整式的除法的知识结构
初中整式乘除知识点总结
初中整式乘除知识点总结一、整式的定义整式是由字母和数字（称为系数）以及加法、减法、乘法运算符号组成的，满足代数性质的式子。
其中，整式可以是单项式、多项式或者是已知系数的表达式。
1. 单项式单项式是只有一个项的代数式，如3x、-5y、2a²b等。
2. 多项式多项式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式，或者说多项式是由多个单项式通过加法和减法连接得到的表达式，例如3x²+2x-5、-4a³-6a²b+8ab²-2b³等。
3. 已知系数的表达式已知系数的表达式可以像一般的多项式一样运算，只不过它们代表的是系数是有限个数且确定的。
二、整式的加减运算整式的加减运算是指将同类项进行相加或相减。
同类项是指: 同一变量的幂相同的几项。
1. 加法a. 直接相加: 将各同类项的系数累加，而变量和幂不变。
b. 化简: 当几个整式相加时，将同类项相加，并按照数字的大小规则化简。
2. 减法a. 减法等于加法的逆运算: 减去一个数a等价于加上一个数-a。
b. 减法的性质: 同类项相减的结果等于同类项的系数相减，变量和幂不变。
三、整式的乘法运算1. 单项式与单项式的乘法两个单项式相乘，直接将它们的系数相乘，变量相乘后写成原来变量的乘方。
2. 单项式与多项式的乘法将单项式的每一项与多项式相乘，再将所得的各项相加。
3. 多项式的乘法多项式的乘法可以看做一种按分配律的运算。
先将多项式乘数的各项与被乘数的各项分别相乘，再将乘积相加。
四、整式的除法运算1. 同一或者不等式除: 当含有同一变量的各同类项可以整除时，将它们的系数分别相除，再将变量合并。
2. 非同类项之间的除法在含有多项式的各项中，当各项不能整除时，可以将它有理地展开，再进行系数相除，变量幂相减。
所以，非同类项之间的除法基本是按高斯位别定理——整除法则。
以上是关于初中整式乘除的知识点总结，希望能对同学们的学习起到一定的帮助。
12.4 整式的除法 知识考点梳理(课件)华东师大版数学八年级上册
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
12.4.1 单项式除以单项式
考
点
清
单
解
读
■考点
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单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为
法则
商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则
连同它的指数作为商的一个因式
示例
12.4.1 单项式除以单项式
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：24a2bc÷8ab=______.
［答案］ 3ac
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12.4.1 单项式除以单项式
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重 ■题型 单项式除以单项式的综合计算
难
2y·（3xy）2+（-x2y）3÷x2．
例
计算：x
题
型
［解析］直接利用积的乘方运算法则、整式的除法运算
突
破 法则、整式的乘法运算法则分别计算得出答案．
=3m-2-4m2+4m-1=-4m2+7m-3，由 4m2-7m+6=0，得 4m2-7m=6，
∴ 原式=-（4m2-7m）-3=6-3=3．
12.4.2 多项式除以单项式
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解题通法 （1）化简：先算乘方，再算乘除，最后算
重
难
题 加减，如果有括号，先算括号里的，同级运算从左到右依
型 次进行；
突
破
解题通法 单项式除以单项式的计算关键是分清单项式
中的系数、相同字母，注意混合运算的顺序.
12.4.1 单项式除以单项式
易 ■计算时漏掉只在被除式中含有的字母
整式的除法讲义
整式的除法讲义知识梳理：1、同底数幂的除法同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m ÷ a^n = a^(m-n) (m、n都是正整数且m>n，a≠0)。
特别地，当m=n时，a^m ÷ a^n = a^(m-n) = a，而a^m ÷ a^n = 1，所以规定a≠0.2、单项式或多项式除以单项式两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的个因式。
多项式除以单项式，先把这个多项式每一项除以单项式，再把所得的商相加。
3、本章知识综合与提高①对字母表示数的再认识字母表示数是代数的基本思想之一，字母不仅表示任何一个数，也可以表示一个代数式（单项式、多项式）从而使法则和公式更具有普遍性。
②字母指数的讨论问题在决定幂的符号时需要对字母指数分奇偶加以讨论，这是研究中的一个难点。
③乘法公式的拓展立方和公式”a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，“立方差公式”a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。
④“十字相乘法”对于一般的二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，寻找满足a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2，如有，则ax^2+bx+c=a1x+c1)(a2x+c2)。
⑤换元法、配方法数学方法在因式分解中的应用。
典型例题及针对练：考点1 同底数幂的除法例1 计算下列各式⑴ (-y)^4 ÷ (-y)^3；⑵ (-x)^4 ÷ (-x^2)；⑶ (-a)^3 ÷ (-a)；⑷(4n) ÷ (-y)^2n。
注：1、其一底数不同，不能直接应用法则进行计算，应当把各因式都化为同底数幂后再应用法则计算，其二是指数相减，不是指数相除a^m ÷ a^n ≠ a^(m/n)。
2、含有零指数幂，通过计算，我们发现幂的运算法则对零指数幂仍旧适用，计算零指数幂的值时，要特别小心符号错误，如 (-3)^0 的值应当是1而不是-1.补例练：1、计算：⑴(a-b)^5 ÷(b-a)^3；⑵a^5 ÷(a·a^3)；⑶ a^5 ÷ [(a^2)^3 ÷ a^2)]；⑷ (am·an)^p ÷ a^q。
整式的加减乘除
整式的加减乘除整式是代数表达式的一种形式，由数和字母通过加法、减法、乘法、除法等基本运算符号连接而成。
在数学中，整式的加减乘除是重要的基础知识，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面对整式的运算进行详细介绍。
一、整式的加法整式的加法是指将两个或多个整式相加的运算。
在进行整式的加法时，需要注意以下两点：1. 同类项相加：同类项是指具有相同字母的指数项，如4x²和3x²就是同类项，可以直接相加。
例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。
2. 系数相加：对于同类项，可以直接将系数相加。
例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。
二、整式的减法整式的减法是指将一个整式减去另一个整式的运算。
在进行整式的减法时，需要注意以下两点：1. 减去一个整式可以转化为加上这个整式的相反数。
例如，将5x²-3x²相减，可以转化为5x²+(-3x²)的运算。
2. 同类项相减：对于同类项，可以直接将系数相减。
例如，将5x²-3x²相减，结果为2x²。
三、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
在进行整式的乘法时，需要按照分配律和乘法公式进行展开和合并。
例如，将(3x+2)(2x-1)展开乘法运算，结果为6x²+2x-3。
四、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在进行整式的除法时，需要使用长除法的方法进行计算。
例如，将6x³+3x²-2x-1除以2x+1，可以通过长除法得到商为3x²+2x-1，余数为0。
综上所述，整式的加减乘除是代数学中基本的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算对于理解和解决复杂的代数问题至关重要。
通过不断练习和巩固，相信大家在整式的运算能力上会有所提升，为解决数学问题提供更加有效的方法和工具。
整式的除法-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
