高等数学的直观化教学
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通过 一 定 的 方 式 和手 段 使 所 传 授 的 内容 通俗 形 象 ， 以便 学 生 认 识 和 接受 ．
直观化教学贯穿高等数 学的方方面面： 一些概念 的介绍 ， 照本就宣 ， 生会感到唐 突和迷惑 ， 若 学 不清楚概念 引入的必要性． 此时可介绍其背景 ， 或通过形象的 比喻 ， 活跃课堂气 氛 ， 加深学生 的印象 ； 一些定理的证明 ， 与之相关 的知识点较多 ， 不少学生缺
２ ２ 某 些 定 理 的 证 明 ．
正项 级数 的比较收敛法 ： 设 “ 为正项级数 ， 如果
能 收 敛．
＝ 则当 ｐ＜１ ｐ， 时级数收敛 ； Ｊ＞１ 当 Ｄ 或 竺
。时级数发散 ； ｌ 。 时级数可能发 散也可
若依照书本证明此定理 ， 则要非 常熟悉 ｌ ＝ｏ的 —Ｎ定义 ， ｉ ｍａ 这对 于很多学 生是个难 点 ， 特别是文科生． 其实教师在证 明
且为方向元素 ， 让他们对 Ａ大胆赋值 ， 最后通过严格 的推理来验证猜测的正确性 ， 经过这样一个提炼 、 图、 画 引导 的过 程 ， 问题 将
—
ｚ — ｚｏ
（ ）一 （ｏ Ｗ （ｏ ｔ ｔ）一 ｔ） ｏ
及
（） ２
（０ （ ） （ ） Ｙ—ｙ）＋Ｗ （０ （ － ０ ０ ｔ） 一 ０ ＋ ｔ （ ｏ ０ ｔ） － ）＝ Ｚ 曲面 Ｆ ， ，）＝ （ ｙｚ ０在点 Ｍ（ 。Ｙ ， ） ，ｏＺ 的切平 面和法线方程分别 为 ０
（ ０Ｙ ， ） — ｏ （ ０Ｙ ， ） Ｙ— ｏ （０Ｙ ， ） ｚ ｚ）＝ ，ｏＺ （ ）＋ ，ｏＺ （ Ｙ ）＋ ，ｏｚ （ — ０ ０ ０ ０ ０
及
ｘ — ｘ０
一
（） ３
（） ４
Ｙ— Ｙｏ
—
ｚ — ｚ０
（ ，ｏ ）一 （ ，ｏＺ）一 （ ，ｏ ） ‰ Ｙ， ‰ Ｙ， ０ ‰wk.baidu.comＹ，
便学生接受和理解 ； 该方法的合理运用 ， 可有效提高课堂教学效果 ， 帮助学生发现数学美．
Ｉ 直观化教学在高等数学教学 中的意义
高等数学作为大学一门基础课程 ， 其重要性毋庸置疑． 由于内容抽象 ， 难点较多 ， 学生 水平参差不齐 ， 加上课时有限 ， 再 初学
者普遍感到吃力 ， 很多内容难 以掌握． 因此这对高等数学教学提 出了较高要求 ， 一些 疑难 知识 点的直观化处理显得尤 为重要 ， 即
Ｎｏ ． ２ ０ ｖ ，０ ８
高 等数 学 的直观 化教 学
陈 波 张亚图 毛 伟
（江苏教育学 院数学系 ， 江苏南京 ２０ １ １０ ３）
摘 要 关键词
笔者结合高等数学教学实践 ， 介绍了一种直观化教学方法 ： 通过一定的方式和手段 ， 使数学 知识通俗直观 ， 以 高等数学 ； 直观化教学 ； 运用
（） ５
对于 （ ）一（ ） ， ２ ５ 式 很多学生张冠李戴 ， 分不清名词与公式 的对应关 系 ， 此时教师要 善于分析 ， 可先从 （ ）一（ ） ２ ５ 中提炼 出问
题的要点 ： 直线 和平 面 ， 通过 图示 ， 让学生体会 出有公共点且相互垂直 的直线 与平 面是共 Ａ、 Ｂ和 Ｃ的 ， 再引导学生看到 Ａ对应
生形成一个简明直 观的认识 ， 为更深一步的理解打下很好 的基础 ； 一些易混的知识点 的讲解 ， 应先提炼 出它们 的共 同点 ， 再分辨
出不 同点 ， 学 生掌 握学 习相 近 知 识 点 的 方 法 ， 免 死记 硬背 ． 让 避
２ 直观化教学在高等数学教 学中的应用
２ １ 某些 概 念 的 介 绍 ．
前可做一个简化处理 ： ｍ ｌ ｉ
… “
＝ ｐ理解 为 ｎ较大时
Ｕ
一ｐ 也 即｛ 对应于一个公 比为 Ｐ的等 比数列 ， ∑ 对应 于∑叩 这 ， ｕ｝ 故 ，
样学生就可以避开 — Ｎ的定义 ， 而将原级数 转化为一个等 比级数， 理解起来就容易得多 ， 而学有余力的学生 可在此基 础上参考
