2011届湖南地区高三数学第一轮复习 7.4等差与等比的综合学案(学生版)
2011届高三数学一轮复习教案---数列
数列1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式,并能解决简单的实际问题.项和公式,并能解决简单的实际问题.数列基础知识定义项,通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n 项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点.从解题思想方法的规律着眼,主要有:① 方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、等比数列中的“知三求二”问题;② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用.第1课时 数列的概念1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N *或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a 1,a 2,…,a n …,简记为{a n },其中a n 是数列{a n }的第 项.2.数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式a n =f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.3.在数列{a n }中,前n 项和S n 与通项a n 的关系为:=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4.求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n 的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n 的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例1. 根据下面各数列的前n 项的值,写出数列的一个通项公式.⑴ -312⨯,534⨯,-758⨯,9716⨯…;⑵ 1,2,6,13,23,36,…;⑶ 1,1,2,2,3,3,解: ⑴ a n =(-1)n)12)(12(12+--n n n ⑵ a n =)673(212+-n n (提示:a 2-a 1=1,a 3-a 2=4,a 4-a 3=7,a 5-a 4=10,…,a n -a n -1=1+3(n -2)=3n -5.各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+-=--+=-++++++=n n n n n a n ⑶ 将1,1,2,2,3,3,…变形为,213,202,211+++,,206,215,204 +++∴4)1(1222)1(111++-++=-++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0,2,0,2,则以下各式:① a n =22[1+(-1)n ] ② a n =n )(11-+③ a n =⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 ( )A .① B .①② C .②③ D .①②③解:D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ,求通项.⑴ S n =3n -2⑵ S n =n 2+3n +1解 ⑴ a n =S n -S n -1 (n≥2) a 1=S 1解得:a n =⎩⎨⎧=≥⋅-)1(1)2(321n n n ⑵ a n =⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2:已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n -1)=n ,(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为 .解:,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n =1时,a 1=S 1=11;当n≥2时,a n =S n -S n -1=10n -10n -1=9·10 n -1.故a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n 例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系,探求其通项公式.⑴ a 1=1,a n =2a n -1+1 (n≥2)⑵ a 1=1,a n =113--+n n a (n≥2)⑶ a 1=1,a n =11--n a nn (n≥2)解:⑴ a n =2a n -1+1⇒(a n +1)=2(a n -1+1)(n≥2),a 1+1=2.故:a 1+1=2n ,∴a n =2n -1.⑵a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=3n -1+3n -2+…+33+3+1=)13(21-n .(3)∵n n a a n n 11-=-∴a n =⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅-- 变式训练3.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=22+n na a (n ∈N *),求该数列的通项公式.解:方法一:由a n +1=22+n n a a得21111=-+n n a a ,∴{n a 1}是以111=a 为首项,21为公差的等差数列.∴na 1=1+(n -1)·21,即a n =12+n 方法二:求出前5项,归纳猜想出a n =12+n ,然后用数学归纳证明.例4. 已知函数)(x f =2x -2-x ,数列{a n }满足)(log 2n a f =-2n ,求数列{a n }通项公式.解:na f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a nn 21-=-得nn a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1=5.前n 项和为S n 且S n +1=2S n +n +5(n ∈N *).(1) 证明数列{a n +1}是等比数列;(2) 令f (x)=a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,求函数f (x)在点x =1处导数f 1 (1).解:(1) 由已知S n +1=2S n +n +5,∴ n≥2时,S n =2S n -1+n +4,两式相减,得:S n +1-S n =2(S n -S n -1)+1,即a n +1=2a n +1从而a n +1+1=2(a n +1)当n =1时,S 2=2S 1+1+5,∴ a 1+a 2=2a 1+6,又a 1=5,∴ a 2=11∴111+++n n a a =2,即{a n +1}是以a 1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n =3×2n -1 ∵ )(x f =a 1x +a 2x 2+…+a n x n∴ )('x f =a 1+2a 2x +…+na n x n -1从而)1('f =a 1+2a 2+…+na n =(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n -1)=3(2+2×22+…+n×2n )-(1+2+…+n)=3[n×2n +1-(2+…+2n )]-2)1(+n n =3(n -1)·2n +1-2)1(+n n +61.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.2.由S n 求a n 时,用公式a n =S n -S n -1要注意n≥2这个条件,a 1应由a 1=S 1来确定,最后看二者能否统一.3.由递推公式求通项公式的常见形式有:a n +1-a n =f(n),nn a a 1+=f(n),a n +1=pa n +q ,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).第2课时 等差数列1.等差数列的定义: - =d (d 为常数).2.等差数列的通项公式:⑴ a n =a 1+ ×d ⑵ a n =a m + ×d3.等差数列的前n 项和公式:S n = = .4.等差中项:如果a 、b 、c 成等差数列,则b 叫做a 与c 的等差中项,即b = .5.数列{a n }是等差数列的两个充要条件是:⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n =pn +q(p, q ∈R)⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n =an 2+bn (a, b ∈R)6.等差数列{a n }的两个重要性质:⑴ m, n, p, q ∈N *,若m +n =p +q ,则 .⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成 数列.例1. 在等差数列{a n }中,(1)已知a 15=10,a 45=90,求a 60; (2)已知S 12=84,S 20=460,求S 28; (3)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8.解:(1)方法一:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60=a 1+59d =130. 方法二:3815451545=--=--=a a m n a a d m n ,由a n =a m +(n -m)d ⇒a 60=a 45+(60-45)d =90+15×38=130. (2)不妨设S n =An 2+Bn ,∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n =2n 2-17n∴S 28=2×282-17×28=1092 (3)∵S 6=S 5+a 6=5+10=15,又S 6=2)10(62)(6161+=+a a a ∴15=2)10(61+a 即a 1=-5而d =31616=--aa ∴a 8=a 6+2 d =16S 8=442)(881=+a a变式训练1.在等差数列{a n }中,a 5=3,a 6=-2,则a 4+a 5+…+a 10= . 解:∵d =a 6-a 5=-5,∴a 4+a 5+…+a 10=49)2(72)(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1=2a ,a n =2a -12-n a a (n≥2).其中a 是不为0的常数,令b n =aa n -1.⑴ 求证:数列{b n }是等差数列. ⑵ 求数列{a n }的通项公式. 解:∵ ⑴ a n =2a -12-n a a (n≥2) ∴ b n =)(111112a a a a a a a aa n n n n -=-=---- (n≥2)∴ b n -b n -1=aa a a a a a n n n 11)(111=------ (n≥2)∴ 数列{b n }是公差为a1的等差数列. ⑵ ∵ b 1=aa -11=a 1 故由⑴得:b n =a 1+(n -1)×a 1=a n 即:aa n -1=a n 得:a n =a(1+n 1)变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=,且11=a ,(1)判断{}n a 是何种数列,并给出证明; (2)若11+=n n n a a C ,求数列{}n C 的前n 项和解:1)1111333,13n n n na a a n n n a nb a a b ++-++===∴-=,即 {}n a 为等差数列。
高三 一轮复习 等比数列 教案
