黄岗函数中的综合问题

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2024年中考数学总复习考点梳理专题三反比例函数综合题

2
∵点F在直线CD上，
∴－
3 2
×
20 3
＋b＝0，
∴b＝10，
∴直线CD的表达式为y＝－ 3 x＋10.
2
H
第1题图
∟
专题三反比例函数综合题
2. (2023甘肃省卷)如图，一次函数y＝mx＋n的图象与y轴交于点
A，与反比例函数y＝
6 x
(x＞0)的图象交于点B(3，a).
(1)求点B的坐标；
解：(1)∵点B(3，a)在反比例函数y＝ 6 (x＞0)
∴k＝－1×4＝－4，
∴反比例函数的表达式为y2＝－
4 x
；
第4题图
专题三反比例函数综合题
(2)在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；【解法提示】由题图易得在第二象限内，当y1＜y2时，－1＜x ＜0. (2)－1＜x＜0；
第4题图
专题三反比例函数综合题
(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
∵B(4，－6)，∴BG＝4， ∵S△OBE＝12 OE·BG＝20， ∴OE＝10，
∴E(0，10)，
∴直线AB向上平移10个单位得到直线CD，
∴直线CD的表达式为y＝－
3 2
x＋10.
∟
G
第1题图
专题三反比例函数综合题
【一题多解】如图，连接BF，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A(－4，6)在正比例函数y＝kx上，
2
(1)求这两个函数的解析式；
解：(1)∵反比例函数图象过点A(4，1)，
标轴于点 E，F，连接 OD，BD，若 △OBD的面积为20，求直
线 CD的表达式． (2)如图，连接BE，
过点B作BG⊥y轴于点G，

