积为S平方米．第8题图(1)求S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．9．(2017·绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．第9题图10．(2017·宁波模拟)如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC ＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．第10题图11．为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点D 、E 在斜边AB 上，F 、G 分别在直角边BC 、AC 上；又分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB ＝243米，∠BAC ＝60°.设EF ＝x 米，DE ＝y 米．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13？第11题图参考答案第35讲 方程、函数思想型问题【例题精析】例1 (1)根据题意AP ＝4x cm ，AQ ＝AC －QC ＝(30－3x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AB ＝AQ AC.则4x 20＝30－3x 30，解得x ＝103.所以当运动时间为103s 时，PQ ∥BC.(2)因为∠A ＝∠C ，所以当AP CQ ＝AQ CB 或AP CB ＝AQ CQ 时，△APQ 能与△CQB 相似．①当AP CQ ＝AQ CB 时，4x 3x ＝30－3x 20，解得x ＝109，所以AP ＝4x ＝409cm .②当AP CB ＝AQ CQ 时，4x 20＝30－3x 3x，解得x 1＝5，x 2＝－10(舍去)．所以AP ＝4x ＝20cm .所以当AP ＝409cm 或20cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 例2 (1)函数y 1的图象经过点(1，－2)，得(a ＋1)(－a)＝－2，解得a 1＝－2，a 2＝1，函数y 1的表达式为y ＝(x －2)(x ＋2－1)，化简，得y ＝x 2－x －2；或函数y 1的表达式为y ＝(x ＋1)(x －2)化简，得y ＝x 2－x －2，综上所述：函数y 1的表达式为y ＝x 2－x －2；(2)当y ＝0时，(x ＋a)(x －a －1)＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝a ＋1，y 1的图象与x 轴的交点是(－a ，0)，(a ＋1，0)，当y 2＝ax ＋b 经过(－a ，0)时，－a 2＋b ＝0，即b ＝a 2；当y 2＝ax ＋b 经过(a ＋1，0)时，a 2＋a ＋b ＝0，即b ＝－a 2－a ；(3)当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤12；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得12＜x 0＜1，综上所述：x 0的取值范围为0＜x 0＜1. 例3 (1)在旋转过程中，BH ＝CK ，四边形CHOK 的面积始终保持不变，其值为△ABC 面积的一半．理由如下：连结OC.∵△ABC 为等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，CO ⊥AB ，∴∠OCK ＝∠B ＝45°，CO ＝OB.又∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角，∴∠COK ＝∠BOH ＝α，在△COK 和△BOH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACO ＝∠B ，OC ＝OB ，∠COK ＝∠BOH ，∴△COK ≌△BOH ，∴BH ＝CK ，S 四边形CHOK ＝S △COK ＋S △COH ＝S △BOH ＋S △COH ＝S △COB ＝12S △ABC ＝9.(2)①由(1)知CK ＝BH ＝x ，∵BC ＝6，∴CH ＝6－x ，根据题意，得12CH ·CK ＝52，即(6－x)x ＝5，解这个方程得x 1＝1，x 2＝5，此两根满足条件：0<x<6，所以当△CKH 的面积为52时，x 的取值是1或5；②设△OKH 的面积为S ，由(1)知四边形CHOK 的面积为9，∴S △OKH ＝S 四边形CHOK －S △CKH ＝9－12x(6－x)＝12(x 2－6x)＋9＝12(x －3)2＋92，∵12>0，∴当x ＝3时，函数S △OKH 有最小值92，∵x ＝3满足条件0<x<6，∴△OKH 的面积存在最小值，此时x 的值是3.例4 (1)当x ＝0时，y ＝3，∴B 点坐标(0，3)；当y ＝0时，有0＝－34x ＋3，解得x ＝4，∴A 点坐标为(4，0)．(2)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离，在Rt △BOA 中，OA ＝4，OB ＝3，由勾股定理可得AB ＝5，∵S △BOA ＝12OB ×OA ＝12AB ×OC ，∴OC ＝OB ×OA AB＝125，∴原点O 到直线l 的距离为125. (3)过M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，当圆M 在直线l 下方与直线相切时，MD ＝2，在△BOA 和△BDM 中，∵∠OBA ＝∠DBM ，∠BOA ＝∠BDM ，∴△BOA ∽△BDM ，∴AB MB ＝OA DM ，∴BM ＝AB ×DM OA ＝52，∴OM ＝OB －BM ＝12，当⊙M 在直线l 上方与直线相切时，同理可得OM ＝OB ＋BM ＝112，∴点M 的坐标为M(0，12)或M(0，112)．例5 (1)∵z ＝(x －18)y ＝(x －18)(－2x ＋100)＝－2x 2＋136x －1800，∴z 与x 之间的函数解析式为z ＝－2x 2＋136x －1800. (2)由z ＝350，得350＝－2x 2＋136x －1800，解这个方程得x 1＝25，x 2＝43.∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润．