2017春人教版数学选修4-4课后练 2.3 直线的参数方程 课末 Word版含答案
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.3直线的参数方程
π 1 + ������cos , 3 π (t 为参数), 3 + ������sin 3
它是标准形式 , 所以参数 t 具有标准形式中参数的几何意义, 即参数 t 的绝对值是有向线段������0 ������ (点 M 为直线 l 的任一点 )的长 度. ������ = 1 + ������, 而方程 (t 为参数 )不是标准形式 , ������ = 3 + 3������ 所以参数 t 不具有标准形式中参数的几何意义.
答案：(1)
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
(t 为参数)
(2)50°
做一做2 若直线的参数方程为 截式方程为 .
1 ������ = 2 + ������, 2 3 ������ = 3 + ������ 2
(t为参数),则它的斜
解析：消去参数 t 可得 y=3+ 3(x-2), 化为斜截式方程为 y= 3x+3-2 3.
π 3
即
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
3
(t 为参数). ������ = -1 + ������cos50 °, (t 为参数 ), ������ = 3 + ������sin50 °
(2)直线的参数方程可化为 故倾斜角等于 50°.
三
直线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数 t 的几何 直线的参数方程 直线的参数方程 意义. 2.能 利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用 解决简单的实际问题.
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)-word文档资料
参数方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩叫作曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 三．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线 练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8： 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．011． 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13. 已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．。
人教版高中数学选修4-4学案：第2讲-3直线的参数方程Word版含解析
三 直线的参数方程1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(要点、难点 )2．能用直线的参数方程解决简单问题． (要点、易错点 )[基础 ·初探 ]教材整理 直线的参数方程阅读教材 P 35～P 39，达成以下问题．πx ＝x 0＋ tcos α α≠的直线 l 的参数方程为y ＝y 0＋ tsin α(t经过点 M 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α2 为参数 )，此中参数 t 的几何意义是： |t|是直线 l 上任一点 M(x ，y)到定点 M 0(x 0，→y 0)的距离，即 |t|＝ |M 0M|.曲线x ＝－ 2＋5t y ＝1－2t(t为参数 )与坐标轴的交点是()2 1 A. 0，5 、 2，011B. 0，5 、 2，0C ．(0，－ 4)、 (8,0)5、(8,0)D. 0，9【分析】 当 ＝ 时，＝2，而y＝ － ，即 y ＝ 1轴的交点为 0，1；x 0t51 2t5，得与 y5当 y ＝0 时， t ＝1，而 x ＝－ 2＋5t ，即 x ＝ 1，得与 x 轴的交点为 1，0 .2 22 【答案】B[怀疑·手记 ]预习达成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商讨沟通：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：[小组合作型 ]直线参数方程的简单应用x＝1＋2t，已知直线的参数方程为(t 为参数 )，则该直线被圆 x2＋y＝2＋t y2＝ 9 截得的弦长是多少？【思路研究】考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以第一要把2x＝1＋t′，原参数方程转变为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得1y＝2＋t′，到一个对于 t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．x＝1＋2t，【自主解答】将参数方程(t为参数)转变为直线参数方程的y＝2＋t 标准形式为2x＝ 1＋t′，5(t ′为参数 )，1y＝ 2＋t′5代入圆方程 x2＋y2＝9，得1＋2212t′＋ 2＋t′＝9，552整理，有5t′＋8t′－ 4 5＝0.8由根与系数的关系， t′1＋t′2＝－，t′1·t′2＝－ 4.依据参数 t′的几何意义．|t ′1－t2′|＝t′1＋t′22－4t′1′2＝12 5t 5.12 5故直线被圆截得的弦长为5 .1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－ t2来|求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽略了参数 t 的几何意义．2．依据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有以下常用结论：(1)直线与圆锥曲线订交，交点对应的参数分别为t 1，t2，则弦长l＝|t1－t2 ；|(2)定点 M0是弦 M1M2的中点 ? t1＋ t2＝0；(3)设弦 M1M2中点为 M，则点 M 对应的参数值 t M＝t1＋t22 (由此可求 |M1M2|及中点坐标 )．[再练一题 ]1．(2016 ·木斯调研佳)在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径 r＝ 1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3x＝－ 1＋2 t(2)若直线(t 为参数 )与圆交于 A，B 两点，求弦 AB 的长．1y＝2tππ 3 3【解】(1)由已知得圆心 C 3cos 6， 3sin6，半径为 1，圆的方程为x－222＋ y －32＝1，即 x 2＋y 2－3 3x －3y ＋8＝0.3x ＝－ 1＋ 2 t(2)由(t 为参数 )得直线的直角坐标系方程 x － 3y ＋1＝0，1y ＝ 2t圆心到直线的距离 d ＝ 3 2 3－3 2 3＋1 ＝1，2 2|AB| 2所以 ＋d 2 ＝1，解得 |AB|＝ 3.2参数方程与极坐标的综合问题2x ＝3－ 2 t ，在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参2y ＝5＋ 2 t数 )．在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取同样的长度单位， 且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 ρ＝ 2 5sin θ.(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A ，B ，若点 P 的坐标为 (3， 5)，求 |PA|＋ |PB|.【导学号： 91060024】【思路研究】(1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为一般方程，求交点可考虑利用 t 的几何意义求解．【自主解答】 (1)由 ρ＝2 5sin θ，A 、B 的坐标，也2得 ρ＝25ρsin θ，∴ x 2＋ y 2 －2 5y ＝0，即 x 2＋(y － 5)2＝5.(2)法一 直线 l 的一般方程为 y ＝－ x ＋3＋5.与圆 C ：x 2＋(y － 5)2＝5 联立，消去 y ，得 x 2 －3x ＋ 2＝ 0，x＝1x＝2，解得或y＝2＋5y＝1＋ 5.