湖北省黄冈中学中考数学二次函数和几何综合专题

湖北省黄冈中学中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．探究：已知二次函数y ＝ax 2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)． (1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ，连接AC ，PA ，PC ．①求△ACP 的面积S 关于t 的函数关系式；②求△ACP 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．拓展：在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(﹣1，3)，N 的坐标为(3，1)，若抛物线y ＝ax 2﹣2x+3(a ＜0)与线段MN 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．2．某班“数学兴趣小组”对函数234y x x =-++的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x⋯ 5- 4-3- 2-32- 1- 0 13223 45⋯ y ⋯6- 04 62546 4 6 25464m⋯m = ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y kx b =+经过325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根，则b 的取值范围为．3．在正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，连接PM 、PB ，设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM ＋PB 长度为ycm .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： x/cm 0 1 2 34 5 y/cm6.04.84.56.07.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM ＋PB 的长度最小值约为______cm . 4．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP ⊥x 轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，（1）该函数的解析式为，补全下表： x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y ⋯2﹣1 ﹣2 2 1 2 ⋯（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：．（3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集．8．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．9．已知函数()()2110b y a x a x=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2m385-… （1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图l ，在正方形ABCD ABCD 中，8AB =AB=8，点E E 在AC AC 上，且22AE =，22AE =过E 点作EF AC ⊥于点E ，交AB 于点F ，连接CF ，DE ．（问题发现）（1）线段DE 与CF 的数量关系是________，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是___________；（拓展探究）（2）当AEF ∆绕点A 顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E 到直线AD 的距离为2时，请直接写出CF 的长． 12．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 13．综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ．探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明；探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明；探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．14．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，ED 交直线AB 于点O ，连接BE ．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D 在边BC 上，猜想： ①AF 与BE 的数量关系是； ②∠ABE ＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D 在边BC 上，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D 在射线BC 上，且BD ＝3CD ，若AB ＝8，请直接写出BE 的长．15．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EF AB GH AD；（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝2103，请求BP的长．16．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF 是矩形．（依据2） ∴∠CEA =90°，即AE ⊥CE ．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE ，FB 交于点P ，求证：EB =PB ．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE =31-，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．17．在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，52AP =，请直接写出CE 的长． 18．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________．（2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由． ②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EFAB BE==，请直接写出线段BM 与线段AE 的数量关系．19．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究：（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________；推广验证：（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用：（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,23,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE 上，30,2ABP PE ∠=︒=，求五边形ABCDE 的面积．20．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求BC BN 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =23922t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315(,)24-，拓展：2a ≤-. 【分析】（1）由待定系数法易求解析式；（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()2,23t t t --+，由PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值.【详解】探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -，∴()()203233a =--⨯-+，解得1a =-. ∴抛物线的表达式为223y x x =--+.（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，∴点P 的坐标为()2,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +，∴()2233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--， ∴()21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=--⋅ 23922t t =--. ②∵23922S t t =--， ∴当9323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当32t =-时，2331523224p y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点，即a+5≤3；∴2a ≤-；【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．2．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于y 轴对称；②该函数的图象有最高点；（4）2544b <<．【分析】（1）根据对称可得m=-6；（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；（4）画出两函数图象即可得到结论．【详解】（1）由表格可知：图象的对称轴是y 轴，∴m=-6，故答案为：-6； ()2如图所示()3①该函数的图象关于y 轴对称②该函数的图象有最高点；（4）由图象可知：关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根时，即y=kx+b 时，与图象有4个交点，所以，由图象可以得出，当2544b <<时，直线与图象有4个不同的交点．故答案为：2544b <<．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．3．H解析：（1）5.0；（2）见解析；（3）x ＝2时，函数有最小值y ＝4.5【分析】（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM +HN 的值即为x =2时，y 的值；（2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）由函数图象可知函数的最小值．【详解】（1）当点P 运动到点H 时，AH =3，作HN ⊥AB 于点N ．∵在正方形ABCD 中，AB =4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，∴∠HAN =45°，∴AN =HN =AH •sin45°=323222⨯=，∴HM 22()HN AN AM =+-，HB 22()HN AB AN =+-，∴HM +HN =222232323232()(2)()(4)2222+-++-=136225122-+-≈4.5168.032+≈2.125+2.834≈5.0．故答案为：5.0；（2）（3）根据函数图象可知，当x =2时，函数有最小值y =4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．A解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（4EC ＝ED ；（3）3(,0)2P -【分析】（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．【详解】解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，∴ 当x ＝0时，y ＝4．∴ C （0，4）．当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，∴ A （﹣4，0），B （1，0）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b+=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．（2）设点P 的运动时间为t 秒，∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴ OP ＝t ．∴ P （﹣t ，0）．∵ A （﹣4，0），C （0，4），∴ OA ＝OC ＝4．∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC ＝．∵ DP ⊥x 轴，在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AE AP 4﹣t ）．∴ EC ＝AC ﹣AE．∵ E ，P 的横坐标相同，∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．∵ EC ＝DE ，∴﹣t 2+4t ．解得：t ＝0或t ＝4∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．（3）存在．P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，∴ AP ＝EP ．∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．∵ AB ＝5，∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．当BE ⊥AC 时，BE 最小．在Rt △AEB 中，∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，∴ PB ＝12AB ＝52． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32． ∴ P （﹣32，0）．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 5．A解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q ．【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)，当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）；当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b d c e=-⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论．【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3，即y ＝−x 2＋4x −1；（2）如图，由（1）知，A （2，3），设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3，解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a -，244ac b a -），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---）， ∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上， ∴224444ac b ae d a a---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩．【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x 55+15--≤x 15-+ 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【详解】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴12224221b c b c -+-=-⎧⎨++-=⎩， ∴13b c =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，故答案为：y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|；当x =-4时，y =7；当x =0时，y =-1；补全表格如图， x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 01 2 3 ⋯ y ⋯ 7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ，解得，1552x +=，2552x -=，观察图象可知不等式的解集为：552-≤x ≤552+；当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ，解得，3152x -+=，4152x --=，观察图象可知不等式的解集为：152--≤x ≤152-+； ∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集为552-≤x ≤552+或152--≤x ≤152-+．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．8．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，422+5,1555N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可；（3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点，∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴=设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛- ⎝或452521.N ⎛- ⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．9．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见详解；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【详解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x---+（a≠0），当x=4时，m=131791244-⨯-+=-；（2）如图所示，性质：当x ＞2时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；（3）∵a （x -1）2+b x≥x -4， ∴a （x -1）2+b x+1≥x -3，如图所示，由图象得：x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1321-+321-+)321--321--3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或) 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x = ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x∴O 1 )(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+得：{320k b k b =-+=-+ 解得：{33k b =-=- ∴直线EF 解析式为 33y x =--根据题意得 22333x x x --+=--解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的解析：（1）2CF DE ，45︒；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）CF 的长为5或413【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==，易证~FAC EAD ∆∆，由相似三角形的性质即可得到2CF DE ，由三角形的内角和即可得到45CNE ∠=︒；（2）延长DE 交CF 于点G ，由旋转的性质可知Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==∽∆∆FAC EAD ，同（1）易证结论仍成立；（3）由点E 到直线AD 的距离为2，22AE =F 在直线AD 或AB 上，分两种情况讨论：（i ）当点F 在DA 的延长线或BA 延长线上时，由勾股定理可得CF 的长，（ii ）当点F 在AD 或AB 上时，过点E 作AEF ∆的高，由勾股定理可得CF 的长．【详解】解：（1）如图①，延长DE 交CF 的延长线于点N ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴45FAE DAC ︒∠=∠=，∵AEF ∆是直角三角形，∴Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形， ∴2AF AC AE AD ==，又∵FAC EAD ∠=∠，∴~FAC EAD ∆∆，∴2==CF AF DE AE ，ADE ACF ∠=∠， ∴2CF DE =；又∵180CAD ADE AED ︒∠+∠+∠=，180CNE CEN ECN ︒∠+∠+∠=，AED CEN ∠=∠， ∴45CNE CAD ∠=∠=︒故答案为：2CF DE =，45︒（2）结论仍然成立．理由如下：如图②，延长DE 交CF 于点G ．∵AC 是正方形ABCD 的对角线，且Rt AEF ∆是由原题中图1的位置旋转得来， ∴45∠=∠=︒FAE DAC ，即Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形．∴2AF AC AE AD= 又∵∠=∠+∠FAC FAE EAC ，EAD DAC EAC ∠=∠+∠，∴FAC EAD ∠=∠．∴∽∆∆FAC EAD ．∴2==CF AF DE AE ，ADE ACF ∠=∠． ∴2CF DE =．又∵180∠+∠+∠=︒CAD ADE AHD ，180︒∠+∠+∠=CGD ACG GHC ，∠=∠AHD GHC ， ∴45∠=∠=︒CGD CAD ．∴结论成立．（3）CF 的长为45或413．理由如下：∵点E 到直线AD 的距离为2，22AE =，∴点F 在直线AD 或AB 上分两种情况讨论：（i ）如图③，当点F 在DA 的延长线上时，过点E 作EG ⊥AD 交延长线于点G,∵22AE =,∴4AF =,∴12DF DA AF =+=，在Rt CDF ∆中，由勾股定理得2222812413CF CD DF =+=+=；如图④，当点F 在BA 延长线上时，过点E 作EK ⊥AD 交DA 的延长线于点K ，在等腰Rt AEF ∆中，过点E 作EH ⊥AF 于点H,∵AH=EK=2=12AF ，∴BF=AB+AF=12，∴2222812413CF BC BF ++（ii ）如图⑤，当点F 在AD 上时，过点E 作EI ⊥AD 于点I ，∵AF=4，AD=8，∴4DF AD AF =-=，在Rt CDF ∆中，由勾股定理得22228445CF CD DF =+=+=；如图⑥，当点F 在AB 上时，过点E 作EM ⊥AD 交AD 于点M ，在等腰Rt AEF ∆中，过点E 作EN ⊥AF 于点N ，∵AN=EM=2=12AF ，∴4BF AB AF =-=， ∴22228445CF BC BF ++综上所述，CF 的长为41345【点睛】本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键． 12．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD ，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．（2）先求出，得出，根据解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点，∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≌BD CE ABD ACE ，=∠=∠∴．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，12MN BD ∴=且//MN BD 同理可证12PN CE =且//PN CE ,MN PN MNE DBE NPB ECB ，∴=∠=∠∠=∠MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠60ABC ACB =∠+∠=︒．在MNP △中∵∠MNP=60︒，MN=PNMNP ∴是等边三角形．()3根据题意得:BD AB AD ≤+即4BD ≤，从而2MN ≤MNP △的面积2133224MN MN MN =⋅=． ∴MNP △面积的最大值为3．【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．13．（1）见解析；（2），见解析；（3）【分析】（1）连接CF ，证明，即可解决问题；（2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾解析：（1）见解析；（2）2222FC EC EC +=，见解析；（3）2GE GF CG +=【分析】（1）连接CF ，证明ACE BCF ≌△△，即可解决问题；（2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾股定理即可解决问题；（3）证明RT △CNE ≌RT △CMF ，RT △GCN ≌RT △GCM ，即可解决问题．【详解】（1）证明：如图，连接CF ．∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，∴45ACE BCE ∠=∠=︒．∵E ，F 关于CB 对称，∴45BCF BCE ∠=∠=︒，CE CF =．∴ACE BCF ∠=∠．在ACE △和BCF △中，CA CB ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACE BCF SAS △≌△．∴AE BF =．（2）解：结论：2222FC EC EC +=．理由如下：连接EF ，CF ．∵ACE BCF ≌△△，∴AEC BFC ∠=∠．∵180AEC CEG ∠+∠=︒，∴180CEG CFG ∠+∠=︒．∴180ECF EGF ∠+∠=︒．∵45ECB BCF ∠=∠=︒，∴90ECF EGF ∠=∠=︒．∴222FG EG EF +=，222EF CE CF =+．∵CE CF =，∴2222FC EG CE +=．（3）如下图，结论2GE GF CG +=．理由如下：连接CG ，CF ，作CM ⊥BF 于点F ，CN ⊥AG 于点N ，∵ACE BCF ≌△△，∴CN=CM ，∵∠CNE=∠CMF=90°，CE=CF ，∴RT △CNE ≌RT △CMF ．∴EN=FM ，∵∠CNG=∠CMG=90°，CG=CG ，∴RT △GCN ≌RT △GCM ，∴GN=GM ，∠CGN=∠CGM=45°，∴2， ∴GE+GF=GN －2．故2CG ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．14．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得1==4AF CDAB CB、1==2AF CDAB CB，代入数据求解即可；【详解】（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次函数性质及其综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析2：一元二次函数性质及其综合考察一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质）二 .高考题热身1.若不等式 x2＋ ax＋ 10 对于全部 x（ 0，1〕建立，则 a 的取值范围是（）2A． 0 B.–2 C.- 5D.-3 22.已知函数21212则() f(x)=ax +2ax+4(a>0), 若 x<x, x +x =0 ,A .f(x)<f(x) B.f(x1)=f(x ) C.f(x )>f(x ) D.f(x)与 f(x )的大小不可以确立12212123．过点（－ 1， 0）作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为（ A ）2x y 2 0（ B）3x y 3 0 （C） x y 1 0 （D） x y 1 0 3.设a 0，f (x) ax2bx c，曲线 y f ( x) 在点P( x0, f (x0))处切线的倾斜角的取值范围为0,，则点Ｐ到曲线y f ( x) 对称轴距离的取值范围是（）41.[ 0,1bD . 0,b 1A. 0,B ] C. 0,22a2a2a4．设b0 ，二次函数y ax2bx a 2 1 的图像为以下之一（）则 a 的值为（A）1（B）1（C）1 5（D ） 1 522| x 2 |25.不等式组log 2 ( x21)1的解集为 ()(A) (0, 3 )；(B) ( 3 ,2)；(C) ( 3 ,4)；(D) (2,4)。