等比数列及其前n 项和1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n =q .(2)等比中项:如果a 、G 、b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即:G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.(2)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q ,q ≠1.1.在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形导致解题失误. [试一试]1.在1和9之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为________.2.(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________.1.等比数列的三种判定方法(1)定义:a n +1a n=q (q 是不为零的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(2)通项公式:a n =cq n -1(c 、q 均是不为零的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(3)等比中项法:a 2n +1=a n ·a n +2(a n ·a n +1·a n +2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. 2.等比数列的常见性质(1)若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k ;(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列;(3)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为q k ;(4)公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,当公比为-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 不一定构成等比数列. 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量:a 1,q ,n ,a n ,S n ,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a 1与q ,在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组,是解题的关键.(2)分类讨论思想:在应用等比数列前n 项和公式时,必须分类求和,当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q ;在判断等比数列单调性时,也必须对a 1与q 分类讨论.[练一练]1.(2010·江苏高考)函数y =x 2(x >0)的图像在点(a k ,a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,其中k ∈N *.若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是________.2.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列,则在{a n +a n +1},{a n +1-a n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n +1,{na n }这四个数列中,是等比数列的有________个. 答案:3考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{a n }中,若a 2=-2,a 6=-32,则a 4=________.2.(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中,公比q >1,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则a 2 013+a 2 014a 2 011+a 2 012=________.3.设等比数列{a n}的公比q<1,前n项和为S n,已知a3=2,S4=5S2,求{a n}的通项公式.[类题通法]1.对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用.2.在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论.考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n+S n=n.(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.在本例条件下,若数列{b n}满足b1=a1,b n=a n-a n-(n≥2), 证明{b n}是等比数列.1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. [针对训练]已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=a (a ≠0),a n +2=p ·a 2n +1a n(其中p 为非零常数,n ∈N *).(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1a n 是不是等比数列; (2)求a n .考点三等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7=-8,则a 2a 8=________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m -3=4且a m a m -4=a 24(m ∈N *且 m >4),则a 1a 5的值为________.等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. [针对训练]1.(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中,a 1+a 2=12,a 3+a 4=1,则a 7+a 8+a 9+a 10=________.2.(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0,a 2=1,a m +2+a m +1=6a m ,则{a n }的前4项和是________.[课堂练通考点]1.(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q =-12,S n 为其前n 项和,则S 4a 4=________.2.(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中,a 3a 11=16,则log 2a 2+log 2a 12=________.3.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1+2a 2=3,a 24=4a 3a 7,则数列{a n }的通项公式为________.4.已知数列{a n }是等比数列,a 1,a 2,a 3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又11。
高中数学教案等差数列与等比数列
等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用:主要用于证明或判断有关数列为等差(或等比)数列.2.等差数列的通项公式,前几项和公式及其应用:求;求;解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式,前n项和及其应用:求;求;解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的(小)综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用:解决有关问题时,提高洞察能力,简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目:以高中档试题出现,重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。
二、知识要点(一)、等差数列1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.认知:{}为等差数列- =d(n∈N※且d为常数) - =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列{}为等差数列的主要依据.2.公式(1)通项公式: = +(n-1)d:引申: = +(n-m)d (注意:n=m+(n-m) )认知:{}为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )(2)前n项和公式: = 或 =n +认知:{}为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1){}为递增数列 d>0; {}为递减数列 d<0; {}为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列{}的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.(二)等比数列1、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.认知:(1){}为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2,n∈N※且q为非零常数)(2){}为等比数列(n≥2,且≠0 ) (n ※,且≠0)2.公式(1)通项公式: = ;引申: = (注意:n=m+(n-m) )认知:{}为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数,且n )(2)前n项和公式认知:{}为等比数列 =A +B (其中n ,且A+B=0).3.主要性质:(1)设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; (2)2m=p+q即在等比数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等比数列.(3)设 , , ,……分别表示等比数列的前n项和,次n项和,再次n项和,……,则 , , ,……依次成等比数列。
等差和等比数列的综合应用教案