不如设 A(1,2＋5)， B(2,1＋5)．又点 P 的坐标为 (3，5)，故|PA|＋|PB|＝ 8＋ 2＝ 3 2.法二将 l 的参数方程代入2＋(y－5)2＝5，得 3－22＋22＝5，x2t2t即 t2－ 3 2t＋ 4＝ 0， (*)因为＝(32)2－4×4＝2＞0.故可设 t1，t2是 (*) 式的两个实根，∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝ 4，∴t1>0， t2>0.又直线 l 过点 P(3，5)，∴由 t 的几何意义，得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝ 3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算．2．此题将所给的方程化为考生所熟习的一般方程，而后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程互订交叉问题时的一个重要的思路．[再练一题 ]2．已知曲线 C1的参数方程是x＝2cos φ(φ为参数 )，以坐标原点为极点，y＝3sin φx 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCDπ的极点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针序次摆列，点A的极坐标为2，3 .(1)求点 A， B， C， D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1上随意一点，求 |PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．ππ【解】(1)由已知可得 A 2cos 3，2sin 3，π ππ πB 2cos 3＋2， 2sin3＋2，ππC 2cos 3＋π， 2sin 3＋π ，π 3ππ 3πD 2cos 3＋2， 2sin 3＋2，即 A(1， 3)，B(－ 3， 1)，C(－ 1，－ 3)，D( 3，－ 1)．(2)设 P(2cos φ，φ，令2＋|PB|2＋ |PC|2 3sin )S＝ |PA|＋|PD|2，则 S＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋ (－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－ 3－3sin φ)2＋ ( 3－2cos φ)2＋ (－ 1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋ 16＝32＋20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴S 的取值范围是 [32,52] ．[研究共研型 ]直线的参数方程研究 1若直线 l 的倾斜角α＝0，则直线 l 的参数方程是什么？0＋t，x＝ x【提示】参数方程为(t 为参数 )．y＝ y0研究 2怎样理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点 M0(x0， y0) ，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，(t 为参数 )，此中 t 表示直线 l 上以定点 M 0为起点，随意一点y＝ y0＋tsin α，→→M(x， y)为终点的有向线段 M0M的长度，即 |t|＝ |M0M|.→①当 t＞ 0 时， M0M的方向向上；→②当 t＜ 0 时， M0M的方向向下；③当 t＝ 0 时，点 M 与点 M0重合．3x＝－3＋2 t，已知直线 l：(t 为参数 )．1y＝2＋2t，(1)求直线 l 的倾斜角；(2)若点 M(－3 3， 0)在直线 l 上，求 t ，并说明 t 的几何意义．【思路研究】 将直线 l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得 t.【自主解答】(1)因为直线 l ：x ＝－π3＋tcos6，π(t为参数 )表示过点 M 0(－ 3，2)且斜率为tanπ6的直y ＝ 2＋ tsin 6线，π故直线 l 的倾斜角 α＝6.(2)由 (1)知，直线 l 的单位方向向量ππ 3 1e ＝ cos 6，sin 6 ＝ 2 ，2 .∵M 0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，→3 1 ∴M 0M ＝(－2 3，－ 2)＝－4 2 ，2 ＝－ 4e ， ∴点 M 对应的参数 t ＝－ 4，→ →几何意义为 |M 0M|＝4，且M 0M 与 e 方向相反 (即点 M 在直线 l 上点 M 0 的左下方 )．1．一条直线能够由定点 M 0(x 0，y 0)，倾斜角 α(0 ≤α＜ π)唯一确立，直线上的x ＝x 0＋tcos α，动点 M(x ，y)的参数方程为(t 为参数 )，这是直线参数方程的标y ＝y 0＋tsin α准形式．2．直线参数方程的形式不一样， 参数 t 的几何意义也不一样， 过定点 M 0(x 0，y 0)，斜率为 b的直线的参数方程是x ＝x 0＋ at ，(a 、b 为常数， t 为参数 )．a y ＝y 0＋ bt[再练一题 ]5π3．设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为 6 .(1)写出直线 l 的参数方程；x＝2cos θ，(2)设此直线与曲线C：(θ为参数 )交于 A，B 两点，求 |PA| ·|PB|.y＝4sin θ【解】(1)直线 l 的参数方程为5π3x＝－ 3＋tcos 6＝－ 3－2 t，(t 为参数 )．5πty＝ 3＋ tsin 6＝3＋222(2)把曲线 C 的参数方程中参数θ消去，得4x＋y－16＝0.224－－3＋ 3＋1t －16＝0，3 2t2即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0.由 t 的几何意义，知|PA| |PB|·＝ |t1·t2|，116故|PA| ·|PB|＝ |t1·t2|＝13 .[建立·系统 ]—直线的参数方程直线的参——参数的几何意义数方程—参数方程的简单应用x＝－ 2＋tcos 60 ，°1．直线(t为参数 )的倾斜角α等于 () y＝3＋tsin 60°A．30°C．－ 45°B．60°D．135°【分析】由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选 B.【答案】Bx＝1＋tcos α2．直线(α为参数， 0≤a＜π)必过点 ()y＝－ 2＋tsin αA．(1，－ 2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－ 1)【分析】直线表示过点 (1，－ 2)的直线．【答案】A2x＝－ 1－2 t3．已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，则直线 l 的斜率为2y＝ 2＋2 t()A．1B．－122C. 2D．－2【分析】消去参数 t，得方程 x＋y－ 1＝ 0，∴直线 l 的斜率 k＝－ 1.【答案】B4．若直线x＝1－ 2t(t 为参数 )与直线 4x＋ky＝ 1 垂直，则常数 k＝________. y＝2＋ 3t【导学号： 91060025】x＝1－2t化为 y＝－3 7【分析】将y＝2＋3t2x＋2，3∴斜率 k1＝－2，明显 k＝ 0 时，直线 4x＋ky＝1 与上述直线不垂直，4∴k≠0，进而直线 4x＋ ky＝1 的斜率 k2＝－k.43依题意 k1k2＝－ 1，即－k×－2＝－ 1，∴k＝－ 6.【答案】－6x＝－ 3＋t，5．化直线 l 的参数方程(t 为参数 )为一般方程，并求倾斜角，y＝1＋ 3t 说明 |t|的几何意义．x＝－ 3＋t，【解】由消去参数t，得y＝1＋3t直线 l 的一般方程为3x－y＋ 3 3＋1＝0.π故 k＝3＝tan α，即α＝3，π所以直线 l 的倾斜角为3.x＋ 3＝ t，得(x＋ 3)2＋(y－ 1)2＝ 4t2，又3t，y－ 1＝∴|t|＝x＋2＋ y－22.故|t|是 t 对应点 M 到定点 M0(－的向量→的模的一半．3,1)M M我还有这些不足：(1)(2)我的课下提高方案：(1)(2)学业分层测评 (八)(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．以下能够作为直线2x－y＋1＝0 的参数方程的是 ()x＝ 1＋ t，A.(t 为参数 )y＝ 3＋ tx＝ 1－ t，B.(t 为参数 )y＝ 5－ 2tx＝－ t，C.(t 为参数 )y＝ 1－ 2t25x＝2＋5 t，D.