电磁感应定律浅析
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q 的粒子受力为 F = q ( E + v ×B) ( 16)
关系式
∮
分 , 则可得
f ・d l =
κ
dB ・dS dt
( 8)
利用斯托克斯公式 , 将 ( 8 ) 式左边的环路积分化为面积
dB f = dt
从而电动势为 ε=
( E + υ ×B) ・d l ∮
( 9)
这正是 ( 14) 式 。 最后指出一点 , 回路中到底是有动生电动势 , 还是感生 电动势 , 或者是二者都有 , 关键在于回路与观察者之间的相 对运动 。 若回路相对观察者静止 , 则只有感生电动势 。 回路的 运动速度是对磁场而言的 , 一般情况下 , 磁场是观察者记录 下的 , 所以回路的速度也就是相对观察者的 速度 。 若回路的 速度和磁场不是同一个观察者给出的结论 , 需要加以区别 。 现设在实验室参考系 K 中 , 观察者测得回路的速度为 v , 磁 场为 B , 电场为 E , 则回路中的感应电动势为 ( 14) 式 。 若另有 一个观察者与回路一起运动 ( 记为 K′ 系 ) , 他测得的磁场为
Hale Waihona Puke ∮( E + υ ×B ) ・d l
( 14)
但应注意 , 这个公式只对闭合回路成立 , 若回路不闭合 ,
【责任编辑 吉选芒】
・16 ・
( 15) 式是在非回路情况下计算感应电动势的一个公式 。 式。
所以这里的非静电力正是以速度 v 运动的带电量为 q 的粒子在磁场中所受的罗伦兹力 。 事实上 , 当回路以速度 v 运动时 , 回路中的载流子也以同样的速度相对磁场运动 , 它 们必然会受到磁场给予的磁场力 , 即罗伦兹力 。 这个力沿 L 的环流不等于零 , 其单位电荷所受的力的环流正是回路中的 电动势 。 所以 , 动生电动势的起源就是运动电荷所受的罗伦 兹力 。
这时的感应电动势叫感生电动势 , 它是由于磁场随时间 的变化产生的 。 二、 感应电动势的起源 根据电动势的定义 , 闭合回路 L 中的电动势为 ε=
κ
dS) ・B -
κ
d dS ・ B dt
∮q
F
・d l
( 6)
式中 F 为回路 L 中带电量为 q 的载流子所受到的非静 电场力 。 因此由法拉第定律可知 , 当穿过闭合回路 L 的磁通 量发生变化时 , 回路中有非静电场力存在 。 那么这个非静电
E = E感 + E静 ( 10)
回路中只有感生电动势 , 而无动生电动势 。 因而他给出的电 动势为
E′ ・d l ∮
且有
(E E ・d l = ∮ ∮
感
+ E静 ) ・d l =
E ∮
感
・d l
( 11)
ε ′=
( 17)
这样 , 在回路不动 , 而磁场变化时 , 回路中的感应电动势 可表示为 ε=
dB dt ( 13)
参 考 文 献:
[ 1 ] 梁绍荣 . 普通物理学 ( 电磁学分册 ) [ M ]. 北京 :高等教育
出版社 , 1988 .
[ 2 ] Dale. R. Corson , Electromagnetic Induction in Moving Sys2
tem.
[ 3 ] 郭硕鸿 . 电动力学 [ M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1979 .