6．一元二次方程ax22x10,( a0) 有一个正根和一个负根的充足不用要条件是：（）A．a 0B．a 0C．a1 D ．a 1已知方程 (x 22x m)(x22x n)0 的四个根构成一个首项为17.4的等差数列 ,则m n ()A1B3C1D34288.已知 Ax ||2 x 1| 3,Bx | x 2 x 6 , A IB ()A .3,2U1,2B.3, 2 U 1, C.3, 2U1,2D., 3 U 1,2f ( x)( x 1) 2, x19. 设函数4 x 1, x 1 ，则使得 f ( x)1的自变量 x 的取值范围为（）A ．, 20,10 B ．, 20,1 C ．, 21,10 D ． [2,0] 1,109.函数 f ( x)x 22ax3 在区间［ 1， 2］上存在反函数的充足必需条件是（）A. a(,1]B.a [2, ) C. a[1,2]D . a (,1] [ 2,)10.已知函数 f (x)在x1处的导数为 3,则f (x) 的分析式可能为（）A ． f (x) ( x 1) 2 3( x 1)B ． f (x)2( x1)C ． f (x)2(x 1) 2D ． f ( x)x 111. 定义在 R 上的偶函数 f(x) 知足 f(x) =f(x+2) ，当 x ∈ [3， 5]时， f(x)=2 － |x － 4|，则（）A ． f(sin)<f(cos ) B ． f(sin1)> f(cos1)66C ．f(cos2)<f(sin 2) D ． f(cos2)>f(sin2)3312．命题 p ：若 a 、 b ∈ R ，则 |a|+|b|>1 是 |a+b|>1 的充足而不用要条件；命题：函数 y= | x1 |2 的定义域是（－∞，－1 ] ∪ [3，+∞ ) .则（）qA ．“ p 或 q ”为假B ．“ p 且 q ”为真C ． p 真 q 假D ． p 假 q 真13. .已知对于 x 的方程 x2－ (2 m － 8)x + m2－ 16 = 0 的两个实根x 1、x 2 知足 x 1 ＜ 23 ＜ x 2 ，1m7则实数 m 的取值范围 _______________. {m |}2 214.已知 a,b 为常数，若 f (x)x 24x 3，f ( axb ) x 210 x 24 ，则 5a b =2。

湖北省黄冈中学高考数学二轮复习考点解析3函数三要素的综合考查

湖北省黄冈中学高考数学二轮复习考点解析3：函数三要素的综合考查一.函数三要素(定义域、值域、对应关系)的求法:（学生做题归纳）二.高考题热身1.（06湖北卷）设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为_______________解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<2x <2且－2<2x<2解得－4<x <－1或1<x <4故选B2．（06湖南卷）函数y =_______ [4, +∞)3.(07陕西卷)函数f(x)=11+x 2 (x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B .(0,1] C.[0,1) D.[0,1]4.（06浙江卷）对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是____.解：当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为（－x －1）－（2－x ）＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <0.5时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，因为（x ＋1）－（2－x ）＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当0.5≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2；故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。

选C5.（07安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______。

解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析函数四性的综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析4：函数四性的综合考察一.函数四性 (对称性 ,周期性 ,奇偶性 ,单一性 ) 定义及特色 : （学生做题概括）二 .高考题热身1.（北京卷）已知f ( x)(3a1)x4a, x1log a x, x 1是 (,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是1111（A）(0,1)（ B）(0,3)（C）[7,3)（D）[7,1)2.（福建卷）已知 f(x)是周期为 2的奇函数，当 0<x<1 时，f ( x)lg x. 设a f ( 6), b f (3), c5f ( ),则522（A ）a b c（ B）b a c（ C）c b a（D ）c a b 3．（广东卷）以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A . y x3 , x R B.y sin x , x RC. y x , x RD.y ( 1) x , x R 24．（辽宁卷）设 f(x) 是 R 上的随意函数 ,则以下表达正确的选项是(A) f(x) f(-x) 是奇函数(B) f(x) |f(-x)|是奇函数(C) f(x)- f(-x)是偶函数(D ) f(x)+ f(-x)是偶函数5．（全国 II ）函数 y＝ f(x)的图像与函数 g(x)＝ log x(x＞ 0)的图像对于原点对称，则f(x)的表2达式为1(A)f(x)＝log 2x(x＞ 0)(B)f(x)＝ log2(－ x)( x＜ 0)(C)f(x)＝－ log 2x(x＞ 0)(D )f( x)＝－ log 2(－ x)(x＜ 0)6．（全国 II ）假如函数 y=f(x) 的图像与函数y3 2 x 的图像对于坐标原点对称，则y=f(x) 的表达式为（A ） y=2x-3（ B） y=2x+3（C） y=-2x+3（D ）y=-2x-37.（山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)知足 f(x+2 )= －f(x),则 ,f(6)的值为(A) －1(B) 0(C)1(D)28． ( 天津文 10)设 f（ x）是定义在R上以 6 为周期的函数，f（ x）在 (0,3)内单一递减，且y=f （ x）的图象对于直线x=3 对称，则下边正确的结论是（）(A) f 1.5f 3.5f 6.5 ；(B)f 3.5 f 1.5 f 6.5 ；(C) f 6.5f 3.5f 1.5 ；(D)f 3.5 f 6.5 f 1.59.设 f(x),g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x0 时，f( x) g( x) f ( x) g ( x) 0,且 g(-3)=0 则不等式f(x)g(x)<0 的解集是（）A ．(3,0)(3,) B．(3,0)(0,3)． (,3)(3,)D．(, 3)(0,3) C10. 直线沿y轴正方向平移m m0, m 1 个单位，再沿x轴负方向平移m－1个单位得直线 l ，若直线 l 与 l 重合，则直线l 的斜率为（）1 m 1 m m m(A)m(B)m(C) 1 m(D)1mx 111．设 f(x)是定义在 R上的奇函数 , 且 y=f(x)的图象对于直线2对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0 。

湖北省黄冈中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(有答案解析)

