2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆练习新版湘教版

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直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点，若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。

高中数学第2章第1课时直线与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册

核心素养
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
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情境导学·探新知
知识点
在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示．
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
类型3 直线与圆相交问题【例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？
A．1
B．2 2
C． 7
D．3
(1)B (2)C [(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝12，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. (2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝|3－02＋1|＝2 2. 所以切线长的最小值为l＝ 2 22－12＝ 7.]
圆O相切或相离．]
类型2 直线与圆的相切问题【例2】 (1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________． (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，求直线l的方程．
(1)15x＋8y－36＝0或x＝4 [因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.

初中数学_直线和圆的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思

直线和圆的位置关系教学设计教学目标：1．经历探索直线和圆位置关系的过程．2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．3．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．4．通过数形结合、分类、类比、化归等数学思想，培养学生思维的严谨性和深刻性．教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定．教学难点：（1）利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系．（2）运用切线的性质定理解决问题．教学过程：回顾旧知；1、复习：我们已经学过了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有哪几种？（1）,rd=点在圆上（3）,rd<点在圆内．d>点在圆外（2）,r利用类比的方法学习本节课的内容，板书：直线和圆的位置关系2、动手操作动手画一个圆与一条直线，观察他们的公共点的个数。

3、观察三幅太阳日出的动画,地平线与太阳的位置关系是怎样的?这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?从直线与圆交点个数这一角度，如何对对直线与圆的位置关系进行分类？（1）直线和圆有两个交点（2）直线和圆有一个交点（3）直线和圆没有交点．当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.尝试练习：●O ●O●O如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？有没有其他的办法来判断“直线与圆的位置关系”呢？“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？（学生合作探究，讨论生成）2.数量关系d表示圆心O到直线L的距离，r表示⊙O的半径当d>r时，直线L与⊙O相离当d=r时，直线L与⊙O相切当d<r时，直线L与⊙O相交对应练习：归纳概括：如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 d<r；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 d>r．应用：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r 为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，∵，∴AB·CD=AC·BC，∴（cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．拓展练习：思考: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。

2022春九年级数学下册第2章圆 2.5直线与圆的位置关系课件湘教版

知3－讲
(2)若CD=2，求BD 的长.
知3－讲
解题秘方：利用“圆的切线垂直于过切点的半径”构造
直角三角形，再结合相关性质求解.
解法提醒：
已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”；而等半径，可得等腰三角形，从而可得两底角相等；在同圆中有关切线的问题常通过等腰三角形和直角三角形的性质来解决.
知3－讲
解：由(1)可知△OCD是等腰直角三角形. ∴ OC=CD=2. 由勾股定理，得OD= OC2－CD2= 22－22=2 2 ， ∴ BD=OD－OB=2 2 －2.
知3－讲
例6 [中考·湖州]如图2.5-6，已知BC 是⊙ O 的直径，AC 切⊙ O 于点C，AB 交⊙ O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
知2－讲
例 3 如图2.5-3，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且 CD=OA，OC=2 2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线. 解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直” 判定圆的切线.
证明：如图2.5-3，连接OD.
由题意可知CD=OD=OA=
出d与r的具体数值的情况下，可先利用图形条件及性质求出d 与r 的值，再通过比较大小判定其位置关系.
知1－讲
解题秘方：根据Rt △ ABC 中，∠ C=90°，cos A= 4 ， 5
求出AC 的值. 再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出⊙ B 与 AC的关系.
知1－讲
(2)当直线BC 与⊙ O 相切时，d=r，
即)当直线BC 与⊙ O 相交时，d ＜ r，