∵z ＝－2x 2＋136x －1800＝－2(x －34)2＋512，∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元．(3)结合(2)及函数z ＝－2x 2＋136x －1800的图象(如图所示)可知，当25≤x ≤43时，z ≥350.又由限价32元，得25≤x ≤32.根据一次函数的性质，得y ＝－2x ＋100中y 随x 的增大而减小，∴当x ＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×(－2×32＋100)＝648(万元)．∴所求每月最低制造成本为648万元．【变式拓展】1．D 2.(1)A (2)x ＝－3 3.154. (1)∵点A(a ，12)在直线y ＝2x 上，∴12＝2a ，解得：a ＝6，又∵点A 是抛物线y ＝12x 2＋bx 上的一点，将点A(6，12)代入y ＝12x 2＋bx ，可得b ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝12x 2－x. (2)∵点C 是OA 的中点，∴点C 的坐标为(3，6)，把y ＝6代入y ＝12x 2－x ，解得：x 1＝1＋13，x 2＝1－13(舍去)，故BC ＝1＋13－3＝13－2.(3)∵点D 的坐标为(m ，n)，∴点E 的坐标为(12n ，n)，点C 的坐标为(m ，2m)，∴点B 的坐标为(12n ，2m)，把点B(12n ，2m)代入y ＝12x 2－x ，可得m ＝116n 2－14n ，∴m 、n 之间的关系式为m ＝116n 2－14n. 5.(1)设购进甲种服装x 件，由题意可知：80x ＋60(100－x)≤7500，解得：x ≤75.答：甲种服装最多购进75件．(2)设总利润为W 元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x ≤75.W ＝(40－a)x ＋30(100－x)＝(10－a)x ＋3000.方案1：当0＜a ＜10时，10－a ＞0，W 随x 的增大而增大，所以当x ＝75时，W 有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a ＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a ＜20时，10－a ＜0，W 随x 的增大而减小，所以当x ＝65时，W 有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．【热点题型】【分析与解】(1)①当x ＝－b 2a＝1时，y ＝200，∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升． ②∵当x ＝5时，y ＝45，且(5，45)在反比例函数y ＝k x(k ＞0)图象上，∴把(5，45)代入y ＝k x 得45＝k 5，解得k ＝225. (2)把y ＝20代入反比例函数y ＝225x得x ＝11.25.∴喝完酒经过11.25时为早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班．【错误警示】(1)由△APE ≌△ADE 可得AP ＝AD ＝3，在Rt △ABP 中，运用勾股定理即可求得BP 的长．∵△APE ≌△ADE ，∴AP ＝AD ＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝2，∴BP ＝AP 2－AB 2＝32－22＝ 5. (2)由AP ⊥PE ，得Rt △ABP ∽Rt △PCE ，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y 与x 的函数关系式．化为顶点式即可求得当x ＝32时，y 的值最大，最大值是98.∵AP ⊥PE ，∴Rt △ABP ∽Rt △PCE.∴AB PC ＝BP CE ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12x 2＋32x ，∵y ＝－12x 2＋32x ＝－12(x －32)2＋98，∴当x ＝32时，y 的值最大，最大值是98.(3)由PE ∥BD ，得△CPE ∽△CBD ，根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP 的长．设BP ＝x ，由(2)得CE ＝y ＝－12x 2＋32x ，∵PE ∥BD ，∴△CPE ∽△CBD.∴CP CB ＝CE CD ，即3－x 3＝－12x 2＋32x 2，化简得3x 2－13x ＋12＝0，解得x 1＝43或x 2＝3(不合题意，舍去)，∴当BP ＝43时，PE ∥BD. 课后练习35 方程、函数思想型问题A 组1．A 2.D 3.D 4.A 5.⎝⎛⎭⎫32，32 6．(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DC ＝CB ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D ； (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2，在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(x －2)2＋x 2＝42，∴x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)，∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠D ，∴∠D ＝∠E ，∴CD ＝CE ，∵CD ＝CB ，∴CE ＝CB ＝1＋7.7．(1)x 1＝1，x 2＝3； (2)1<x <3； (3)x >2； (4)k <2.8．(1)∵四边形AMPQ 是矩形，∴PQ ＝AM ＝x .∵PQ ∥AB ，∴△PQD ∽△BAD .∴DQ DA＝PQ BA .∵AB ＝6，AD ＝4，∴DQ ＝23x .∴AQ ＝4－23x .∴S ＝AQ ·AM ＝⎝⎛⎭⎫4－23x x ＝－23x 2＋4x (0＜x ＜6)．(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，又－23＜0，∴S 有最大值．∴当x ＝3时，S 的最大值为6.B 组9．