(t 为参数 )5y＝5＋5 t【分析】题目所给的直线的斜率为2，选项 A 中直线斜率为1，选项 D 中直线斜率为1，所以可清除选项 A 、D.而选项 B 中直线的一般方程为2x－y＋ 3＝20，应选 C.【答案】C2．直线x＝2＋3t，(t 为参数 )上对应 t＝ 0， t＝1 两点间的距离是 () y＝－ 1＋tA．1 B.10C．10D．2 2【分析】因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不可以直接由 1－0＝1 来得距离，应将 t＝0，t＝ 1 分别代入方程获得两点坐标 (2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.【答案】 Bx＝－ 1－ t3．极坐标方程ρ＝ cos θ和参数方程(t 为参数 )所表示的图形分y＝2＋t别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线2【分析】∵ρ＝ cos θ，∴ρ＝ρcos θ，2即 x 2＋y 2＝x ，即 x －12 ＋ y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．x ＝－ 1－t 由(t 为参数 )消参得： x ＋y ＝1，表示直线．y ＝ 2＋ t【答案】D．直线 x ＝1＋2t与曲线 ρ＝2cos θ订交，截得的弦长为 ()4y ＝1－t【导学号： 91060026】2 53 5 A. 5B.5 45C. 5D.5【分析】 曲线 ρ＝2cos θ的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝2x ，标准方程为 (x －1)2＋ y 2＝1，表示以点 (1,0)为圆心，半径长为 1 的圆，直线x ＝1＋2t的一般式方y＝1－t|1＋2×0－3|2 5程为 x ＋2y － 3＝ 0，则圆心到直线的距离为 d ＝12＋22 ＝ 5 ，所以直线与圆251－ 22订交所得的弦长为 2 1－ d 2＝25 5 ＝ 5.【答案】 A1．直线 x ＝1＋2t ，(t 为参数 和圆 2＋y 2＝16 交于 A 、B 两点，则53) xy ＝－ 3 3＋ 2tAB 的中点坐标为 ()A ．(3，－ 3)B ．(－ 3，3)C ．( 3，－ 3)D ．(3，－ 3)t3【分析】将 x ＝1＋2，y ＝－ 3 3＋2 t 代入圆方程，t 223＝16， 得 1＋2 ＋－3 3＋ 2 t∴t 2－8t ＋ 12＝0，则 t 1＝2，t 2＝6，t 1＋t 2所以 AB 的中点 M 对应参数 t ＝2＝4，13∴ x ＝1＋2×4＝3，y ＝－ 3 3＋ 2 ×4＝－ 3，故 AB 中点 M 的坐标为 (3，－ 3)．【答案】 D二、填空题6．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l ：x ＝t ，(t 为参数 )过椭圆 C ：y ＝t －a ，x ＝ 3cos φ， (φ为参数 )的右极点，则常数 a 的值为 ________．y ＝ 2sin φ【分析】x ＝ t ， 直线 l ：消去参数 t 后得 y ＝x －a.y ＝ t －ax ＝ 3cos φ，x 2 y 2椭圆 C ：y ＝ 2sin φ消去参数 φ后得 9 ＋ 4 ＝1.又椭圆 C 的右极点为 (3,0)，代入 y ＝ x －a 得 a ＝3. 【答案】33x ＝1－5t ，(t 为参数 )，则直线 l7．若直线 l 的参数方程为的斜率为4y ＝5t________．34【分析】由参数方程可知， cos θ＝－ 5，sin θ＝5(θ为倾斜角 )，4∴tan θ＝－ 3，即为直线斜率．4【答案】 －38 ． 在 平面 直角 坐标 系 xOy 中，曲线 C 1 和 C 2 的参数方程分别为2x ＝ 5cos θ， π x ＝1－ 2 t ，y ＝ 5sin θθ为参数， 0≤θ≤和(t 为参数 )，则曲线 C 1 与22y ＝－ 2tC2的交点坐标为 ________．【分析】曲线 C1和 C2的一般方程分别为x2＋y2＝5①x－y＝1(0≤x≤ 5，0≤y≤ 5)，②x＝2，联立①② 解得y＝1，∴C1与 C2的交点坐标为 (2,1)．【答案】(2,1)三、解答题3x＝2＋2 t 9．(2016 ·扬州月考 )在直角坐标系中，参数方程为(t 为参数 )1y＝2t的直线 l 被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，求截得的弦长．3【解】参数方程为x＝2＋2 t(t 为参数 )表示的直线 l 是过点 A(2,0)，1y＝2t倾斜角为 30°，极坐标方程ρ＝ 2cos θ表示的曲线 C 为圆 x2＋y2－2x＝ 0.此圆的圆心为 (1,0)，半径为 1，且圆 C 也过点 A(2,0)；设直线 l 与圆 C 的另一个交点为 B，在 Rt△ OAB 中， |AB|＝2cos 30 °＝ 3.x＝t＋ 1，平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，y＝2t2x＝2tan θ，曲线 C 的参数方程为(θ为参数 )．试求直线 l 和曲线 C 的一般方程，y＝2tan θ并求出它们的公共点的坐标．因为直线 l 的参数方程为x＝t＋ 1，【解】(t 为参数 )，由 x＝t＋ 1，得 ty＝2t＝x－1，代入 y＝2t，获得直线 l 的一般方程为 2x－ y－ 2＝ 0.同理获得曲线 C 的一般方程为 y2＝2x.y ＝ x － ，联立方程组y 2＝2x ，1解得公共点的坐标为 (2,2)， 2，－ 1 .[ 能力提高 ]tx ＝－ 1＋2，1．直线的参数方程为M 0(－1,2)和 M(x ，y)是该直线上的定3y ＝2－ 2 t ，点和动点，则 t 的几何意义是 ()A ．有向线段 M 0M 的数目B ．有向线段 MM 0 的数目C ．|M 0M|D ．以上都不是【分析】 参数方程可化为1x ＝－ 1＋ －2－ t ，3y ＝ 2＋ 2－t【答案】 B2．若直线x ＝tcos α， x ＝4＋2cos φ，y ＝tsin α (t 为参数 )与圆 (φ为参数 )相切，那y ＝2sin φ么直线的倾斜角 α为()π πA.6B.4ππ 5π C.3D.6或6【分析】直线化为 y＝ tan α，即 y ＝tan α·x ，x圆方程化为 (x － 4)2＋ y 2 ＝4，∴由 |4tan α| ＝ 2? tan 2α＝ 1，tan 2α＋ 133π 5π∴tan α＝±3 ，又 α∈[0， π)，∴α＝ 6或6. 【答案】D1．直线 x ＝2－2t (t 为参数 被圆 2＋y 2＝4 截得的弦长为 ________．3 1) xy ＝－ 1＋ 2t【分析】直线为 x ＋ y － 1＝0，圆心到直线的距离 d ＝ 1＝2，2222 2 14 弦长的一半为 2 － 2 ＝2 ，得弦长为 14. 【答案】142x ＝－ 1＋ 2 t ，4．已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，曲线 C 的极坐2y ＝ 2 t标方程是ρ＝ sinθ2 ，以极点为原点，极轴为 x 轴正方向成立直角坐标系，点1－sin θM(－1,0)，直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点．(1)求直线 l 的极坐标方程与曲线C 的一般方程；(2)线段 MA ， MB 长度分别记为 |MA|， |MB|，求 |MA| · |MB|的值．2【解】 (1)直线 l ： x ＝－ 1＋ 2 t ，为参数 的直角坐标方程为 － ＋(t x2) y 1y ＝ 2 t＝ 0，所以极坐标方程为2ρcos θ＋π＝－ 1，4曲线 C ：ρ＝ sin θ2 即(ρcos θ)2＝ ρsin θ，1－sin θ所以曲线的一般方程为 y ＝x 2.2x＝－ 1＋2 t，(2)将(t 为参数 )2y＝2 t代入 y＝ x2得 t2－ 3 2t＋ 2＝ 0，∴t1t2＝2，∴|MA| ·|MB|＝ |t1t2|＝2.。
选修4-4 2.2.3 直线的参数方程
例 题 ３ 已 知 曲 线
x 2 t l : t 为参数) . ( y 2 2t
x2 y2 C: 1 4 9
, 直 线
(1) 写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方 程. (2) 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线， 交 l 于 A,求| PA | 的最大值与最小 值． x 2 cos 22 5 2 5 (1) , 2 x y 6 0;(2) | PA |MAX ,| PA |MIN . 5 5 y 3 sin
t1 t 2 值 tM 2 .