九年级数学下册第2章圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系课件

∴0<r<2.4.
第二十五页，共二十八页。
【母题变式】
【变式一】(变换(biànhuàn)条件)如图所示,∠AOB =30°,P是OA上的一点,OP=12 cm,以r
为半径作☉P.
(1)当r=7 cm时,试判断☉P与OB的位置关系. (2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.
略
第二十六页，共二十八页。
Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
(2)如图(b),直线和圆只有一个________公__共_,这点时我们说这条直线和圆_____相___切,这条直线叫作圆的______切_线_, (qiēxiàn)
这个(zhè ge)点叫切作点__(q_iē_di_ǎn_)___.
(3)如图(c),直线和圆没有________公___共,这点时我们说这
学号
第十九页，共二十八页。
★★4. (2019·长沙天心区月考)如图,矩形ABCD
中,AB=4,AD=6,以A为圆心(yuánxīn),R长为半径作圆,☉A仅与直线BC,CD中一条相离,R的取值范围是________4_≤_R_<.6
世纪金榜导学号
第二十页，共二十八页。
【火眼金睛】已知☉O的半径(bànjìng)是3 cm,点A为直线l上一点,若OA=5 cm,判断直线l与圆的位置关系.
第十一页，共二十八页。
(1)r=4 cm.(2)r=4.8 cm.(3)r=6 cm.
第十二页，共二十八页。
【自主解答】根据圆心到直线的距离(jùlí)d与r的关系得解, 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴AB= A C 2 B C 26 2 8 2 1 0 c m ，

第2章直线和圆的方程-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第一册)

第2章直线和圆的方程§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向和直线l 向上的方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，取值范围为0180α︒︒≤<.斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示.斜率k 公式：如果直线经过两点()11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠,则1212tan x x y y k --==α. 直线的方向向量：斜率为k 的直线的一个方向向量是()1,k ,若斜率为k 的直线的一个方向向量的坐标为(,)x y ，则y k x=. 2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为12k k ，的两条不重合的直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.斜率分别为12k k ，的两条直线12,l l ，有12121l l k k ⊥⇔=-.§2.2 直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=-（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：b kx y +=（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与y 轴的交点纵坐标（即y 轴上的截距）） ⑶两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- ⑷截距式：1x y a b+=（,a b 是直线在,x y 轴上的截距，且0,0a b ≠≠） ⑸一般式：0=++C By Ax （,A B 不同时为0） 2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .（二）对于直线:0l Ax By C ++=：（1）与直线:0l Ax By C ++=垂直的一个向量为(),A B ，平行的一个向量为(),B A -.（2）对于直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ； 1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；0212121=+⇔⊥B B A A l l .§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知111222(,),(,)P x y P x y ，则()()21221221y y x x P P -+-=.（2）点到直线距离公式： 00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 为：2200B A CBy Ax d +++=.（3）两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 间的距离d 为：2221B A C C d +-=.§2.4 圆与方程1.圆的方程： ⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-(其中圆心为(,)a b ，半径为r .) ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(2240D E F +->).§2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系:（d 表示圆心到直线的距离） d r >⇔ 0⇔∆<相离;d r =⇔ 0⇔∆=相切;d r <⇔ 0⇔∆>相交.2.直线和圆相交弦长公式：222d r l -=（d 表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：21O O d =（1）外离：r R d +>；（2）外切：r R d +=；（3）相交：r R d r R +<<-；（4）内切：d R r =-（R r >）；（5）内含：r R d -<（R r >.。

2018-2019学年浙教版九年级数学下册习题课件：2.3 三角形的内切圆 (共12张PPT)

9．(12分)(教材P49例2变式题)△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，得 x＋y＝9， x＝4， y＋z＝14，解得 y＝5，即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm x＋z＝13， z＝9，
角形． (1)请写出一个双圆四边形的名称：__正方形__； (2)如图②，已知四边形ABCD是双圆四边形，其内切圆与四条边相切于点E， F，G，H，且EG是内切圆的直径，交弦FH于点P，连结EF，FG.
①证：HF⊥GE.
解：(2)①取 EG 的中点 O，连结 OF.∵EG 为内切圆的直径，∴O 为内切圆的圆心，∠GFE ＝90°，OF⊥BC，OG＝OF＝40°，∴∠OFE＝50°，∴∠BFE＝40°.②连结 HG.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠D＋∠B＝180°.∵H，G，F，E 是切点，∴DG＝DH，BF＝BE.∴∠DHG ＝∠DGH，∠BEF＝∠BFE，∴∠D＋2∠DGH＝180°，∠B＋2∠EFB＝180°，∴2∠DGH＋2∠EFB ＝180°，∴∠DGH＋∠EFB＝90°.由①可知，∠EFB＝∠EGF，∠DGH＋∠HGE＝90°，∴∠HGE
点拨：连结AO，交EF于点G，连结OE，在Rt△OEG中求EG的长，从而可得EF的长．
13．(12分)如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D，E，F. (1)求△ADE的周长；
(2)求内切圆的面积．
解：(1)∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆 O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，∴AF⊥BC，