课本的严格证 明， 已不再困难．
一
７ — ６
２ ３ 某 些 易 混 知 识 点 的 介 绍 ．
空 间曲线 ＝ｅ ｔ ， （） ＝Ｗ ｔ ， ≤卢在 ｔ ０ （） Ｙ＝ ｔ ， （） ≤￡ ＝ｔ时对应点 Ｍ（。Ｙ ， ） ｘ ，ＯＺ 处的切线方程和法平面方程分别 为 ０
一
Ｘ０
一
Ｙ— ｙ ｑ
无穷 阶可导函数 ） 的泰勒级数 ：
ｆＸ）ｆｘ）Ｘ Ｘ） ．＋ ： （ ＋（ ｏ ｏ －０ ＋． ．
＋ …
（） １
在介 绍此概念时 ， 很多学生弄不清为什 么要将一个简单 的表达式＿ ） 厂 弄的如此复杂． （ 此时教师应 先解释清楚一般函数 ， ） （ 与幂函数（ ） — 。 是两类不同的函数 ， 为此可举例 ， ）＝ｓ ｘ与 （ ） （ （ ｉ ｎ 一 ＝ 即 。 ０ 让学生一 目了然 ， ＝ ） 接着可借用高 中生 物中用显微镜看细胞 的例子打 比方 ， 出有些考察对象 ＿ ） 指 厂 性质不好研究 ， （ 而泰勒级数好 比一副显微镜 ， 助我们看清Ｊ 的 帮 ， ） （ 结构． 通过举例和 比喻 ， 让学生对抽象的概念有 了直观的了解．
第 ２ 卷 第 ４期 ５ ２０ ０ ８年 １ 月 １
江苏 教育学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｎｓ ｓｔｔ ｏ ｄ ｃｔ ｎ（ ａ ｒｌ ｃｅｃｓ ｏ ｒａ ｏ ａｇｕＩ ｔｕｅ ｆ ｕａ ｏ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ ） Ｊ ｎｉ Ｅ ｉ ｕ
Ｖｏ ． ５ Ｎ ． １２ ｏ ４
少复习或基础薄弱 ， 以联系起相关的内容 ， 难 若繁琐地推导 ， 学生会失去 耐心 ， 这让 教师陷人 两难 ： 方面， 一 只介绍定 理内容 ， 而
不 推导 过 程 ， 识 就 浮 于 形式 ； 一 方 面 若 按部 就 班 ， 层 推 导 ， 生 会 失 去 兴 趣 ． 时 可 先 将 定 理 的 证 明通 俗 化 、 象化 ， 学 知 另 层 学 此 形 让
直观化教学贯穿高等数 学的方方面面： 一些概念 的介绍 ， 照本就宣 ， 生会感到唐 突和迷惑 ， 若 学 不清楚概念 引入的必要性． 此时可介绍其背景 ， 或通过形象的 比喻 ， 活跃课堂气 氛 ， 加深学生 的印象 ； 一些定理的证明 ， 与之相关 的知识点较多 ， 不少学生缺
２ ２ 某 些 定 理 的 证 明 ．
正项 级数 的比较收敛法 ： 设 “ 为正项级数 ， 如果
能 收 敛．
＝ 则当 ｐ＜１ ｐ， 时级数收敛 ； Ｊ＞１ 当 Ｄ 或 竺
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若依照书本证明此定理 ， 则要非 常熟悉 ｌ ＝ｏ的 —Ｎ定义 ， ｉ ｍａ 这对 于很多学 生是个难 点 ， 特别是文科生． 其实教师在证 明
且为方向元素 ， 让他们对 Ａ大胆赋值 ， 最后通过严格 的推理来验证猜测的正确性 ， 经过这样一个提炼 、 图、 画 引导 的过 程 ， 问题 将
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（ ０Ｙ ， ） — ｏ （ ０Ｙ ， ） Ｙ— ｏ （０Ｙ ， ） ｚ ｚ）＝ ，ｏＺ （ ）＋ ，ｏＺ （ Ｙ ）＋ ，ｏｚ （ — ０ ０ ０ ０ ０
及
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Ｙ— Ｙｏ
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便学生接受和理解 ； 该方法的合理运用 ， 可有效提高课堂教学效果 ， 帮助学生发现数学美．
Ｉ 直观化教学在高等数学教学 中的意义
