自动控制第五章课件--习题
自动控制原理 第五章(第四和五次)
6
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Im
K=100
P=0; R=-2;
Z=0-(-2)=2 闭环系统在 s 右半平面有两个 极点，系统不稳定
-1
+∞
ω=0
Re
闭环传递函数在复平面右半平面有Z个极点
Z PR
R(>0)为Nyquist曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数; R(<0)为Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数;
➢只要在这个闭合曲线 内没有F(s)的零点，系 统即为稳定的。
+∞ Im ∞
O Re
-∞
3
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
➢对于真有理分式，s等于无穷
大的时候，|G(s)H(s)|=0，在
+∞ Im
G(s)H(s)曲线中对应坐标原点。
∞
➢我们只需考察S在虚轴上取值
O
的情况
Re
➢ s j 在复平面上的
自动控制原理
(2)开环传递函数含ν 个积分环节 ν型系统
Ga (S )
K S (TS 1)
Im
-1
0
(a)ν=1,从 0 点逆时针
0 Re
补画半径为无穷大的1/4圆。
0
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
22
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
Im
0 -1 0
＝0
曲线G，( j就)是HN( jyq)uist曲线
-∞
4
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理第五章习题及答案
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。
u r R1u cR2CR2R1u r u c(a) (b)题5-1图R-C网络解（a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(RRCRRTCRRRRKsTsKsCRsCRRRsUsUrcττωωτωωωωω11121212121)1()()()(jTjKCRRjRRCRRjRjUjUjGrca++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=CRRTCRsTssCRRsCRsUsUrc)(1111)()(2122222212ττωωτωωωωω2221211)(11)()()(jTjCRRjCRjjUjUjGrcb++=+++=="5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(tcs和稳态误差)(tes（1）tt r2sin)(=（2）)452cos(2)30sin()(︒--︒+=ttt r题5-2图反馈控制系统结构图解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 频率特性:2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=-系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ>)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 h t e e t tt()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。
自动控制理论二第5章习题
⾃动控制理论⼆第5章习题⾃动控制理论(⼆) 第五章测试题⼀、单项选择题(每⼩题2分)1、系统特征⽅程式的所有根均在根平⾯的左半部分是系统稳定的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.以上都不是 2、下列判别系统稳定性的⽅法中，哪⼀个是在频域⾥判别系统稳定性的判据（） A.劳斯判据 B.赫尔维茨判据 C.奈奎斯特判据 D.根轨迹法 3、设单位负反馈系统的开环传函为G(s)=3)1s (22+，那么它的相位裕量γ的值为（） A.15o B.60o C.30o D.45o4、系统稳定的充分必要条件是其特征⽅程式的所有根均在根平⾯的( ) A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 左半部分 D. 右半部分5、下列频域性能指标中，反映闭环频域性能指标的是( ) A.谐振峰值M r B.相位裕量γ C.增益裕量K g D.剪切频率ωc6、在经典控制理论中，临界稳定被认为是( )A.稳定B.BIBO 稳定C.渐近稳定D.不稳定 7、奈奎斯特稳定性判据是利⽤系统的( )来判据闭环系统稳定性的⼀个判别准则。
A.开环幅值频率特性B.开环相⾓频率特性C.开环幅相频率特性D.闭环幅相频率特性 8、系统的开环传递函数由1)s(s K +变为2)1)(s s(s K++，则新系统( )。
A.稳定性变好 B.稳定性变坏C.稳定性不变D.相对稳定性变好 9、利⽤奈奎斯特图可以分析闭环控制系统的（） A.稳态性能 B.动态性能C.稳态和动态性能D.抗扰性能 10、设单位负反馈控制系统的开环传递函数G o (s)=)a s (s K+，其中K>0,a>0，则闭环控制系统的稳定性与（） A.K 值的⼤⼩有关 B.a 值的⼤⼩有关C.a 和K 值的⼤⼩有关D.a 和K 值的⼤⼩⽆关11、已知系统的特征⽅程为(s+1)(s+2)(s+3)=s+4，则此系统的稳定性为（） A ．稳定 B ．临界稳定 C ．不稳定 D ．⽆法判断12、已知系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为G （s ）=s K 1)s (H ,)1s (s 10h +=-，当闭环临界稳定时，K h 值应为（） A ．-1 B ．-0.1 C ．0.1 D ．113、闭环系统特征⽅程为G(s)H(s)=-1,其中G(s)H(s)的⽮量表⽰为（） A ．1/（2l+1）π B ．1/±(2l+1)π C ．1/（±2l π） D ．1/(±l π) （各备选项中l =0,1,2……）14、若系统的特征⽅程式为 s 3+4s+1=0 ，则此系统的稳定性为 ( ) A ．稳定 B ．临界稳定 C ．不稳定 D ．⽆法判断 15、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为)5s )(1s (s )1s (10)s (G +-+=，该系统闭环系统是（）A ．稳定的B ．条件稳定的C ．临界稳定的D ．不稳定的 16、系统的开环传递函数为)1TS (s 2)s (G k +=，当T=1s 时，系统的相位裕量为（）A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 17、设某闭环传递函数为1s 101)s (R )s (Y +=，则其频带宽度为（） A ．0～10 rad/s B ．0～1 rad/s C ．0～0.1 rad/sD ．0～0.01 rad/s18、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)＝，则相位裕量γ的值为（） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90°19、若⼀系统的特征⽅程式为 (s+1)2(s － 2)2+3 ＝ 0 ，则此系统是（） A ．稳定的 B ．临界稳定的 C ．不稳定的 D ．条件稳定的 20、在奈⽒判据中，若F(s)在F(s)平⾯上的轨迹顺时针包围原点两次，则N 的值为（）A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．221、若劳斯阵列表中第⼀列的系数为（3，1，ε，2-ε1，12）T ，则此系统的稳定性为（）A ．稳定B ．临界稳定C ．不稳定D ．⽆法判断 22、设开环系统频率特性为G （j ω）=)12)(1(1++ωωωj j j ，则其频率特性的奈⽒图与负实轴交点的频率值ω为（） A ．rad 22/s B ．1rad /s C ．2rad/s D ．2rad/s 23、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为G （s ）=1-s K,则系统稳定时K的范围为（）A ．K <0B ．K >0C ．K >1D ．K >224、某单位反馈控制系统开环传递函数G (s )=21s s +α，若使相位裕量γ=45°，α的值应为多少？（）A ．21 B ．21 C ．321 D ．42125、已知单位负反馈系统的开环传递函数为G (s )=12)1(223++++s as s s ,若系统以ωn =2rad/s的频率作等幅振荡，则a 的值应为（）A ．0.4B ．0.5C ．0.75D ．126、设G (s )H (s )=)5)(2()10(+++s s s k ，当k 增⼤时，闭环系统（）A ．由稳定到不稳定B ．由不稳定到稳定C ．始终稳定D ．始终不稳定⼆、填空题(每⼩题1分)1、已知单位反馈系统的开环传递函数为)1Ts (s K)s (G +=，若要求带宽增加a 倍，相位裕量保持不变，则K 应为，T 应为。