(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25m 时，占地面积y 最大； (2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积最大，即饲养室长x 为26m 时，占地面积y 最大；∵26－25＝1m ≠2m ，∴小敏的说法不正确．10．(1)由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF .∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠F AC ，又∠BAC ＝45°，∴∠EAF ＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°，∠F ＝∠ADC ＝90°.又∵AE ＝AD ，AF ＝AD ，∴AE ＝AF ，∴四边形AEGF 是正方形．(2)设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x ，∵BD ＝2，DC ＝3，∴BE ＝2，CF ＝3.∴BG ＝x －2，CG ＝x －3.在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2，∴(x －2)2＋(x －3)2＝52，化简得x 2－5x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－1(舍)．∴AD ＝x ＝6.C 组11．(1)在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝123米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°，所以AD ＝DG tan 60°＝x 3＝33x ，BE ＝EF tan 30°＝3x ，又AD ＋DE ＋BE ＝AB ，所以y ＝243－33x －3x ＝243－433x (0＜x ＜18)．(2)矩形DEFG 的面积S ＝xy ＝x (243－433x )＝－433x 2＋243x ＝－433(x －9)2＋108 3.所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为1083平方米． (3)记AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S 3，两弯新月面积为S ，则S 1＝18πAC 2，S 2＝18πBC 2，S 3＝18πAB 2，由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC ，所以两弯新月的面积S ＝12×123×36＝2163(平方米)，由－433(x －9)2＋1083＝13×2163，即(x －9)2＝27，解得x ＝9±33，符合题意，所以当x ＝(9±33)米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13.。
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路中考数学压轴题是考生在数学试卷中的最后一道题目，往往涵盖了较为复杂的数学知识和思想。
近年来的中考数学压轴题，主要涉及到的数学思想有概率统计、数学建模、几何思想、函数思想等。
下面将结合中考数学压轴题的解析，分析其中的数学思想及解题思路。
一、概率统计思想概率统计思想是近年来中考数学压轴题的常见思想之一，涉及到的知识点包括排列组合、事件概率、条件概率、贝叶斯理论等。
以2018年湖北省中考数学卷为例，涉及到了概率统计思想的第22题，题目如下：在下图所示的棋盘上，边长为1的正方形格子中，任选两个顶点，它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点是一个宝藏。
下列说法错误的是（）解题思路：本题涉及到的概率统计知识点主要是事件的概率和条件概率。
首先可以推出，每个正方形格子内部的中心点数为1，因此整个棋盘内的中心点数为9。
而选出的两个顶点，构成的正方形中点的数量为4，因此我们可以得到，选出的两个顶点，它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点为宝藏的概率为4/36=1/9。
根据已知条件，如果选出的两个顶点构成的线段在一条边上（包括对角线），则它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点就不是宝藏。
因此得出条件概率为1/2。
综合计算后，可以得出选项C是错误的答案。
二、数学建模思想数学建模思想是指运用数学方法解决实际问题，将实际问题转化为数学问题并进行求解的思想。
中考数学压轴题中，会通过文字、图形等形式描述实际问题，考查学生运用数学建模思想解决问题的能力。
以2019年安徽省中考数学卷为例，涉及到了数学建模思想的第18题，题目如下：一家医院进行调查，客户80%是当地百姓，20%是外地人。
现在收集部分客户的年龄和月收入情况如下表所示：假定家庭的月支出与收到的工资成比例，高出工资1.5倍，空着自己量收入情况，对于40岁以下的客户，假定其家庭月收入不小于4000元，40岁及以上的客户月收入不小于6000元。
中考数学复习题型研究题型一数学思想方法类型三方程与函数思想省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课
例 3 如图，小亮将升旗绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚
好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发
觉此时绳子末端距离地面2 m．则旗杆高度(滑轮上方部分
忽略不计)为( )
A. 12 m
B. 13 m
C. 16 m
D. 17 m
例3题图
第3页
【解析】如解图，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8， 设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋ BC2＝AB2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17，即旗杆高度为 17 m.
第二部分 题型研究