5
二、新授
课堂练习：
1 x 1 t 2 P , P 1.已知 1 2 是直线 y 2 3 t ( t 为参数)上的两 2 点， 它们所对应的参数分别是 t1 , t2 ， 则线段 P1 P2
的中点 P 到 (1, 2) 的距离是( A. | t1 t2 | Ｂ. | t1 t2 |
二、新授
例题２如图所示，已知 AB, CD 是中心为点 O 的椭圆的两条相交弦， 交点为 P 与抛物线两 弦 AB, CD 与椭圆长轴的夹角分别为 1, 2 ， 且 1 2 .求证：| PA | | PB || PC | | PD |
| PA| | PB || PC | | PD |
选修4-4
2.2.3直线的参数方程
李吉文
一、复习
1.复习 经过点 M 0 ( x0 , y0 ) , 倾斜角为 ( ) 的
2
直线 l 的普通方程是 y y0 tan ( x x0 ) 该直线的参数方程为
x x0 t cos ( t 为参数) y y0 t sin
四川省2019春人教版数学选修4-4课后练 2.3 直线的参数方程 课末 Word版含答案
第二讲 2.3 1．直线的参数方程为Error!(t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )A ．B ． M 0M →MM 0→ C ．D ．以上都不是|M 0M → |解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2．直线Error!(a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B )A ．(－a ，b )B ．(－a ，－b )C ．(a ，－b )D ．(1，b a )解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．3．已知曲线C 1的参数方程是Error!(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为(，1)． 3解析：由Error!消去t 得y ＝x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝x (x ≥0)；由3333ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立Error!得Error!故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(，1)．34．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝.求l 的斜率．10解析：(1)将Error!代入(x ＋6)2＋y 2＝25得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，由Error!得l ：y ＝kx .联立Error!得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，12k 2＋111k 2＋1∴|AB |＝＝101＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·⇒k ＝±.1＋k 2(－12k 2＋1)2－4×11k 2＋1153。
数学人教A版选修4-4课后训练2-3 直线的参数方程 含解
三 直线的参数方程练习1若直线的参数方程为1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，则此直线的斜率为( )．B．C.3 D．3-2对于参数方程x 1t cos30y 2t sin30=-︒⎧⎨=+︒⎩和x 1t cos30,y 2t sin 30,=+︒⎧⎨=-︒⎩下列结论正确的是( )．A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1,2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1,2)的直线 3 直线x 23t,y 1t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )．A ．1C ．10 D．4下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )． A.x 1t,y 3t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数) B.x 1t,y 52t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数)C.x t,y 12t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数)D.x 2y 5⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)5与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程(其中t 为参数)是( )．A.2sin cos x t y t =⎧⎨=⎩B.2sec tan x ty t =⎧⎨=-⎩C.2tan 1tan x ty t=⎧⎨=-⎩D. x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩6已知直线l 1：13,24x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1,2)，则|AB |＝________.7过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线的参数方程为________．8直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为3π，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|＝__________.9求直线l 1：4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点到定点(4,3)的距离．10已知斜率为1的直线l 过椭圆24x ＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长度．参考答案1.答案：B直线的参数方程为1,23,x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化为标准形式()cos120,3()sin120x ty t⎧=-︒⎪⎨=+-︒⎪⎩(－t为参数)，∴直线的倾斜角为120°，斜率为2.答案：B∵参数方程1cos30,2sin30x ty t=-︒⎧⎨=+︒⎩可化为标准形式1cos150,2sin150,x ty t=+︒⎧⎨=+︒⎩∴其倾斜角为150°.同理，参数方程1cos30,2sin30x ty t=+︒⎧⎨=-︒⎩可化为标准形式1()cos150,2()sin150,x ty t=+-︒⎧⎨=+-︒⎩∴其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1,2)，故两直线重合．3．答案：B因为题目所给方程不是直线参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，=4.答案：C题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为12，所以可排除选项A，D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.5.答案：C原方程中x∈R，而选项A中x∈[－1,1]，选项D中x≥0，原方程中y＝1－x2≤1，选项B中y≤0，故选C.6.答案：52将13,24x ty t=+⎧⎨=-⎩代入2x－4y＝5，得t＝12，则B(52，0)．又A(1,2)，所以|AB|＝52.7.答案：3,12xy t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)8. 答案：1) 由题意可得直线l的参数方程为11,25x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －(5＋2t )－2＝0，解得t ＝－1)．根据 t 的几何意义可知|MM 0|＝1)．9. 答案：解：∵l 1的参数方程可化为424,323x t y t ⎧'==⎪⎪⎨⎪'==+⎪⎩(t ′为参数)．把l 1的参数方程的标准形式代入x ＋y －2＝0中，得4t ′＋3′－2＝0. 解得t ′＝ ∴|t ′|.由|t ′|的几何意义为交点到点(4,3)的距离， ∴所求的距离为|t ′|＝10．答案：解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为4π.椭圆24x ＋y 2＝1的右焦点为0)，直线l的参数方程为,2x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)，代入椭圆方程24x ＋y 2＝1，得22)2()42+＝1，整理，得5t 2＋－2＝0.设方程的两实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝t 1·t 2＝25-，|t 1－t 2|85==，所以弦AB 的长为85.。
高中数学人教A版选修4-4 2-3 直线的参数方程 测试教师
2.3 直线的参数方程（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、已知以t 为参数的直线方程为点M 0(-1,2)与M (x ,y )分别是曲线上的定点和动点,则t 的几何意义是( )A.t=·a (a =(1,0))B.t=·a (a =(1,0))C.|t|=||D.|t|=2【解析】由于所给参数方程表示直线参数方程的标准形式,所以t 的几何意义是|t|=||. 【答案】C2、下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 【答案】 C3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2【解析】 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即(2－5)2＋(－1－0)2＝10.【答案】 B4．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， ∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线． 【答案】 D5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝1－t 与曲线ρ＝2cos θ相交，截得的弦长为( )A.255B.355C.455D. 5【解析】 曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，表示以点(1,0)为圆心，半径长为1的圆，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝1－t 的一般式方程为x ＋2y －3＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|1＋2×0－3|12＋22＝255，因此直线与圆相交所得的弦长为21－d 2＝21－⎝⎛⎭⎫2552＝255.【答案】 A6．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16， ∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 【答案】 D二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 38．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．【解析】 由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，∴tan θ＝－43，即为直线斜率．【答案】 －439．直线⎩⎨⎧x ＝2－12ty ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【解析】 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22， 弦长的一半为22－⎝⎛⎭⎫222＝142，得弦长为14.