自动控制理论二第5章习题
自动控制理论(二) 第五章测试题一、单项选择题(每小题2分)1、系统特征方程式的所有根均在根平面的左半部分是系统稳定的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.以上都不是 2、下列判别系统稳定性的方法中，哪一个是在频域里判别系统稳定性的判据（ ） A.劳斯判据 B.赫尔维茨判据 C.奈奎斯特判据 D.根轨迹法 3、设单位负反馈系统的开环传函为G(s)=3)1s (22+，那么它的相位裕量γ的值为（ ） A.15º B.60º C.30º D.45º4、 系统稳定的充分必要条件是其特征方程式的所有根均在根平面的( ) A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 左半部分 D. 右半部分5、下列频域性能指标中，反映闭环频域性能指标的是( ) A.谐振峰值M r B.相位裕量γ C.增益裕量K g D.剪切频率ωc6、在经典控制理论中，临界稳定被认为是( )A.稳定B.BIBO 稳定C.渐近稳定D.不稳定 7、奈奎斯特稳定性判据是利用系统的( )来判据闭环系统稳定性的一个判别准则。
A.开环幅值频率特性B.开环相角频率特性C.开环幅相频率特性D.闭环幅相频率特性 8、系统的开环传递函数由1)s(s K +变为2)1)(s s(s K++，则新系统( )。
A.稳定性变好 B.稳定性变坏C.稳定性不变D.相对稳定性变好 9、利用奈奎斯特图可以分析闭环控制系统的（ ） A.稳态性能 B.动态性能C.稳态和动态性能D.抗扰性能 10、设单位负反馈控制系统的开环传递函数G o (s)=)a s (s K+，其中K>0,a>0，则闭环控制系统的稳定性与（ ） A.K 值的大小有关 B.a 值的大小有关 C.a 和K 值的大小有关 D.a 和K 值的大小无关11、已知系统的特征方程为(s+1)(s+2)(s+3)=s+4，则此系统的稳定性为（ ） A ．稳定 B ．临界稳定 C ．不稳定 D ．无法判断12、已知系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为G （s ）=s K 1)s (H ,)1s (s 10h +=-，当闭环临界稳定时，K h 值应为（ ） A ．-1 B ．-0.1 C ．0.1 D ．113、闭环系统特征方程为G(s)H(s)=-1,其中G(s)H(s)的矢量表示为（ ） A ．1/（2l+1）π B ．1/±(2l+1)π C ．1/（±2l π） D ．1/(±l π) （各备选项中l =0,1,2……）14、若系统的特征方程式为 s 3+4s+1=0 ，则此系统的稳定性为 ( ) A ．稳定 B ．临界稳定 C ．不稳定 D ．无法判断 15、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为)5s )(1s (s )1s (10)s (G +-+=，该系统闭环系统是（ ）A ．稳定的B ．条件稳定的C ．临界稳定的D ．不稳定的 16、系统的开环传递函数为)1TS (s 2)s (G k +=，当T=1s 时，系统的相位裕量为（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 17、设某闭环传递函数为1s 101)s (R )s (Y +=，则其频带宽度为（ ） A ．0～10 rad/s B ．0～1 rad/s C ．0～0.1 rad/sD ．0～0.01 rad/s18、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)＝ ，则相位裕量 γ 的值为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90°19、若一系统的特征方程式为 (s+1)2(s － 2)2+3 ＝ 0 ，则此系统是（ ） A ．稳定的 B ．临界稳定的 C ．不稳定的 D ．条件稳定的 20、在奈氏判据中，若F(s)在F(s)平面上的轨迹顺时针包围原点两次，则N 的值为（ ）A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．221、若劳斯阵列表中第一列的系数为（3，1，ε，2-ε1，12）T ，则此系统的稳定性为（ ）A ．稳定B ．临界稳定C ．不稳定D ．无法判断 22、设开环系统频率特性为G （j ω）=)12)(1(1++ωωωj j j ，则其频率特性的奈氏图与负实轴交点的频率值ω为（ ） A ．rad 22/s B ．1rad /s C ．2rad/s D ．2rad/s 23、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为G （s ）=1-s K,则系统稳定时K的范围为（ ）A ．K <0B ．K >0C ．K >1D ．K >224、某单位反馈控制系统开环传递函数G (s )=21s s +α，若使相位裕量γ=45°，α的值应为多少？（ ）A ．21 B ．21 C ．321 D ．42125、已知单位负反馈系统的开环传递函数为G (s )=12)1(223++++s as s s ,若系统以ωn =2rad/s的频率作等幅振荡，则a 的值应为（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.75D ．126、设G (s )H (s )=)5)(2()10(+++s s s k ，当k 增大时，闭环系统（ ）A ．由稳定到不稳定B ．由不稳定到稳定C ．始终稳定D ．始终不稳定二、填空题(每小题1分)1、已知单位反馈系统的开环传递函数为)1Ts (s K)s (G +=，若要求带宽增加a 倍，相位裕量保持不变，则K 应为 ，T 应为 。
自动控制原理及其应用课后习题第五章答案
ω
20 0 -20
10 ωc
1
2 -20dB/dec
ω
-60dB/dec
10 ≈1 ω2 0.5 c
ω c=4.5
5 ≈1 ω c=7.9 ω 0.01 c3
第五章习题课 (5-17)
-20
低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=20dB φ (ω ) 0 ω1=5 ω2=15 -90 相频特性曲线： 相频特性曲线： -180 -270 φ ( )= -90o ω ω=0 φ ( )= -270o ω ω=∞
-60dB/dec
ω
第五章习题课 (5-2)
10(s+0.2) 1.33(5s+1) (5) G(s)= s2(s+0.1)(s+15)=s2(10s+1)(0.67s+1) 解： 低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=2.5dB
第五章习题课 (5-7)
5-7 已知奈氏曲线，p为不稳定极点个数， 已知奈氏曲线， 为不稳定极点个数 为不稳定极点个数， υ为积分环节个数，试判别系统稳定性。 为积分环节个数，试判别系统稳定性。 Im υ=2 (b) p=0 (a) p=0 Im υ=0
ω=0 Re -1 0 ω=0+ -1 0 ω=0 Re
第五章习题课 (5-1)
5-1(1) 已知单位负反馈系统开环传递函数， 已知单位负反馈系统开环传递函数， 当输入信号r(t)=sin(t+30o)，试求系统的稳态 当输入信号 ， 输出。 输出。 10 G(s)=(s+1) 10 解： φ(s)= (s+11) 10 = 10 = 10 ω A( )= 2 2 112+1√ 122 =0.905 √ 11 +( ) √ ω φ ( )=-tg-1ω =-tg-1 1 =-5.2o ω 11 11 cs(t)=0.9sin(t+24.8o)
自动控制理论第五章习题汇总
自动控制理论第五章习题汇总填空题1、系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率响应2、在正弦输入信号的作用下，系统输入的稳态分量称为频率响应简答题：5-2、什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？答在s平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。
最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。
如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。