这里的第一项为 磁场不变 , 回路的一部分或整体的运 动造成的变化 , 第二项为回路固定而磁场随时间变化引起的
①
收稿日期 :2003 - 02 - 01 作者简介 : 聂合贤 ( 1960 - ) ,男 ,山西闻喜人 ,运城学院科技产业处副教授 。
・15 ・
场力来自哪里呢 ? 先看动生电动势 , 对任意的回路 L , 在磁场为稳恒的情 况下 , 表达式 ( 4) 与 ( 6) 应该同时成立 , 因此二者的被积函数 相等 , 即
式的不同形式 。计算出的结果是一致的 。不论位于磁场中 的闭合回路运动或静止 , 都可以选择这三个式子中的任意一 个来计算感应电动势 。 当 B 为稳恒磁场时 , ε=
dB = 0 , 故 ( 3) 式变为 dt ( 4)
( 1)
其中 ε的方向与 L 的绕向一致 , Φ 的正方向与 S 的法向
κB ・dS
B′ , 电场为 E′ , 则由于他测得的回路的速度为零 , 故他 认为
所以 f 来源于磁场的变化 。 根据 f 的定义 , 它是作用在 单位电荷上的非静电力 , 而且由 ( 9) 式 , 它存在于变化磁场 的全部空间 , 因而它构成了一个力场 。 力场 f 对电荷 ( 运动 或静止) 有作用 , 因此它与静电场类似 , 麦克斯韦建议将其 命名为感应电场或涡旋电场 , 并记为 E感 。 感应电场和静电 场 ( 记为 E静 ) 一样 , 都是对电荷产生作用的场 。 但它们也有 极大的不同 , 静电场是由电荷产生的 , 其环流为零 。 而感应电场是由变化的磁场产生的 , 其环流为 ( 8) 式 , 一般不会是零 。 这样在空间任一点 , 电场都由两部分组成 , 即
第 21 卷 第5期
2003 年 10 月
运城学院学报 Journal of Yuncheng College
Vol. 21 No. 5 Oct . 2003
电磁感应定律浅析
聂 合 贤①
( 运城学院 科技产业处 , 山西 运城 044000)
摘 要 :法拉第电磁感应定律有几个不同的形式 ,在具体应用时具有很大的方便 。但在理解电磁感应现象 的本质时 ,就不是很好 。用统一的公式去处理动生电动势和感生电动势 ,使得在计算和对感应电场的理解上 ,都 带来了极大的方便 。最后指出了二者的同一性 。 关键词 : 电磁感应 ; 电动势 ; 感生电场 ; 罗伦兹力 中图分类号 :O552 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 8008 ( 2003) 05 - 0015 - 02 法拉第的电磁感应定律是电磁学中的重要内容之一 。 变化 。 对第一项求道 , 可按以下方式进行 , 设回路上的线元为 正确地理解和运用法拉第定律 ,对学习电磁学理论是十分重 要的 。但是在一般的教材中 , 都是将感应电动势分为动生 的和感生的来分别讨论 ,难以给人一个统一的图象 , 从而道 致初学者产生了一些不必要的混淆 。因此本文试图给电磁 感应定律一个统一的公式 ,并将动生电动势和感生电动势作 为它的特例 ,最后讨论感应电动势公式与整个电磁学理论体 系的一致性 。 一、 法拉第电磁感应定律 假设在磁场 B 中有一闭合回路 L , 以它为边界的任一曲 面记为 S , 规定 S 的法线方向与回路的绕行方向成右手关 系。 设穿过 S 的磁通量为 Φ , 则回路中的感应电动势为 : Φ ε= - d dt 一致 。 根据磁通量的定义 , 有 Φ = ε=d dt dl , 其运动速度为 v , 故 d dt
F = v ×B 或 F = q ( v ×B ) q ( 7)
比如对一起点为 A , 终点为 B 的曲线 , 其上的感应电动势应 ε=
( E + V ×B) ・d l ∫
A B
U BA
( 15)
或者用 ( 3) 式亦可 。 三、 结论 综合以上的讨论 , 我们觉得在讲授法拉第电磁感应定律 时 , 先给出一般情况下的公式 ( 3) , 再讨论它的两个特殊情 况 , 并进而给出动生电动势 ( 4) 和感生电动势 ( 5) , 效果要好 一些 。 在论述了感应电场的概念及性质后 , 可给出计算感生 电动势的其它公式 , 如 ( 12) 式 ( 它与 ( 3) 式等价 ) 以及 ( 14)
F 再看感生电动势 , 设 f = , 则由 ( 5) 式和 ( 6) 式 , 可得 q
实际上 , 我们在这里给出的公式 ( 14) 式也可以用其它 的方法得到 。 假如了解了电场的性质 , 包括静电场和感应电 场 , 则对电磁场中的回路 L , 其上的电动势为电磁场对单位 电荷运动一周所作的功 , 因此根据罗伦兹力公式 , 带有电荷