整式的除法【知识梳理】一：单项式除以单项式1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 二：多项式除以单项式1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项． （2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．【考点剖析】 题型一：单项式除以单项式 例1．计算：（1）527398b b ÷；（2）645242x y x y −÷； （3）362424a b a b ÷；（4）()22153ab b ÷−．【答案】（1）35627b ；（2）22xy −；（3）212ab ；（4）5a −． 【解析】（1）52523737356989827b b b b −⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭；（2）()64526542242422x y x y x y xy −−−÷=−÷=−；（3）()362432642124242a b a b a b ab −−÷=÷=；（4）()()()22221531535ab b ab a−÷−=÷−=−．【总结】本题考查了单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【变式1】计算：（1）()226ab ab ÷=；（2）()()2515xy xy ÷−=；（3）()231255a x a ÷=；（4）()32243a b ab ÷=−．【答案】（1）2312a b ；（2）2375x y −；（3）325ax ；（4）28a b −．【解析】（1）2236212ab ab a b ⋅=；（2）22351575xy xy x y −⋅=−； （3）233125525a x a ax ÷=；（4）()3222438a b ab a b÷−=−．【总结】本题考查了单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，注意法则的准确运用． 【变式2】计算：()2233310.52x y z x y ⎛⎫−÷− ⎪⎝⎭．【答案】3212xy z −．【解析】()()22333462332311120.50.524x y z x y x y z y z x xy ⎛⎫−÷−=÷−= −⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式．【变式3】计算：()()4312282x y y x ⎡⎤+÷−+⎣⎦．【答案】332x y −−．【解析】()()()()443312282128232x y y x x y x y −⎡⎤+÷−+=÷−+=−−⎡⎤⎣⎦⎣．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式． 【变式4】若32144m n x y x y x ÷=，求2531335m n mn ÷的值．【答案】259．【解析】33121444mnm n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得 原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【总结】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算． 【变式5】计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−． 【解析】()()()56423333523633413123212322a b c a b c a b c ab c −−−−−−÷−÷=÷−÷=−⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 题型二：多项式除以单项式 例2．计算：（1）()3286x x x −÷；（2）()()2101055x x −−÷−．【答案】（1）286x x −；（2）2221x x −++．【解析】（1）()32322868686x x x x x x x x x−÷=÷−÷=−；（2）()()()()()22210105510510555221x x x x x x −−÷−=÷−−÷−−÷−=−++．【总结】本题考查了多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 【变式1】计算：()22642xy x y xy −÷． 【答案】32y x −．【解析】()2222642624232xyx y xy xy xy x y xy y x−÷=÷−÷=−．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式2】计算：（1）()324222a a a a −+÷；（2）()643396123a a a a −+÷．【答案】（1）221a a −+；（2）3324a a −+．【解析】（1）()32322422242222221a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+； （2）()64336343333961239363123324a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式3】计算：（1）()312273ax ax ax −÷；（2）()2322224822x y x y xy xy +−÷．【答案】（1）249x −；（2）241xy x +−．【解析】（1）()3321227312327349ax ax ax ax ax ax ax x −÷=÷−÷=−；（2）()232222232222224822428222x y x y xy xy x y xy x y xy xy xy +−÷=÷+÷−÷241xy x =+−．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式4】计算：()()33232222181263x y x y x y x y −+−÷−． 【答案】642xy y −+．【解析】()()33232222181263x yx y x y x y −+−÷−()()()33222322222218312363x y x y x y x y x y x y =−÷−+÷−−÷−642xy y =−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式5】计算：()()755364523521287x y x y x y x y −+÷−．【答案】232534x y y xy −+−．【解析】()()755364523521287x yx y x y x y −+÷−()()()755253526452357217287x y x y x y x y x y x y =÷−−÷−+÷−232534x y y xy =−+−． 【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时注意商的符号．【变式6】计算：()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦．【答案】13b ．【解析】()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦()3223222233a b a b a b a ba b =−−+÷222133a b a b b =÷=．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式7】计算：()()()22342343223x x x x x x x x ++⋅−++÷−．【答案】543223321x x x x x ++−−−．【解析】()()()22342343223xx x x x x x x ++⋅−++÷−()345232123x x x x x =++−++543223321x x x x x =++−−−．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式8】已知一个多项式与单项式22x y −的积是32212x y x y −，求这个多项式． 【答案】1124x y−+．【解析】()32221112224x y x y x y x y ⎛⎫−÷−=−+ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时要准确理解题意．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·七年级单元测试）计算（﹣6xy 2）2÷（﹣3xy ）的结果为（ ） A ．﹣12xy 3 B ．2y 3 C ．12xy D ．2xy 3【答案】A【分析】先算积的乘方，再进行除法计算 【详解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy ）＝﹣12xy3， 故选：A ．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的除法，掌握计算方法和计算顺序是解题关键．