教学过程一、复习预习师:这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式,解决一些等差、数比数列的综合问题.(请学生叙述公式的内容并写在黑板上)生甲:等差、等比数列的通项公式分别是an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1.生丙:等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示,即生丁:如果m,n,p,q都是自然数,当m+n=p+q时,那么在等差数列中有:am+an=ap+aq,在等比数列中有:am·an=ap·aq.师;在上述公式中,涉及到a1,n,d(q),an,Sn五个量,运用方程思想,已知其中三个量,就可以求另外两个量.二、知识讲解考点1:等差数列{an}的性质(1)am=ak+(m -k )d ,d=k m a a km --.(2)若数列{an}是公差为d 的等差数列,则数列{λan+b}(λ、b 为常数)是公差为λd的等差数列;若{bn}也是公差为d 的等差数列,则{λ1an+λ2bn}(λ1、λ2为常数)也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.(3)下标成等差数列且公差为m 的项ak ,ak+m ,ak+2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.(4)若m 、n 、l 、k ∈N*,且m+n=k+l ,则am+an=ak+al ,反之不成立. (5)设A=a1+a2+a3+…+an ,B=an+1+an+2+an+3+…+a2n ,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n ,则A 、B 、C 成等差数列.(6)若数列{an}的项数为2n (n ∈N*),则S 偶-S 奇=nd ,奇偶S S =n n aa 1+,S2n=n (an+an+1)(an 、an+1为中间两项);若数列{an}的项数为2n -1(n ∈N*),则S 奇-S 偶=an ,奇偶S S =n n 1-,S2n -1=(2n-1)an (an 为中间项).考点2:等比数列{an}的性质(1)am=ak·qm-k.(2)若数列{an}是等比数列,则数列{λ1an}(λ1为常数)是公比为q的等比数列;若{bn}也是公比为q2的等比数列,则{λ1an·λ2bn}(λ1、λ2为常数)也是等比数列,公比为q·q2.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等比数列,公比为qm.(4)若m、n、l、k∈N*,且m+n=k+l,则am·an=ak·al,反之不成立.(5)设A=a1+a2+a3+…+an,B=an+1+an+2+an+3+…+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n,则A、B、C成等比数列,设M=a1·a2·…·an,N=an+1·an+2·…·a2n,P=a2n+1·a2n+2·…·a3n,则M、N、P也成等比数列.考点3:用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列,∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d≠0时,an是n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的若干个点.当d>0时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;同理,d=0时,函数是常数函数,对应的数列是常数列;d<0时,函数是减函数,对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn,则Sn=pn2+qn(p、q∈R).当p=0时,{an}为常数列;当p≠0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列:an=a1qn-1.可用指数函数的性质来理解.当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列是递增数列;当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列.当q=1时,是一个常数列.当q<0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.三、例题精析【例题1】.等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“对于任意自然数n,都有an+1>an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当a1<0时,条件与结论均不能由一方推出另一方.【例题2】已知数列{a n}满足a n+2=-a n(n∈N*),且a1=1,a2=2,则该数列前2002项的和为A.0B.-3C.3D.1【答案】C【解析】由题意,我们发现:a1=1,a2=2,a3=-a1=-1,a4=-a2=-2,a5=-a3=1,a6=-a4=2,…,a2001=-a1999=1,a2002=-a2000=2,a1+a2+a3+a4=0.∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.四、课堂运用【基础】1.若关于x 的方程x 2-x +a =0和x 2-x +b =0(a ≠b )的四个根可组成首项为41的等差数列,则a +b 的值是 A.83B.2411C.2413D.7231【答案】D【解析】依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4,公差为d ,其中a 1=41,即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3,所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43,d =61,于是a 2=125,a 3=127.故a +b =a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231.2.在等差数列{a n}中,当a r=a s(r≠s)时,数列{a n}必定是常数列,然而在等比数列{a n}中,对某些正整数r、s(r≠s),当a r=a s时,非常数列{a n}的一个例子是___________________.【答案】a,-a,a,-a…(a≠0)【解析】只需选取首项不为0,公比为-1的等比数列即可.【巩固】1.等差数列{a n}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于___________________.【答案】4【解析】设a1,a3,a11成等比,公比为q,a3=a1·q=2q,a11=a1·q2=2q2.又{a n}是等差数列,∴a11=a1+5(a3-a1),∴q=4.2、已知{a n}是等比数列,a1=2,a3=18;{b n}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n的公式;(3)设P n=b1+b4+b7+…+b3n-2,Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,试比较P n与Q n的大小,并证明你的结论.【答案】见解析【解析】(1)设{a n }的公比为q ,由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9,q =±3. 当q =-3时,a 1+a 2+a 3=2-6+18=14<20, 这与a 1+a 2+a 3>20矛盾,故舍去.当q =3时,a 1+a 2+a 3=2+6+18=26>20,故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ,由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2,解得d =3,所以b n =3n -1. (2)S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n .(3)b 1,b 4,b 7,…,b 3n -2组成以3d 为公差的等差数列, 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2-25n ; b 10,b 12,b 14,…,b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列,b 10=29,所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n -Q n =(29n 2-25n )-(3n 2+26n )=23n (n -19).所以,对于正整数n ,当n ≥20时,P n >Q n ; 当n =19时,P n =Q n ; 当n ≤18时,P n <Q n .【拔高】1、已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b mc +…+nn nb mc 1 =(n+1)an+1成立,其中m 为不等于零的常数,求数列{cn}的前n 项和Sn.【答案】(1)a n =2n -1(n =1,2,3,…),b n =3n -1(n =1,2,3,…).(2)S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m m【解析】(1)由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2,整理得2a 1d =d 2.∵a 1=1,解得d =2(d =0不合题意舍去), ∴a n =2n -1(n =1,2,3,…).由b 2=a 2=3,b 3=a 5=9,易求得b n =3n -1(n =1,2,3,…). (2)当n =1时,c 1=6; 当n ≥2时,nn n b mc 1-=(n +1)a n +1-na n =4n +1,∴c n =(4n +1)m n -1b n =(4n +1)(3m )n -1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1,即m =31时, S n =6+9+13+…+(4n +1)=6+2)149)(1(++-n n=6+(n -1)(2n +5)=2n 2+3n +1. 当3m ≠1,即m ≠31时, S n =c 1+c 2+…+c n ,即S n =6+9·(3m )+13·(3m )2+…+(4n -3)(3m )n -2+(4n +1)(3m )n -1.①3mS n =6·3m +9·(3m )2+13·(3m )3+…+(4n -3)(3m )n -1+(4n +1)(3m )n .② ①-②得(1-3m )S n =6+3·3m +4·(3m )2+4·(3m )3+…+4·(3m )n -1-(4n +1)(3m )n =6+9m +4[(3m )2+(3m )3+…+(3m )n -1]-(4n +1)(3m )n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42---(4n +1)(3m )n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m mcb d a cba c bc a c b a cad a a cd cd d c c d cdd c cd d c >∴>>>>∴>>>>>∴>>>∴>-=-∴>>->∴>>,0d 21)2(,0,01,0)1(,0,0,011,011,01,0,0,0)得)(由(又又课程小结等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,这样,任何问题都不能把我们难倒.课后作业【基础】1.在等比数列{a n }中,a 5+a 6=a (a ≠0),a 15+a 16=b ,则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2ab【答案】C【解析】 由等比数列的性质得三个和成等比数列,由等比中项公式可得选项为C. 【巩固】2.若数列x ,a 1,a 2,y 成等差数列,x ,b 1,b 2,y 成等比数列,则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.【答案】[4,+∞)或(-∞,0]【解析】在等差数列中,a 1+a 2=x +y ;在等比数列中,xy =b 1·b 2.∴21221)(b b a a ⋅+=y x y x ⋅+2)(=y x y xy x ⋅++222=y x +x y +2.当x ·y >0时,y x +x y≥2,故21221)(b b a a ⋅+≥4;当x ·y <0时,y x +x y≤-2,故21221)(b b a a ⋅+≤0.答案:[4,+∞)或(-∞,0]【拔高】3.已知数列{a n }中,a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +(21)n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1-21a n .(1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.【答案】见解析【解析】(1)证明:b n =a n +1-21a n =[31a n +(21)n +1]-21a n =(21)n +1-61a n ,b n +1=(21)n +2-61a n +1=(21)n +2-61[31a n +(21)n +1]=21·(21)n +1-181a n -61·(21)n +1=31·(21)n +1-181a n =31·[(21)n +1-61a n ], ∴n n b b 1+=31(n =1,2,3,…). ∴{b n }是公比为31的等比数列. (2)解:∵b 1=(21)2-61a 1=41-61·65=91,∴b n =91·(31)n -1=(31)n +1.由b n =(21)n +1-61a n ,得(31)n +1=(21)n +1-61a n ,解得a n =6[(21)n +1-(31)n +1].5.设{a n }为等比数列,a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.解:设公差为d ,公比为q ,由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,21,4242q d q d∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22,83q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.22,83q d ∴S 10=10+2910⨯(-83)=-855. 当q =22时,T 10=32)22(31+;当q =-22时,T 10=32)22(31-.=a +b ab -2ab2a +b=ab a -b 2a +b>0,∴C >D ,∴A >B >C >D .。