浙教版九年级数学(全一册)课件第2章直线与圆的位置关系切线的性质与判定

★应用格式 OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
新课讲解
B
Ｏ
A
C
新课讲解判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？
O.
A l
(1)
(1)不是,因为没
有垂直.
O.
O
A
l
B
(2)
A
l
(3)
(2),(3)不是,因为没有经过半径的
外端点A.
注意：在此定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
分析：根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明
A
E
F
由点O向AC所作的垂线段OF是
⊙O的半径就可以了,而OE是 B
O
C
⊙O的半径,因此只需要证明
OF=OE.
新课讲解
证明：连结OE ,OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E , ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中,AB ＝AC ,
的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线.
作垂直 O
AC B
AC B
对比思考
新课讲解
2 切线的性质定理
思考：如图,如果直线l是⊙O 的切线,点A为切点,那么OA 与l垂直吗？
★切线性质圆的切线垂直于经过切点的半径．
★应用格式 ∵直线l是⊙O 的切线,A是切点, ∴直线l ⊥OA.
O
A
l
新课讲解
性质有1个公共点
有切线时常用辅助线添加方法：见切线,连切点,得垂直.
d=r
情景引入
砂轮上打磨工件时飞出的火星
1 切线的判定定理

《直线和圆的位置关系——相交、相切、相离》课件PPT 苏科版

1 2
AC•BC,
∴CD＝2.4 cm.
∴r≥2.4 cm.
知3－练
感悟新知
总结
知3－讲
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线和圆的位置关系之间的相互转化．
(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法求出．
（1）过圆心；
（2）过切点；
（3）垂直于切线.
2. 根据切线的定义，可以知道切线具备的性质还有：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切点到圆心的距离等于半径.
感悟新知
知1－练
已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与 ⊙O
的位置关系是( B )
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
感悟新知
知识点 2 直线与圆的位置关系的判定
感悟新知
知2－练
导引：本例若通过看公共点的个数来判断，作图稍有不准，就会产生误判，因此需通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断．如图，过点C作CH⊥ AB于点H，在Rt△CHB中，易得CH＝2 cm，即d＝r＝2 cm，所以⊙C与AB的位置关系是相切．
感悟新知
归纳
知2－讲
如果画图后直线和圆的位置关系不明显，一般不选用公共点个数来判断直线和圆的位置关系．应采用比较圆心到直线的距离与半径大小的方法来确定它们之间的位置关系；在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值，再通过比较大小确定其位置关系．
感悟新知
知1－讲
知识点 1 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：直线和圆相交两个公共点 d＜r 直线和圆相切一个公共点 d＝r 直线和圆相离没有公共点 d＞r