【答案】1410、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)， ①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， ∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、在直角坐标系中，参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长．【答案】 3【解析】 参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32ty ＝12t(t 为参数)表示的直线l 是过点A (2,0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1,0)，半径为1，且圆C 也过点A (2,0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【答案】直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 【解析】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.13、已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．【答案】(1) 2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1 曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ即(ρcos θ)2＝ρsin θ， (2) 2【解析】 (1)直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，所以极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲线的普通方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0，∴t 1t 2＝2，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.。
数学人教A版选修4-4达标训练 第二讲三直线的参数方程
更上一层楼基础·巩固1下列可以作为直线2x －y+1=0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧+=+=ty tx 31(t 为参数) B.⎩⎨⎧-=+=t y t x 252(t 为参数)C.⎩⎨⎧-=-=t y t x 231(t 为参数)D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 5555522(t 为参数)思路解析：根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A 选项的斜率是1,B 选项的斜率是-2,C 选项的斜率是2,D 选项的斜率是21,所以只有C 符合条件,这里C 虽然不是标准式的参数方程,但是只有C 能化成2x-y+1=0.答案：C2已知直线l 的斜率为k=-1,经过点M 0(2,-1),点M 在直线上,以 M M 0的数量t 为参数,则直线l 的参数方程为_____________. 思路解析：∵直线的斜率k=-1,∴倾斜角α=43π.因此得cosα=22-,sinα=22.代入参数方程的标准形式即可.答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 221,222(t 为参数) 3直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角为3π,且交直线x-y-2=0于M 点,则|MM 0|=_________. 思路解析：直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235,211(t 为参数),代入方程x-y-2=0中得1+21t-(5+23t)-2=0⇒t=6(3-1). 根据t 的几何意义即得|MM 0|=6(3-1). 答案：6(3-1)4已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααcos 2sin 1t y t x (t 为参数),其中实数α的范围是(2π,π),则直线l的倾斜角是___________.思路解析：首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角. 答案：2π-α 5已知圆x 2+y 2=r 2及圆内一点A(a,b)(a 、b 不同时为零),求被A 平分的弦所在的直线方程. 思路分析：利用直线参数方程中参数t 的性质.所以,首先设出直线的参数方程,代入圆的方程,可以得到关于参数t 的二次方程,根据参数的性质可知,方程两根的和为0. 解：设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数),① ②代入圆的方程x 2+y 2=r 2,整理得t 2+2(acosθ+bsinθ)t+a 2+b 2-r 2=0. 设t 1、t 2为方程两根,∵A 是中点, ∴t 1+t 2=0,即acosθ+bsinθ=0. ①×a+②×b,得ax+by ＝a 2+b 2+t(acosθ+bsinθ)＝a 2+b 2, 故所求直线方程是ax+by=a 2+b 2.6下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t 2 26 22横坐标x 2-2 1 2-23 0 纵坐标y5+265+237根据数据,可知直线的参数方程是_________,转化为普通方程是(一般式)_________,直线被圆(x-2)2+(y-5)2=8截得的弦长为_________.思路解析：这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225,222(t 为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为24.答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225,222(t 为参数) x+y-7=0 24 7已知点A(3,0),点B 在单位圆x 2+y 2=1上移动时,求∠AOB 的平分线与AB 的交点的轨迹. 思路分析：本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用,要注意的是当点O\,A\,B 共线这种特殊情况的讨论.解：点B 在单位圆上,则可设B(cosθ,sinθ),∠AOB 的平分线与AB 的交点为P(x,y),则分||||OB OA PB AP ==3,又点P 在AB 上,由直线的参数方程得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,34sin ,334cos ,4sin 3,4cos 33y x y x θθθθ即 ∴(334-x )2+(34y )2=1.整理得(x-43)2+y 2=169. 特别地,如果点B 的坐标为(1,0),则∠AOB 的平分线与AB 交于线段AB 上任一点,P 点轨迹为线段BA;如果点B 的坐标为(-1,0),则∠AOB 的平分线与AB 交于点O.∴当点B 的坐标为(1,0)时,所求轨迹为线段BA;当点B 的坐标为(-1,0)时,所求轨迹为点O; 当点B 为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(43,0)为圆心,以43为半径的圆. 综合·应用8给出两条直线l 1和l 2,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在y 轴上的截距相等,那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下: l 1:⎩⎨⎧--=+=ty t x 24,22(t 为参数);l 2:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 224,223(t 为参数); l 3:⎩⎨⎧-=+=ty t x 1,1(t 为参数);l 4:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 228,226(t 为参数). 其中构成“孪生直线”的是__________________.(2)给出由参数方程表示的直线l 1:⎩⎨⎧+=+=1111sin ,cos ααt y y t x x (t 为参数),直线l 2:⎩⎨⎧+=+=2222sin ,cos ααt y y t x x (t为参数),那么,根据定义,直线l 1、直线l 2构成“孪生直线”的条件是_______________.思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y 轴的截距相等,也就是在y 轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y 轴上的截距.令x=0得出相应的t 值,代入y 可得只有直线l 1和直线l 4在y 轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y 轴上的截距,首先在l 1的参数方程中,令x=x 1+tcosα1=0,可得t=11cos a x -,代入得y=y 1-x 1tanα1.同理可得直线l 2在y 轴上的截距是y=y 2-x 2tanα2.由定义中的条件“截距相等”可得y 1-x 1tanα1=y 2-x 2tanα2,即y 1-y 2=x 1tanα1-x 2tanα2.如果把tanα1=-tanα2代入式子还可以进一步得到y 1-y 2=x 1tanα1+x 2tanα1,即y 1-y 2=(x 1+x 2)tanα1. 答案：（1）直线l 1和直线l 4（2）tanα1+tanα2=0且y 1-y 2=x 1tanα1-x 2tanα2〔也可以写出y 1-y 2=(x 1+x 2)tanα1〕 9已知抛物线方程：y=x 2-2x+43,过焦点F 作直线交抛物线于A 、B,且AF ∶FB=1∶2.求(1)直线AB 的方程;(2)弦AB 中点到抛物线准线的距离. 思路分析：由题目中的条件可知：利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从t 的几何意义来入手解题. 解：(1)由y=x 2-2x+43,得(x-1)2=y+41,∴焦点F （1,0）.可设直线AB:⎩⎨⎧=+=.sin ,cos 1ααt y t x 代入y=x 2-2x+43,∴t 2cos 2α-tsinα-41=0,由题意AF ∶FB=1∶2, ∴2121-=t t 或21t t=-2,即t 1=-21t 2或t 1=-2t 2.∴⎩⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+.2,21,222212212221221t t t t t t t t t t t t 或 ∴(t 1+t 2)2=-21t 1t 2或(t 1+t 2)2·(-2)=t 1t 2,解得tanα=±42. ∴AB:y=±42(x-1). (2)设AB 中点为M,AB:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙=∙+=,31,3221t y t x t m =21(t 1+t 2)=21·163cos sin 2=αα,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=161,821m m y x准线l:y=-21.∴d=y m -(-21)=169. 10过点M （2,1）的直线l 交椭圆C ：41622y x +=1于A 、B 两点,使点M 是AB 的一个三等分点,求直线方程.思路分析：本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法：把直线的参数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答. 解：设AB 方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),A 、B 两点对应的参数为t 1\,t 2,则t 1=-2t 2.