题型一 数学思想方法 类型三 方程与函数思想
第1页
思想阐述
所谓方程思想，就是从分析问题数量关系入手，经过 设定未知数，把问题已知量与未知量数量关系转化为方程 或方程组等数学模型，然后利用方程理论或方法，使问题 得以处理．同理，把问题中某个量之间数量关系转化为函 数数学模型，利用函数理论或性质，使问题得以处理，就 是函数思想在数学中应用．
中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练
专题三 5大数学思想方法第四节 方程思想与函数思想类型十五 方程思想在实际生活中的应用(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( ) A ．360 B ．480 C ．600D ．720【分析】设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可． 【自主解答】17．(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是______元．类型十六 方程思想在几何中的应用(2018·湖南湘潭中考)如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M 是AB ︵上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连结OM 与CM. (1)若半圆的半径为10.①当∠AOM＝60°时，求DM 的长； ②当AM ＝12时，求DM 的长．(2)探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①当∠AOM＝60°时，△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD＝30°，∠D＝30°，所以DM＝OM ＝10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，OF＝10－x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【自主解答】数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决．要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的．18．(2018·山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM 于点F，连结BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．类型十七方程思想在函数中的应用(2018·广西桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE＝2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【自主解答】方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法．此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式，求两个函数图象的交点等．19．(2018·湖南湘潭中考)如图，点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，C.(1)若点M 的坐标为(1，3)． ①求B ，C 两点的坐标； ②求直线BC 的表达式； (2)求△BMC 的面积．类型十八函数思想在实际生活中的应用(2018·浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示．(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？(2)结合图象回答：①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；②秋千摆动第一个来回需多少时间？【分析】(1)根据函数的定义判断即可；(2)通过观察图象求解即可．【自主解答】数学源于生活，又用于生活，生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决，往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系，求出问题的答案，如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题．20．(2016·浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2.类型十九函数思想在数与式中的应用(2018·山东临沂中考)一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【自主解答】借助函数的知识解决有关方程、不等式及其他数与式的问题，往往需要我们先构造函数，再利用函数的图象和性质进行求解，常能够使得问题更加简单、直观．21．(2018·贵州毕节中考)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．22．(2018·江苏连云港中考)已知A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－4x图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．类型二十函数思想在几何中的应用(2018·湖北黄冈中考)如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．【分析】(1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；(2)根据点P，N的路程之和＝24，构建方程即可解决问题；(3)分四种情形考虑问题即可解决问题；【自主解答】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态的研究，从变量的运动变化，联系和发展的角度拓宽解题思路．23．(2018·四川绵阳中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连结MN.