2019-2020学年高三数学第一轮复习 7.4等差与等比的综合学案(老师版).doc
2019-2020学年高三数学第一轮复习 7.4等差与等比的综合学案(老师版)一、学习目标:等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习: 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2.等比数列}{n a 中,233,9a a ==,若243=k a ,则k 等于( C )(A )4 (B )5 (C )6 (D )42直面考点:1)等比数列的定义;2)等比数列的通项公式。
略解:6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3.若数列{}n a (N n ∈*)是等差数列,则有数列12nn a a a b n+++=(N n ∈*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列n {c }是等比数列,且n c >0(N n ∈*),则有n d=N n ∈*)也是等比数列.4.设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和,若对任意*n N ∈,都有71427n n S n T n +=+ ,则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43. 说明:2121n n n n a S b T --=. 【考点梳理】1.基本量的思想:常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读:“知三求二”。
2.等差数列与等比数列的联系1)若数列{}n a 是等差数列,则数列}{n aa 是等比数列,公比为da ,其中a 是常数,d 是{}n a 的公差。
(a>0且a ≠1);2)若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列,公差为log a q ,其中a 是常数且0,1a a >≠,q 是{}n a 的公比。
3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
高考数学第一轮复习第三章 数列第四课时等差数列与等比数列的综合问题教案 人教版
高考数学第一轮复习第三章 数列第四课时等差数列与等比数列的综合问题教案 教学目的:知识目标:运用等差数列和等比数学的知识解决一些综合问题能力目标:能综合运用等差数列、等比数列的概念.通项公式、前n 项和公式和性质解决一些问题.情感目标:增强学生的运用意识教学重点:等差数列和等比数列的综合运用。
教学难点:等差数列和等比数列的综合运用教学方法:数列历来是高考考查的重点内容之一,近年来,高考中数列问题已逐步转向多元化,命题中含有复合数列形式屡见不鲜.要熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于把非等差、非等比问题转化为等差、等比数列来处理.化归法将作为课堂的重点方法介绍。
学法指导:等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题,又有解答题;难度即有容易题、中等题,也有难题。
这与每年试卷的结构布局有关。
客观是突出“小而巧”,主观是为“大而全”,着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法,加强与函数、方程、不等式等支撑数学体系的重点内容的结合,在知识网络交汇点设计命题。
数列的应用题,考察的侧重点是现实客观事情的数学化。
旨在通过阅读,理解命题的背景材料,运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系,构造数列模型,将现实问题转化为数学问题解决。
教学过程:一、知识点讲解:等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式都是n 的函数式,特别是等差数列的通项公式是n 的一次函数,前n 项和公式是n 的二次函数式,因此,可借助于这两个函数的有关知识和方法解决数列问题;通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量:1a ,d (或q ),n ,n a ,n S ,知道其中任意三个量,便可通过解方程求出其余两个量,在求解过程中应保持解的等价性适时利用数列相关性质简捷运算。
通过等价转换,将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列,或是将已知的递推关系式转化为等差或等比数列的判定式,以使问题得以解决。
高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案学案30等比数列及其前n项和导学目标:1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式3了解等比数列与指数函数的关系4能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=______________3.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=a•________ (n,∈N*).(2)若{an}为等比数列,且+l=+n (,l,,n∈N*),则__________________________.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1an,{a2n},{an•bn},anbn仍是等比数列.(4)单调性:a1>0,q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列;a1>0,0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列;q=1⇔{an}是____数列;q<0⇔{an}是________数列..等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q (q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn =na1;当q≠1时,Sn=a11-qn1-q=a1qn-1q-1=a1qnq-1-a1q-16.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n -S2n仍成等比数列,其公比为______.自我检测1.“b=a”是“a、b、成等比数列”的()A.充分不必要条B.必要不充分条.充要条D.既不充分也不必要条2.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数a的值是()A.3B.1.0D.-13.(2011•温州月考)设f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*),则f(n)等于()A27(8n-1)B27(8n+1-1)27(8n+2-1)D27(8n+3-1)4.(2011•湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a-2,a+2,a+8,则an等于()A.8•32nB.8•23n.8•32n-1D.8•23n-1.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1 (n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-3,-23,19,37,82}中,则6q=________探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中,a1a+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a+a4a6=36,求数列{an}的通项an和前n项和Sn变式迁移1在等比数列{an}中,a1+an=66,a2•an-1=128,Sn=126,求n和q探究点二等比数列的判定例2 (2011•岳阳月考)已知数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+,n∈N*(1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式以及Sn变式迁移2设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.探究点三等比数列性质的应用例 3 (2011•湛江月考)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a=8,且1a1+1a2+1a3+1a4+1a=2,求a3变式迁移3(1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b+b9的值;(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a1a16=8,求a41a42a43a44分类讨论思想与整体思想的应用例(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80,它的前2n项和为6 60,且前n项中数值最大的项为4,求此数列的第2n项.【答题模板】解设数列{an}的公比为q,若q=1,则Sn=na1,S2n=2na1=2Sn∵S2n=6 60≠2Sn=160,∴q≠1,[2分]由题意得a11-qn1-q=80,①a11-q2n1-q=6 60 ②[4分]将①整体代入②得80(1+qn)=6 60,∴qn=81[6分]将qn=81代入①得a1(1-81)=80(1-q),∴a1=q-1,由a1>0,得q>1,∴数列{an}为递增数列.[8分]∴an=a1qn-1=a1q•qn=81•a1q=4∴a1q=23[10分]与a1=q-1联立可得a1=2,q=3,∴a2n=2×32n-1 (n∈N*).[12分]【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想:①利用等比数列前n项和公式时要分公比q=1和q≠1两种情况讨论;②研究等比数列的单调性时应进行讨论:当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列;当a1<0,q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列;当q<0时为摆动数列;当q=1时为常数列.(2)函数的思想:等比数列的通项公式an=a1qn -1=a1q•qn (q>0且q≠1)常和指数函数相联系.