2．（2023·上海·七年级假期作业）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab ＝4a 2b +2ab 3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ） A ．（2a +b 2） B ．（a +2b ） C ．（3ab +2b 2） D ．（2ab +b 2）【答案】A【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算即可． 【详解】∵（4a2b+2ab3）÷2ab ＝2a+b2， ∴被墨汁遮住的一项是2a+b2． 故选：A ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．3．（2020秋·七年级校考课时练习）计算()()42357153x y x y −÷−的结果为（ ） A ．55xy B ．355x yC ．5xD ．35x【答案】B【分析】根据单项式除以单项式除法的运算法则进行计算即可． 【详解】()()()423578125785127351531531535x y x y x yx y x y x y −−−÷−=÷=÷=，故选：B ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握运算法则是解题关键． 4．（2023·上海·七年级假期作业）下列运算中正确的是（ ）． A ．()()632632x x x ÷= B ．()()826842x x x ÷= C ．()()233xy x y ÷=D ．()()222x y xy xy ÷=【答案】B【分析】根据积的乘方和单项式的除法法则逐项计算判断即可．【详解】解：A 、()()633632x x x ÷=，故本选项计算错误；B 、()()826842x x x ÷=，故本选项计算正确； C 、()()22333xy x xy ÷=，故本选项计算错误；D 、()()2221x y xy ÷=，故本选项计算错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查积的乘方和单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】B【分析】把被除式、除式里的系数、同底幂分别相除可得解． 【详解】解：211131344a b c ac −−⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）A ．＋B ．－C ．×D ．÷【答案】D【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解． 【详解】解：∵332x 与4x 不是同类项，不能进行加减计算，∴A 、B 选项不符合题意；∵34324128x x x ⨯=，∴C 选项不符合题意；∵323248÷=x x x ，∴D 选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）如果一个单项式乘以3x 的积是3x 2y ，那么这个单项式是 ___． 【答案】xy【分析】根据单项式的除法求解即可．【详解】解：由题意可得，这个单项式为233x yxy x =故答案为xy【点睛】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握单项式除法的运算法则．【答案】﹣8x3y【分析】单项式除以单项式：把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式，根据运算法则直接计算即可． 【详解】解：原式＝﹣8x3y ． 故答案为：﹣8x3y ．【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解本题的关键. 9．（2019秋·上海青浦·七年级校考阶段练习）计算：232-93a b b ÷=_____________ 【答案】-3a2b【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算可得．【详解】解：23293a b b −÷=-3a2b故答案为-3a2b ．【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．【答案】29a b【分析】先根据除数=被除数÷商，可知A=32133a b ab÷，再根据整式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵32133a b A ab÷=， ∴A=32133a b ab ÷=29a b ． 故答案为：29a b ．【点睛】本题考查整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 11．（2020秋·七年级校考阶段练习）计算：4262÷=a b a _________．【答案】23a b【分析】利用单项式除以单项式的法则计算即可【详解】解：422623b ÷=a b a a故答案为：23a b【答案】24168x y −+【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】()322322223181264x yx y x y x y ⎛⎫−+−÷− ⎪⎝⎭()()32222322222233318126444x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−÷−+÷−+−÷− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32232222222218126333444x y x y x y x y x y x y −−=++−−− 24168x y =−+，故答案为：24168x y −+．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．【答案】13n ab+−【分析】根据单项式的乘法和除法法则从左到右依次计算即可.【详解】原式=3221124n n a b a b −−÷=13n ab +−.故答案为13n ab+−.【点睛】本题考查了单项式的乘法和除法，熟练掌握单项式的乘法和除法是解答本题的关键. 14．（2021秋·上海·七年级期末）计算：8x 2y 4÷（﹣2xy 2）＝_____． 【答案】﹣4xy2【分析】根据单项式除以单项式运算法则，本题只需要把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，计算得出答案即可．【详解】解：8x2y4÷（﹣2xy2）＝21424x y −−−=﹣4xy2．故答案为：﹣4xy2．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 15．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：4a 3÷2a ＝_____． 【答案】2a2【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【详解】解：4a3÷2a ＝312a − =2a2．故答案为：2a2．【点睛】本题考查同底数幂的除法法则，正确使用法则是重点 16．（2022秋·上海·七年级校考期中）计算：446x x ÷=_____． 【答案】323x /323x【分析】根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：432463x x x ÷＝． 故答案为：323x ．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式运算法则是解答本题的关键．【答案】3x2y【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可. 【详解】原式=3x2y ，故答案为3x2y ．【点睛】本题考查整式的运算有关知识，根据整式的运算法则即可求出答案. 18．（2019秋·上海黄浦·七年级统考期末）计算：（2xy ）2÷2x ＝_____． 【答案】2xy2【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出（2xy ）2的值是多少；然后用它除以2x 即可． 【详解】（2xy ）2÷2x ＝4x2y2÷2x ＝2xy2 故答案为：2xy2．【点睛】此题主要考查了整式的除法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．三、解答题19．（2020·七年级上海市建平中学西校校考期中）计算：()()322563−÷a b a a【答案】22523a b a −【分析】根据整式的除法法则，用多项式的每一项去除单项式，应用单项式除以单项式的除法法则计算，再把所得的商相加即可得出答案．