5-3、什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-3所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-3称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
计算题5-1、设某控制系统的开环传递函数为)()(s H s G =)10016()12.0(752+++s s s s 试绘制该系统的Bode 图，并确定剪切频率c ω的值。
解：Bode 图如下所示剪切频率为s rad c /75.0=ω。
5-2、某系统的结构图和Nyquist 图如图(a)和(b)所示，图中2)1(1)(+=s s s G 23)1()(+=s s s H 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根的个数。
解：由系统方框图求得内环传递函数为：ss s s s s s H s G s G +++++=+23452474)1()()(1)( 内环的特征方程：04742345=++++s s s s s由Routh 稳定判据：1:0310:16:44:171:01234s s s s s由此可知，本系统开环传函在S 平面的右半部无开环极点，即P=0。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
《自动控制原理》第5章习题答案
jω
期望极点
期望极点
− p3
j
600
j0.58
− p2
-1
− p1
0 -j
-3
-2
σ
-2
19.150 -1
40.880 0.33 0
119.640
校核相角条件： 根据在图中主导极点位置的近似值－0.33 ± j 0.58 和开环极点的位置， 作由各开环极点到期望主导极点的向量，
Φ = －119.640 －40.880 －19.150 = －179.670≈－1800
− p2
-10 -5
− p1
0
σ
②计算期望主导极点位置。
超调量σ％ ≤ 20％，调整时间 ts ≤ 0.5s
4
ζω n
= 0.5s ， ζω n = 8
σ%=e
−
ζπ
1−ζ 2
= 0.2 ， ζ = 0.45 ， θ = 63.2 0
故，期望主导极点位置， s1, 2 = −8 ± j15.8
期望极点
Gc ( s ) =
4，控制系统的结构如图 T5.3 所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置，
使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数 Kv ≥ 20，闭环主导极点 ω n = 4 ，阻尼系数 保持不变。
R(s)
+ -
Gc(s)
4 s ( s + 2)
Y(s)
图 T5.3
解：①校核原系统。
14
+20
0dB
1
Φ (ω ) 度
900 00
5
ω rad/s
ω rad/s
2，控制系统的结构如图 T5.1 所示，试选择控制器 Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量
自动控制原理(胡寿松) 第五章ppt
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的 性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域 表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的 性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际 中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信 号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在 计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时， 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
2
在工程实践中 , 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过
程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、
参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析 方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将 详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的 方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性 等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的
20
1.低频段
在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L( ) 20 lg (T ) 2 1 20 lg1 0
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称 为低频渐近线。
21
2.高频段
在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
14
5.2 典型环节的频率特性
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性： L(ω)=20lgA(ω)=20lgK
107982-自动控制-第五章(3-5.4-6)
定理一（幅角原理）：当s的值沿闭围线C连 续地变化1周时，函数F(s)的向量旋转的周 数N为Z-P,即 N Z P
➢s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线C包围s平面上F(s)的 z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线C移动一周时， 在F(s)平面上相对应于封闭曲线C将以顺时针方向绕原点旋转N 圈。N，z，p的关系为：N=z-p。
Z NP
•奈奎斯特稳定判据（闭环系统稳定的充分必 要条件）：当s沿D形围线（奈奎斯特围线） 连续变化1周时，函数 F(s) 1 G(s)H(s) 的轨迹 逆时钟方向包围原点P周，即
N P
23
奈氏判据
开环稳定时，开环传递函数在右半平面没 有极点，即P=0, 此时，闭环系统稳定的条件是： F(s)绕原点转过的圈数为0。
因此，应用奈氏判据判断闭环系统是否稳 定，只需要：
1）知道开环传递函数 G(s)H (s) 在复平面右 半面的极点数P;
2) 画出当s沿D形围线连续变化一周时，函 数 1 G(s)H(s) 的轨线。
24
奈氏判据
为了有效地应用奈氏判据，需要补充几点：
1)函数F(s) 1 G(s)H (s)与开环传递函数G(s)H (s)之间只差1，
H (s)
闭环传递函数：(s) G(s) 1 G(s)H (s)
F(s) 1 G(s)H (s) 0为闭环系统特征方程
19
奈氏判据
G(s) F(s) 1 G(s)H(s)
(s) G(s) 1 G(s)H (s)
H (s)
•F(s)的零点为闭环系统的极点；
假设:
G(s)H (s) M (s) N (s)
Im
s-plane
s
p(或z)
自动控制原理第五章频域分析法
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频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
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每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
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5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
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5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
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5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
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5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
自动控制理论第五章习题