2018年春湘教版数学九年级下册2.5 直线与圆的位置关系

2．5直线与圆的位置关系2．5.1直线与圆的位置关系【教学目标】知识与技能1．掌握点与圆的三种位置关系，会判定点与圆的位置关系．2．理解直线与圆相交、相切、相离的概念，会判定直线与圆的位置关系．过程与方法经历点、直线与圆的位置关系和探索过程，使学生了解位置关系与数量关系的相互转化的思想．情感态度与价值观学会自主探索与合作，讨论、交流，感受问题解法的多样性，思维的灵活性与合理性．教学重点：点、直线与圆的位置关系．教学难点：直线与圆的三种位置关系的性质与判定的正确运用．【导学过程】【知识回顾】复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系．【情景导入】观看日出课件，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，这个圆与地平线有几种位置关系？【新知探究】探究一、1．请你画一个圆，上、下移动直尺．固定一个圆，上下移动直尺的边缘，如果把这个边缘看成一条直线，那么直线与圆有几种位置关系？思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化．讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系；②直线与圆的公共点个数有何变化？2．直线与圆有__三__种位置关系：直线与圆有两个公共点时，叫做__直线与圆相交__，这条直线叫做__割线__．直线与圆有唯一公共点时，叫做__直线与圆相切__，这条直线叫做__切线__，这个公共点叫做__切点__．直线和圆没有公共点时，叫做__直线与圆相离__．探究二、d 、r 的大小关系与直线、圆的位置关系．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r __；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r __；直线l 和⊙O 相离⇔__d ＞r __．探究三、例1. 【随堂练习】如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向300千米的B 处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域． (1)A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？(2)若A 城受到这次台风的影响，试计算A 城遭受这次台风影响的时间有多长？分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A 城能否受到影响，即比较A 到直线BF 的距离d 与半径200千米的大小．若d ＞200，则无影响，若d ≤200，则有影响．解：(1)过A 作AC ⊥BF 交于C ，AC ＝AB ·sin 30°＝150(千米)＜200千米． ∴A 城会受到此次台风的影响． (2)台风中心O 在BF 上移动，当AO ≤200时，A 城即受此次台风的影响．设当AO ＝200时，OC ＝507，O ′O ＝1007，t ＝1007107＝10(时)．∴A 城遭受此次台风影响的时间是10小时．【课堂小结】本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1．直线与圆有__三__种位置关系，分别是__相交__、__相切__、__相离__．2．若⊙O 半径为r ，O 到直线l 的距离为d ，则d 与r 的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆__相交__⇔d __＜__r ， ②直线与圆__相切__⇔d __＝__r ，③直线与圆__相离__⇔d __＞__r . 【课后作业】完成该书本课时的对应练习．2．5.2圆的切线【教学目标】知识与技能1．掌握圆的切线判定定理，能初步运用它解决有关问题．2．掌握切线的性质定理．3．会过圆上一点画已知圆的切线．过程与方法通过圆的切线判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力．情感态度与价值观通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理及切线的判定方法，切线的性质定理及过圆上一点画已知圆的切线．教学难点：切线判定定理中的两大要素及切线的性质定理的证明．【导学过程】【知识回顾】1．直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？2．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？【情景导入】1．(1)直线l与⊙O相交：d<r；(2)直线l与⊙O相切：d＝r；(3)直线l与⊙O相离：d>r.2．工人用砂轮磨一把锉刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是顺着砂轮的什么方向飞出去的？【新知探究】探究一、观察：如图，圆心O到直线l的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．现在我们来观察直线l与⊙O的半径OA的位置关系．(课件演示)发现→归纳切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．→讨论交流(定理中两个条件)(1)经过半径端点，(2)垂直于这条半径，缺少一个行不行？→议一议→归纳总结(切线的判定方法)：(1)直线与圆有唯一公共点，(2)圆心到直线的距离等于该圆的半径．探究二、例2.已知：如图，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：直线BC是圆O的切线．证明：∵AB＝AC，(已知)∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC.又∵OD是圆O的半径，且BC经过点D，∴直线BC是圆O的切线．探究三、切线的性质如图，如果直线l是⊙O的切线，A是切点，那么半径OA与l垂直吗？由于圆心O到切线l的垂线段的长度等于半径OA的长度，且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是半径．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线l切⊙O于点A，∴OA⊥l.探究四、例：如图AB是⊙O的直径．C是⊙O上的一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D.求证：BC平分∠ABD.证明：连接OC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵BD⊥CD，∴BD∥OC，∴∠OCB＝∠CBD.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠ABD.探究五、求证：经过直径两端点的切线互相平行．已知：如图，AB是⊙O的直径，l1，l2分别是经过点A，B的切线．求证：l1∥l2.证明：∵OA是⊙O的半径，l1是过点A的切线，∴l1⊥OA.同理l2⊥OB.∴l1⊥AB，且l2⊥AB.∴l1∥l2.【随堂练习】完成课本P69练习．1．