【详解】解：()()322563−÷a b a a 3225363=÷−÷a b a a a 22523=−a b a ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 20．（2021·上海奉贤·七年级校联考期末）计算：（6x 3+3x 2﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2． 【答案】﹣4x2+52x ﹣3【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】原式＝6x3÷（﹣2x ）+3x2÷（﹣2x ）+（﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2 ＝﹣3x2﹣32x+1﹣（x2﹣4x+4）＝﹣3x2﹣32x+1﹣x2+4x ﹣4＝﹣4x2+52x ﹣3．【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−．【答案】22x【分析】先算除法和乘法，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−324(2)2(2)(14)x x x x x =÷−−÷−−−222114x x =−+−+22x =【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．【答案】9【分析】根据单项式除以单项式法则将等式左边化简，再根据左边等于右边，列出等式求得m 、n 的值，再根据单项式除以单项式法则将原式化简，代入数据计算即可．【详解】解：∵33121444m n m n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，∴253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得，原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算．利用法则将代数式进行化简是解决此题的关键．23．（2023·上海·七年级假期作业）计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可．【详解】解：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷()5236334131232a b c −−−−−−=÷−÷⎡⎤⎣⎦2=−．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 24．（2022秋·七年级单元测试）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M 和N 表示），污染后的习题如下：()()422223012632x y M x y x y N xy y ++÷−=+−．(1)请你帮小伟复原被污染的M 和N 处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式2x y xy y ++相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．【答案】(1)3218M x y =−；25N x y =−；2532x y xy y −+−(2)能，()221y x −−【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可（2）先求正确答案与2x y xy y ++的和，再因式分解即可． 【详解】（1）()2323618M xy x y x y =−=−，()42223065N x y x y x y =÷−=−，∴原题为())32422221830126x y x y x y x y +÷−−. 则答案为：2532x y xy y −+− （2）()22253244x y xy y x y xy y x y xy y −+−+++=−+−，能因式分解：()()2224444121x y xy y y x x y x −+−=−−+=−−【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键．【答案】44x y −【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式即可得．【详解】解：原式22211164444x xy y xy y x ⎛⎫−++−÷ ⎪⎝⎭=()21634x xy x −=÷344x y =−．【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．【答案】(1)21600− (2)53225a a +(3)264【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；（3）将2a =代入（2）中结论即可求解．【详解】（1）解：243 1.2−2314832 1.23421600=−⨯−÷=−； （2）解：()()()()86323386168626216822a a a a a a a a a a a a −+=+−−−−()53534242a a a a =+−−53534242a a a a =+−+ 53225a a =+；（3）解：2−的相反数是2，当2a =时，386621682a aa a a a +−−535322522252264a a =+=⨯+⨯=．【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．【答案】2223x x −+− 【分析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．【详解】解：()43222423x x x x ⎛⎫−+÷− ⎪⎝⎭211223x x =−+− 【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．【答案】5【分析】根据整式的运算法则，幂的运算法则处理．【详解】解：∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++−+⎛⎫−⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴22232311915x y z m x y z ⋅=．∴3232221131595m x y z x y z xz =÷=．∵正整数x 、z 满足：1223723x z −⋅==，∴3x =，12z −=．∴3x =，3z =，∴3273355m =⨯⨯=． 【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的混合运算，掌握相关法则是解题的关键．。
整式的除法教案
整式的除法教案一、知识点概述整式的除法是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。
整式的除法主要包括两种情况：一是整式除以单项式，二是整式除以整式。
在进行整式的除法运算时，需要掌握整式的基本运算法则和多项式长除法的步骤。
二、教学目标1.掌握整式除以单项式的基本运算法则；2.掌握整式除以整式的多项式长除法的步骤；3.能够熟练地进行整式的除法运算；4.能够应用整式的除法解决实际问题。
三、教学重点和难点1.整式除以单项式的基本运算法则；2.整式除以整式的多项式长除法的步骤。
四、教学过程1. 整式除以单项式的基本运算法则整式除以单项式的基本运算法则是：将整式中每一项的系数分别除以单项式的系数，并将单项式的指数减去每一项的指数，得到的商即为整式除以单项式的结果，余数为0。
例如，将3x2+6x除以3x，则：3x2+6x3x =3x23x+6x3x =x+2因此，3x2+6x除以3x的结果为x+2。
2. 整式除以整式的多项式长除法的步骤整式除以整式的多项式长除法的步骤如下：1.将被除式按照指数从高到低排列；2.将除式按照指数从高到低排列；3.将被除式中最高次项与除式中最高次项相除，得到商；4.将商乘以除式，得到一个新的多项式；5.将被除式减去新的多项式，得到一个新的被除式；6.重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
例如，将3x3+5x2−2x−1除以x−1，则：$$ \begin{array}{c|cccc} & 3x^3 & +5x^2 & -2x & -1 \\ \hline x-1 & 3x^2 &+8x & +6 & \\ & 3x^3 & -3x^2 & & \\ \hline & & 8x^2 & -2x & -1 \\ & & 8x^2 & -8x & \\ \hline & & & 6x & -1 \\ & & & 6x & -6 \\ \hline & & & & 5 \end{array} $$因此，3x3+5x2−2x−1除以x−1的结果为3x2+8x+6，余数为5。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，主要内容包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式的运算方法。