(3)整体思想:应用等比数列前n项和时,常把qn,a11-q当成整体求解.本题条前n项中数值最大的项为4的利用是解决本题的关键,同时将qn和a11-qn1-q的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应灵活运用.1.等比数列的通项公式、前n项公式分别为an=a1qn-1,Sn =na1,q=1,a11-qn1-q,q≠12.等比数列的判定方法:(1)定义法:即证明an+1an=q (q≠0,n∈N*) (q是与n值无关的常数).(2)中项法:证明一个数列满足a2n+1=an•an+2 (n∈N*且an•an+1•an+2≠0).3.等比数列的性质:(1)an=a•qn-(n,∈N*);(2)若{an}为等比数列,且+l=+n (,l,,n∈N*),则a•al=a•an;(3)设公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn4.在利用等比数列前n项和公式时,一定要对公比q=1或q≠1作出判断;计算过程中要注意整体代入的思想方法..等差数列与等比数列的关系是:(1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列;(2)若{an}是等比数列,且an>0,则{lg an}构成等差数列.(满分:7分)一、选择题(每小题分,共2分)1.(2010•辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n 项和.已知a2a4=1,S3=7,则S等于()A12B314334D1722.(2010•浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a=0,则SS2等于()A.-11B.-8.D.113.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和S3=21,则a3+a4+a等于()A.33B.72.84D.1894.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T2中也是常数的项是()A.T10B.T13.T17D.T2.(2011•佛模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则S10S等于()A.-3B..-31D.33题号1234答案二、填空题(每小题4分,共12分)6.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a=16,则数列{an}前7项的和为________.7.(2011•平顶月考)在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________8.(2010•福建)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________三、解答题(共38分)9.(12分)(2010•陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{2an}的前n项和Sn10.(12分)(2011•廊坊模拟)已知数列{lg2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a2=(1)求证:数列{an-1}是等比数列;(2)求1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an的值.11.(14分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{n}对n∈N*均有1b1+2b2+…+nbn=an+1成立,求1+2+3+…+2 010答案自主梳理1.公比q2a1•qn-14(1)qn-(2)a•al=a•an(4)递增递减常摆动6qn自我检测1.D2B3B4-9堂活动区例1解题导引(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解;(2)本例可将所有项都用a1和q表示,转化为关于a1和q的方程组求解;也可利用等比数列的性质转化,两种方法目的都是消元转化.解方法一由已知得:a21q4+2a21q6+a21q8=100,a21q4-2a21q6+a21q8=36①②①-②,得4a21q6=64,∴a21q6=16③代入①,得16q2+2×16+16q2=100解得q2=4或q2=14又数列{an}为正项数列,∴q=2或12当q=2时,可得a1=12,∴an=12×2n-1=2n-2,Sn=12(1-2n)1-2=2n-1-12;当q=12时,可得a1=32∴an=32×12n-1=26-nSn=321-12n1-12=64-26-n方法二∵a1a=a2a4=a23,a2a6=a3a,a3a7=a4a6=a2,由a1a+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a+a4a6=36,可得a23+2a3a+a2=100,a23-2a3a+a2=36,即(a3+a)2=100,(a3-a)2=36∴a3+a=10,a3-a=±6解得a3=8,a=2,或a3=2,a=8 当a3=8,a=2时,q2=aa3=28=14∵q>0,∴q=12,由a3=a1q2=8,得a1=32,∴an=32×12n-1=26-nSn=32-26-n×121-12=64-26-n当a3=2,a=8时,q2=82=4,且q>0,∴q=2由a3=a1q2,得a1=24=12∴an=12×2n-1=2n-2Sn=12(2n-1)2-1=2n-1-12变式迁移1解由题意得a2•an-1=a1•an=128,a1+an=66,解得a1=64,an=2或a1=2,an=64若a1=64,an=2,则Sn=a1-anq1-q=64-2q1-q=126,解得q=12,此时,an=2=64•12n-1,∴n=6若a1=2,an=64,则Sn=2-64q1-q=126,∴q=2∴an=64=2•2n-1∴n=6综上n=6,q=2或12例2解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法:①an+1an=q (q为与n值无关的常数)(n∈N*).②a2n+1=anan+2 (an≠0,n∈N*).(2)证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个连续项不成等比数列证明,也可用反证法.(1)证明由已知Sn+1=2Sn+n+,n∈N*,可得n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1),当n=1时,S2=2S1+1+,所以a2+a1=2a1+6,又a1=,所以a2=11,从而a2+1=2(a1+1),故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*,又a1=,a1+1≠0,从而an+1+1an+1=2,即数列{an+1}是首项为6,公比为2的等比数列.(2)解由(1)得an+1=6•2n-1,所以an=6•2n-1-1,于是Sn=6•(1-2n)1-2-n=6•2n-n-6变式迁移2(1)解∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),∴当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8(2)证明∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).②①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn -1+2=nan-Sn+2Sn-1+2∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,∴Sn+2=2(Sn-1+2).∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,∴Sn+2Sn-1+2=2,故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.例3解题导引在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条,利用性质,特别是性质“若+n=p+q,则a•an=ap•aq”,可以减少运算量,提高解题速度.解由已知得1a1+1a2+1a3+1a4+1a=a1+aa1a+a2+a4a2a4+a3a23=a1+a2+a3+a4+aa23=8a23=2,∴a23=4,∴a3=±2若a3=-2,设数列的公比为q,则-2q2+-2q-2-2q-2q2=8,即1q2+1q+1+q+q2=1q+122+q+122+12=-4此式显然不成立,经验证,a3=2符合题意,故a3=2变式迁移3解(1)∵a3a11=a27=4a7,∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}为等差数列,∴b+b9=2b7=8(2)a1a2a3a4=a1•a1q•a1q2•a1q3=a41q6=1①a13a14a1a16=a1q12•a1q13•a1q14•a1q1=a41•q4=8②②÷①:a41•q4a41•q6=q48=8ͤq16=2,又a41a42a43a44=a1q40•a1q41•a1q42•a1q43 =a41•q166=a41•q6•q160=(a41•q6)•(q16)10=1•210=1 024后练习区1.B[∵{an}是由正数组成的等比数列,且a2a4=1,∴设{an}的公比为q,则q>0,且a23=1,即a3=1∵S3=7,∴a1+a2+a3=1q2+1q+1=7,即6q2-q-1=0故q=12或q=-13(舍去),∴a1=1q2=4∴S=4(1-12)1-12=8(1-12)=314]2.A[由8a2+a=0,得8a1q+a1q4=0,所以q=-2,则SS2=a1(1+2)a1(1-22)=-11]3.[由题可设等比数列的公比为q,则3(1-q3)1-q=21ͤ1+q+q2=7ͤq2+q-6=0ͤ(q+3)(q-2)=0,根据题意可知q>0,故q=2所以a3+a4+a=q2S3=4×21=84]4.[a3a6a18=a31q2++17=(a1q8)3=a39,即a9为定值,所以下标和为9的倍数的积为定值,可知T17为定值.].D[因为等比数列{an}中有S3=2,S6=18,即S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1+q3=182=9,故q=2,从而S10S=a1(1-q10)1-qa1(1-q)1-q=1+q=1+2=33]6.127解析∵公比q4=aa1=16,且q>0,∴q=2,∴S7=1-271-2=12771207解析∵S99=30,即a1(299-1)=30,∵数列a3,a6,a9,…,a99也成等比数列且公比为8,∴a3+a6+a9+…+a99=4a1(1-833)1-8=4a1(299-1)7=47×30=12078.4n-1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21,公比q=4,不妨设首项为a1,则a1+a1q+a1q2=a1(1+4+16)=21a1=21,∴a1=1,∴an=1×4n-1=4n-19.解(1)由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得1+2d1=1+8d1+2d,…………………………………………………………………………(4分)解得d=1或d=0(舍去).故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n……………………………………………………(7分)(2)由(1)知2an=2n,由等比数列前n项和公式,得Sn=2+22+23+…+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2………………………………………………………………………………(12分)10.(1)证明设lg2(an-1)-lg2(an-1-1)=d (n≥2),因为a1=3,a2=,所以d=lg2(a2-1)-lg2(a1-1)=lg24-lg22=1,…………………………………………………………(3分)所以lg2(an-1)=n,所以an-1=2n,所以an-1an-1-1=2 (n≥2),所以{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列.………(6分)(2)解由(1)可得an-1=(a1-1)•2n-1,所以an=2n+1,…………………………………………………………………………(8分)所以1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an=122-2+123-22+…+12n+1-2n=12+122+…+12n=1-12n………………………………………………………………(12分) 11.解(1)由已知有a2=1+d,a=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(d=0舍).……………………………………………………………………(2分)∴an=1+(n-1)•2=2n-1………………………………………………………………(3分)又b2=a2=3,b3=a=9,∴数列{bn}的公比为3,∴bn=3•3n-2=3n-1………………………………………………………………………(6分)(2)由1b1+2b2+…+nbn=an+1得当n≥2时,1b1+2b2+…+n-1bn-1=an两式相减得:当n≥2时,nbn=an+1-an=2……………………………………………(9分)∴n=2bn=2•3n-1 (n≥2).又当n=1时,1b1=a2,∴1=3∴n=3(n=1)2•3n- 1 (n≥2)……………………………………………………………(11分)∴1+2+3+…+2 010=3+6-2×32 0101-3=3+(-3+32 010)=32 010…………………………………………(14分)。
