高三数学二轮复习 专题整合突破三角函数的图象与性质 课件理
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π 1－cos2x－3
2
1 1 3 1 ＝2 cos2x＋ sin2x－2cos2x 2 2
π 3 1 1 ＝ 4 sin2x－4cos2x＝2sin2x－6 . 2π 所以，f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π. (2)解法一：因为
π 对称中 对称中心：( 2＋ 对 (kπ，0)(k∈Z)； 心： kπ，0 )(k∈Z)； 称 π kπ 对称轴：x＝2＋ 对称轴： ， 0 (k 2 性 kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) ∈Z) 对称中心：
2.三角函数的两种常见图象变换
[重要结论] 1．三角函数的奇偶性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)，是
(2)已知函数 f(x)＝－ 1，x∈R.
π 2 2sin2x＋4 ＋ 6sin x cos x － 2cos x＋
①求 f(x)的最小正周期； ②求
[解]
π f(x)在区间0，2上的最大值和最小值．
①f(x)＝－ sin2x－cos2x＋3sin2x－ cos2x＝2sin2x
π sin2x－4∈ － 2 ， 1 . 2
所以
π 0 ， f(x)在 上最大值为 2
2 2，最小值为－2.
1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式， 常 借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用 sinx，cosx 的值域． (2)化一法： 化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx ＋φ 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)． (3)换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，可化为求函 数在给定区间上的值域(最值)问题．
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ
2．三角函数的对称性
π kπ＋2 (k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ (k∈Z)解
得； kπ (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝ 2 (k ∈Z)解得．
[失分警示] 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问 题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周 期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的 系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向．
π kπ＋2 偶函数⇔φ＝ (k∈Z)；
π kπ＋2 (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ 是偶函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ kπ
(k∈Z)，
(k∈Z)．
π kπ＋2 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ (k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ kπ (k∈Z)解得；
第二编 专题整合突破
专题三 三角函数与解三角形
ห้องสมุดไป่ตู้
第一讲 三角函数的图象与性质
主干知识整合
[必记公式] 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
π π 在[ －2＋2kπ，2＋ 在[－π＋2kπ， 2kπ](k∈Z) 2kπ ](k∈Z)上 π π ( 单 在 －2＋kπ， 2 单调递增 ； 在 上 单调递增 ； 调 ＋kπ )(k∈Z) π 3π 在[2kπ，π＋ 性 [ 2＋2kπ， 2 ＋2kπ ] 单调递增 上 2kπ](k∈Z)上 (k∈Z)上 单调递减 单调递减
π 2 x － 2sin . 4
－2cos2x＝2
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π.
②由①知 f(x)＝2 因为
π x∈0，2 ，
π 2sin2x－4 .
π 3π π 所以 2x－4∈－4， 4 ， 则
1 1 首先作出 sinx ＝ 2 与 cosx ＝ 2 表示的角的终边 ( 如图所 示)． 由图可知劣弧
π 是2kπ＋3
和优弧
的公共部分对应角的范围
5π 2 k π ＋ ， (k∈Z)． 6
π 5π 所以函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
针对训练 [2015· 天津高考]已知函数 f(x)＝sin (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在区间－3，4上的最大值和最小值． 2 π 2 x－sin x－6 x∈R. ，
解 (1)由已知，有 1－cos2x f(x)＝ － 2
π 5π 2 k π ＋ ， 2 k π ＋ (k∈Z) 3 6 1－2cosx的定义域是____________________________ ．
[解析]
sinx＞1， 2sinx－1＞0， 2 由题意，得 即 1 1－2cosx≥0， cosx≤2，
π π f(x)在区间－3，－6 上是减函数，在
π π π π 1 1 π 区间－6，4上是增函数， f－3＝－4， f－6＝－2， f4＝ π π 所以，f(x)在区间－3，4 上的最大值为
3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时， 要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的． 4． 易忽略对隐含条件的挖掘， 扩大角的范围导致错误．
热点考向探究
考点 典例示法 典例 1
三角函数的定义域、值域(最值) (1)[2016· 合肥一模]函数 y＝lg (2sinx－1)＋
2
1 1 3 1 ＝2 cos2x＋ sin2x－2cos2x 2 2
π 3 1 1 ＝ 4 sin2x－4cos2x＝2sin2x－6 . 2π 所以，f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π. (2)解法一：因为
π 对称中 对称中心：( 2＋ 对 (kπ，0)(k∈Z)； 心： kπ，0 )(k∈Z)； 称 π kπ 对称轴：x＝2＋ 对称轴： ， 0 (k 2 性 kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) ∈Z) 对称中心：
2.三角函数的两种常见图象变换
[重要结论] 1．三角函数的奇偶性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)，是
(2)已知函数 f(x)＝－ 1，x∈R.