这一节内容在数学学习中占据重要地位，是学生进一步学习函数、不等式等数学知识的基础。
通过本节内容的学习，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，提高运算能力，并为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法等基本运算，具备一定的数学基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易出错，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体例子引导学生理解整式除法的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式除法的基本运算方法，能够熟练地进行整式除法运算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学学习的成就感。
四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本运算方法。
2.难点：理解整式除法的运算规律，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究法”和“合作交流法”，教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现整式除法的运算规律，培养学生的问题解决能力。
同时，鼓励学生进行合作交流，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需熟练掌握整式除法的运算方法，了解学生的学习情况，准备相关教学素材。
2.学生准备：学生需预习整式除法相关内容，了解基本概念，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的加减、乘法运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示整式除法的例子，引导学生观察、分析，发现整式除法的运算规律。
学生通过自主探究，总结整式除法的基本方法。
《整式的除法》课件
被除数
需要被另一个多项式除的多项 式。
商和余数
整式除法的结果，商是另一个 多项式，余数是带有余数的项
。
整式除法的运算顺序
先进行括号内的运算 ；
最后进行加减运算。
然后进行乘除运算；
整式除法的性质
01
02
03
整式除法的交换律
交换被除数和除数的位置 ，商不变。
整式除法的结合律
改变被除数和除数的组合 方式，商不变。
运算过程中的错误纠正
检查运算过程
在完成整式除法后，需要仔细检 查运算过程，确保没有出现计算
错误。
验算
可以通过验算来检查运算结果是否 正确。例如，将商乘以除数，看是 否等于被除数。
注意细节
在整式除法中，需要注意细节，避 免因为粗心大意而出现错误。例如 ，注意符号、括号等细节问题。
05
整式除法的练习题与解析
多项式除以多项式
总结词
转化为单项式除以单项式的形式
详细描述
多项式除以多项式时，可将其转化为单项式除以单项式的形式，然后逐一进行除法运算。例如，$frac{3a^2 + 2ab}{3b^2 + 2a} = frac{a(3a)}{b(3b)} + frac{b(2b)}{b(2a)} = frac{a}{b} + frac{2}{2} = frac{a}{b} + 1$。
乘除法与加减法的符号规则
在整式中，乘除法与加减法的符号规则不同，需要特别注意。
运算过程中的化简问题
化简步骤
在整式除法中，化简是非 常重要的步骤。通过化简 可以简化运算过程，提高 运算效率。
合并同类项
在化简过程中，可以将同 类项合并，简化表达式。
整式的运算知识点
整式的运算知识点整式是指由字母和数字之间用加减乘除的运算符连接而成的算式。
它是代数学中最基本的表达式形式，运算过程中涉及到多种知识点和规则。
本文将从整式的基本概念、加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算等几个方面介绍整式的运算知识点。
一、整式的基本概念整式由常数项和各种字母的乘积项通过加减运算符连接而成。
其中，常数项可以是正数、负数或零，字母的乘积项由字母和指数两部分构成，指数为正整数。
整式的字母部分可以包含一个或多个字母，字母间的乘积可以是相同字母的乘积项，也可以是不同字母的乘积项。
二、加法运算整式的加法运算遵循交换律和结合律。
将同类项进行合并，即将字母部分相同、指数相同的项合并为一项。
例如，将3x^2 +2x^2合并为5x^2。
同时，将常数项相加得到最终的结果。
三、减法运算整式的减法运算可以通过转化为加法运算来进行。
对于减法式子a - b，可以将其改写为a + (-b)的形式，然后按照加法运算的规则进行计算。
四、乘法运算整式的乘法运算遵循乘法分配律和乘法结合律。
将每一个乘积项中的字母部分相乘，同时将指数相加得到新的指数。
不同乘积项之间通过加法运算符连接。
五、除法运算整式的除法运算可以通过乘法的逆运算来实现，即将除法转化为乘法。
例如，将a/b转化为a * (1/b)的形式，然后按照乘法运算的规则进行计算。
需要注意的是，除法运算中，被除数和除数都必须是整式，除数不能为0。
六、展开与提取公因式展开是指将一个整式按照乘法运算的规则进行计算，化简为最简整式的过程。
提取公因式是指将多个整式中的公共部分提取出来，得到最简整式的过程。
七、综合运算整式的运算可以综合应用前面所述的加法、减法、乘法和除法运算进行。
先进行括号内的运算，然后按照加法、减法、乘法和除法的顺序进行，最后合并同类项和化简得到最终结果。
结语整式的运算是代数学中的基础知识，掌握整式的运算方法对于理解和解决代数问题具有重要意义。
通过本文的介绍，希望能够对整式的运算知识点有一个更加清晰和全面的了解，从而在学习和应用中能够更加得心应手。
整式的运算知识点
整式的运算知识点在数学的学习中，整式的运算是一个重要的基础内容。
它就像是搭建数学大厦的基石，对于后续更复杂的数学知识的学习起着关键的作用。
下面，让我们一起来深入了解整式运算的相关知识点。
首先，我们要明白什么是整式。
整式是单项式和多项式的统称。
单项式是指由数字和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
比如，3x、5、a 等等。
多项式则是由几个单项式相加组成的代数式。
例如，2x ＋ 3y、a^2 2ab ＋ b^2 。
整式的加减运算，其实就是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如 3x 和 5x 就是同类项，合并同类项时，我们只需要将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例如，3x ＋ 5x ＝ 8x 。
整式的乘法运算包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。
单项式乘以单项式，就是把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如 2x 3y ＝ 6xy 。
单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，2x(3x ＋ 4) ＝ 2x 3x ＋ 2x 4 ＝ 6x^2 ＋ 8x 。
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，（x ＋ 2)（x 3) ＝ x x 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6 。
整式的除法运算主要是单项式除以单项式和多项式除以单项式。
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
比如 6xy ÷ 2x ＝ 3y 。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
在整式的运算中，还有一个重要的概念——幂的运算。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 a^m a^n ＝ a^（m ＋ n) 。
整式知识点总结归纳初二
整式知识点总结归纳初二整式是代数中一种重要的表达形式，对于初二的学生来说，掌握整式的知识点是非常关键的。
本文将对初二整式的相关知识进行总结归纳，帮助同学们系统地学习整式。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积相加减得到的代数式。
整式包括单项式和多项式两种形式。
单项式是只有一个项的整式，多项式是有两个或两个以上项相加减得到的整式。