2011届高三数学一轮复习教案:第五章第2课 等差、等比数列
第2课 等差、等比数列【考点导读】1. 掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式,能运用公式解决一些简单的问题; 2. 理解等差、等比数列的性质,了解等差、等比数列与函数之间的关系; 3. 注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】1.在等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12=31,首项a 1= -2 ,公差d = 3 。
2.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,则它的第1项是163,第2项是 8 。
3..某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为二个),经过3小时,这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。
4.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++=105。
5.公差不为0的等差数列{a n }中,a 2,a 3,a 6依次成等比数列,则公比等于 3 。
【范例导析】 例1.(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 13 项。
(2)设数列{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 2 。
(3)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若36S S =13,则612SS = 。
解:(1)答案:13法1:设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n =13法2:设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又1()3902n n a a += ∴n =13 (2)答案:2 因为前三项和为12,∴a 1+a 2+a 3=12,∴a 2=33S =4 又a 1·a 2·a 3=48, ∵a 2=4,∴a 1·a 3=12,a 1+a 3=8,把a 1,a 3作为方程的两根且a 1<a 3, ∴x 2-8x +12=0,x 1=6,x 2=2,∴a 1=2,a 3=6,∴选B. (3)答案为310。
高三复习等差、等比数列(教案+习题)
高三数学第二轮专题复习——等差、等比数列考纲要求:1. 理解等等比数列的概念.2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系,了解等比数列与指数函数的关系.考点回顾:等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型,因而也是高考重点考察的对象,从近几年的高考看,考查既有选择题、填空题,也有解答题,,既有容易题和中档题,也有难题.客观题一般“小而巧”,考查对等差、等比数列概念的理解、性质的灵活运用,主观题则一般“大而全”,除了考查数列的概念、性质、公式的应用外,还经常与其他知识融合在一起,同时也考查分类讨论、等价转化、函数与方程等数学思想方法的灵活应用.考试说明对等差、等比数列都提出了较高的要求,因此,等差、等比数列的综合问题应用问题将是高考对数列考查的重点.基础知识过关: 等差数列1.等差数列的定义:如果一个数列从第 项起,每一项与他的前一项的差都等于 ,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 .2.等差数列:在一个等差数列中,从第二项起每一项(有穷数列最有一项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即2n a = (*2n N n ∈≥且).3.等差数列的单调性 当d>0时,{}n a 是 数列;当d=0时,{}n a 是 数列; 当d<0时,{}n a 是 数列.4.等差数列的前n 项和n s 是用 法求得的,要注意这种思想方法在数列求和中的应用.5.等差数列的通项公式n a = ,前n 项和公式n s = = ,两个公式一共涉及到五个量1,,,,n n a a d n s ,知其三就能求另二.等比数列:1.等比数列的定义:一般的,如果一个数列从 起,每一项与他的 的比等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 (0q ≠)表示.2.设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q,则它的通项n a = .3.等比中项:如果三个数a 、G 、b 组成 ,则G 叫做a 和b 的等比中项,那么2G bG a G==即 . 4.等比数列的前n 项和公式n s = .高考题型归纳:题型1.等差等比数列的判定与证明:证明一个数列为等差或等比一般用定义或者等差(比)中项来证明,而对于等差数列来说,证明一个数列的通项公式是关于n 的一次函数或者证明它的前n 项和事关于n 的不含常数项的二次函数也能说明它是等差数列.例1. 已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n,求证:数列{}n b 是等比数列;⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n nn ,求证:数列{}n c 是等差数列;⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
等差等比数列(高三数学家教 一轮辅导教案)
等差、等比数列日期:12月1日【等差数列知识扫描】1.如果一个数列从 项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于_________,那么这个数列就叫做等差数列,这个 叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.即:1n n a a d +-=或变式:11(2)n n n n a a a a n +--=-≥ (*n N ∈)2.等差数列{n a }的通项公式 ,其中1a 为首项,d为公差. 变式:()n t a a n t d =+- (*n N ∈) 或 tn a a d tn --=3.如果一个数列{n a }的通项公式为n a =n k ⋅+b,其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?4.前n 项和公式:n s = 或n s = 5. 性质:(1)若m+n=p+q 则:存在a m +a n =a p +a q (2)232,,,k kk k k s s s s s -- 仍为等差数列(3)a n ,a n+K, a n+2K 仍为等差数列,公差为kd 6. 判断和证明数列是等差数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n -a n-1为同一常数。
(2)通项公式法:若 =+(n-1)d=+(n-k )d ,则{}n a为等差数列;(3)中项公式法:验证成立。
7.在等差数列{}n a中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:(1)当 >0,d<0时,满足 的项数m 使得取最大值.(2)当<0,d>0时,满足的项数m 使得取最小值。
【等差数列基础练习】1.已知等差数列{a n }中,d =-13,a 7=8,则a 1=________2.在等差数列{a n }中,a 3=10,a 9=28,则a 12= 。
3.在等差数列{a n }中,已知(1)已知1503,101,a a ==则50S = ;(2)已知113,,2a d ==则10S = 。
2011届高考数学第一轮复习课件之等差数列
随堂即时巩固
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课时活页训练
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9分
于是-171<d≤-113.
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又d∈Z,故d=-1.④ 将④代入①②得10<a1≤12.11分 又a1∈Z,故a1=11或a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通 项公式是an=12-n和an=13-n,n= 1,2,3,….12分
规律方法总结
1.等差数列的单调性 当d>0时,{an}是递增数列. 当d=0时,{an}是常数列. 当d<0时,{an}是递减数列.
故当p=0时,数列{an}是等差数列.
课堂互动讲练
(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q. 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为 一个常数, ∴{an+1-an}是等差数列. 【误区警示】 在(2)中,要证明(an +2-an+1)-(an+1-an)是一个与n无关的 常数,而不是证an+1-an是一个常数.
则由 a5=5a3 知 a1=-32d. ∴SS95=95((aa11+ +42dd))=9.
答案:9
三基能力强化
5.(教材习题改编)已知{an}为等 差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5= ________.
答案:15
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考点一 等差数列的判定
证明一个数列{an}是等差数列的 基本方法有两种:一是利用等差数列 的定义法,即证明an+1-an= d(n∈N*),二是利用等差中项法,即 证明:an+2+an=2an+1(n∈N*).在
(4)S2n-1=(2n-1)an. (5)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇=n2d. 若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中 间项). (6)数列{c·an},{c+an},{pan+ qbn}也是等差数列,其中c、p、q均为 常数,{bn}是等差数列.