(1)求直线BC的表达式；(2)移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；(3)当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．参考答案类型十五【例15】 设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，则阿郁身上的钱有(3x ＋7y －240)元或(7x ＋3y ＋240)元．由题意可得3x ＋7y －240＝7x ＋3y ＋240， 化简整理得y －x ＝120.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：(7x ＋3y ＋240)－10x ＝3(y －x)＋240＝3×120＋240＝600(元)．故选C. 变式训练 17．4 类型十六【例16】 (1)①当∠AOM＝60°时， ∵OM＝OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A＝∠MOA＝60°，∴∠MOD＝30°，∠D＝30°， ∴DM＝OM ＝10.②如图，过点M 作MF⊥OA 于点F. 设AF ＝x ，∴OF＝10－x. ∵AM＝12，OA ＝OM ＝10，由勾股定理可知122－x 2＝102－(10－x)2， ∴x＝365，∴AF＝365.∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴AM AD ＝AF OA ，∴12AD ＝36510， ∴AD＝503，∴MD＝AD －AM ＝143.(2)如图，当点M 位于AC ︵之间时，连结BC. ∵C 是AB ︵的中点，∴∠B＝45°. ∵四边形AMCB 是圆内接四边形， 此时∠CMD＝∠B＝45°.如图，当点M 位于BC ︵之间时，连结BC.由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45°. 综上所述，∠CMD＝45°. 变式训练18．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BA＝AD ，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AM 于点E ，BF⊥AM 于点F ， ∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°. ∵∠ABF＋∠BAF＝90°， ∠EAD＋∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠EAD. 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA＝∠AED，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴BF＝AE.(2)解：设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24， ∴12·x·x＋12·x·2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝－8(舍去)， ∴EF＝x －2＝4.在Rt△BEF 中，BE ＝42＋62＝213， ∴sin∠EBF＝EF BE ＝4213＝21313.类型十七【例17】 (1)将A ，B 的坐标代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线y 的函数表达式y ＝－2x 2－4x ＋6. 当x ＝0时，y ＝6，即C(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 在AC 的垂直平分线上， 设M(－1，x)，由MA ＝MC 得(－1＋2)2＋x 2＝(x －6)2＋(－1－0)2， 解得x ＝114，∴若MA ＝MB ＝MC ，点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D ，过点A 作AM⊥x 轴，连结BM 交抛物线于点E.∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO ＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO，∴AO 2＝OC×OF. ∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的表达式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的表达式为y ＝－6x ＋6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8，∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，(－3，8)，∴直线BM 的表达式为y ＝－2x ＋2. 联立BM 与抛物线得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得x ＝－2或x ＝1(舍去)， ∴y＝6，∴E(－2，6)．②如图，当点E 在x 轴下方时，过点E 作EG⊥AB，连结BE.设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝CE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)，(－4，－10)． 变式训练19．解：(1)①∵点M 的坐标为(1，3)，且B ，C 在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，∴点C 横坐标为1，纵坐标为1，点B 纵坐标为3，横坐标为13，∴点C 坐标为(1，1)，点B 坐标为(13，3)．②设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b′，把B ，C 点坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b′，3＝13k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b′＝4， ∴直线BC 的表达式为y ＝－3x ＋4. (2)设点M 坐标为(a ，b)．