课时跟踪检测(十三) 球

课时跟踪检测（十三） 球
层级一 学业水平达标
1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36π
D ．144π，144π
解析：选B 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝4
3π·33＝36π.
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( ) A ．2 B. 2 C.3
2
D.12
34 解析：选C 设熔化后的球的半径为R ，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V ＝4
3πR 3
＝2×43
π×13，得R ＝32.
3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A ．2∶1
B ．2∶3
C ．2∶π
D ．2∶5
解析：选A 设半球的半径为r ，圆锥的高为h ， 则13πr 2h ＝43πr 3×12， 所以h ＝2r ，故选A.
4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12π
D ．16π
解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R ＝23，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝12π. 5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
解析：选D 由主视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱．由面积公式可得该几何体的表面积S ＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为R ，则4πR 2＝4
3πR 3，R ＝3.
答案：3
7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋1
2×4×π×12＝3π.
答案：3π
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为R ，r ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
R －r ＝1，4πR 2－4πr 2
＝28π， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
R ＝4，r ＝3.
所以体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.
答案：
364π3
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝4
3π×13＋
π×12×3＝
13π
3
.
10．若一个底面边长为6
2
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解：在底面正六边形ABCDEF 中，如图，连接BE ，AD 交于点O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，
在Rt △BEE 1中，
BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， 所以2R ＝23，则R ＝3， 所以球的体积V 球＝4
3πR 3＝43π，
球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.
层级二 应试能力达标
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．20π
解析：选D 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的表面积为4π×12＋2π×22＋4π×2＝20π.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π
D.27π4
解析：选A 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ， ∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，
∴AO ′＝ 2. ∵PO ′＝4，
∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，
∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝9
4
，
∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π
4，故选A.
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π
D.82π3
解析：选C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π， ∴R 2＝2，
∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.
4．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．200＋9π
B ．200＋18π
C ．140＋9π
D ．140＋18π
解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为6
2＝3，
母线长为2，
故V ＝10×4×5＋1
2
π×32×2＝200＋9π.
5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2
，则正方体的棱长为________．
解析：设球半径为R ，正方体棱长为a ，则V 球＝43πR 3＝92π，得到R ＝3
2，正方体体对角
线的长为3a ＝2R ，则a ＝3，所以正方体棱长为 3.
答案： 3
6．(全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
解析：如图，设球O 半径为R ，则BH ＝4
3R ，OH ＝R 3，截面圆半径
设为r ，则πr 2＝π，r ＝1，即HC ＝1，由勾股定理得R 2－⎝⎛⎭⎫R 32＝1，R 2
＝98，S 球＝4πR 2＝92
π. 答案：92
π
7．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)
解：如图所示， 过C 作CO 1⊥AB 于O 1.
在半圆中可得∠BCA ＝90°， ∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，
∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝3
2
R ， ∴S 球＝4πR 2， S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3
2πR 2， S 圆锥B O 1侧＝π×
32R ×R ＝3
2
πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥B O 1侧 ＝112πR 2＋3
2πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为
11＋32
πR 2
.
8．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
解：如图，等边△SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球
的大圆O 1.
设球的半径O 1O ＝R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ； OB ＝O 1O ·cot 30°＝3R ， SO ＝OB ·tan 60°＝3R ·3＝3R ， ∴V 球＝4
3πR 3，V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，
V 锥＝13π·(3R )2·3R ＝3πR 3，
∴V 球∶V 柱∶V 锥＝4∶6∶9.。