第五章习题E5.2 The engine,body,and tires of a racing vehicle affect the acceleration and speed attainable.The speed control of the car is represented by the model shown in FigureE5.2.(a)Calculate the steady-state error of the car to a step command in speed.(b)Calculate overshoot of the speed to a step command.E5.3 For years,Amtrak has struggled to attract passengers on its routes in the Midwest,using technology developed decades ago.During the same time,foreign railroads were developing new passenger rail systems that could profitably compete with air travel.Two of these systems,the French TGV and the Japanese Shinkansen,reach speed of 160 mph.The Transrapid-06,a U.S. Experimental magnetic levitation train,is shown in Figure E5.3(a).The use of magnetic levitation and electromagnetic propusion to provide contactless vehicle movement makes the Transrapid-06 technolog radically different from the existing Metroliner.The underside of the TR-06 carriage(where the wheel trucks would be on a conventional car)wraps around a guideway.Magnets on the bottom of the guideway attract electromagnets on the "wraparound,"pulling it up toward the guideway.This suspends the vehicles about one centimeter above the guideway.The levitation control is represented by Figure E5.3(b).(a)usingTable 5.6 for a step input,select K so that the system provide anoptimum ITAE response.(b)Using Figure5.3 determine the expected overshoot to a step input of I(s).E5.5 A low-inertia plotter is shown in Figure E5.5(a).This system may be represented by block diagram shown in Figure E5.5(b).(a)Calculate the steady error for a ramp input.(b)Select a value of K that will result in zero overshoot to a step input.Provide the most rapid response that is attainable.Plot the poles and zeros of the system and discuss the dominance of the complex poles.What overshoot for a step input do you expect?E5.6 Effective control of insulin injection can result in better lives for diabetic persons.Automatically controlled insulin jection by means of a pump and a sensor that measures blood sugar can be very effective.A pump and injection system has a feedback control as shown in Figure E5.6.Calculate the suitable gain K,so that the overshoot of the step response due to the drug injection is approximately 7%.R(s) is the desired blood-sugar level and Y(s),is the actual blood-sugar level.Figure E5.6E5.8 A unity negative feedback control system has the plant transfer function(a)Determine the percent overshoot and setting time (using a 2% setting criterion) due to a unit step input.(b)For what range of K is the setting time less than 1 second?E5.10 A system with unity feedback is shown in Figure E5.10.Determine the steady-state error for a step and ramp input whenE5.11 We are all familiar with the Ferris wheel featured at state fairs and carnivals,George Ferris was born in Galesbueg,Illinois,in 1859;he later moved to Nevada and then graduated from Rensselaer Polytechnic Institute in 1881. By 1891,Ferris had considerable experience with iron,steel,and bridge construction.He conceived and constructed his famous wheel for the 1893 Columbian Exposition in Chicago. To avoid upsetting passegers,set a requirement that the steady-state speed must be controlled to within 5% of the desired speed for thesystem shown in Figure E5.11.(a)Determine the required gain K to achieve the steady-state requirement.(b)For the gain of the part(a),determine and plot the error e(t) for a distrbance D(s)=1/s.Does the speed change more than 5%?(set R(s)=0 for ease of computation.)E5.13 A feedback system is shown in Figure E5.13.(a)Determine the steady-state error for a unit step when K=0.4 and G p(s)=1.