κ dS = Δt →0 Δt
lim
ΔS
=
lim ( Δ ) Δ Δt →0 v t ×dl / t =
∫
v ×d l ∮
将其代回 , 有 ε=
( v × d l ) ・B + ∮ κ dt ・dS dB ( v ×B ) ・d l + = ∮ κ dt ・dS dB
( 3)
( 1) 、 ( 2) 和 ( 3) 式是等价的 , 都是法拉第定律的数学表达
κB ・dS , 故
( 2)
( v ×B ) ・d l ∮
这时的感应电动势叫动生电动势 , 它是由于回路在磁场 中运动而产生的 。 当回路相对于磁场静止时 , 有 v = 0 , 则 ε=・dS ∮ dt
dB ( 5)
式 ( 1) 和式 ( 2) 即法拉第电磁感应定律的数学形式 。 若 回路由道体组成 , 且设回路的电阻为 R , 则回路中会有电流 产生 , 称之为感应电流 , 大小为 i = ε / R。 这正是法拉第最初 发现电磁感应现象时的情形 。 现在来对式 ( 2) 的求道进行运算 , 利用积的求道法则 , 有 ε=d ( dt
根据狭义相对论理论 , 在非相对论近似下 , 有
E′= E + v ×B ( 18)
∮
E ・d l = -
κ
dB ・dS dt
将其代回 ( 17) 式 , 结果与 ( 14 ) 式相同 , 即两者给出的结
( 12)
果是一致的 。
将 ( 12) 式中的环路积分变为面积分 ( 利用斯托克斯公 式) , 可得 ×E = 这正是克斯韦方程组之一 。 根据感应电场的定义和性质 , 一般情况下 , 感应电动势 亦可表示为 ε=
关系式
∮
分 , 则可得
f ・d l =
κ
dB ・dS dt
( 8)
利用斯托克斯公式 , 将 ( 8 ) 式左边的环路积分化为面积
dB f = dt
从而电动势为 ε=
( E + υ ×B) ・d l ∮
( 9)
这正是 ( 14) 式 。 最后指出一点 , 回路中到底是有动生电动势 , 还是感生 电动势 , 或者是二者都有 , 关键在于回路与观察者之间的相 对运动 。 若回路相对观察者静止 , 则只有感生电动势 。 回路的 运动速度是对磁场而言的 , 一般情况下 , 磁场是观察者记录 下的 , 所以回路的速度也就是相对观察者的 速度 。 若回路的 速度和磁场不是同一个观察者给出的结论 , 需要加以区别 。 现设在实验室参考系 K 中 , 观察者测得回路的速度为 v , 磁 场为 B , 电场为 E , 则回路中的感应电动势为 ( 14) 式 。 若另有 一个观察者与回路一起运动 ( 记为 K′ 系 ) , 他测得的磁场为
Hale Waihona Puke ∮( E + υ ×B ) ・d l
( 14)
但应注意 , 这个公式只对闭合回路成立 , 若回路不闭合 ,
【责任编辑 吉选芒】
・16 ・
( 15) 式是在非回路情况下计算感应电动势的一个公式 。 式。
所以这里的非静电力正是以速度 v 运动的带电量为 q 的粒子在磁场中所受的罗伦兹力 。 事实上 , 当回路以速度 v 运动时 , 回路中的载流子也以同样的速度相对磁场运动 , 它 们必然会受到磁场给予的磁场力 , 即罗伦兹力 。 这个力沿 L 的环流不等于零 , 其单位电荷所受的力的环流正是回路中的 电动势 。 所以 , 动生电动势的起源就是运动电荷所受的罗伦 兹力 。
这时的感应电动势叫感生电动势 , 它是由于磁场随时间 的变化产生的 。 二、 感应电动势的起源 根据电动势的定义 , 闭合回路 L 中的电动势为 ε=
κ
dS) ・B -
κ
d dS ・ B dt
∮q
F
・d l
( 6)
式中 F 为回路 L 中带电量为 q 的载流子所受到的非静 电场力 。 因此由法拉第定律可知 , 当穿过闭合回路 L 的磁通 量发生变化时 , 回路中有非静电场力存在 。 那么这个非静电
E = E感 + E静 ( 10)
回路中只有感生电动势 , 而无动生电动势 。 因而他给出的电 动势为
E′ ・d l ∮
且有
(E E ・d l = ∮ ∮
感
+ E静 ) ・d l =
E ∮
感
・d l
( 11)
ε ′=
( 17)
这样 , 在回路不动 , 而磁场变化时 , 回路中的感应电动势 可表示为 ε=
dB dt ( 13)
参 考 文 献:
[ 1 ] 梁绍荣 . 普通物理学 ( 电磁学分册 ) [ M ]. 北京 :高等教育
出版社 , 1988 .