π 2 2sin2x＋4 ＋ 6sin x cos x － 2cos x＋
①求 f(x)的最小正周期； ②求
[解]
π f(x)在区间0，2上的最大值和最小值．
①f(x)＝－ sin2x－cos2x＋3sin2x－ cos2x＝2sin2x
π sin2x－4∈ － 2 ， 1 . 2
所以
π 0 ， f(x)在 上最大值为 2
2 2，最小值为－2.
1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式， 常 借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用 sinx，cosx 的值域． (2)化一法： 化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx ＋φ 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)． (3)换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，可化为求函 数在给定区间上的值域(最值)问题．
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ
2．三角函数的对称性
π kπ＋2 (k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ (k∈Z)解
得； kπ (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝ 2 (k ∈Z)解得．
[失分警示] 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问 题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周 期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的 系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向．
π kπ＋2 偶函数⇔φ＝ (k∈Z)；
π kπ＋2 (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ 是偶函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ kπ
(k∈Z)，
(k∈Z)．
π kπ＋2 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ (k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ kπ (k∈Z)解得；
第二编 专题整合突破
专题三 三角函数与解三角形
ห้องสมุดไป่ตู้
第一讲 三角函数的图象与性质
主干知识整合
[必记公式] 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
π π 在[ －2＋2kπ，2＋ 在[－π＋2kπ， 2kπ](k∈Z) 2kπ ](k∈Z)上 π π ( 单 在 －2＋kπ， 2 单调递增 ； 在 上 单调递增 ； 调 ＋kπ )(k∈Z) π 3π 在[2kπ，π＋ 性 [ 2＋2kπ， 2 ＋2kπ ] 单调递增 上 2kπ](k∈Z)上 (k∈Z)上 单调递减 单调递减
π 2 x － 2sin . 4
－2cos2x＝2
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π.
②由①知 f(x)＝2 因为
π x∈0，2 ，
π 2sin2x－4 .
π 3π π 所以 2x－4∈－4， 4 ， 则
1 1 首先作出 sinx ＝ 2 与 cosx ＝ 2 表示的角的终边 ( 如图所 示)． 由图可知劣弧
π 是2kπ＋3
和优弧
的公共部分对应角的范围
5π 2 k π ＋ ， (k∈Z)． 6
π 5π 所以函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
针对训练 [2015· 天津高考]已知函数 f(x)＝sin (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在区间－3，4上的最大值和最小值． 2 π 2 x－sin x－6 x∈R. ，
解 (1)由已知，有 1－cos2x f(x)＝ － 2
π 5π 2 k π ＋ ， 2 k π ＋ (k∈Z) 3 6 1－2cosx的定义域是____________________________ ．
[解析]
sinx＞1， 2sinx－1＞0， 2 由题意，得 即 1 1－2cosx≥0， cosx≤2，
π π f(x)在区间－3，－6 上是减函数，在
π π π π 1 1 π 区间－6，4上是增函数， f－3＝－4， f－6＝－2， f4＝ π π 所以，f(x)在区间－3，4 上的最大值为
3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时， 要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的． 4． 易忽略对隐含条件的挖掘， 扩大角的范围导致错误．
热点考向探究
考点 典例示法 典例 1
三角函数的定义域、值域(最值) (1)[2016· 合肥一模]函数 y＝lg (2sinx－1)＋