下列说法正确的是( B )A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O切于点C，OA＝OB，若⊙O的直径为8 cm，AB＝10那么OA的长是( A )A.41B.40C.14D.60【课后作业】完成该书本课时的对应练习．*2.5.3切线长定理【教学目标】知识与技能1．了解切线长的概念．2．理解切线长定理，熟练掌握它的应用．过程与方法学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．情感态度与价值观了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点：切线长定理及其运用．教学难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．【导学过程】【知识回顾】切线的判定定理和性质定理．【情景导入】过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？【新知探究】探究一、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．在图形中辨别：(1)已知：如图1，PC和⊙O相切于点A，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？(线段PA)图1图2(2)已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？(线段PA或线段PB)(3)如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？(4)既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学．探究二、切线长定理(1)操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设与点A 重合的点为B.OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．(2)几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.证明：线段相等：PA＝PB；OA＝OB；角相等：∠APO＝∠BPO；∠AOP＝∠BOP；垂直关系：OA⊥PA；OB⊥PB；三角形全等：△OAP≌△OBP切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．用符号语言表示定理：∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，(PA、PB分别与⊙O相切于点A、B)∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.探究三、例：如图，已知AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB为⊙O的切线，A和B 是切点，连接BD.求证：CO∥BD.证明：连接AB.∵CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点，∴CA＝CB，∠ACO＝∠BCO.∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，即BD⊥AB.∴CO∥BD.【随堂练习】完成课本练习．1．填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.(1)若PB＝12，PO＝13，则AO＝__5__．(2)若PO＝10，AO＝6，则PB＝__8__；(3)若PA＝4，AO＝3，则PO＝__5__．2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA＝4 cm，PD＝2 cm.求：半径OA的长．解：∵PA切圆O于A，∴OA⊥AP，∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，根据勾股定理得，OA2＋PA2＝OP2.设OA的长为r，OP＝PD＋OD＝2＋r，则r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴半径OA的长为3 cm.【课后作业】完成该书本课时的对应练习．2．5.4三角形的内切圆【教学目标】知识与技能1．理解三角形内切圆及内心的定义．2．会用尺规作三角形的内切圆．过程与方法经历作一个三角形的内切圆的过程，培养学生的作图能力．情感态度与价值观在一系列的学习活动中，培养学生良好的思维习惯以及严谨的科学探索精神．教学重点：内切圆、内心的概念及三角形内切圆的画法．教学难点：探索三角形内切圆的画法．【导学过程】【知识回顾】如何作三角形的外接圆？它的外心是如何确定的呢？【情景导入】木工师傅如何在一块三角形木板上裁一个最大的圆形木板？这个圆与三角形三边应成什么位置关系？【新知探究】探究一、探究与三角形三边都相切的圆画一画→议一议→点评→归纳：与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个．1．如图①，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线．2．如图②，点D、E、F在⊙O上，分别过点D、E、F作⊙O的切线，3条切线两两相交于点A、B、C.① ②思考：这样得到的△ABC ，它的各边都与⊙O __相切__，圆心O 到各边的距离都__相等__．反过来，如果已知△ABC ，如何作⊙O ，使它与△ABC 的三边都相切呢？探究二、三角形的内切圆等概念已知：△ABC ；求作：⊙O ，使它与△ABC 的各边都相切．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做__内切圆__；解：(1)作∠B 、∠C 的平分线BE 和CF ，交点为I (2)过I 作ID ⊥BC ，垂足为D .(3)以I 为圆心，以ID 为半径作⊙I .⊙I 就是所求的圆．内切圆的圆心叫做__内心__；这个三角形叫做圆的__外切三角形__．探究三、例题讲解如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A ＝70°，求∠BOC 的度数．解：∵∠A ＝70°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝110°.∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴BO ，CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，即∠1＝12∠ABC ，∠2＝12ACB .∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2) ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12×110°＝125°.【随堂练习】完成课本P 74练习1，2，3.【课堂小结】本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1．与三角形各边都__相切__的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫__内心__；这个三角形叫做__圆的外切三角形__．2．内心的性质：__三角形的内心到三条边的距离相等__． 3．如何作△ABC 的内切圆．【课后作业】完成该书本课时的对应练习．。