[ 2 ] Dale. R. Corson , Electromagnetic Induction in Moving Sys2
tem.
[ 3 ] 郭硕鸿 . 电动力学 [ M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1979 .
这里的第一项为 磁场不变 , 回路的一部分或整体的运 动造成的变化 , 第二项为回路固定而磁场随时间变化引起的
①
收稿日期 :2003 - 02 - 01 作者简介 : 聂合贤 ( 1960 - ) ,男 ,山西闻喜人 ,运城学院科技产业处副教授 。
・15 ・
场力来自哪里呢 ? 先看动生电动势 , 对任意的回路 L , 在磁场为稳恒的情 况下 , 表达式 ( 4) 与 ( 6) 应该同时成立 , 因此二者的被积函数 相等 , 即
式的不同形式 。计算出的结果是一致的 。不论位于磁场中 的闭合回路运动或静止 , 都可以选择这三个式子中的任意一 个来计算感应电动势 。 当 B 为稳恒磁场时 , ε=
dB = 0 , 故 ( 3) 式变为 dt ( 4)
( 1)
其中 ε的方向与 L 的绕向一致 , Φ 的正方向与 S 的法向
κB ・dS
B′ , 电场为 E′ , 则由于他测得的回路的速度为零 , 故他 认为
所以 f 来源于磁场的变化 。 根据 f 的定义 , 它是作用在 单位电荷上的非静电力 , 而且由 ( 9) 式 , 它存在于变化磁场 的全部空间 , 因而它构成了一个力场 。 力场 f 对电荷 ( 运动 或静止) 有作用 , 因此它与静电场类似 , 麦克斯韦建议将其 命名为感应电场或涡旋电场 , 并记为 E感 。 感应电场和静电 场 ( 记为 E静 ) 一样 , 都是对电荷产生作用的场 。 但它们也有 极大的不同 , 静电场是由电荷产生的 , 其环流为零 。 而感应电场是由变化的磁场产生的 , 其环流为 ( 8) 式 , 一般不会是零 。 这样在空间任一点 , 电场都由两部分组成 , 即
第 21 卷 第5期
2003 年 10 月
运城学院学报 Journal of Yuncheng College
Vol. 21 No. 5 Oct . 2003
电磁感应定律浅析
聂 合 贤①
( 运城学院 科技产业处 , 山西 运城 044000)
摘 要 :法拉第电磁感应定律有几个不同的形式 ,在具体应用时具有很大的方便 。但在理解电磁感应现象 的本质时 ,就不是很好 。用统一的公式去处理动生电动势和感生电动势 ,使得在计算和对感应电场的理解上 ,都 带来了极大的方便 。最后指出了二者的同一性 。 关键词 : 电磁感应 ; 电动势 ; 感生电场 ; 罗伦兹力 中图分类号 :O552 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 8008 ( 2003) 05 - 0015 - 02 法拉第的电磁感应定律是电磁学中的重要内容之一 。 变化 。 对第一项求道 , 可按以下方式进行 , 设回路上的线元为 正确地理解和运用法拉第定律 ,对学习电磁学理论是十分重 要的 。但是在一般的教材中 , 都是将感应电动势分为动生 的和感生的来分别讨论 ,难以给人一个统一的图象 , 从而道 致初学者产生了一些不必要的混淆 。