一、选择题1．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a b c <<2．已知定义域为R 的函数()f x 在[2)+∞，上单调递减，且(2)f x +是奇函数，则(1)f 、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、(3)f 的大小关系是（） A ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭B ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭D ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭3．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（） A ．()8,9 B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,1304．函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）． A ． B ．C ．D ．5．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（） A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞--6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是（）A ．31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（）A ．2a ≥-B ．2a ≤-C ．4a ≥-D ．4a ≤-9．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,0)-B ．2]C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．2,1)10．函数()23f x x =-( )A ．3⎡⎤⎣⎦B ．[]1,5C ．2,3⎡⎣D ．3⎡⎣11．函数f (x )的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43]12．已知2()log (1)f x x =-，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．11,22⎛⎝⎭C ．115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-13．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．14．若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),4-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()11f =，则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________．17．函数24xy x =+的严格增区间是_____________. 18．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.19．已知函数()()()2223f x x x x ax b =--++是偶函数，则()f x 的值域是__________.20．已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a的取值范围是______．21．已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数x ，有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则满足4()0f x x->的x 的取值范围为__________. 22．研究函数22()(0)||||a x f x abc x b x c -=<<<++-，得到如下命题：①此函数图象关于y 轴对称；②此函数存在反函数；③此函数在()0,a 上为增函数；④此函数有最大值ab c+和最小值0；你认为其中正确的是_______（写出所有正确的编号）．23．已知函数246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，则()()2f f -=______. 24．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .25．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，2()32f x x x =++，若当[1x ∈，3]时，()n f x m 恒成立，则m n -的最小值为___.26．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >，所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数，由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.2．D解析：D 【分析】根据函数(2)f x +是奇函数和在[2)+∞，上单调递减，得到()f x 在R 连续且单调递减可得答案. 【详解】因为(2)f x +是奇函数，所以()f x 的图象关于(2,0)对称，且在[2)+∞，上单调递减，所以()f x 在(,2)-∞单调递减，又因为()f x 定义域为R ，所以(2)0f =，所以()f x 在R 连续且单调递减，由于5132<<，所以5(3)()(1)2f f f <<.故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 在R 连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．D解析：D 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果．【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=．结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<．故选：D ．【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：确定方程根的个数；求参数的取值范围；求不等式的解集；研究函数性质．4．B解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12xx f x x -=⋅+， ()()()2221sin 1sin 1212x x xf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212xxx x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ，令()0f x =，则21012x-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =，所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <，又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=，所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >，大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-，故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.6．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()2117242117,1,2x x x M x x x ⎧⎡⎤---+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛-⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤，即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x >当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得1172x --≤即当1172x --≤时，()()f x g x >，当11702x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,12117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B7．A解析：A 【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称，结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方解得x 的取值范围，即可得答案．【详解】因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称，因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象，则()y f x =的图象关于直线1x =对称，又因为()f x 在区间[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减，所以()f x 的函数值越大，自变量与1的距离越大， ()f x 的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<，解得315x -<<，即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．8．C解析：C 【分析】首先变形条件，得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--，即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增，()22g x x ax a =++，函数的对称轴是4a x =-，则14a-≤，解得：4a ≥-.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.9．D解析：D 【分析】转化条件为22,(),x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即可得解.【详解】由题意，函数22, (),x ax x a f x x x axax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，函数2y x ax=-+的图象开口朝下，对称轴为2ax=，函数2y x ax=-的图象开口朝上，对称轴为2ax=，当0a=时，22,0(),0x xf xx x⎧≥=⎨-<⎩，函数在R上单调递增，不合题意；当0a<时，作出函数图象，如图，易得函数在区间(0,1)上无最值；当0a>，作出函数图象，如图，若要使函数()f x在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则()0112aaf f<<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即2201122aa aa<<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+⎪⎪⎝⎭⎩，解得2221a≤<；综上，实数a 的取值范围是[222,1)-. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数()f x 的图象，结合图象数形结合即可得解.10．A解析：A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.11．C解析：C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.12．C解析：C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >，并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =，所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：151x +<<1502x -<<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.13．B解析：B 【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.14．B解析：B 【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法15．B解析：B 【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意；对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．1【分析】据题意分析可得则有即函数是周期为4的周期函数结合奇函数的性质及周期可求【详解】因为所以所以即函数是周期为4的周期函数所以所以原式等于故答案为：【点睛】方法点睛：函数在定义域R 上满足可知函数解析：1 【分析】据题意，分析可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，结合奇函数的性质及周期可求. 【详解】因为()()11f x f x -=+，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()33411f f f f =-=-=-（）,(4)(0)(2)0f f f ===, (1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以原式等于()()()12(123(4))(49)(50)(49)(50)(1)(2)1f f f f f f f f f f +++++=+=+=故答案为：1 【点睛】方法点睛：函数在定义域R 上满足()()f a x f a x +=-，可知函数图象关于x a =对称，如果同时函数为奇函数，且关于直线x a =对称，可推出函数为周期函数.17．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性解析：[]22-,【分析】根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案. 【详解】因为2()4xy f x x ==+，定义域为R ，所以22()()()44x xf x f x x x ---===--++，即()f x 在R 上为奇函数，根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同，当x =0时，()0y f x ==，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下：在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <，则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=1212124()x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为1202x x <<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>，所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ⎛⎫--=->⎪⎝⎭，即12()()f x f x >，所以4()g x x x=+在(0,2]上为减函数，所以21()44x f x x x x==++在(0,2]上为增函数，当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →，又(0)0f =，所以2()4xf x x =+在[0,2]为增函数根据奇函数的性质，可得21()44x f x x x x==++在[2,0)-也为增函数，所以()f x 在 []22-,上为严格增函数，故答案为：[]22-,【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.18．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-，当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=；当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=；当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=；当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=；又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4. 故答案为：{}0,1,3,4 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解.19．【分析】利用偶函数性质赋值可求出函数解析式再求值域即可【详解】因为是偶函数所以有代入得：解得：所以故答案为：解析：[)16,-+∞【分析】利用偶函数性质，赋值可求出函数解析式，再求值域即可. 【详解】因为()()()()()()2222331f x x x x ax b x x x ax b =--++=-+++是偶函数，所以有()()()()330110f f f f ⎧-==⎪⎨=-=⎪⎩，代入得：93010a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2,3a b ==-.所以()()()()()22222242223233410951616f x x x x x x x x x x =--+-=--=-+=--≥-，故答案为：[)16,-+∞.20．【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图：由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到解析：6a ≤-【分析】等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解. 【详解】∵()f x 的最大值是0，∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤，∴当2x =-时，0f x 恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤，∴2a x ≤--，设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-， ∴实数a 的取值范围为6a ≤-．故答案为：6a ≤-．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了.21．【分析】根据题意可得为定值设为c 根据题意可求得c 的值即可得的解析式根据的单调性及即可求得答案【详解】因为是定义在R 上的单调函数且所以对于任意x 为定值设为c 即所以又所以c=1即设因为与都为单调递增函数解析：(1,)+∞【分析】根据题意可得()3xf x -为定值，设为c ，根据题意，可求得c 的值，即可得()f x 的解析式，根据()g x 的单调性及(1)0g =，即可求得答案.【详解】因为()f x 是定义在R 上的单调函数，且()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，所以对于任意x ，()3xf x -为定值，设为c ，即()3xf x c -=，所以()3()4x f f x f c ⎡⎤-==⎣⎦，又()34cf c c =+=，所以c=1，即()31xf x =+，设44()1()3x g x f x x x+=-=-，因为3xy =与4y x=-都为单调递增函数，所以()g x 为单调递增函数，且(1)3140g =+-=，所以4()301xg x x+=->的取值范围为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞ 【点睛】解题的关键是根据单调性，得到()3xf x -为定值，求得()f x 的解析式，再解不等式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解：函数由于整理得则：由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析：①④ 【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②，进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④．【详解】解：函数()(0)||||f x a b c x b x c =<<<++-，由于220a x -≥，整理得a x a -≤≤．则：()||||f x x b x c b c==++-+．由于函数为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，所以函数不存在反函数，存在反函数的函数的前提该函数具有单调性．故①正确②错误．因为22y a x =-在()0,a 上为减函数，所以()f x 在()0,a 上为减函数，故故③错误；可知()f x 在[],0a -单调递增，()0,a 单调递减，且为偶函数，则()f x 在0x =出取得最大值ab c+，在x a =±处取得最小值0，故④正确．故答案为：①④. 【点睛】本题考查函数性质的应用，属于基础题.23．11【分析】用分段函数的解析式先求出从而可得的值【详解】解：∵且∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对抽象思维解析：11 【分析】用分段函数的解析式先求出()2f - ，从而可得()()2f f -的值.【详解】解：∵ 246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，且20-<， ∴ ()222log 10f -=->= ∴ ()()()42116111f f f -==++=. 故答案为：11. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰．24．5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析：5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =,故答案为5.25．【分析】先利用二次函数的性质得到函数在区间上的最值然后根据是奇函数得到时的最值然后根据恒成立求解【详解】当时当时函数在上是减函数在上是增函数所以在上的最小值为最大值为所以当时又是奇函数当时即因为当时解析：94【分析】先利用二次函数2()32f x x x =++的性质，得到函数在区间[3-，1]-上的最值，然后根据()f x 是奇函数，得到[1x ∈，3]时的最值，然后根据()n f x m 恒成立求解. 【详解】当0x <时，2()32f x x x =++，∴当[3x ∈-，1]-时，函数在[3-，3]2-上是减函数，在3[2-，1]-上是增函数，所以()f x 在[3-，1]-上的最小值为23331()()322224f ⎛⎫-=-+⨯-+=- ⎪⎝⎭，最大值为2(3)(3)3322f -=--⨯+=，所以当[3x ∈-，1]-时，1()24f x - 又()y f x =是奇函数，∴当13x ，时1()()[,2]4f x f x -=-∈-即12()4f x - 因为当[1x ∈，3]时，()n f x m 恒成立所以区间[2-，1][4n ⊆，]m ，所以19(2)44m n ---= 故答案为：94【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、二次函数在闭区间上的最值和函数恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．(－22)【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜0的解为解析：(－2,2)【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析指数对数函数性质及其综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析1：指数、对数函数性质及其综合考察一.指数、对数函数的图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质）二.高考题热身1.（ 05 江苏卷）函数 y21 x3(x R) 的反函数的分析表达式为()2x 3（ C）y3x（D）ylog232（A ）y log2 x 3（B）ylog 22log 22x2.（ 05全国卷Ⅰ）设0a1，函数 f ( x ) log a( a2 x2a x 2) ，则使f ( x)0的 x 的取值范围是（）（A）(,0)（ B）(0,)（C）(,log a 3)（ D ）(log a3, )3.(05全国卷 III) 若a ln 2 , b ln 3 , c ln 5,则 ( )235(A)a<b<c (B)c<b<a(C)c<a<b(D)b<a<c4. （07 福建卷）函数 f ( x)a x b的图象如图，此中 a、b 为常数，则以下结论正确的选项是（）A ．a 1, b 0B ．a 1, b 0 C．0 a 1,b 0D．0 a 1, b 05.（ 05 湖北卷）函数y e|ln x|| x1 |的图象大概是（）6.（ 05江西卷）函数f ( x)1的定义域为（）log2 ( x24x3)A ．（1， 2）∪（ 2， 3）B ．(,1)(3,)C．（ 1， 3） D ．[1 ，3]7．（ 06 广东卷）函数f (x)3x21lg(3 x 1) 的定义域是x11 C.11 D.(1)A.( ,)B.( ,1)(, ),333338.（ 06湖北卷）设 f ( x) lg2x，则f (x) f (2) 的定义域为2x2xA ． ( 4,0) U (0,4)B．C．( 2, 1) U (1,2)D．( 4,1) U (1,4) ( 4, 2) U (2,4)9．（ 06 湖南卷）函数y log2 x 2 的定义域是() A.(3, +∞ ) B.[3, +∞ )C.(4, +∞ ) D.[4, +∞)10. (06 陕西卷 )设函数 f(x)=log (x+b)(a>0,a ≠ 1)的图象过点(2,1), 其反函数的图像过点 (2,8), 则aa+b 等于 ( )A.6B.5C.4D.311 . 34.（天津卷）设 Plog 2 3， Q log 3 2，R log 2 (log 3 2)，则（）Ａ．R Q P Ｂ． P RQ Ｃ．QRPＤ．RPQ12.（浙江卷） )已知 0a 1,log a m log a n 0 ，则(A )1＜ n ＜m (B) 1 ＜ m ＜ n (C)m ＜ n ＜ 1 (D) n ＜ m ＜1三．典型例题例 1.（ 07 天津卷）已知函数 y f (x)的图象与函数 ya x （ a 0 且 a 1 ）的图象对于直线y x 对称，记 g( x)f ( x)[ f (x)f (2) 1] ．若 yg(x) 在区间 [1,2 ]上是增函数，则实数 a 的2取值范围是（）A ．[2, )B ． (0,1) (1,2)C．[ 1,1)D． (0,1]22例 2.（ 06 天津卷）假如函数 f (x)a x (a x 3a 2 1)(a 0且a1)在区间 0，∞ 上是增函数，那么实数a 的取值范围是（）2 31， 33， ∞Ａ．0，，1Ｃ．Ｄ． 23Ｂ． 3例 3.(06 上海卷 )方程 log 3 ( x 2 10) 1 log 3 x 的解是 _____.5例 4.(07 重庆卷 )设 a 0, a 1，函数 f ( x) log a ( x 2 2x 3)有最小值，则不等式log a (x1)0 的解集为。