二、整式的运算1. 整式的加法：将同类项相加，即将相同的字母部分（指数可以不同）相加，系数保持不变。
例如：2x + 3x = 5x2xy + 3xy = 5xy2. 整式的减法：将同类项相减，同加法一样，字母部分相同，系数相减。
例如：2x - 3x = -x2xy - 3xy = -xy3. 整式的乘法：将每个项的系数相乘，字母部分相乘，指数相加。
例如：2x * 3x = 6x^22xy * 3xy = 6x^2y^24. 整式的除法：将被除式与除式分别化简，然后进行除法运算。
例如：(6x^2y^2) / (2xy) = 3xy三、整式的因式分解因式分解是将一个整式表示成若干个因式相乘的形式。
常用的因式分解方法有：1. 提取公因式：将整式中的公因式提取出来。
例如：2x^2 + 6x = 2x(x + 3)2. 公式法：利用一些常见的公式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 分组法：将整式中的项进行合理的分组，然后进行因式分解。
例如：ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)四、整式的乘法公式在整式的乘法中，常常用到以下的乘法公式：1. 二次平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2例如：(3x + 2)(3x - 2) = 9x^2 - 42. 完全平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 93. 两个一次整式乘积的和：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd例如：(2x + 3)(4x + 5) = 8x^2 + 22x + 15五、整式的应用整式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数运算、方程求解和函数图像绘制等方面。
整式的除法的公式
整式的除法的公式整式的除法，这可是数学世界里一个挺有趣的小领域呢！咱们先来说说整式除法中最基础的公式，就像打开这扇知识大门的钥匙。
单项式除以单项式，那规则就像是一场巧妙的配对游戏。
比如说，有个式子 6x³ ÷ 3x，先看系数，6÷3=2，再看字母，x³÷x = x²，所以结果就是 2x²。
这就好比你有 6 个苹果要平均分给 3 个人，每个人能拿到2 个。
多项式除以单项式，这可稍微有点复杂啦，但别怕，咱们一步步来。
就像 (9x² + 6x)÷3x，先把多项式的每一项分别除以单项式，9x²÷3x = 3x，6x÷3x = 2，所以结果就是 3x + 2。
这感觉就像是把一大包零食分成几份，每份都分得明明白白。
我记得有一次给学生们讲整式除法的时候，有个小家伙一直皱着眉头，怎么都搞不明白。
我就打了个比方，说这整式除法就像是分蛋糕。
一个大蛋糕（多项式），要平均分给几个小朋友（单项式），得先把蛋糕切成小块（把多项式的每一项拆开），然后再一个一个地分给小朋友，看每个小朋友能拿到多少（分别做除法）。
嘿，这小家伙一下子就眼睛亮了，嘴里还念叨着“分蛋糕，分蛋糕”，然后就把题做对啦！再说说整式除法中的一些小窍门。
要特别注意符号问题，就像走在路上要注意交通信号灯一样。
负号可不能丢了，不然答案就跑偏啦。
还有，做除法的时候要细心，就像绣花一样，一针一线都不能马虎。
总之，整式的除法虽然看起来有点小复杂，但只要掌握了公式和方法，再加上多多练习，就一定能轻松应对。
就像学会了骑自行车，想怎么骑就怎么骑，自由自在！希望同学们在面对整式除法的时候，都能像勇敢的小战士，不怕困难，勇往直前，把这些难题一个个都攻克掉！。
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘除是数学中的基础内容之一，它在代数学中扮演着重要的角色。
本文将从整式的定义开始，逐步讨论整式的乘法和除法的相关知识点。
对于初学者来说，希望通过本文的解析，能够更好地掌握整式的乘除运算。
一、整式的定义及基本概念整式由多项式组成，多项式是由若干项按照加法和减法进行运算形成的表达式。
其中项由系数与单项式的乘积构成，单项式是由常数与字母的乘积构成。
在整式中，字母表示未知数或变量，系数表示字母的倍数，常数表示不带字母的数。
而整式的次数是指整式中单项式的最高次幂。
例如，3x² + 2xy - 5是一个三项式，其中3、2、-5为系数，x²、xy 为单项式。
二、整式的乘法运算整式的乘法运算是指将两个或多个整式相乘的过程。
具体运算规则如下：1. 乘法分配律：整式A、B、C相乘，可以先将A与B的每一项相乘，然后将所得结果相加（或相减），再与C的每一项相乘，最后将所得结果相加（或相减）。
2. 同底数幂相乘：若整式中出现了同样字母的多项式相乘，只需将它们的次数相加。
3. 字母之间相乘：在整式的乘法中，字母之间相乘的结果仍然是单项式。
三、整式的除法运算整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式的过程。
在进行整式的除法运算时，首先要明确整除和除式的概念。
整除是指当一个整式A除以整式B时，如果存在另一个整式C，使得A=BC成立，则称B整除A，记作B|A。
除式是指进行整除的除数。
在整式的除法运算中，可以利用带余除法的思想进行，具体步骤如下：1. 对于整式A除以整式B，不妨设A的次数为m，B的次数为n （m≥n）。
2. 设立商式Q和余式R，使得A=QB+R，其中Q的次数为m-n，R 的次数小于n。
3. 再次利用带余除法，将B除以R，得到商式和余式。
4. 重复以上步骤，直到余式的次数小于除式，停止运算。
四、整式的乘除综合运算整式的乘除运算经常结合使用，可以通过以下例子加深理解。
例子：将 (5x² + 2xy) × (3x - 4) ÷ (x + 2) 进行计算。
七年级同步第14讲：整式的除法
整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是学习整式加减的继续和发展．1、同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m na a a-÷=（0a≠，m，n都是正整数）．2、规定()010a a=≠；1ppaa-=（0a≠，p是正整数）．整式的除法知识结构模块一：同底数幂的除法知识精讲内容分析【例1】 下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，这是因为光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度为8310⨯米每秒，而声音在空气中的传播速度约为300米每秒，你知道光速是声速的多少倍吗？ 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 月球距离地球大约53.8410⨯千米，一架飞机的速度约为2810⨯千米/时．如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？ 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 计算：（1）()()151233-÷-；（2）853377⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）10010099÷． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例4】 计算： （1）107a a ÷；（2）102102x x -÷；（3）()()75a a -÷-． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 计算： （1）()623x x x ÷⋅； （2）()1243x x x ⋅÷．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 计算：（1）()()4334a a -÷-；（2）()()22237a a a a ⋅÷⨯-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 计算：（1）()()105x y x y +÷+；（2）()()97a b b a -÷-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 计算：（1）()3232942x x x x x ⋅-+÷；（2）54189t t t t ⋅-÷．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 计算：（1）()()4222(2)x y y x x y -÷-÷-；（2）()()()()989x y x y y x x y +-÷-÷--⎡⎤⎣⎦． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例10】 已知：32132n n n n x x x x -+-+÷=⋅，求n 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例11】 若32x =，35y =，求23x y -的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【例12】 计算：（1）527398b b ÷；（2）645242x y x y -÷； （3）362424a b a b ÷；（4）()22153ab b ÷-．【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 计算： （1）()226ab ab ÷=；（2）()()2515xy xy ÷-=；（3）()231255a x a ÷=；（4）()32243a b ab ÷=-．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：单项式除以单项式知识精讲例题解析【例14】 计算：()2233310.52x y z x y ⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 计算：()()4312282x y y x ⎡⎤+÷-+⎣⎦．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 若32144m n x y x y x ÷=，求2531335m n mn ÷的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷-÷． 【难度】★★ 【答案】 【解析】1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． （1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．【例18】 计算：（1）()3286x x x -÷；（2）()()2101055x x --÷-．【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】 计算：()22642xy x y xy -÷． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】 计算：（1）()324222a a a a -+÷； （2）()643396123a a a a -+÷．【难度】★ 【答案】 【解析】模块三：多项式除以单项式知识精讲例题解析【例21】 计算：（1）()312273ax ax ax -÷； （2）()2322224822x y x y xy xy +-÷．【难度】★ 【答案】 【解析】【例22】 计算：()()33232222181263x y x y x y x y -+-÷-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 计算：()()755364523521287x y x y x y x y -+÷-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 计算：()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤---÷⎣⎦． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 计算：()()()22342343223x x x x x x x x ++⋅-++÷-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 已知一个多项式与单项式22x y -的积是32212x y x y -，求这个多项式．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 若2010n m x x x ⋅=，6m n x x x ÷=，求m 、n 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知除式为232x y +，商式为422964x x y y -+，余式为38x y -，求被除式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 若4325x x ax bx c -+++能被2(1)x -整除，试求2()a b c ++的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】 是否存在常数p 、q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出p 、q的值，否则请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】师生总结【习题1】 ()()()22222545a b a bc ab ⋅-÷-等于（）A ．4345a b cB ．4345a b c -C ．254a bcD ．254a bc -【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 计算： （1）()24366a b ab -÷； （2）5343515a b c a b -÷； （3）423287x y x y ÷；（4）5823164x y x y ÷．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 已知：8331863m n a b c a b a c ÷=，则m =_______，n =_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 计算：()76332115181233m m m m m -+÷⋅．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题5】 计算：()22322183032x y x y x y -÷÷． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 计算：若2x a =，2y b =，求324x y -的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 一个三角形的面积是344a b ，底边长是22ab ，则其高为________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 先化简：33242172112178x y x y z x y ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再计算当3x =，14y =，1z =-的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 化简求值：()()()()22a b a b a b b ⎡⎤+---÷-⎣⎦，其中12a b =-=，．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 已知一个单项式乘以2513x y z ，所得的积是4522x y z -，求这个多项式．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题11】 已知一个单项式除以322a bc 所得的商是2212ab c ，求这个单项式．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题12】 已知一个多项式减去21x x -+后，除以22x 的商是2x -，求这个多项式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题13】 已知5x -与一个整式的积是234251520x x y x +-，求这个整式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题14】 设()25m n x x x ⋅=，n m x x x ÷=，求：（1）m 、n 的值（2）分解因式()221x m x n +++．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 计算：（1）1161739x x -÷；（2）421122⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 计算： （1）()()5a a -÷-；（2）()()72xy xy -÷-；（3）()()42a b a b +÷+．【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业【作业3】 计算： （1）()()5222x x ÷；（2）()()2332a a ÷；（3）()()322ab ab ÷-；（4）()3225x x x ⋅÷．