[精品]新高三高考数学一轮复习7.4等差 等比数列的应用(2)优质课教案
7.4等差 等比数列的应用(2)【知识网络】1、运用等差、等比数列的知识,解决数列实际问题模型;2、运用等差、等比数列的知识,用切合实际意义的语言表述问题的解;3、解决数列有关综合性问题。
【典型例题】例1:(1)北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.14=1.46 1.15=1.61)( ) A .20%B .18.8%C .16.4%D .10%答案:C 。
解析:设2003年底更新的车辆为x ,总更新车辆数为a ,则2341,11,11,1,0.164x x x x x a a+++=∴≈。
(2)一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人,如此继续下去,要传遍100万人口的城市,所需的时间大约为( )A 、三个月B 、一个月C 、10天D 、20小时答案:D 。
解析,每小时传递人数构成数列2,4,8……所以n 小时共传递人数612211012nn nS-==-≈-,∴20n ≈小时。
(3)数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为( )A .2212n n n ++B .12212+++-nn nC .2212n n n ++-D . 22121nn n -+-+答案:B 。
解析:2111(1)11234122222nn nn n Sn +=+++++++=+-(4)某厂在1997年底制定生产计划,要使2007年底的总产量在原有基础上翻两番,则年平均增长率为_________________,答案: 1410-。
解析:令97年底的产量为1,则2007年底的产量为4,则10(1)4,1x x +=∴=。
(5)楼梯共n 级,每步只能上1级或2级,走完这n 级楼梯共有()f n 种不同的走法,则(1),(),(1)f n f n f n -+的关系式为 。
湖南地区高三数学第一轮复习 7.4等差与等比的综合学案(学生版) 学案
7.4等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标:等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习: 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2.等比数列}{n a 中,233,9a a ==,若243=k a ,则k 等于( )(A )4 (B )5 (C )6 (D )42 3.若数列{}n a (N n ∈*)是等差数列,则有数列12nn a a a b n+++=(N n ∈*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列n {c }是等比数列,且n c >0(N n ∈*),则有n d =(N n ∈*)也是等比数列. 4.设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和,若对任意*n N ∈,都有71427n n S n T n +=+ ,则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是 .【考点梳理】(略) 三、合作探究:例1 (2010陕西文16)已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;(Ⅱ)求数列{2an}的前n 项和S n .变式训练1 (2010北京文16)已知{a n }为等差数列,且36a =-,60a =。
(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若等比数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式 题型2 与“前n 项和S n 与通项a n ”、常用求通项公式的结合例2 (2009广东三校一模)数列{a n }是公差大于零的等差数列,2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根。
数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n ,求数列{}n a ,{}n b 的通项公式。
变式训练2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同,且a 1+2a 2+22a 3+…+2n -1a n =8n 对任意的n∈N *都成立,数列{b n +1-b n }是等差数列.求数列{a n }与{b n }的通项公式。
2011届高考数学第一轮复习 7.2等差数列学案(学生用) 新人教版
7.2等差数列一、学习目标:等差数列的概念、性质及前n 项和求法。
二、自主学习:【课前检测】1.(2010年东城期末20)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知5a 1=,13n n n a S +=+,*n ∈N .设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;2.设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 .3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++= . 【考点梳理】1.在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。
2.补充的一条性质1)项数为奇数21n -的等差数列有:1s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中,21(21)n n s n a -=- 2)项数为偶数2n 的等差数列有:1n n s a s a +=奇偶,s s nd -=偶奇 21()n n n s n a a +=+ 三、合作探究:题型1 等差数列的基本运算例1 在等差数列{a n }中,(1)已知a 15=10,a 45=90,求a 60;(2)已知S 12=84,S 20=460,求S 28;(3)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8.变式训练1 设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{nS n }的前n 项和,求T n .小结与拓展:基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。
等差数列中,已知五个元素a 1,a n ,n ,d ,S n 中的任意三个,便可求出其余两个.题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=5,S 6=36. 求数列{a n }的通项公式;变式训练2 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n .设b n =a n 2n -1,证明:数列{b n }是等差数列;题型3 等差数列的性质例3 设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数,前n 项和为n S ,且11a >,46a >, 312S ≤,则2010a =_ _ _变式训练3 在等差数列{a n }中,已知log 2(a 5+a 9)=3,则等差数列{a n }的前13项的和 S 13=________.题型4 等差数列的前n 项和及最值问题例4 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围;(2)指出S 1,S 2,S 3,…,S 12中哪一个最大,并说明理由.变式训练4 (2010福建理数3)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .9四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.2.等差数列{a n}中,当a1<0,d>0时,数列{a n}为递增数列,S n有最小值;当a1>0,d <0时,数列{a n}为递减数列,S n有最大值;当d=0时,{a n}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固:1.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数.a,若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍,2.由正数组成的等比数列{}na的通项公式.第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n3.已知等差数列110,116,122,,(1)在区间[450,600]上,该数列有多少项?并求它们的和;(2)在区间[450,600]上,该数列有多少项能被5整除?并求它们的和.六、学习反思:。
2011届湖南地区高三数学第一轮复习 7.3等比数列学案(老师版)
7.3等比数列一、学习目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力. 二、自主学习:【课前检测】1.(2010年海淀二模12)已知数列{}n a 满足11a =,12n n n a a +=(n ∈N *),则910a a +的值为 . 答案:48。
2.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( D )A.d>83B.d<3C.83≤d<3D.83<d ≤32.等比数列的判定:{a n }为等比数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++=≠===⇔+++)()(0,00/2211aq b a b aq S cq cq a a a a qa a n nnn n n n n n 3.ab G ab G G b a ±=⇔=⇔2的等比中项与。
推广:m n m n n a a a +-⨯=2解读:1)并非任何两数总有等比中项.仅当实数a,b 同号时,实数a,b 才存在等比中项,且同号两实数a,b 的等比中项不仅存在,而且有一对为±ab, 也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).2){a n }为等比数列是a n+12=a n ·a n+2的充分但不必要条件.3)若证{a n }不是等比数列,只需证a k 2≠a k -1a k+1(k 为常数,k ∈N ,且k ≥2). 4.解题小技巧:三个数成等比的设法:,,aq a aq ;四个数成等比的错误设法:33,,,a aqqaq aq (2q 是公比)。
5.等比数列与函数1)等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,即:nn a cq =,其中1a c q=2)等比数列的前n 项和公式是一个平移加振幅的n 的指数函数,即:(1)nn s cq c q =-≠6.待定系数法:等比数列}{n a ,设1,0,,1≠≠-==-q Aq A Aq S Aq a nn n n等 比 数 列定义成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- 通项公式 k n k n n q a q a a --==11.(0,1≠q a )求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n三、合作探究:题型1 等比数列的基本运算例1 (1)已知等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126,求项数n 和公比q 的值.(2)设等比数列{a n }的公比为q(q>0),它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求首项、公比及项数n . 解:(1)∵{a n }是等比数列,∴a 1·a n =a 2·a n -1, ∴⎩⎨⎧=⋅=+1286611nn a a a a , 解得⎩⎨⎧==6421n a a 或⎩⎨⎧==2641n a a若a 1=2,a n =64,则2·q n -1=64 ∴q n=32q ,由S n =1261)321(21)1(1=--=--qq q q a n , q =2,于是n =6若a 1=64,a n =2,则64·q n -1=2 ∴q n=q 321 由S n =1261)3211(641)1(1=--=--qq qq a nq =21,n =6(2)若q =1,则na 1=40,2na 1=3280矛盾,∴ q≠1.∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--32801)1(401)1(211q q a qq a nn 两式相除得:q n=81,q =1+2a 1 又∵q>0,∴ q>1,a 1>0 ∴ {a n }是递增数列. ∴ a n =27=a 1qn -1=112181a a +⨯ 解得 a 1=1,q =3,n =4变式训练1 已知等比数列{a n }中,a 1·a 9=64,a 3+a 7=20,则a 11= .答案:64或1解:由⎩⎨⎧=+=⋅20647391a a a a ⇒⎩⎨⎧=+=20647373a a a a⇒⎩⎨⎧==41673a a 或⎩⎨⎧==16473a a ∴ q 2=21或q 2=2,∴ a 11=a 7 q 2,∴ a 11=64或a 11=1小结与拓展:1)方程的思想:等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”。