因此本文试图给电磁 感应定律一个统一的公式 ,并将动生电动势和感生电动势作 为它的特例 ,最后讨论感应电动势公式与整个电磁学理论体 系的一致性 。 一、 法拉第电磁感应定律 假设在磁场 B 中有一闭合回路 L , 以它为边界的任一曲 面记为 S , 规定 S 的法线方向与回路的绕行方向成右手关 系。 设穿过 S 的磁通量为 Φ , 则回路中的感应电动势为 : Φ ε= - d dt 一致 。 根据磁通量的定义 , 有 Φ = ε=d dt dl , 其运动速度为 v , 故 d dt
F = v ×B 或 F = q ( v ×B ) q ( 7)
比如对一起点为 A , 终点为 B 的曲线 , 其上的感应电动势应 ε=
( E + V ×B) ・d l ∫
A B
U BA
( 15)
或者用 ( 3) 式亦可 。 三、 结论 综合以上的讨论 , 我们觉得在讲授法拉第电磁感应定律 时 , 先给出一般情况下的公式 ( 3) , 再讨论它的两个特殊情 况 , 并进而给出动生电动势 ( 4) 和感生电动势 ( 5) , 效果要好 一些 。 在论述了感应电场的概念及性质后 , 可给出计算感生 电动势的其它公式 , 如 ( 12) 式 ( 它与 ( 3) 式等价 ) 以及 ( 14)
F 再看感生电动势 , 设 f = , 则由 ( 5) 式和 ( 6) 式 , 可得 q
实际上 , 我们在这里给出的公式 ( 14) 式也可以用其它 的方法得到 。 假如了解了电场的性质 , 包括静电场和感应电 场 , 则对电磁场中的回路 L , 其上的电动势为电磁场对单位 电荷运动一周所作的功 , 因此根据罗伦兹力公式 , 带有电荷
κ dS = Δt →0 Δt
lim
ΔS
=
lim ( Δ ) Δ Δt →0 v t ×dl / t =
∫
v ×d l ∮
将其代回 , 有 ε=
( v × d l ) ・B + ∮ κ dt ・dS dB ( v ×B ) ・d l + = ∮ κ dt ・dS dB
( 3)
( 1) 、 ( 2) 和 ( 3) 式是等价的 , 都是法拉第定律的数学表达
κB ・dS , 故
( 2)
( v ×B ) ・d l ∮
这时的感应电动势叫动生电动势 , 它是由于回路在磁场 中运动而产生的 。 当回路相对于磁场静止时 , 有 v = 0 , 则 ε=・dS ∮ dt
dB ( 5)
式 ( 1) 和式 ( 2) 即法拉第电磁感应定律的数学形式 。 若 回路由道体组成 , 且设回路的电阻为 R , 则回路中会有电流 产生 , 称之为感应电流 , 大小为 i = ε / R。 这正是法拉第最初 发现电磁感应现象时的情形 。 现在来对式 ( 2) 的求道进行运算 , 利用积的求道法则 , 有 ε=d ( dt
根据狭义相对论理论 , 在非相对论近似下 , 有
E′= E + v ×B ( 18)
∮
E ・d l = -
κ
dB ・dS dt
将其代回 ( 17) 式 , 结果与 ( 14 ) 式相同 , 即两者给出的结
( 12)
果是一致的 。
将 ( 12) 式中的环路积分变为面积分 ( 利用斯托克斯公 式) , 可得 ×E = 这正是克斯韦方程组之一 。 根据感应电场的定义和性质 , 一般情况下 , 感应电动势 亦可表示为 ε=