浙教版九年级数学下册电子课本课件【全册】

浙教版九年级数学下册电子课本课件【全册】
1.1锐角三角函数
浙教版九年级数Biblioteka 下册电子课本课件【全册】1.2锐角三角函数的计算
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1.3解直角三角形
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第2章直线与圆的位置关系
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浙教版九年级数学下册电子课本课件【全册】目录
0002页 0042页 0118页 0137页 0213页 0258页 0324页
第1章解直角三角形 1.2锐角三角函数的计算第2章直线与圆的位置关系 2.2切线长定理第3章投影与三视图 3.2简单几何体的三视图 3.4简单几何体的表面展开图
第1章解直角三角形

九年级数学第2章圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线

第二十七页，共四十三页。
【学霸提醒】切线判定与性质综合应用
证明圆的切线的问题常用的思路是根据(gēnjù)切线的判定定
理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直.
第二十八页，共四十三页。
提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定(pàndìng)时,要明确区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公共点再连接.
解: (1)连接(liánjiē)OB.∵OP⊥OA, ∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB, ∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP.
∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP,
第十三页，共四十三页。
∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°, ∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线(qiēxiàn); (2)略
No 中,AB为直径,BC为弦,CD为。1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外。AB于点P,过点B的直线
(zhíxiàn)交OP的延长线于点C,且CP=CB.。☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上,。【典例3】如图, 已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE.
( B) B.25°
C.30°
D.40°
第十一页，共四十三页。
★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交 AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB. (1)求证(qiúzhèng):BC是☉O的切线; (2)若☉O的半径为 ,OP=1,求BC的长.
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∵∠DOB=2∠DCB,

[教学课件]九年级数学下册2.1直线与圆的位置关系切线的性质课件(新版)浙教版

第2章直线与圆的位置关系2.1切线的性质直线和圆相切的判定定理: 经过半径的并且■宜逮条半径的直线是圆的切线这个定理不仅可以用来，还可以依据它来画切线 •••LLOA,且0A 是©0的半径•・・/是的切线,已知直线AT切00于点A （切点），连结0A, 则0A是半径.T问：①0A与AT垂直吗?经过切点的半径垂直于圆的切线A已知直线AT切。

0于点A （切点），连结OA,则OA是半径.问：②过点A作AT的垂线，垂线过点O吗？经过切点垂直于切线的直线必经过圆心・・・。

0与AT 相切于点AAO A 丄 AT・・・OO 与AT 相切于点A,PA 丄AT,交圆于P 点・・・AP 是圆的直径—般地，P 啲切线有如下的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径） T判断下列命题是否正确:⑴经过半径外端的直线是圆的切线O (X)⑵垂直于半径的直线是圆的切线。

(X)⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线(V ) 是圆的切线。

⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

(M)⑸以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高、为半径的圆与底边相切。

(J )例5木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图, 用角尺的较短边紧靠O0于点A,并使较长边与。

0相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm, BC=16cm.求。

0 的半径. 连结过切点的半径是常用的辅助线解：连结OA,OC,过点A 作AD 丄0C 于D.V O0与BC 相切于点C.•••0C 丄 BCTAB 丄 BC,AD 丄 OC •••四边形ABCD 是矩形•••AD 二BC, OD 二OC-CD 二OC-AB 在RtZkADO中，OA 2 = AD 2+OD 2 即 r 2 = (r-8)2 + 162解得:r=20II II OD答：OO 的半径为20cm」吨于点P,…曲2、如图，ATWOO于点A, AB丄AT,交。

2018-2019学年九年级数学下册第2章圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线

2.5.2知|识|12目标一(1)例1于点D求证：【归纳总结】判定圆的切线的三种方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)直线与圆位置关系不明时证明圆的切线例2 教材补充例题已知：如图2－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．图2－5－5请回答：小涵的作图依据是________________________________________．【归纳总结】圆的切线的作法：(1)过圆外一点作圆的切线的方法：①连接圆外的点与圆心；②以连接得到的线段长为直径作圆，与已知圆交于两点；③连接圆外的点与交点，即得到过圆外一点所作的已知圆的两条切线．(2)圆的切线的作法是以圆的切线的判定定理为依据，将作切线转化为作垂线来实现，所作的直线必须满足两个基本特征：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．知识点一切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的______并且________________的直线是圆的切线．[注意] (1)圆的切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．二者缺一不可．(2)“垂直于这条半径”不要省去了“这条”两个字，如图2－5－8，直线l过半径OA的外端，垂直于半径OB，但直线l不是⊙O的切线．图2－5－8(3)切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切线的判定定理．知识点二过圆上一点作圆的切线步骤：(1)根据题意在圆周上取一点A；(2)连接圆心O与点A；(3)过点A作一条直线垂直于OA，则这条直线就是所求作的圆的切线．如图2－5－9，OP是∠AOB的平分线，以点P为圆心的⊙P与OA相切于点C.求证：⊙P与OB 相切．图2－5－9证明：如图2－5－10，设⊙P与OB的公共点为D，连接PC，PD.图2－5－10∵OA 与⊙P 相切于点C ， ∴PC ⊥OA.又OP 平分∠AOB ， ∴∠COP ＝∠DOP. 在△COP 与△DOP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠PCO ＝∠PDO ，∠COP ＝∠DOP ，OP ＝OP ，∴△COP ≌△DOP ， ∴PC ＝PD ，∴⊙P 与OB 相切．上述证明过程有无错误？若有错误，请指出错误的原因，并改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 若要证DE是⊙O的切线，只需DE满足两个条件：①DE过半径的外端点；②DE 垂直于这条半径．所以只需连接OD，则满足条件①，故只需证明DE⊥OD即可，而DE⊥AC，则只需证OD∥AC.证明：如图，连接OD，则∠OBD＝∠ODB.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.又∵DE过半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线．例2 [解析] 要证AC是⊙O的切线，题目没有点明AC与⊙O的交点，即没有点明切点，因此，过点O作AC的垂线，垂足为E；而⊙O与AB相切于点D，所以⊙O的半径即是OD，只要证明OE＝OD问题即得解．证明：如图，连接OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO.又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，∴ OE＝OD，∴ AC与⊙O相切．例3 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【总结反思】[小结] 知识点一外端垂直于这条半径[反思]有错误，错误原因有两个：①条件中没有给出“⊙P与OB有公共点”；②∠PCO＝∠PDO缺乏依据．正确解答：连接PC，过点P作PD⊥OB于点D.∵OA与⊙P相切于点C，∴PC ⊥OA.又OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∴⊙P与OB相切．。

