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根的判别式练习
1.对于数字系数的一元二次方程，通过对根的判别式的计算，很容易判别方程根的情况。

例1、判别下列各方程根的情况：
(1)2x2-5x-1=0；
(2)；
(3)3x2+2x+2=0.
解：（1）∵△=（-5）2+4×2=25+8>0，∴方程2x2-5x-
1=0有两个不相等的实数根。

(2)∵，∴方程有两个相等的实数根。

(3)∵△=22-4×3×2=4-24<0，∴方程3x2+2x+2=0没有实数根。

但对于字母系数的一元二次方程，要确定它的判别式大于零、等于零或小于零，往往要进行适当的变形。

返回主题例2、求证：关于x的方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。

证明:△=（a+2b）2-4ab=a2+4ab+4b2-4ab=a2+4b2，∵a为
任何实数时，都有a2≥0；又b为任何实数时，都有b2≥0，则
4b2≥0，∴a2+4b2≥0，即△≥0，∴方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。

又如，摸底检测题1，
，∵m为任何实数时，
都有，则，∴，即△> 0，∴方程(m-1)x2-(2m+3)x-m=0有两个不相等的实数根，即选A。

这个方程的判别式8m2+8m+9需经配方后，变形为
，才能确定“△”大于零。

有一点应注意，运用判别式的前提是方程已化成了
ax2+bx+c=0这样的标准型，否则是不能用判别式的。

2.对于方程根的讨论，应先认真审题，判断所给方程是否为一
元二次方程。

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例3、求证关于x的方程(a2+1)x2-(3a-1)x+5=0没有实数根。

分析：虽然题目中只说方程是关于x的方程，没有明确指
明方程的次数，但由于二次项的系数为a2+1，a为任意实数时
a2+1都大于0，所以此方程必然是关于x的一元二次方程。

证明：。

∵a为任意实数时，，则，∴
，即△<0，∴原方程无实根。

而摸底检测题2，二次项系数为2(m+1)，有得零的可能性。

因此应分类讨论。

当2(m+1)=0，即m=-1时，方程为4x-3=0，解方程，得
；
当2(m+1)≠0，即m≠-1时，方程为关于x的一元二次方程，△=（-4m）2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8. 当△>0，即m<1且
m≠-1时，方程有两个不相等的实数根；当△=0，即m=1时，
方程有两个相等的实数根；当△<0，即m>1时，方程没有实数根。

∴选D。

3.根据一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式与零的关系，可以判别方程根的情况，反之，根据一元二次方程根的情况，也可以判定根的判别式与零的关系。

即当一元二次方程有两个不等实根时，△>0；当一元二次方程有两个相等实根时，△=0；当一元二次方程无实根时，△
<0。

事实上，若已知一元二次方程有两个不等实根，△只可能
大于0。

假设△<0，则方程无实根，与已知矛盾。

假设△=0，则方程有两个相等实根，也与已知矛盾。

用类似方法，可以证明其余两种情况。

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例4、K为何值时，方程2x2+2k2=(4k+1)x没有实数根？
解：原方程为2x2-(4k+1)x+2k2=0
△=[-(4k+1)]2-16k2=8k+1
设方程没有实数根，则△<0，即8k+1<0，解不等式，得.
∴当时，原方程没有实数根。

又如摸底检测题3，原方程整理后，得：(m-1)x2+(m-1)
x+(m-2)=0，△=（m-1）2-4(m-1)(m-2)=(m-1)(7-3m)，∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即(m-1)(7-3m)=0，∴m1=1，，又因方程有两个相等的实数根，∴m≠1，因此只能有
，所以选C。

4.关于一元二次方程的根的判别式的原定理与逆定理，有时会共同使用解决问题。

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例5、已知关于x的方程x2+2x+1+m=0没有实数根，求证关于x 的方程x2+(m-2)x-m-3=0一定有两个不相等的实数根。

证明：∵方程x2+2x+1+m=0没有实数根。

∴△<0，即22-4(1+m)<0，解不等式得：m>0。

方程x2+(m-2)x-m-3=0的判别式△’=（m-2）2+4(m+3)
=m2+16，当m>0时，m2>0，则m2+16>0，即△’>0。

∴方程
x2+(m-2)x-m-3=0一定有两个不相等的实数根。

关于一元二次方程的根的判别式的学习要给予足够的重视，在应用时，要达到灵活、熟练的程度。

例5并不是一个很好的例题，已知部分只是一个幌子而已，对于方程x2+(m-2)x-m-3=0.
△=m2+16，无论m取任何值，一定有△>0，即有二不等实根。

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强化练习
1.选择题：
(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2kx+2-k=0，有两个相等的实数根，则k的值为（）
A.1或0
B.1
C.2或-1
D.-2。

(2)若方程k(x2-2x+1)-2x2+x=0有实数根，则k的取值范围为（）
A. B.，且k≠2；
C. D.，且k≠2.
(3)已知关于x的方程(m为实数)，则此方程（）
A.没有实数根；
B.有两个相等的实数根；
C.有两个不相等的实数根；
D.不能确定有无实数根。

2.关于x的一元二次方程mx2+2(m+1)x+m-1=0有两个实数根，求m的取值范围。

3.如果a、b、c是实数，且a-b≠0，求证关于x的一元二次方程(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)=0的根是两个不相等的实数。

4.若a、b、c是一个三角形的三边，且关于x的方程x2+(c-a) x=ac-b2有两个相等的实数根，求证a+c=2b成立。

返回主题[提示与答案]
<提示与答案>
1.（1）B；（2）C；（3）C。

2.，且m≠0.
3.提示：△=[4(a-b)]2-4(a-b+c)(a-b-c)=12(a-b)
2+4c2.∵a-b≠0，即a≠b，∴(a-b)2>0.
4.证明：原方程整理后，得：
x2+(c-a)x+b2-ac=0.
△=(c-a)2-4(b2-ac)=c2+2ac+a2-4b2=(c+a)2-(2b)2∵方程有两个相等的实数根。

∴△=0
即(c+a)2-(2b)2=0，则(c+a+2b)(c+a-2b)=0.
∵a、b、c为一个三角形的三边。

∴c+a+2b>0
∴c+a-2b=0
∴a+c=2b成立。