∵点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，∴ab＝3.由(1)得点C 坐标为(a ，1a )，B 点坐标为(1b ，b)，∴BM＝a －1b ＝ab －1b ，MC ＝b －1a ＝ab －1a，∴S △BMC ＝12·ab －1b ·ab －1a ＝12×（ab －1）2ab ＝23.类型十八【例18】 (1)由图象可知，对于每一个摆动时间t ，h 都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h 是关于t 的函数． (2)①由函数图象可知，当t ＝0.7 s 时，h ＝0.5 m ，它的实际意义是秋千摆动0.7 s 时，离地面的高度是0.5 m. ②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8 s. 变式训练 20．144 类型十九【例19】 设原数为a ，则新数为1100a 2，设新数与原数的差为y ，则y ＝a －1100a 2＝－1100a 2＋a.易得当a ＝0时，y ＝0，则A 错误． ∵－1100＜0，∴当a ＝－b 2a ＝－12×（－1100）时，y 有最大值．B 错误，D 正确．当y ＝21时，－1100a 2＋a ＝21，解得a 1＝30，a 2＝70，则C 错误．故选D. 变式训练21．m ＜54 22.y 1＜y 2类型二十【例20】 (1)当t ＝2时，OM ＝2. 在Rt△OPM 中，∠POM＝60°， ∴PM＝OM·tan 60°＝2 3. 在Rt△OMQ 中，∠QOM＝30°， ∴QM＝OM·tan 30°＝233，∴PQ＝CN －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，8＋(t －4)＋2t ＝24， 解得t ＝203.(3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t.②当4≤t＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t.③当203≤t＜8时，S ＝12×[(t－4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －40 3.④当8≤t≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PNC ＝323－12·(24－2t)·43－12·[8－(t －4)]·43－12·(t－4)·32·(2t－16)＝－32t 2＋123t －56 3. 变式训练23．解：(1)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝4，∴直线BC 的表达式为y ＝43x ＋4.(2)如图1中，连结AD 交MN 于点O′.由题意四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)，∴O′(3－45t ，25t)，D(3－85t ，45t)．∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011，∴t＝3011 s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)．(3)如图2中，当0＜t≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AM N ，S ＝12·t·45t ＝25t 2.如图3中，当5＜t≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.S ＝12×6×4－12×(6－t)·[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12.。
浙江省2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型四转化思想针对演练
第二部分题型研究题型一数学思想方法 种类四转变思想针对操练1. 我们解一元二次方程 3x 2－ 6x ＝ 0 时，能够运用因式分解法，将此方程化为3x ( x －2) ＝ 0，从而获得两个一元一次方程：3x ＝ 0 或x － 2＝ 0，从而得 到原方程的解为x 1＝0，x 2＝ 2. 这类解法表现的数学思想是()A. 转变思想B. 函数思想C. 数形联合思想D.公义化思想2. 已知2－21 1 a ＋b a b ＝－，－＝，则的值为()6 a b2a －b1 123A. －2B. 3C. － 3D. － 23. (2017 温州 ) 我们知道方程2的解是 x ＝ 1， x ＝－ 3. 现给出另一个方程x ＋2x － 3＝ 012(2 x ＋ 3) 2＋2(2 x ＋ 3 ) － 3＝ 0. 它的解是 ()A. x 1＝ 1， x 2＝ 3B. x 1＝ 1，x 2＝－ 3C. x 1＝－ 1， x 2＝ 3D. x 1＝－ 1， x 2＝－ 34. 如图， 点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC ＝2AE ，直角三角形 FEG 的两直角边EF 、 EG 分别交 BC 、 DC 于点 M 、 N . 若正方 形 ABCD 的边长为 a ，则重叠部分四边形 EMCN的面积为 ( )2 212A. 3aB. 4a5 242C. 9aD. 9a第 4题图5.如图，在大长方形ABCD中，放入六个同样的小长方形，则图中暗影部分面积( 单2位： cm) 为()第 5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406.2 3 2的值为() 设 m＋ m－1＝0，则代数式m＋2m＋2017A. 2016B. 2017C. 2018D. 20207. 如图，△ ABC经过平移获得△ A′ B′ C′，若四边形 ACDA′的面积为 6 cm2,则阴影部分的面积为________cm2.第 7题图8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55 寸、 10 寸和 6 寸，A和B 是这个台阶的两个相对端点， A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃爽口的食品，则它所走的最短路线长度是_________寸．