(b)Select an appropriate value for G p(s) so that the steady-state error is equal to zero for the unit step input.E5.16 A closed-loop control system transfer function T(s) has two dominant complex conjugate poles.Sketch the region in the left-hand s-plane where the complex poles should be located to meet the given specifications.E5.17 A system is shown in Figure E5.17(a).The response to a unit step,when K=1,is shown in Figure E5.17(b).Determine the value of K so that the steady-state error is equal to zero.P5.1 A important problem for television systems is the jumping or wobbling of the picture due to the movement of thecamera.This effect occurs when the camera is mounted in a moving truck or airplane. The Dynalens system has been designed to reduce the effect of rapid scanning motion;see Figure P5.1. A maximum scanning motion of 25% is expected.Let K g=K f=1 and assume that τg is negligible.(a)Determine the error of the system E(s).(b)Determine the necessary loop gain,K a K m Kt,when a 10/s steady-state error is allowable.(c)The motor time constant is 0.40s.Determine the necessary loop gain so that the setting time(to within 2% of the final value of v b) is less than or equal to 0.03s.P5.2 A specific closed-loop control system is to be designedfor an underramped response to a step input.The specification for the system are as follows:10%<percent overshoot<20%, Setting time<0.6s.(a)Identify the desired area for the dominant roots of the sytem(b)Determine the smallest value of a third root,r3 ,if the complex conjugate roots are to represent the dominant response.(c)The closed-loop system transfer function T(s) is third-order,and the feedback has a unity gain, Determine the forword transfer function,G(s)=Y(s)/E(s).when the setting time to within 2% of the final value is 0.6s and the percent overshoot is 20%.P5.5 A space telescope is to be launched to carry out astronamical experiments.The pointing control system is desried to achieve 0.01 minute of arc and track solar objects with apparent motion up to 0.21 minute per second. Tne system is illustrated in Figure P5.5(a).The control system is shown in Figure P5.5(b). Assume that τ1 =1second and τ2 =0(an approximation).(a)Determine the gain K=K1K2 required so that the response to a step command is as rapid as reasonable with an overshoot of less than 5%(b)Determine the steady-state error of the system for a step and ramp input(c)Determine the value of K1K2 for ITAE optimal system for (1) a step input and (2)a ramp input.P5.6 A robot is programmed to have a tool or welding torch follow a prescribed path. Consider a robot tool that is to follow a sawtooth path.as shown in Figure P5.6(a).The transferfunction of the plant isThe transfer function of the plant is for the closed-loop system shown in Figure P5.6(b).Calculate the steady-state error.P5.7 Astronaut Bruce McCandless II took the first unthethered walk in space on February 7,1984,using the gas-jet propulsion device illustrated in Figure P5.7(a).The controller can be represented by a gain K2 , shown in Figure P5.7(b).The inertia of the equipment and man with his arms at his sides is 25 Kg-m2.FIGURE P5.7 (a)Astronaut Bruce McCandless II is shown a few meters away from the earth-orbiting space shuttle, Challenger. He used a nitrogenpropelled handcontrolled device called the manned maneuvering unit.(Courtesy of National Aeronautic and space Administration) (b)Block diagram of controller(a)Determine the necessary gain K3to maintain a steady-state error equal to 1 cm when the input is a ramp r(t)=t(meters). (b)With this gain K3,determine the necessary gain K1K2 in order to restrict the percent overshoot to 10%.(c)Determine annalytically the gain K1K2 in order to minimize the ISE performance index for a step input.P5.16 Electronic pacemakers for human hearts regulate the speed of the heart pump.A proposed closed-loop system that includes a pacemaker and measurement of the heart rate is shown in Figure P5.16.The transfer function of the heart pump and the pacemake is found to be:Design the amplifier gain to yield a system with a setting time to a step disturbance of less than 1 second.The overshoot to a step in desired heart rate should be less than 10%.FIGURE P5.16 Heart pacemaker(a)Find a suitable range of K(b)If the nominal value of K is K=10,find the sensitivity of the system to a small change in K.