黄冈中学高考数学典型例题9：指数、对数函数

黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218xx x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2)B.3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae －nt ,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=x x -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x, ∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R .当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1)②由①②得：g (x )=2x,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f- －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae －nt ,y 2=a －ae －nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1.(2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-.6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221xx +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221xx +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23.即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0.。

黄冈训练题：一次函数全章综合评价 - 副本

一次函数全章综合评价(满分120分)一、透择题(每题4分，共32分)1．正比例函数y =kx 的自变量取值增加1，函数值就相应地减小4，则k 的值为( B )． (A)4 (B)-4 (C)41 (D) 41- 2．当x =3时，函数y =x +k 和函数y =kx -1的值相等，那么k 的值为( C )．(A)1 (B)3 (C)2 (D)-23．已知一次函数y =kx +b ，当x =1时，y =-2，且它的图象与y 轴交点的纵坐标5，那么该函数的表达式是( C )．(A)y =3x +5 (B)y =-3x -5 (C)y =-3x +5 (D)y =3x -54．一支蜡烛长20㎝，点燃后每小时燃烧5㎝，燃烧时剩下的高度h (㎝)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( B )．5．已知一次函数y =kx +b 的图象不过第二象限，则( C )．(A)k ＞0，b ＞0 (B)k ＜0，b ＞O (C)k ＞0，b ＜O (D)k ＜0，b ＜O6．在直角坐标系中，若直线y =21x -3与直线y=-2x +a 相交于x 轴上，则直线y=-2x +a 不经过的象限是( C )． (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限7．一次函数y=3x +p 和y =x +q 的图象都经过点A(-2，0)，且与y 轴分别交于B ，C 两点，那么△ABC 的面积是( B )．(A)2 (B)4 (C)6 (D)88．如图，l 甲、l 乙分别是甲、乙两弹簧的长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系的图象．设甲弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1 kg 物体伸长的长度为k 乙cm ，则k 甲与k 乙的大小关系是( A )．(A)k 甲＞k 乙 (B) k 甲＝k 乙 (C) k 甲＜k 乙 (D)不能确定二、填空题(每题5分，共25分)9．已知变量y 与x 成正比例，当x =3时，y =-6；那么当x =-3时，y = 6 .10．如图为一次函数的图象，则其解析式为 y=5x-2 ．11．已知353+=x y 的函数图象如图所示，则不等式0≤353+x 的解集为 x>=-5 ． 12．一次函数y =-x +5与y =2x -1图象的交点在直线y =mx -7上，则m 的值为 5 ．13．如图，OA ，BA 分别表示甲、乙两名运动员跑步的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快 1.5 米．三、解答题(共63分)14．(7分)如图是一种电热淋浴器水箱的水量y(升)与供水时间x(分钟)的函数关系式的图象．(1)求y与x的函数关系表达式(写出自变量的取值范围)；(2)求供水30分钟时水箱有多少升水?y=2.5x+25=10015．(8分)在直角坐标系中，直线l1经过点(2，3)和(-1，-3)，直线l2经过原点，且与直线l1相交于(-2，a)． (1)求a的值；y=2x-1 a=-5(2)坐标(-2，a)可以是怎样的二元一次方程组的解?y=2/5x16．(8分)小颖家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居Array室，用瓷砖铺设客厅．经市场调查知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样．小颖根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用(购买材料费和工钱)分别作了预算，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y(元)表示铺设费用，制成如图所示的图象．请根据图象提供的信息回答：(1)预算中铺设居室、客厅的费用分别是多少元／平方米?(2)分别写出铺设居室、客厅的费用y(元)与面积x(m2)之间的函数关系式．17．(8分)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y (元)是用水量x (t)的函数，其图象如图所示．(1)根据图象分别写出x ≤5及x ＞5时的函数表达式；(2)若甲户该月用水3.5吨，应交水费多少元?若乙户该月交水费9元，则用水多少吨?18．(8分)我边防局接到情报，近海处有一艘可疑船只甲正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇乙追赶．图中l 1、l 2如分别表示两船相对于海岸的距离s (海里)与追赶对间t (分钟)之间的关系．请你根据图象回答下列问题：(1)哪条线表示乙到海岸的距离与追赶时间之间的关系?(2)甲、乙哪个的速度快?(3)15分钟内乙能否追上甲?(4)当甲逃到离海岸12海里的公海时，乙将无法对其进行检查．照此速度，乙能否在甲逃人公海前将其拦截?19．(12分)某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q 升与行驶时间t 小时之间的函数关系如图所示．请回答以下问题：(1)机动车行驶几小时后加油?(2)求加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式．(3)中途加油多少升?(4)如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/小时，要到达目的地油箱中的油是否够用？请说明理由。