第 8题图a 1x ＋b 1y ＝c 1x ＝ 33a 1x ＋2b 1y ＝ 5c 19. 三个同学对问题“若方程组的解 是，求方程组a x ＋b y ＝ c2 y ＝ 43a x ＋2b y ＝ 5c22 222的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目仿佛条件不够，不可以求解”；乙说：“它们的系数有必定的规律，能够试一试”；丙说：“能不可以 把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，经过换元代替的方法来解决”．参照他们的议论，你以为这个题目的解应当是________ ．10. 如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 M ，N 在边 BC 上，且∠ MAN ＝45°. 若BM ＝ 1， CN ＝ 3，求 MN 的长．第 10题图答案1. A111a ＋b22. C 【分析】∵ ( a ＋ b ) ( a －b ) ＝－ 6， a － b ＝ 2，∴ a ＋ b ＝－ 3，∴ a －b ＝－3.3． D 【分析】令y ＝ 2 ＋ 3，则原方程变形为2＋ 2 y －3＝ 0，解得y 1＝ 1， 2＝－ 3，x y y因此 2x ＋3＝ 1 或 2x ＋ 3＝－ 3，解得 x 1＝－ 1， x 2＝－ 3.4. D 【分析】如解图，过E 作 BC 和 CD 的垂线，垂足分别为 G ，H ，则△ EGM ≌△ EHN ，22∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形 EGCH 的面积， ∵EC ＝ 2AE ，∴CE ＝ 3AC ，EG ＝ 3AB2 4 2＝ 3a ，∴正方形EGCH 的面积为9a .第4题解图5. B 【分析】设小长方形的长和宽分别为y＋ 3x＝ 14，解得x＝ 2 x，y，则由图形得，y＋ x－ 2x＝6 y＝ 8则暗影部分面积为14×10－6×2×8＝140－ 96＝ 44.6. C 【分析】∵2 2m＋ m－1＝0，∴ m＋ m＝1，则322 2m ＋2m＋2017＝ m( m＋ m)＋ m＋20172＝ m＋ m＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【分析】∵由平移性质得，△ABC的面积等于△A′B′C′的面积，∴暗影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【分析】立体图形转变成平面图形，睁开后变成长方形，依据题意得，∠C＝90°，BC＝3×( 10＋6)＝ 48，∴ AB＝2 2 2 2AC＋ BC＝55 ＋48 ＝ 73.第8题解图x＝ 53a1x＋ 2b1y＝ 5c19.【分析】将方程组变成y＝ 103a2x＋ 2b2y＝ 5c23 25a 1x ＋ 5b 1y ＝c 1321113，设＝ ， ，则原方程组转变成 a m ＋b n ＝ c ，再依据方程组25x m5y ＝na 2m ＋b 2n ＝c 2 5a 2x ＋ 5b 2y ＝ c 23a 1x ＋b 1y ＝c 1x ＝ 3 m ＝ 35x ＝3x ＝ 5的解是 ，因此得出 ，即，解得，.a 2x ＋b 2y ＝c 2y ＝ 4n ＝ 42y ＝ 10y ＝ 4510. 解：把△ ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°获得的△ ACG ，连结 NG ，如解图，第 10 题解图∴∠ BAM ＝∠ GAC ， AM ＝ AG ，∴△ ABM ≌△ ACG .∵∠ MAN ＝45°， ∠ BAC ＝90°，∴∠ GAN ＝∠ MAN ＝45°，∴△ MAN ≌△ GAN .∴ MN ＝NG ，∴∠ BCA ＋∠ ACG ＝90°.2 2在 Rt △ GCN 中， NG ＝ CN ＋ CG ＝ 10 ，∴ MN ＝NG ＝ 10.。
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第二部分题型研究
题型一
数学思想方法类型三
方程与函数思想
针对演练
1.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为()A.5000x －600＝8000x B.5000x ＝8000x ＋600
C.5000x ＋600＝8000x
D.5000x ＝8000x －600
2.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若BE ∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
第2题图
3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，AE ⊥AB 交BC 于点E .若S △ABC ＝m 2＋9n 2，S △ADE ＝mn ，则m 与n 之间的数量关系是()
第3题图
A.m ＝3n
B.m ＝6n
C.n ＝3m
D.n ＝6m
4.已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M 的坐标为
(a ，b )，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x (
)A．有最大值，最大值为－9
2B．有最大值，最大值为9
2
C．有最小值，最小值为9
2
D．有最小值，最小值为－9
2
5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是()
6.若3x 2m y m 与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．
7.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112
(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8.设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝(k ＋1)x ＋k (k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.
9.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间。