2019-2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系2

——教学资料参考参考范本——2019-2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系2______年______月______日____________________部门(见B本63页)A 练就好基础基础达标第1题图1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于( B )A．70°B．110°C．120°D．130°2．下列命题中正确的是( C )A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心、外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形3．如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( A )A．△ABC的三条内角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处第3题图第5题图4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( C )A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.55．如图所示，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为__76°__．6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是____．第6题图第7题图7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝__140°__；若O为△ABC的内心，则∠BOC＝__125°__．第8题图8．如图所示，△ABC的面积为4 cm2，周长为10 cm，求△ABC的内切圆半径．解：∵S△ABC＝(AB＋BC＋AC)r＝×10×r＝5r＝4，∴r＝ cm.第9题图9．如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D.若AC＝6，CD＝2.(1)求证：四边形OECF为正方形．(2)求⊙O的半径．(3)求AB的长．解：(1)证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是矩形，∵OF＝OE，∴四边形OECF为正方形．(2)由题意可得，EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴＝.设⊙O的半径为x，则＝，解得x＝1.5，故⊙O的半径为1.5.(3)∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，∴CF＝1.5，AF＝4.5，∴AG＝4.5，设BG＝BE＝y，∴在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，∴62＋(y＋1.5)2＝(4.5＋y)2，解得y＝3，∴AB＝AG＋BG＝4.5＋3＝7.5.B 更上一层楼能力提升10．已知AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是( C )A B C D11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，则AF的长为( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cmD．9 cm第11题图第12题图12．如图所示，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__1∶2__．第13题图13．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.(1)求证：IE＝BE.(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．第13题答图解：(1)证明：连结IB.∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，∴BE＝IE.(2)在△BED和△AEB中，∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴＝.∵IE＝4，∴BE＝4.∵AE＝8，∴DE＝＝2.C 开拓新思路拓展创新14．如图所示，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC.则k的值为__4__．第14题图15．20xx·百色中考已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图1.(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．第15题图解：(1)连结OA，DF.结论：△ABC为等腰三角形，理由：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD，∠OAF＝∠OAD，∴OA⊥DF，∵＝，∴A，O，E共线，∵AE⊥BC，∴∠ACB＋∠CAE＝90°，∠ABC＋∠BAE＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．第15题答图(2)连结OB ，OC ，OD ，OF ，如图， ∵在等腰三角形ABC 中，AE ⊥BC ， ∴E 是BC 中点，BE ＝CE ，在Rt△AOF 和Rt△AOD 中，⎩⎨⎧OD ＝OF ，OA ＝OA ，∴Rt △AOF ≌Rt △AOD ，∴AF ＝AD ，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF ＝CE ＝2， Rt △BOD ≌Rt △BOE ，BD ＝BE ， ∴AD ＝AF ，BD ＝CF ， ∴DF ∥BC ，∴＝＝， ∵AE ＝＝4， ∴AM ＝4×＝.。