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 计算： （1）382a a ÷；（2）363x y xy ÷；（3）3232123a b x ab ÷． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业5】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 计算： （1）________am m bm m ÷+÷=； （2）2______a a ab a ÷+÷=；（3）224222__________x y xy xy xy ÷+÷=．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 计算：()()()222433423x y x y x y ⎡⎤---÷-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 已知314748216m m m +++⋅÷=，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业9】 先化简，再求值：()()()22224a b a b b a b a b b +-++-÷，其中：122a b =-=，． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
整式的除法(提高)知识讲解
整式的除法（提高）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、先化简，再求值．455232334745525774183682x y z xy z x y z x y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1x =-，2y =-，3z =．【答案与解析】解：原式4152513233141745535774182682x y z x y z x y z y z ---++⎛⎫⎛⎫=-⨯÷---⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33432345745557712622x y z x y z x y z y z ⎛⎫=-÷-+÷ ⎪⎝⎭ 3332434547556125x y z x y z -----=⨯+ 042421122x yz x yz yz x yz =+=+． 当1x =-，2y =-，3z =时，424211(2)3(1)(2)33182122yz x yz +=⨯-⨯+-⨯-⨯=--=-． 【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．2、观察下列单项式：x ，－22x ，43x ，－84x ，165x ，…（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第n 个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（－22x ）÷x ＝－2x ；43x ÷（－22x ）＝－2x ；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第n 个单项式为()12n n x --⋅；（2）并用此公式可写出第10个单项式的结果．【答案与解析】解：（1）－2x ，()12n n x --⋅；（2）第n 个单项式为()12n n x --⋅，则第10个为－51210x ．【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、x 的指数的变化得出规律是解题的关键．类型二、多项式除以单项式3、计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷；（3）5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b +-++--÷+．【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中()a b +看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算．【答案与解析】解：（1）原式223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． （3）原式5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b =+-+-+÷+5343332()2()3()2()()2()a b a b a b a b a b a b =+÷+-+÷+-+÷+231()()22a b a b =+-+-． 【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题．举一反三：【变式1】先化简，再求值．（1）22224[(2)()()5]2x y x y x y y y +-+--÷，其中2x =-，14y =； （2）已知210x y -=，求222[()()2()]4x y x y y x y y +--+-÷的值．【答案】解：（1）原式224244[44()5]2x xy y x y y y =++---÷ 224244(445)2x xy y x y y y =++-+-÷2422xy y xy =÷=．当2x =-，14y =时，原式12(2)14=⨯-⨯=-． （2）原式22222(222)4x y x xy y xy y y =+-+-+-÷2(42)4xy y y =-÷12x y =-． 由已知210x y -=，得152x y -=，即152x y -=． 【变式2】（2014秋•梁平县校级期中）计算：[（﹣2a 2b 3）2﹣（3ab 2）3]÷（﹣a 2b 3）．【答案】解：原式=（4a 4b 6﹣27a 3b 6）÷（﹣a 2b 3）=﹣6a 2b 3+ab 3．4、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式．【答案与解析】解： 所求的多项式为2322a a a a a a a a a a+-+++=+-++-++(43)(21)28286432832=++．295a a【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余式，应牢记这一关系式．举一反三：【变式】（2015春•淮北期末）已知一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，则这条边的长是．【答案】x﹣2y+3．解：因为一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，可得：2（3x2﹣6xy+9x）÷6x=x﹣2y+3，故答案为：x﹣2y+3．。
整式知识点汇总
整式知识点汇总整式是初中数学中的一个重要概念，它是代数学习的基础。
本文将逐步介绍整式的定义、基本运算法则以及一些常见的整式知识点。
1. 整式的定义整式是由常数、变量和运算符（包括加法、减法和乘法）组成的代数表达式。
整式的一般形式为：a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0，其中a n,a n−1,…,a1,a0是常数系数，x是变量，n是整数指数。
2. 整式的基本运算法则2.1. 加法法则两个整式相加时，只需将相同指数的项的系数相加。
例如，(3x2+2x+1)+ (2x2+4x+3)可以化简为5x2+6x+4。
2.2. 减法法则两个整式相减时，可以将减数的每一项取相反数，然后按照加法法则进行运算。
例如，(5x2+3x+2)−(2x2+4x+1)可以化简为3x2−x+1。
2.3. 乘法法则两个整式相乘时，可以使用分配律和乘法运算法则进行运算。
例如，(2x+3)(x+1)可以展开为2x2+5x+3。
3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式表示为几个因式的乘积的过程。
整式的因式分解可以简化计算和解方程的过程。
例如，6x2+9x可以因式分解为3x(2x+3)，其中3x是公因子。
4. 整式的乘方运算整式的乘方运算是将整式自身连乘若干次的运算。
求整式的乘方可以使用分配律和乘法运算法则。
例如，(2x+1)2可以展开为4x2+4x+1。
5. 整式的除法运算整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法运算可以使用长除法的方法进行。
例如，(4x2+3x+2)÷(2x+1)可以进行长除法运算，得到商为2x+1，余数为0。
6. 整式的应用整式的知识点在数学中有广泛的应用。
例如，在代数方程的求解过程中，整式的运算和因式分解是常见的计算步骤。
此外，整式的知识点也在其他学科中有应用。
例如，在物理学中，质点的运动方程可以表示为整式的形式。
总结整式是代数学习的基础，掌握整式的基本概念和运算法则对于学习代数和解决实际问题非常重要。