初中数学函数知识点和常见题型总结

函数知识点及常见题型总结函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。

函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。

函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。

换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。

一、核心知识点总结1、函数的表达式1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数xky =（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。

注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。

2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。

3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。

3、函数的图像 1）一次函数一次函数by=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+kx图像是经过原点（0，0）的直线。

2）反比例函数3）二次函数4、函数图像的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：③平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位二、常见题型：1、求函数的表达式常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析不等式的综合考查考点透析

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析8：不等式的综合考察考点透析【考点聚焦】（解、用、证）（两小半大）考点 1：不等式的性质与重要不等运用考点 2：不等式的解法考点 3：不等式的应用问题考点 4：不等式的综合问题【考题形式】1。

小题与会合，函数定义域、值域联合；（ 1 小是一定的）2．不等式组与线性规划。

3。

大题形式多样与其余知识联合，不会出现独自的不等式题。

【问题 1】不等式的解法1．已知 R为全集， A={x|log1 (3-x) ≥-2},B={x|5≥ 1},C R A ∩B=（B）x22(A)-2<x<-1(B)– 2<x<-1 或 x=3 (C)-2≤ x<-1 (D)-2≤ x≤12．设 a<0,则对于 x 的不等式42x2+ax-a2<0 的解集为：（A）(A)7a ,6a(B)6a , 7a(C)｛ 0｝(D)无解3．以下不等式中，解集为R 的是（B）A ． |x－ 3|>x－ 32x 2x2> 1 B ．x1x 212D．log1x 210C．xx22(x23x 2)( x4) 20 的解为（D）4．不等式x3A ．－ 1<x≤ 1 或 x≥ 2B． x<－ 3 或 1≤ x≤ 2C．x=4 或－ 3<x≤ 1 或 x≥2D． x=4 或 x<－ 3 或 1≤ x≤ 25．（山东卷）设 f(x)=2e x 1 , x2,则不等式 f(x)>2 的解集为log 3 ( x21), x2,(A) （ 1，2）（ 3， +∞） (B) （10 ，+∞）(C)（ 1， 2）（10， +∞） (D) （ 1， 2）解：令 2e x 12（ x 2），解得 1 x2。

令 log 3 ( x 21)2（ x 2）解得 x（10 ，+∞）选 C【精例 1】已知A x x22 x8 0, Bx 9 3x2x19，24ax 3a20，C x x若 A BC ，务实数 a 的取值范围．解：由题意可得， A= ｛ x|x － 4 或 x 2｝B= ｛ x|－2x 3｝则A B={ x|2x 3}而 C=｛ x|(x － a)(x － 3a)0｝要使 ABa 2得 a [1,2] ．C 则 a>0，且，3a3【精例 2】解不等式log 1( x1)log 21log 1 12 ．（ 12 分）6 x22解：∵原不等式log 2 ( x 1) log 2 (6 x) log 2 12log ( x1)(6 x) log 12( x 1)( 6x) 0x 3或x 2{ x 1 2且6-x 02 {1 x 6{-1 x 61 x 2或 3 x 6原不等式的解集为： { x1 x2或3x 6} ．【精例 3】P 61 例 1【精例 4】P62例 2【问题 2】含有参数的不等式问题含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转变，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转变过程中对问题的影响. 【精例 5】已知 f ( x) lg( x 1), g(x) 2lg( 2x t )(t R, t 是参数） .（ 1）当 t=－1 时，解不等式： f(x)≤ g(x) ；（2）假如当 x ∈ [0,1] 时， f(x)≤ g(x)恒成立，求参数t 的取值范围 .x 1 0 解：（ 1）t ＝－ 1 时，f(x) ≤ g(x)，即为 lg( x1) 2 lg( 2x 1) ，此不等式等价于2 x 1x 1 ( 2x 1) 25 5解得 x ≥ 4 , ∴原不等式的解集为｛ x| x ≥ 4｝x 1 0(2) x ∈ [0,1] 时， f(x)≤ g(x)恒成立 , ∴ x ∈ [0,1] 时，2x t 0 恒成立，x 1 ( 2xt) 2x 1 0 ∴ x ∈ [0,1] 时，t2x 恒成立，即 x ∈ [0,1] 时， t2xx 1t2xx 1恒成立，于是转变为求 2xx 1 （ x ∈ [0,1] ）的最大值问题 .令 ux 1 ，则 x=u 2－ 1，由 x ∈ [0,1] ，知 u ∈ [1, 2 ].∴ 2xx 1 ＝－ 2（ u 2－ 1）＋ u= 2(u1 )2 174 8当 u=1 时，即 x=0 时， 2x x 1 有最大值为 1.∴ t 的取值范围是 t ≥1.评论：对于含参数问题，经常用分类议论的方法；而恒成立问题，除了运用分类议论的方法外，还可采纳分别参数的方法 .【精例 6】解对于 x 的不等式： | log a(ax 2) | | log a x | 2(a 0, 且a 1)点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a 的议论 .解：设log a x t ，原不等式化为｜1＋ 2t ｜－｜ t ｜ <2（1）当t1时，－ 1－ 2t ＋ t<2 ，∴ t>－ 3，∴ 3 t122（2）当1 t1，∴1 t20时， 1+2t+t<2 ，∴ t23（ 3）当 t ≥ 0 时， 1+2t － t<2 ，∴ t<1, ∴0≤ t ＜ 1综上可知：－ 3＜ t ＜ 1，即－ 3＜ log a x ＜ 1当 a ＞ 1 时，1 1a 3x a ，当 0＜ a ＜ 1 时， a xa 3因此当 a ＞1 时，原不等式的解集为｛ x|1 x a ｝, 当 0＜ a ＜1 时，原不等式的解集为｛ x ｜a 3a x1 ｝a 3【精例 7】 P 62 例 3【问题 3】不等式与函数的综合题（隐含不等式）【精例 8】 P 64 T 6【精例 9】已知 f(x)是定义在［ -1， 1］上的奇函数，且 f(1)=1 ，若 m 、n ∈［ -1， 1］， m+n ≠f (m)f (n)1(1)用定义证明 f(x) 在［－ 1，1］上是增函数； (2)解不等式f(x+ 2)0 时m n＞ 01＜f( x1)；(3) 若 f(x) ≤ t －2+1 对全部 x ∈［－ 1， 1］， a ∈［－ 1， 1］恒成立，务实数 t 的取值范围2at【思路剖析】 (1)问单一性的证明，利用奇偶性灵巧变通使用已知条件不等式是重点， (3)问利用单一性把f(x) 转变成“ 1”是画龙点睛(1) 证明任取 x 1＜x 2 ，且 x 1， x 2∈［－ 1，1］，则 f(x 1212f ( x 1 )f (x 2 )·(x 12)－ f(x )= f(x )+ f(－ x )=x 1x 2－ x )∵－ 1≤ x1＜x2≤ 1，∴ x1+(－ x2)≠ 0，由已知f ( x1 ) f ( x2)＞0，又x1－x2＜0，x1x2∴ f(x1)－ f(x2) ＜ 0，即 f( x)在［－ 1， 1］上为增函数1x 11(2) 解∵ f(x)在［－ 1，1 ］上为增函数，∴2{ x|－3≤ x＜－ 1， x 11解得1x21x112x 1∈R }(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1 ，故对x∈［－ 1， 1］，恒有f(x)≤ 1，因此要使 f(x)≤ t2－ 2at+1 对全部 x∈［－ 1，1］，a∈［－ 1，1］恒成立，即要t2－ 2at+1≥1成立，故 t2－ 2at≥ 0，记 g( a)=t2－ 2at，对 a∈［－ 1，1］，有 g( a)≥ 0，只要 g(a)在［－ 1， 1］上的最小值大于等于0， g(－ 1)≥ 0， g(1)≥ 0，解得， t≤－ 2 或 t=0 或 t≥ 2∴t 的取值范围是{ t|t≤－ 2 或 t=0 或 t≥2}评论此题是一道函数与不等式相联合的题目，考察学生的剖析能力与化归能力它主要波及函数的单一性与奇偶性，而单一性贯串一直，把所求问题分解转变，是函数中的热门问题；问题（2）、（ 3）要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了重点作用【问题 4】线性规划【精例 10】不等式| 2 x y m | 3 表示的平面地区包括点(0,0) 和点 ( 1,1), 则 m 的取值范围是（ A ）A．C．2m3 B ．0m63m6D．0m3yy 2x 4【精例 11】已知点（ 3 ， 1）和点（－ 4 ， 6）在直线3x–2y +m = 0 的双侧，则（ B ）A ． m＜－ 7或 m＞ 24B ．－ 7＜ m＜ 24 C． m＝－ 7或 m＝ 24 D．－ 7≤m≤ 24x y sO x图 3x0y0下，当 3 x 5 时，【精例 12】在拘束条件xy sy2x4目标函数 z 3x 2 y 的最大值的变化范围是A. [6,15]B. [7,15]C. [6,8]D.[7,8]【精例 13】已知 a (0,2), 当 a 为什么值时，直线l 1 : ax 2 y 2a 4与 l 2 : 2x a 2 y2a 24及坐标E yl 1 `12 分）轴围成的平面地区的面积最小？（解：Ca( xBODx l 1 : y 22) l 1恒过 A(2,2),2l 2 `交 x, y 轴分别为 B （24,0),C(0,2a)al 2 : y 22(x 2) l 2 恒过 A(2,2), 交x, y 轴分别为 D （a 22,0), C(0,2 4) ，a 2a 24 0 a2 20,2 a，由题意知 l 1与 l 2及坐标轴围成的平面地区为aACOD ，S ACODS EODS ECA1 (a2 2)( 24 ) 1 ( 4 a) 2 a 2a 4 ( a1) 2 15 ,2a 2 2 a 224当a1时，(S ACOD ) min1524．【问题 4】不等式的实质应用问题对于应用题要经过阅读，理解所给定的资料，找寻量与量之间的内在联系，抽象失事物系统的主要特点与关系，成立起能反应其实质属性的数学构造，进而成立起数学模型，而后利用不等式的知识求出题中的问题【精例 13】（天津卷）某企业一年购置某种货物 400 吨，每次都购置 x 吨，运费为4 万元/次，一年的总储存花费为 4x 万元，要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则 x_______吨．解：某企业一年购置某种货物400 吨，每次都购置x 吨，则需要购置400次，运费为 4 万x元/ 次，一年的总储存花费为4x 万元，一年的总运费与总储存花费之和为400 4 4x 万元，x40016004 4x ≥ 160，当x4 x 即 x 20 吨时，一年的总x运费与总储存花费之和最小。