(c)Evaluate the sensitivity of part(b) at DC(set s=0).(d)Evaluate the magnitude of the sensitivity at normal heart rate of 60 beats/minute.P5.19 A system is shown in Figure P5.19.(a)Determine the steady-state error for a unit step input in terms of K and K1,where E(s)=R(s)-Y(S).(b)Select K1 so that the steady-state error is zero.AP5.1 A closed-loop transfer function is(a)Determine the steady-state error for a unit step input R(s)=1/s(b)Assume that the complex poles dominate,and determine the overshoot and setting time to within 2% of the final value(c)Plot the actual system response,and compare it with the estimate of part(b).AP5.3 A closed-loop system is shown in Figure AP5.3.Plot the response to a unit step input for system with τp=0, 0.5, 2,and 5. Record the percent overshoot,rise time,and settling time(with a 2% criterion) as τp varies.Describe the effect of varying τp .Compare the location of the closed-loop roots.AP5.4 The speed control of a high-speed train is represented by the system shown in Figure AP5.4.Determine the equation for steady-state error for K for a unit step input r(t).Consider the three values for equal to 1, 10, 100.(a)Determine the steady-state error.(b)Determine and plot the response y(t) for (i) a unit step input r(t) and (ii) a unit step disturbance input d(t).(c)Creat a table showing overshoot,setting time (with a 2% criertion),e ss for r(t),and |y/d|max for the three values of K.Select the best comprise value.AP5.6 The block diagram model of an armature-current-controlled DC motor is shown in FigureAP5.6.(a)Determine the steady-state error for a step input r(t)=t,t>=0, in terms of K,K b,and K m .(b)Let K m=10 and K b=0.05,and select K so that steady-state error is equal to 1.(c)Plot the response to a unit step and a unit ramp input for 20 seconds,Are the responses acceptable?。
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章-1
积分环节:G(s)=1/s
微分环节:G(s)=s 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1) 一阶微分环节:G(s)=Ts+1 振荡环节 1/(s 2 / n2 2s / n 1)
二阶微分环节 s 2 / 2 2s / 1 n n
比例环节:G(s)=K (K<0)
惯性环节:G(s)=1/(1-Ts)
系统开环传函由多个典型环节相串联 ：
G(s) H (s) G1 (s)G2 (s)Gr (s)
那么，系统幅相特性为：
G ( jw) H ( jw) G1 ( jw)G2 ( jw) Gr ( jw) A1 ( w)e
j1 ( w )
A2 ( w)e k ( w )
k 1 r
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) ( s j )(s j ) 2j s2 2
a G( s)
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) s2 2 ( s j )(s j ) 2j
幅频特性 相频特性
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为 输出与输入的相位差
A() G( j)
( )
G ( j )
(1)、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应, 记为css(t)
(2)、频率特性
幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比: Ac A( ) G ( j ) A 相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差: ( ) G ( j ) 幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信 号角频率的变化而变化。 G( j ) A(w)e j ( ) 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率 特性。
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法 习题答案
ess2 200
4 310 34
8 310 34
ess2
8 sin(3t 310 ) 34
ess ess1 ess2 1
8 sin(3t 310 ) 34
三. 某单位反馈系统，开环传递函数为
G(s)
s(s2
20k s 10)
（k>0）
1).由奈氏判据判断使系统稳定的k值范围。
s
s(Ts
k 1)
k
1 s
1
当n(t) 2sin 3t时，N ( jw) 200
令en ( s)
k s(Ts 1)
kHale Waihona Puke E(s) N (s)en( jw)
k jw( jwT 1) k
,
当w 3时,en( j3)
k
(arctg 3 )
(k 9T )2 32
9T k
4 310 (代入k 4,T 1) 34
相频特性 (w) 180 0 arctg(0.8w) arctg0.05w
含有两个积分环节，起点在 1800无穷远处,
终点 w ,A(w)=0,在坐标原点。
两个积分环节,相角 1800 一个一阶微分环节,相角 0 ~ 900 一个惯性环节,相角 0 ~ 900 则总的相角变化 1800 ~ 1800 Nyquist曲线呈现凹凸特性。
(k Tw2 )2 w2
带入w=2
k
2
(k 4T )2 4
(
jw)
arctg
k
w Tw2
arctg
k
2 4T
900
解得:
k T
4,则G(s) 1
4 s(s 1)
开环频率特性: G( jw) 4
自动控制原理第五章PPT课件
s (1 0 .1 s)
s1 0 .1 s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
.
23
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右 半部分
➢ 比例环节：-K
➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中. T>0
24
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳
定极点产生的发散或震荡分量。
.