则由t 1+t 2=-t 2,t 1t 2=-2t 22⇒t 1t 2=-2(t 1+t 2)2；联立C 与l 得(4sin 2α+cos 2α)t 2+(18sinα+4cosα)t -8=0. 故t 1+t 2=αααα22cos sin 4)cos 4sin 8(++-,t 1t 2=αα22cos sin 48+-, ∴tanα=-8±72=k.∴l 方程为y-1=(-8±72)(x-2).11已知AB 是半径为R 的圆O 的直径,CN 为平行于AB 的弦,M 为CN 的中点,求BM 、ON交点P 的轨迹方程.思路分析：求交点的轨迹方程问题,其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同,选择的参数不一样,则解题思路及消参方法自然不同.解：建立直角坐标系:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 中垂线为y 轴.(自行作图) 则B(R,0),设P(x,y), ∵CN ∥AB, ∴y m =y n .设M 纵坐标为参数t,则M(0,t),t ∈(-R,R),t≠0. 则N(22t R -,t),由点斜式得l ON :y=tR -21x,l BM :y=Rt-x+t. 由于动点P 是BM 、ON 的交点,故P 的坐标同时满足以上两个直线方程,两者联立消去参数t 得P 的轨迹方程为 y 2=-2R(x-2R )(0<x<2R,-R<y<R). 12给出一个参数方程⎩⎨⎧+=+=.sin 5,cos 2ααt y t x （1）如果分别以t,α为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是什么？请分别把它们转化为普通方程.(α为参数时,设t>0,t 为参数时,设α≠2π) (2)求上述直线截上述曲线所得的弦长.(3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长.思路分析：本题综合考查参数方程,直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参数方程的形式知:当t 为参数时,参数方程表示直线,当α为参数表示圆,且直线恰好过圆的圆心,所以弦长就是圆的直径.根据所给的参数方程不难得到一般结论,用算法表示弦长只需根据数据求出圆的直径,所以只需使用顺序结构即可.解：(1)以t 为参数时,所给参数方程表示的图形是过点(2,5)且斜率为tanα的直线,化为普通方程是y-5=tanα(x -2);以t 为参数时,参数方程表示以(2,5)为圆心,半径为t 的圆,化为普通方程是(x-2)2+(y-5)2=t 2. (2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为圆的直径2t. (3)根据上述计算过程可以总结出一般的结论为:对于一个参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (α为参数时,设t>0,t 为参数时,设α≠2π),如果分别以t,α为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是一条直线和一个圆,且直线过圆的圆心,所以直线截圆所得弦长是圆的直径2t.用基本语句写出表示弦长的算法如下: INPUT“参数t(t>0)”;t, d=2t,PRINT“所给参数方程表示的直线被圆截得的弦长是”;d, END.。
2017春人教版数学选修4-4课后练 2.4 渐开线与摆线 课后 Word版含答案
第二讲 2.4一、选择题1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )， 则x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．故选D ．2．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则基圆的直径为( B )A ．6B ．12C ．3D ．2解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B ．3．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)解析：将θ＝π代入参数方程得x ＝2(cos π＋πsin π)＝－2，y ＝2(sin π－πcos π )＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．4．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( A )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)解析：由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ)(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ(φ为参数)解析：由摆线产生的过程知，M 的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C ．6．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( C )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.二、填空题7．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (1－cos θ)，y ＝r (θ－sin θ)(θ为参数)．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ－φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.9．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )y ＝2(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 解析：对应点的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝⎛⎭⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝⎛⎭⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝⎛⎭⎫22－π4·22＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 三、解答题10．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．11．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解析：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)． 12．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M的坐标．解析：由摆线方程知 φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫10π＋336，12r ，⎝⎛⎭⎫12r (7π＋2)，r。
高中数学(人教版选修4-4)课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程 Word版含答案
课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程一、选择题．已知曲线的参数方程为(\\(＝＋，＝－))(是参数)，则曲线是( )．线段．双曲线的一支．圆．射线解析：选由＝－，得＋＝，代入＝＋，得－－＝(≥)．故曲线所表示的是一条射线．．直线(\\(＝＋，＝－＋))(为参数)上对应＝，＝两点间的距离是( )．．．解析：选因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数不具有几何意义，故不能直接由－＝来求距离，应将＝，＝分别代入方程得到两点坐标(，－)和()，由两点间距离公式来求出距离，即＝.．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程是(\\(＝＋，＝－))(为参数)，圆的极坐标方程是ρ＝θ，则直线被圆截得的弦长为( )．]．解析：选由(\\(＝＋，＝－))消去，得－－＝，：ρ＝θ⇒ρ＝ρθ，∴圆的普通方程为＋＝，即(－)＋＝，∴()，＝.∴点到直线的距离＝＝，∴所求弦长等于＝.故选.．若直线(\\(＝α，＝α))(为参数)与圆(\\(＝＋φ，＝φ))(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )或解析：选直线化为＝α，即＝α·，圆方程化为(－)＋＝，∴由α,(α＋))＝⇒α＝，∴α＝±，又α∈[，π)，∴α＝或.二、填空题．已知点()和点(－)在直线(\\(＝＋，＝－))(为参数)上，则它们所对应的参数分别为．答案：，－．若直线的参数方程为(\\(＝－()，＝()))(为参数)，则直线的斜率为．解析：由参数方程可知，θ＝－，θ＝(θ为倾斜角)．∴θ＝－，即为直线斜率．答案：－．已知直线：(\\(＝－，＝＋))(为参数)，：(\\(＝，＝－))(为参数)，若∥，则＝；若⊥，则＝.解析：将，的方程化为普通方程，得：＋－－＝，：＋－＝，∥⇒＝≠⇒＝.⊥⇒(－)·＝－⇒＝－.答案：－三、解答题．(福建高考)已知直线的参数方程为(\\(＝－，＝－))(为参数)，圆的参数方程为(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)．()求直线和圆的普通方程；()若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．解：()直线的普通方程为－－＝，圆的普通方程为＋＝.()因为直线与圆有公共点，故圆的圆心到直线的距离＝≤，解得－≤≤，即实数的取值范围是[－，]．．将曲线：＋＝上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线，为与轴正半轴的交点，直线经过点且倾斜角为°，记与曲线的另一个交点为，与曲线在第一、三象限的交点分别为，.()写出曲线的普通方程及直线的参数方程；()求－.解：()由题意可得：＋＝，对曲线，令＝，得＝，所以：(\\(＝＋(())，＝()))(为参数)．()将(\\(＝＋(())，＝()))代入＋＝，整理得＋－＝.设点，对应的参数分别为，，则＋＝－，且＝，＝－.又＝°＝，故－＝－(－)＝－＋＝＋＋＝.。
2017年秋【人教A版】选修4-4《2.3直线的参数方程》课件
的参 式称
为直线参数方程的标准形式，直线上的动点 M 到定点
栏 目
链
M0 的距离等于参数 t 的绝对值．当 t＞0 时，M→0M的方 接
向向上；当 t＜0 时，M→0M的方向向下；当点 M 与点
M0 重合时，t＝0.
2．若直线的参数方程为一般形式为：
可xy＝＝把yx它00＋＋化ba为tt，标准( t形为式参：数_xy)_＝＝，_y_x00_＋＋_t_t′′__sci_ons_αα_，___(.t′为参数)
代入 x2＋2y2＝1， 得(1＋sin2α)t2＋ 10tcos α＋23＝0.
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝21＋3sin2α.
又直线与曲线相交，
栏
目
链
则 Δ＝10cos2α－4×32·(1＋sin2α)≥0.
接
得 sin2α≤41.
而当 sin α＝21(0≤α＜π)，
栏
即 α＝π6或 α＝56π时，
第二讲 参数方程 2.3 直线的参数方程
栏 目 链 接
1.了解直线的几何性质，选择适当的 参数写出它
们的参数方程。
栏
目
2.举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方
链 接
程更方便，感受参数方程的优越性。
栏 目 链 接
数
方1程．为过_定__点_xy＝＝__Myx_00_0＋＋(_x_tt0sc_，ion_s_yαα0_)，_、__倾(_t_斜为__角参__数为__) α_，的这直一线形l
变式 训练
当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P
与直线的距离，则|PM|＝ 20＝2 5.