不等式、方程、函数的综合应用(2)

不等式、方程、函数的综合应用（2）【学习目标】在解决问题中体会函数、方程、不等式的综合运用. 【巩固练习】一、选择题： 1．（10眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅ 的值（）A ．7-B ．3-C ．7D ．3 2．（10黄冈）．已知四条直线y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形的面积是12，则k 的值为（） A ．1或－2 B ．2或－1 C ．3 D ．4 3．(10绍兴)已知（x 1, y 1）,（x 2, y 2）,（x 3, y 3）是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点,且x 1＜x 2＜0，x 3＞0,则y 1,y 2,y 3的大小关系是 ( ) A. y 3＜y 1＜y 2 B. y 2＜y 1＜y 3 C. y 1＜y 2＜y 3 D. y 3＜y 2＜y 1 4．（09荆门）若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a <5.如图，等腰Rt △ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，点A 在直线y ＝x 上，点A 的横坐标为1，边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y ＝ kx 与△ABC 有交点，则k 的取值范围为（）A ．1＜k ＜2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k ＜45.（08芜湖）在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数k y x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于．6．△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．当点B 在第一象限，2时，求点B 的横坐标．7. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ；（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于．8.（10宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为︒15，则引桥的水平距离BC 的长是_________米（精确到0.1米）. 三、解答题：9.(10济宁)如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知O AM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.10.（10湖州）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．xA。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析函数三要素的综合考查

四.课后练习
1．已知f(xn)=lgx(n∈N*)，则f(2)=_________________.
例2.（全国卷Ⅱ理17设函数，求使的取值范围．
解：由于是增函数，等价于 ①
⑴当时，，∴①式恒成立。
⑵当时，，①式化为，即。
⑶当时，，①式无解。综上，的取值范围为
例3．已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式；
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
点评本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想
由于 .
（3）[解法一]当时， .
，
.又，
①当，即时，取，
. ，则 .
②当，即时，取，＝ .
由①、②可知，当时，， .
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二]当时， .由
得，令，
解得或，
在区间[-1,5]上，当时，的图像与函数f(x)的图像只交于一点；当时，的图像与函数f(x)的图像没有交点.如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.