8
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 jG(s)estds
2 j j 式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换 存在，可令s=j,则有
d () 是 关 于 的 奇 函 数 。
.
5
.
6
因而
1
G (j) c b 2 2 ( () ) d a 2 2 ( () ) 2 ,
G (j) a r c ta n b ()c () a ()d () a ()c () d ()b ()
G ( j )c a (( )) jjd b ( ( ) )G (j )ej G (j)
Tddut0u0ui
TRC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
U o ( s ) T s 1 [ U i( s ) T u o 0 ] T s 1 [ s 2 2 T u o 0 ]
自动控制理论课后习题详细解答答案(夏德钤翁贻方版)第五章
第五章5-1 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图(1)解：幅频特性：相频特性：列表取点并计算。
0.5 1.0 1.5 2.0 5.010.01.790.7070.370.2240.0390.0095-116.6-135-146.3-153.4-168.7-174.2系统的极坐标图如下：(2)解：幅频特性：相频特性：列表取点并计算。
00.20.50.8 1.0 2.0 5.010.910.630.4140.3170.1720.01950-15.6-71.6-96.7-108.4-139.4-162.96系统的极坐标图如下：(3)解：幅频特性：相频特性：列表取点并计算。
0.20.30.51254.55 2.74 1.270.3170.0540.0039-105.6-137.6-161-198.4-229.4-253系统的极坐标图如下：(4)解：幅频特性：相频特性：列表取点并计算。
0.20.250.30.50.60.8122.7513.87.86 2.520.530.650.317-195.6-220.6-227.6-251.6-261.6-276.7-288.4系统的极坐标图如下：5-2 试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。
(1)解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在处与=20=0相交。
环节的交接频率，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/de c。
系统的伯德图如图所示:(2)解：伯德图起始为0dB线，的交接频率，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/de c。
的交接频率，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/de c。
系统的伯德图如图所示。
（3）解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在=1处与=20=0相交。
的交接频率，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/de c。
的交接频率，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/de c。
《自动控制原理》 第五章习题解答
5-2 若系统单位阶跃响应为
h(t) = 1−1.8e −4t + 0.8e −9t
试确定系统的频率特性。 解：对单位阶跃响应取拉氏变换得：
1 − 1.8 + 0.8 =
36
s s + 4 s + 9 s(s + 4)(s + 9)
(t ≥ 0)
即： C(s) = G(s) =
K,T1,T2 > 0
当取ω = 1时， ∠G( jω ) = −1800 ， G( jω ) = 0.5 。当输入为单位速度信号时，系统的稳
态误差为 0.1，试写出系统开环频率特性表达式。
解： KV
= lim sG(s) = s→0
K
= 10
当ω = 1时 G( jω ) = K (T2ω )2 + 1 = 10 (T2 )2 + 1 = 0.5
T2
=
1 20
T1 = 20
T1
=
1 T2
代入到
G(
j)
=
10
(T2 )2 + 1 (T1 )2 + 1
=
0.5 中得到：
所以系统的开环传递函数为： G(s) = 10(−s / 20 + 1) s(20s + 1)
系统开环频率特性表达式为： G( jω ) = 10(− jω / 20 + 1) jω(20 jω + 1)
ω
2 n
=1
(ω
2 n
− 1)
+
(2ζω n )2
∠GB
(
jω
)
=
−
arctan
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L() 20lg G( j) 20lg
对数相频特性
()
90° 0° 0.1 1 10
( ) 2
4.一阶惯性环节
频率特性
1 G j 1 jT
2 2
对数幅频特性 L( ) 20lg G( j ) 20lg T 1 对数相频特性
[解]：1、该系统是0型系统，所以 0, k 10, T1 0.25, T2 0.5
1 1 4, 2 2,20log k 20dB T1 T2
2、低频渐进线：斜率为 20 0dB，过点（1，20） 3、波德图如下：
A( )
20
40
1 2
4
60
K ( S/2 + 1) G(S)= ----------------------S （S/20 + 1）
3）在ω=2处的分贝值为20dB，显然： 此处的分贝值是由K与1/S共同决定的，即:20lg（K/ω）=20
当ω=2时，有K=20 因此，有:
20 (S/2 + 1) G(S)= -------------------S（S/20 + 1）
La (1) 20lg K
v K / 0 1，即 方法三：取 La (0 )为特殊值0，则有 1 0 K 过 0 , La (0 ) 在 min范围内作斜率为 20dB / dec 的直线。显然，若有 0 min ，则点0 , La (0 ) 位于低频 渐近特性曲线的延长线上。 4）作 min 频段渐近特性线：在频段 min，系统开环对 数幅频渐近特性曲线为分段折线。每两个相邻交接频率之间 为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取 决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。