解法二 由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如上
2017春人教版数学选修4-4课件 2.3 直线的参数方程
(7sin2α＋9)t2＋(36cos α＋64sin α)t－44＝0
设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝－36c7ossinα2＋α6＋4s9in α＝0，∴tan α＝－196，
即直线 l 的斜率为－196.
第二十页，编辑于星期六：二点 五十九分。
【变式 3】
已知直线 l：xy＝＝1＋3＋12t，23t
求直线 l 的斜率．
• 思维导引：可设出直线l的参数方程代入曲线
C中，结合直线参数方程中参数的几何意义即
得．
第十九页，编辑于星期六：二点 五十九分。
解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为1x62＋y92＝1.
(2)设直线 l 的参数方程为：
x＝2＋tcos α， y＝2＋tsin α
(t 为参数)代入曲线 C 的方程中有
第十一页，编辑于星期六：二点 五十九分。
解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为1x22＋y42＝1，将左焦点 F(－2 2，0)代入直线
AB 的参数方程，得 m＝－2
x＝－2 2.直线 AB 的参数方程是
2＋ 22t，
y＝
2 2t
(t 为参数)，
代入椭圆方程得 t2－2t－2＝0，∴|FA|·|FB|＝2.
(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程． (2)若直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点，求角 α 大小．
• 思维导引：联立直线的参数方程与曲线的直 角坐标方程，由Δ＝0即可求得．
第十七页，编辑于星期六：二点 五十九分。
解析：(1)当 α＝π2时，l：x＝－1，当 α≠π2时， l：y＝(x＋1)·tan α，曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x. (2)将xy＝＝t－sin1＋α tcos α， 代入 x2＋y2＝2x 中整理 得 t2－4tcos α＋3＝0，由 Δ＝16cos2α－12＝0 得 cos2α＝34， ∴cos α＝ 23或 cos α＝－ 23，∴直线 l 的倾斜角为π6或56π.
最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：2.3直线的参数方程 Word版含解析.doc
课后训练1．已知P 1，P 2是直线11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是( )．A ．12||||2t t + B ．12||2t t + C ．12||2t t - D ．12||||||2t t - 2．若直线的参数方程为13,2332x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则此直线的斜率为( )．A ．3B ．3- 3．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为( )．A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)4．设直线的参数方程为53,104x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线的普通方程为__________． 5．直线13,:1x t l y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)上的点P (－4,13-)到l 与x 轴交点间的距离是________．6．直线3,1x t y t=-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线y ＝x 相交，则交点到点(3,1)的距离为__________． 7．经过点P (1,0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为________．8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为,2x t y m t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？ 9．已知斜率为1的直线l 过椭圆22+=14x y 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.参考答案1. 答案：B解析：由t 的几何意义可知，P 1P 2的中点对应的参数为122t t +，P 对应的参数为t ＝0，∴它到点P 的距离为12||2t t +. 2. C ．33 D ．33- 答案：B解析：直线的参数方程为13,233,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化为标准形式3cos120,3sin120x t y t ⎧=+(-)︒⎪⎨=+(-)︒⎪⎩(－t 为参数)，∴直线的倾斜角为120°，斜率为3-.3. D ．(2－2，2＋2)答案：D解析：曲线2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩即为圆(x －2)2＋y 2＝1．直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1， 即|2|<12b -， ∴22<<2+2b -. 4. 答案：4x ＋3y －50＝0解析：把53x t -=代入y 的表达式，得45103x y (-)=-，化简得4x ＋3y －50＝0. 5. 答案：232－解析：在直线13,:1x t l y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩中令y ＝0，得t ＝－1．故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． ∴222||=13413431=232PQ (--+)+(-)=(-)-. 6. 答案：2解析：两直线相交时，可求得t ＝1，故交点坐标为(2,2)，它到点(3,1)的距离为2.7. 答案：172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：设直线的倾斜角为α.由直线的斜率为34，得cos α＝45，sin α＝35.又直线过点P (1,0)，则直线的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝x ，得234=1+55t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即9t 2－20t －25＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 中点M 的相应参数是121029t t t +==， 所以点M 的坐标是172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. 解：由题知椭圆的标准方程为22+=14y x ．由直线l 的参数方程,2x t y m t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 得55,5255,5x t y m t ⎧=()⎪⎪⎨⎪=+()⎪⎩令5t't =，则得直线的参数方程的标准形式55255x t'y m t'⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(t ′为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m )的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t ′2＋45mt'＋5m 2－20＝0.设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则根据根与系数的关系，有t 1′＋t 2′＝52m -，t 1′·t 2′＝25208m -. ∴弦长为22125520||=4648m m t 't '---⋅=， ∴2165m =，解得45±5m =. 9. 解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4. 椭圆22+=14x y 的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为23,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入椭圆方程22+=14x y ，得222322=142t t ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭， 整理，得5t 2＋26t －2＝0.设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 12265t t +=-，1225t t ⋅=-， 2121212||=4t t t t t t -(+)- 22688555⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以弦AB 的长为85. 10. 解法一：(1)由25sin ρθ=，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223=522t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2324=0t t -+.由于△＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根． 所以121232,4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32.解法二：(1)同解法一．(2)因为圆C 的普通方程为x 2＋(y －5)2＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5. 由2255,35,x y y x ⎧+(-)=⎪⎨=-++⎪⎩得x 2－3x ＋2＝0. 解得1,25x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩或2,1 5.x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩ 不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝222=32+.。
2017春人教版数学选修4-4课后练 2.4 渐开线与摆线 课末 Word版含答案
第二讲 2.41．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ＋φsin φ)(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数) 解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，可知选D ．2．已知摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D ．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为 (2π－4,4)或(6π＋4,4)．解析：由题设得4＝4(1－cos φ)，∴cos φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ 1＝π2，φ 2＝3π2，对应的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4⎝⎛⎭⎫π2－1＝2π－4，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝6π＋4，y 2＝4，即(2π－4,4)或(6π＋4,4)． 4．当φ＝π2，φ＝3π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点A ，B ，并求出A ，B 两点间的距离．解析：将φ＝π2，φ＝3π2分别代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.所以A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B ⎝⎛⎭⎫－3π2，－1. 因此|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋3π22＋(1＋1)2＝2π2＋1. 故A ，B 两点间的距离为2π2＋1.。
高中数学 第2讲 参数方程 3 直线的参数方程课后练习 新人教A版选修44
2016-2017学年高中数学 第2讲 参数方程 3 直线的参数方程课后练习 新人教A 版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－4＋3t(t 为参数)，下列命题中错误的是( )A ．直线经过点(7，－1)B ．直线的斜率为34C ．直线不过第二象限D ．|t |是定点M 0(3，－4)到该直线上对应点M 的距离解析： 直线的普通方程为3x －4y －25＝0.由普通方程可知，A 、B 、C 正确，由于参数方程不是标准式，故|t |不具有上述几何意义，故选D.答案： D2．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t y ＝－2＋32t 表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1,2)且倾斜角为π3的直线 C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1,2)且倾斜角为2π3的直线 解析： 化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12ty ＝－2＋32t 为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3.答案： C3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 10°y ＝2－t cos 10°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．10°B ．80°C ．100°D ．170°解析： 消参数t ，得y －2x ＋1＝－cos 10°sin 10°＝＋＋＝tan 100°.∴直线的倾斜角为100°. 答案： C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(4,0)解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝6.因此中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×6，y ＝－33＋32×6∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点P ()－3，0且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 长为________．解析： 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A ，B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10， |AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.答案： 2176．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，设l 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于两点A ，B ，则点P 到A ，B 两点的距离之积为________．解析： 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4， 把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s 2＋1s2－2，y ＝2s －2s(参数为s )，过抛物线C 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，交抛物线C 于A ，B .(1)将抛物线化为普通方程，并写出直线l 以t 为参数的参数方程； (2)若AF →＝3FB →，求倾角α.解析： (1)x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫s －1s 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22，所以抛物线y 2＝4x ，l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α.