湖北省黄冈中学高考数学典型例题11 函数综合问题

高考数学典型例题详解函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力［学法指导］怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识一准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线二揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面：1原始意义上的函数问题；2方程、不等式作为函数性质解决；3数列作为特殊的函数成为高考热点；4辅助函数法；5集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中三把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换四认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识●难点磁场★★★★★设函数f 的定义域为R ，对任意实数、都有f =ff ,当>0时f 210 1求f21、f 41; 2证明f 是周期函数； 3记a n =fnn21,求).(ln lim n n a ∞→命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f 12=f 1·f 2找到问题的突破口错解分析：不会利用f 12=f 1·f 2进行合理变形技巧与方法：由f 12=f 1·f 2变形为)2()2()2()22()(x f x f x f x xf x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键(1) 解：因为对1,2∈［0,21］,都有f 12=f 1·f 2,所以f =)2()22(xf x x f =+≥0, ∈［0,1］又因为f 1=f 2121=f 21·f 21=［f 21］2f 21=f 4141=f 41·f 41=［f （41）］2 又f 1=a >0∴f 21=a 21,f 41=a 412证明：依题意设=f 关于直线=1对称，故f =f 11－,即f =f 2－,∈R又由f 是偶函数知f －=f ,∈R ∴f －=f 2－,∈R将上式中－以代换得f =f 2，这表明f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期3解：由1知f ≥0,∈［0,1］ ∵f21=fn ·n 21=f n 21n －1 n 21=f n 21·fn －1·n21 =…… =fn 21·f n 21·……·f n21 =［f n 21］n =a 21∴f n21=a n 21又∵f 的一个周期是2∴f 2n n 21=f n21,因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n［例2］甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本以元为单位由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v m/h 的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元1把全程运输成本元表示为v m/h 的函数，并指出这个函数的定义域； 2为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件技巧与方法：四步法：1读题；2建模；3求解；4评价解法一：1依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS,全程运输成本为=a ·v S bv 2·v S =S va bv ∴所求函数及其定义域为=Svabv ,v ∈0,c ] 2依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴Svabv ≥2S ab ① 当且仅当va=bv ,即v =b a 时，①式中等号成立若b a ≤c 则当v =b a 时，有min ；若b a >c ,则当v ∈0,c ]时，有S v a bv －S cabc =S ［v a －c a bv －bc ］=vcSc －va －bcv ∵c －v ≥0,且c >bc 2,∴a －bcv ≥a －bc 2>0∴Sv a bv ≥S cabc ,当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有min ；综上可知，为使全程运输成本最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b ab ,当bab>c时行驶速度应为v =c解法二：1同解法一2∵函数=xk>0,∈0,∞,当∈0,k 时，单调减小，当∈k ,∞时单调增加，当=k 时取得最小值，而全程运输成本函数为=Sbv vb a,v ∈0,c ]∴当b a ≤c 时，则当v =b a 时，最小，若ba >c 时，则当v =c 时，最小结论同上●锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件●歼灭难点训练一、选择题1★★★★函数=a 与=og a 的图象可能是2★★★★★定义在区间－∞,∞的奇函数f 为增函数，偶函数g 在区间［0，∞的图象与f 的图象重合，设a >b >0,给出下列不等式：①fb －f －a >ga －g －b ②fb －f －agb －g －a ④fa －f －bx x x +-++11lg112121xyyx ++10 求证：)21()131()111()51(2f n n f f f >+++++7★★★★★某工厂拟建一座平面图如下图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元池壁厚度忽略不计，且池无盖1写出总造价元与污水处理池长米的函数关系式，并指出其定义域2求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低并求最低总造价8★★★★★已知函数f 在－∞,0∪0,∞上有定义，且在0,∞上是增函数，f 1=0,又gθ=in 2θ－m co θ－2m ,θ∈［0,2π］,设M ={m |g θ0,f 1－f 2=f ［1－22］－f 2=f 1－2f 2－f 1=－f 2－1因为>0时f ＜0,∴f 1－f 2>0 ∴f 在［－9，9］上是减函数故f 的最大值为f －9,最小值为f 9 而f 9=f 333=3f 3=－12,f －9=－f 9=12∴f 在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12歼灭难点训练一、1解析：分类讨论当a >1时和当0＜a ＜1时答案：C2解析：用特值法，根据题意，可设f =,g =||,又设a =2,b =1, 则fa =a ,ga =|a |,fb =b ,gb =|b |,fa －fb =f 2－f －1=21=3gb －g －a =g 1－g －2=1－2=－1∴fa －f －b >g 1－g －2=1－2=－1又fb －f －a =f 1－f －2=12=3ga －g －b =g 2－g 1=2－1=1,∴fb －f －a =ga －g －b即①与③成立答案：C二、3解析：设2=t >0，则原方程可变为t 2ata 1=0①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a解得：a ∈－1,2－22] 答案：－1，2－22]三、4解：1当a =0时，函数f －=－2|－|1=f ,此时f 为偶函数；当a ≠0时，fa =a 21,f －a =a 22|a |1,f －a ≠fa ,f －a ≠－fa 此时函数f 既不是奇函数也不是偶函数2①当≤a 时，函数f =2－a 1=－212a 43,若a ≤21,则函数f 在－∞,a ]上单调递减，从而，函数f 在－∞,a ]上的最小值为fa =a 21若a >21,则函数f 在－∞,a ]上的最小值为f 21=43a ,且f 21≤fa②当≥a 时，函数f =2－a 1=212－a 43;当a ≤－21时，则函数f 在［a ,∞)上的最小值为f －21=43－a ,且f －21≤fa 若a >－21,则函数f 在［a ,∞上单调递增，从而，函数f 在［a ,∞］上的最小值为fa =a 21综上，当a ≤－21时，函数f 的最小值是43－a ,当－21＜a ≤21时，函数f 的最小值是a 21;当a >21时，函数f 的最小值是a 4351证明：由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x x x得f 的定义域为－1，1，易判断f 在－1，1内是减函数2证明：∵f 0=21,∴f -－121=0,即=21是方程f -－1=-－1=0还有另一个解0≠21,则f -－10=0,由反函数的定义知f 0=0≠21,与已知矛盾，故方程f -－1=0有惟一解3解：f ［－21］＜21,即f ［－21］＜f 0.415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6证明：对ff =f xyyx ++1中的,,令==0,得f 0=0,再令=－,又得ff －=f 0=0,即f －=－f ,∴f在∈－1,1上是奇函数设－1＜1＜2＜0,则f 1－f 2=f 1f －2=f21211x x x x --,∵－1＜1＜2＜0,∴1－2＜0,1－12>0∴21211x x x x --＜0,于是由②知f 21211x x x x -->0,从而f 1－f 2>0,即f 1>f 2,故f 在∈－1,0上是单调递减函数根据奇函数的图象关于原点对称，知f 在∈0,1上仍是递减函数，且f ＜0.),21()21()21(,0)21(,1210),21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([)131()111()51()21()11()211112111(])2)(1(11)2)(1(1[]1)2)(1(1[)131(22故原结论成立有时f n f f n f n n f f n f n f f f f f n n f f f n f n f n n n n f n n n n f n n f n n f >+-∴<+<+<+-=+-+++-+-=+++++∴+-+=+⋅+-+-+=++-++=-++=++7解：1因污水处理水池的长为米，则宽为x 200米，总造价=40022×x 200248×x200×280×200=800x3241600,由题设条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x 解得≤≤16,即函数定义域为［，16］ 2先研究函数=f =800x32416000在［,16］上的单调性，对于任意的1,2∈［,16］,不妨设1＜2,则f 2－f 1=800［2－13241211x x -］=8002－11－21324x x ,∵≤1≤2≤16∴0＜12＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜2－1>0,∴f 2－f 1＜0,即f 2＜f 1,故函数=f 在［,16］上是减函数∴当=16时，取得最小值，此时，min =800161632416000=45000元，16200200=x =米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为米时，总造价最低，最低为45000元 8解：∵f 是奇函数，且在0,∞上是增函数，∴f 在－∞,0上也是增函数又f 1=0,∴f －1=－f 1=0,从而，当f ＜0时，有＜－1或0＜＜1, 则集合N ={m |f ［g θ］＜θ＝}={m |g θ＜－1或0＜g θ＜1}, ∴M ∩N ={m |g θ＜－}θ＜－1,得co 2θ>m co θ－22,θ∈［0,2π］,令=co θ,∈［0,1］得：2>m －22,∈［0,1］，令①：1=2,∈［0,1］及②2=mm －22,显然①为抛物线一段，②是过2，2点的直线系，在同一坐标系内由∈［0,1］得1>2∴m>4－22,故M∩N={m|m>4－22}。

黄冈数学高中函数试题及答案

黄冈数学高中函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 92. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x，若f(a) = 3，则f(2-a)的值为：A. -3B. 0C. 3D. 63. 函数y = |x - 1| + |x + 2| + |x - 3|的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 64. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在点x = 1处的切线方程为y = 6x - 1，则该函数的二阶导数f''(1)等于：A. 0B. 6C. 8D. 105. 函数f(x) = ln(x)的定义域是：B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)6. 若函数f(x) = x^2 + bx + c的图像关于直线x = -1对称，则b 的值为：A. -2B. 0C. 2D. 47. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x的零点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数y = x^2 - 4x + 4的图像与x轴的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 若函数f(x) = 2^x在[0, 1]上的值域为：B. [2, 4]C. [1, 4]D. [2, 3]二、填空题（每题3分，共15分）11. 若函数f(x) = 2^x - 1在x = 0处的导数为1，则f'(x) =_______。

12. 函数y = √x + 1的定义域为 _______。

13. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点为 _______。

14. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值为 _______。