高等数学作为大学一门基础课程 ， 其重要性毋庸置疑． 由于内容抽象 ， 难点较多 ， 学生 水平参差不齐 ， 加上课时有限 ， 再 初学
者普遍感到吃力 ， 很多内容难 以掌握． 因此这对高等数学教学提 出了较高要求 ， 一些 疑难 知识 点的直观化处理显得尤 为重要 ， 即
Ｎｏ ． ２ ０ ｖ ，０ ８
高 等数 学 的直观 化教 学
陈 波 张亚图 毛 伟
（江苏教育学 院数学系 ， 江苏南京 ２０ １ １０ ３）
摘 要 关键词
笔者结合高等数学教学实践 ， 介绍了一种直观化教学方法 ： 通过一定的方式和手段 ， 使数学 知识通俗直观 ， 以 高等数学 ； 直观化教学 ； 运用
（） ５
对于 （ ）一（ ） ， ２ ５ 式 很多学生张冠李戴 ， 分不清名词与公式 的对应关 系 ， 此时教师要 善于分析 ， 可先从 （ ）一（ ） ２ ５ 中提炼 出问
题的要点 ： 直线 和平 面 ， 通过 图示 ， 让学生体会 出有公共点且相互垂直 的直线 与平 面是共 Ａ、 Ｂ和 Ｃ的 ， 再引导学生看到 Ａ对应
生形成一个简明直 观的认识 ， 为更深一步的理解打下很好 的基础 ； 一些易混的知识点 的讲解 ， 应先提炼 出它们 的共 同点 ， 再分辨
出不 同点 ， 学 生掌 握学 习相 近 知 识 点 的 方 法 ， 免 死记 硬背 ． 让 避
２ 直观化教学在高等数学教 学中的应用
２ １ 某些 概 念 的 介 绍 ．
前可做一个简化处理 ： ｍ ｌ ｉ
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＝ ｐ理解 为 ｎ较大时
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一ｐ 也 即｛ 对应于一个公 比为 Ｐ的等 比数列 ， ∑ 对应 于∑叩 这 ， ｕ｝ 故 ，
样学生就可以避开 — Ｎ的定义 ， 而将原级数 转化为一个等 比级数， 理解起来就容易得多 ， 而学有余力的学生 可在此基 础上参考
课本的严格证 明， 已不再困难．
一
７ — ６
２ ３ 某 些 易 混 知 识 点 的 介 绍 ．
空 间曲线 ＝ｅ ｔ ， （） ＝Ｗ ｔ ， ≤卢在 ｔ ０ （） Ｙ＝ ｔ ， （） ≤￡ ＝ｔ时对应点 Ｍ（。Ｙ ， ） ｘ ，ＯＺ 处的切线方程和法平面方程分别 为 ０
一
Ｘ０
一
Ｙ— ｙ ｑ
无穷 阶可导函数 ） 的泰勒级数 ：
ｆＸ）ｆｘ）Ｘ Ｘ） ．＋ ： （ ＋（ ｏ ｏ －０ ＋． ．
＋ …
（） １
在介 绍此概念时 ， 很多学生弄不清为什 么要将一个简单 的表达式＿ ） 厂 弄的如此复杂． （ 此时教师应 先解释清楚一般函数 ， ） （ 与幂函数（ ） — 。 是两类不同的函数 ， 为此可举例 ， ）＝ｓ ｘ与 （ ） （ （ ｉ ｎ 一 ＝ 即 。 ０ 让学生一 目了然 ， ＝ ） 接着可借用高 中生 物中用显微镜看细胞 的例子打 比方 ， 出有些考察对象 ＿ ） 指 厂 性质不好研究 ， （ 而泰勒级数好 比一副显微镜 ， 助我们看清Ｊ 的 帮 ， ） （ 结构． 通过举例和 比喻 ， 让学生对抽象的概念有 了直观的了解．
第 ２ 卷 第 ４期 ５ ２０ ０ ８年 １ 月 １
江苏 教育学 院学报 （自然科 学版 ）
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少复习或基础薄弱 ， 以联系起相关的内容 ， 难 若繁琐地推导 ， 学生会失去 耐心 ， 这让 教师陷人 两难 ： 方面， 一 只介绍定 理内容 ， 而
不 推导 过 程 ， 识 就 浮 于 形式 ； 一 方 面 若 按部 就 班 ， 层 推 导 ， 生 会 失 去 兴 趣 ． 时 可 先 将 定 理 的 证 明通 俗 化 、 象化 ， 学 知 另 层 学 此 形 让