高三数学一轮复习 第43课 等差数列与等比数列学案2(无答案) 学案
第43课 等差数列与等比数列考点解说:灵活运用等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式和前n 项和公式解 决较为综合的问题,提高分析问题、解决问题的能力 一、基础自测1、等比数列{a n }的公比为q ,则“q >1”是“对于任意自然数n ,都有a n +1>a n ”的条件(充分不必要,必要不充分条件,充要条件,既不充分又不必要条件)2、 等比数列中,已知,2,1654321=⋅⋅=⋅⋅a a a a a a 则=⋅⋅⋅⋅⋅121110987a a a a a a ;等差数列{}n a 中,,2005021=+++a a a 1005251a a a +++ =2700,则=1a3、 等比数列{}n a 中,已知29-=a ,则此数列的前17项之积为4、各项都是正数的等比数列{}n a 中,公比q=2,且30321a a a a ⋅⋅=302,则30963a a a a ⋅⋅的值为 ____________5、 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 则这个数列的公比为项数为6、数列}a {n 的通项公式为1n n 1a n ++=, 若}a {n 前n 项和为24, 则n=7、已知,110lg lg lg 102=+++x x x 则=+++102)(lg )(lg lg x x x8、右图是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的,其中11223781OA A A A A A A =====,它可以形成近似的等角螺线。
记128,,,OA OA OA 所组成的数列为{}n a (*,18n N n ∈≤≤),则数列{}n a 的通项公式为;如果把图中的直角三角形继续作下去,那么2008OA 的长为 二、例题讲解例1、{a n }是等比数列,a 1=2,a 3=18;{b n }是等差数列,b 1=2,b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3>20 (1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和S n 的公式;o(3)设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n -2,Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8,其中n=1,2,…,试比较P n 与Q n 的大小,并证明你的结论.例2、已知等比数列{}n a 各项为实数,且公比为q ,前n 项和为n S ,且396,,S S S 成等差数列,(1)求q 的值;(2)求证:285,,a a a 成等差数列例3、已知数列{}n a 共2k 项(k 2≥),首项a 1=2,设该数列的前n 项和为s n ,且n 1(1)2,(1,221)n a a s n k +=-+=-,常数a>1,(1)求证:数列{}n a 为等比数列;(2)若2212k a -=,数列{b n }满足2121log ()n n b a a a n=(n=1,2,2k ),求b n ;(3)若(2)中的数列{b n }满足122333||||||4222k b b b -+-++-≤,求k 的值。
高中数学《等差数列与等比数列性质的综合应用》学案1 新人教A版必修
高中数学《等差数列与等比数列性质的综合应用》学案1 新人教A版必修一、学习目标:等差数列与等比数列性质的综合应用二、自主学习:【课前检测】1、x=是a、x、b成等比数列的( D )条件A、充分非必要B、必要非充分C、充要D、既非充分又非必要2、等比数列中,,若,则等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)42直面考点:1)等比数列的定义;2)等比数列的通项公式。
略解:3、若数列(*)是等差数列,则有数列(*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列是等比数列,且(*),则有(*)也是等比数列、4、设和分别为两个等差数列的前项和,若对任意,都有,则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是、说明:、【考点梳理】1、基本量的思想:常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读:“知三求二”。
2、等差数列与等比数列的联系1)若数列是等差数列,则数列是等比数列,公比为,其中是常数,是的公差。
(a>0且a≠1);2)若数列是等比数列,且,则数列是等差数列,公差为,其中是常数且,是的公比。
3)若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。
3、等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等差数列等比数列定义{an}为等差数列an+1-an=d(常数),n∈N+2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)通项公式=+(n-1)d=+(n-k)d、()求和公式中项公式等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=;a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件、 {an}为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件、重要性质1(反之不一定成立);特别地,当时,有;特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。
若m、n、l、k∈N*,且m+n=k+l,则aman=akal,反之不成立、特别地,。
另:即:首尾颠倒相乘,则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md、下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等比数列,公比为qm、3 成等差数列。
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7.4等差数列与等比数列性质的综合应用
一、学习目标:等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习: 【课前检测】
1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )条件
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分又非必要 2.等比数列}{n a 中,233,
9a a ==,若243=k a ,则k 等于( )
(A )4 (B )5 (C )6 (D )42 3.若数列{}n a (N n ∈*)是等差数列,则有数列12n
n a a a b n
++
+=
(N n ∈*)也为
等差数列,类比上述性质,相应地:若数列n {c }是等比数列,且n c >0(N n ∈*),则有n d =(N n ∈*)也是等比数列.
4.设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和,若对任意*
n N ∈,都有71427
n n S n T n +=+ ,则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是 . 【考点梳理】(略) 三、合作探究:
例1 (2010陕西文16)已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;(Ⅱ)求数列{2an
}的前n 项和S n .
变式训练1 (2010北京文16)已知{a n }为等差数列,且36a =-,60a =。
(Ⅰ)求{a n }的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式 题型2 与“前n 项和S n 与通项a n ”、常用求通项公式的结合
例 2 (2009广东三校一模)数列{a n }是公差大于零的等差数列,2a ,5a 是方程
2x 02712=+-x 的两根。
数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 2
1
1-
=n b ()*∈N n ,求数列{}n a ,{}n b 的通项公式。
变式训练2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同,且a 1+2a 2+22
a 3+…+2
n -1
a n =8n 对任意的n∈N *
都成立,数列{b n +1-b n }是等差数列.求数列{a n }与{b n }的通项公式。
题型3 中项公式与最值(数列具有函数的性质)
例3 (2009汕头一模)在等比数列{a n }中,a n >0 (n ∈N *
),公比q ∈(0,1),且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8=25,a 3与a s 的等比中项为2。
(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2 a n ,
数列{b n }的前n 项和为S n 当
12
12n S S S n
++∙∙∙+最大时,求n 的值。
变式训练3 (2009常德期末)已知数列{}n a 的前n 项和为11
,4
n S a =且
1112n n n S S a --=++,数列{}n b 满足11194
b =-
且13n n b b n --=(2)n n N *
≥∈且. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求证:数列{}n n b a -为等比数列; (3)求{}n b 前n 项和的最小值.
四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.重要思想:基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。
2.重要方法:配方法、迭代法、累加法及累乘法。
五、检测巩固: 1.(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 项;
(2)已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*
n N ∈,354657281a a a a a a ++=,则
46a a += .
(3)等差数列前m 项和是30,前2m 项和是100,则它的前3m 项和是 . 2.若数列{}n a 成等差数列,且,()m n S n S m m n ==≠,求n m S +.
3.等差数列{}n a 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为77,偶数项之和为66,
11a =,求其项数和中间项.
4.数列{}n a 是首项为1000,公比为
1
10
的等比数列,数列{b }n 满足 121
(lg lg lg )k k b a a a k
=++
+ *()k N ∈,
(1)求数列{b }n 的前n 项和的最大值;(2)求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 5*.若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和,对任意自然数n ,有23
2
n n a +=-
,41213n n T S n -=,(1)求数列{b }n 的通项公式;(2)设集合*
{|2,}n A x x a n N ==∈,
*{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且
10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式.
六、学习反思:。