(2)t 2sin 2α＝4＋4t cos α， 即t 2sin 2α－4t cos α－4＝0.记A (t 1)，B (t 2)则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝－3t 2，t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，消去t 1，t 2，得3⎝⎛⎭⎪⎫2cosαsin 2α2＝4sin 2α， tan 2α＝3，故tan α＝3，所以α＝π3.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解析： (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.9．(10分)直线y ＝mx (m ＞0)与抛物线y ＝x 2－2x ＋2交于A 、B 两点，在线段AB 上有动点P ，使|OA |、|OP |、|OB |的倒数成等差数列，求点P 的轨迹方程．解析： 设直线y ＝mx 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，m ＝tan α)．∵m ＞0，∴α为锐角．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α代入y ＝x 2－2x ＋2并整理得t 2cos 2α－(2cos α＋sin α)t ＋2＝0(*)设方程(*)的两根分别为t 1、t 2，动点P 在直线上对应的参数为t ，由2|OP |＝1|OA |＋1|OB |得2|t |＝1|t 1|＋1|t 2|. ∵A 、P 、B 三点在原点O 的上方， ∴t 1＞0，t ＞0，t 2＞0， ∴t ＝2t 1t 2t 1＋t 2＝42cos α＋sin α. 设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α2cos α＋sin α ①y ＝4sin α2cos α＋sin α ②由①×2＋②得2x ＋y ＝4， 即2x ＋y －4＝0. 又∵(*)的判别式Δ＝4cos 2α＋4sin αcos α＋sin 2α－8cos 2α＞0， 且α为锐角，即得tan α＞22－2. 由①得1x ＝12＋14tan α＞22，则0＜x ＜ 2.∴点P 的轨迹方程是2x ＋y －4＝0(0＜x ＜2)．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125， ∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6， ∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)，以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点． (1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6， ∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43， 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43， cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254. 由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516， 将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋(－12)(－t )，y ＝2＋32(－t ).答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎨⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即(2－5)2＋(－1－0)2＝10.答案：B4．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t(t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22(－t )，y ＝－3＋22(－t )，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)． ∴tan θ＝－43，即为直线斜率． 答案：－437．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4. l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4(x －5)3， 化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，1整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25， |t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85，所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
新人教A版选修4-4《直线的参数方程》习题及答案
2．3 直线的参数方程►预习梳理1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为__________________，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)， 可把它化为标准形式：__________________________．其中α是直线的________，tan α＝________，此时参数t ′才有如前所说的几何意义．►预习思考经过点M 0(1，5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为：____________________________．预习梳理 1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos α，y ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数) 倾斜角 ba预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)一层练习1．以t 为参数的直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2＋32t ，M 0(－1，2)，M (x ，y )是曲线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．M 0MB ．MM 0C ．|M 0M |D ．2 2 1．A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2 2.B3．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3－2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)3.C4．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t为参数)，则它的斜截式方程为____________________．4．y ＝3x ＋3－2 3 二层练习5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于 ( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135° 5．D6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 6.D7．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则点(3，6)到该直线的距离是________．7.2017178．(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．8．1三层练习9．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．9．－610．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．10.－111．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________________________________________________________________________．11．4 112．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．2.2个13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为________．13.45514．如图，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝____________．14．解析：设直线上的任一点为P (ρ，θ)，因为α＝π6，所以∠OPM ＝π6－θ，根据正弦定理得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，即ρ＝2 sin5π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.答案：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ15．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求|PQ |的最小值．15．解析：曲线C 的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.直线l 的方程为x －y －4＝0.所以，圆心到直线l 的距离d ＝|－2－4|2＝3 2.所以，|PQ |的最小值为32－2.16．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)和圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．16．解析：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. 点A 的坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，点P 轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)． 点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．1．直线的参数方程的形式有多种，其中参数t 不都具有明确的几何意义． 2．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程一般写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t是参数)．其中参数t 具有明确的意义，在解题中注意应用． 3．直线参数方程的应用．直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义．4．一般涉及弦长问题，均可把直线设为参数方程的标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)只要满足a 2＋b 2＝1，也是标准形式．【习题2.3】1．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程中的x ，y 代入x －y －23＝0得t ＝－(10＋63)．所以直线l 与直线x －y －23＝0的交点到点M 0的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将直线l 的参数方程中的x ，y 代入x 2＋y 2＝16得t 2＋(1＋53)t ＋10＝0.设上述方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－(1＋53)，t 1t 2＝10.可知t 1，t 2均为负值，所以|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1＋5 3.所以两个交点到点M 0的距离的和为1＋53，积为10.2．解析：设过点P (2，0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得cos α＝35，sin α＝45.所以直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，代入y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0.中点M 的相应参数是t ＝t 1＋t 22＝1516，所以点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.3．解析：设过点M (2，1)的直线AB的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入双曲线方程，整理得(cos 2α－sin 2α)t 2＋2(2cos α－sin α)·t ＋2＝0.设t 1，t 2为上述方程的两个根，则t 1＋t 2＝－4cos α－2sin αcos 2 α－sin 2α.因为点M 是线段AB 的中点，由t 的几何意义可知t 1＋t 2＝0，所以4cos α－2sin α＝0.于是得到k ＝tan α＝2.因此，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.4．解析：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2px 得到t 2－22(4＋p )t ＋8(4＋p )＝0.由根与系数的关系得到t 1＋t 2＝22(4＋p )，t 1t 2＝8(4＋p )．因为|M 1M 2|2＝|AM 1|·|AM 2|，所以(t 1－t 2)2＝|t 1|·|t 2|＝t 1t 2，即(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，所以[22(4＋p )]2＝5×8(4＋p )，即4＋p ＝5，即p ＝1.。
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第二讲 2.3
1．直线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－1＋t 2，y ＝2－32
t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )
A ．M 0M →
B ．MM 0→
C ．||M 0M →
D ．以上都不是 解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．
2．直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B ) A ．(－a ，b )
B ．(－a ，－b )
C ．(a ，－b )
D ．⎝⎛⎭
⎫1，b a 解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．
3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3
(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝1故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(3，1)． 4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10.求l 的斜率．
解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2＝25 得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)设直线l 的斜率为k ， 由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α得l ：y ＝kx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，(x ＋6)2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0 ∴x 1＋x 2＝－12k 2＋1，x 1x 2＝11k 2＋1
， ∴|AB |＝10＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k ＝±153.。