10
0
10
1
n
5.2 开环对数频率特性曲线的绘制
1、绘制方法
系统开环传递函数作典型环节分解后，先作出各典型 环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法即可方便地绘 制系统开环对数频率特性曲线。这里着重介绍开环对数幅频 渐近特性曲线的绘制方法。 1）开环传递函数典型环节分解； 2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频 率标注在半对数坐标图的 轴上；
10
log
Friday, May 26, 2017
26
2000 ( s 1) ，画出其对数坐标图。 s( s 0.5)(s 2 14s 400) 10( s 1) G ( s ) 解：⒈将传函写成时间常数形式 s(2s 1)(0.0025 s 2 0.035s 1)
20lg n 20n lg
n2
n 1
-60dB/dec
Phase (deg)
90 n
90 45 0 -45 -90 10
-1 0
10
10
1
Frequency (rad/sec)
3. 微分环节
频率特性
G( j ) j
对数幅频特性
L () 20dB/dec
G( j) j 1
L( ) 20lg 1
2 2
对数相频特性
arctan
6.二阶振荡环节
频率特性 对数幅频特性
G j
2 1 ( ) j 2 n n
1
L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg (1 ( / n )2 )2 (2 /n )2
设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所 示,试确定系统的传递函数。
(dB) 40 20 0 -20
0.2
2
20
200
ω
解：1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节 1/S ； 2）在ω1=2和ω2=20处，斜率分别由-20dB/dec变为0， 由0变为-20dB/dec，
说明系统含有环节 S+2，1/（S+20） 故系统开环传递函数具有下如形式：
注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率 点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。 以 k 2 0 dB dec 的低频渐近线为起始直线，按交接频 率由小到大顺序和由表确定斜率变化，再逐一绘制直线。
系统开环特性为： 试画出波德图。 则: 1
10 Gk ( s) (0.25s 1)(0.25s 2 0.4s 1)
arctan T
低频段，当很小，T<<1时，L()=0dB 高频段，当很大，T>>1时，L()=－20lg(T) 惯性环节的Bode图可用上述低频段与高频段两条渐近线的 折线近似表示，
T ＝1/T称为转折频率， 当T=1时，
5. 一阶微分环节
频率特性 对数幅频特性
在低频段，很小，T<<1， 在高频段，很大，T>>1，
L( ) 0dB
2 2
L() 20lg T 40lg T
二阶振荡环节幅频特性的Bode 图可用上述低频段和高频 段的两条直线组成的折线近似表示，两条渐近线交于无 阻尼自然频率 ωn
相频特性
2 T 1 arctan ( ) 2 2 1 T T ( ) arctan 2T ( 1 ) 1 2T 2 T
对数相频特性
0.1 -90°
1
10
( )
2
• GH(s)= 1/sn
GH j 1 j
M db 20lg 1
n
Bode Diagram 60 40
Magnitude (dB)
n
n3
-20dB/dec -40dB/dec
20 0 -20 -40 -60 180 135
3）绘制低频段渐近特性线：由于一阶环节或二阶环节的对数 幅频渐近特性曲线在交接频率前斜率为 0dB / dec ，在交接频率 处斜率发生变化，故在 min 频段内，开环系统幅频渐近 特性的斜率取决于 K / ，因而直线斜率为 20dB / dec 。 为获得低频渐近线，还需确定该直线上的一点，可以采用 以下三种方法： 方法一：在 min 范围内，任选一点0 ，计算 La (0 ) 20lg K 20 lg 0 方法二：取频率为特定值 0 1 ，则
例：已知 G( s)
这可以看作是由五个典型环节构成的
G1 ( s) 10
G2 ( s ) 1 G3 ( s ) 2s 1 1 s
G4 ( s) s 1
G5 ( s )
⒉求 20lgK=20dB
Friday, May 26, 2017
1 1 1 1 0.0025 s 2 0.035 s 1 ( )2 s 2 (2 0.35 ) s 1 20 20
在低频段，很小，φ(ω)约等于0，高频段，很大， φ(ω) ＝－，转折频率处，
1 n , (n ) T 2
M db
20 0
0.05
0.1 0.3
0.5 0.7
-20 -40 -60 -1 10
1
2
10 n
27
⒊列表 序 号 1 2 环节 K (j)-1
1 1 j 2
转折频率 — —
转折频率 后斜率 — －20
累积斜率 — －20
3
4 5
0.5
1 20
－20
+20 －40
－40
－20 －60
1+j
1 (1 0.0025 ) j 0.035
2
注意转折频率是时间常数的倒数
Friday, May 26, 2017 28
5.2.3 开环对数频率特性曲线的绘制
幅相频率特性的优点： 在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各 个频率的幅值和相位都表示出来。 缺点：
在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些环 节组成的，并且绘图较麻烦。
对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得 到广泛的应用。
典型环节的 Bode图
1. 放大环节 L () 频率特性
G( j ) K
对数幅频特性
20lgK 0 0.1 1 10
L() 20lg A() 20lg K ()
对数相频特性
() 0
o
0° 0.1 1 10
2.积分环节
频率特性
G ( j )
L () -20dB/dec
0.1 1 101 jFra bibliotek对数幅频特性
L( ) 20lg 1 () 20lg j 0°
0
10
1
Phase of 2-order factor 0
2 n tan1 2 1 2 n
0.1
0.2 0.3
0.5 0.7
-20 -40 -60 -80
0: 0
180
deg
-100
-120 -140 -160 -180 -1 10