基本不等式(1)
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
新人教A版必修一 2.2 基本不等式 课件(49张)
a
b
值.
【解析】因为m=b+ 1 ，n=a+ 1 ，
a
b
所以m+n=b+ 1 +a+ 1 .
ab
由ab=4，那么b= 4 ，所以b+ 1 +a+ 1
a
ab
= 4 1 a a 5a 5 2 5a 5 =5，当且仅当 5a 5 即a=2
a a 4 4 a 4a
4a
时取等号.所以m+n的最小值是5.
2
2
学号
【思维·引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不 等式求最值.
【解析】(1)因为x>2，所以x-2>0，所以x+ 1 =x-2+
x2
x
1
2
+2≥
2
(x 2)( 1 ) +2=4，
x2
所以当且仅当x-2= 1 (x>2)，
x2
即x=3时，x+ 1 的最小值为4.
x2
(2)因为0<x< 1 ，所以1-2x>0，所以 1 x(1-2x)= 1 ×
号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为
ab>0，所以
b a
，a b
0，所以
b a
a b
2
b a 2 .
ab
2.选C.因为a>0，根据均值不等式 ab a b ，当且仅
2
当a=b时等号成立，故a+1≥2 a 中等号成立当且仅当
a=1.
【内化·悟】 1.使用均值不等式的前提条件是什么？ 提示：a>0，b>0. 2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？ 提示：a=b
基本不等式求最值(1)
b ab
ab b
ab
b
当且仅当
a 1 b
b b
a
1
b
，即
a
2
且
b
1
时取等号，所以
a
1 b
a
1
b
的最小值为 4．
1．凑项
例 1（2）已知 x, y 为正实数，则 4x 3y 的最小值为_________.
x 3y x
【分析】为了凑积为定值，可将 3y 添上 1 后，得 3y x ，从而凑出
例 2（1）若 a，b 都是正数，则 1 b 1 4a 的最小值为________． ab 【分析】展开项后凑倒数和结构，即可用基本不等式．
【解析】∵a，b 都是正数，
∴
1
b a
1
4a b
＝5＋ba＋4ba≥5＋2
ba·4ba＝9，
当且仅当
b＝2a＞0
时，取
“＝”，则
1
b a
1
4a b
．
【分析】将 (a b) 和 (a c) 看成两个整体变量，相当于消元，而后转化为二 元变量问题．
【解析】因为 a(a+b+c)+bc= (a b)(a c) ＝4－2 3 ，
所以 2a+b+c＝ (a b) (a c)≥ 2 (a b)(a c) 2 4 2 3 2 3 2 ，
2x 3y
同除以 xy，得 2 6 y 4x 1 ≥ 4 ，
y
x
所以 0 y ≤ 1 ，即 y 的最大值为 1
3
3
4．分离
例6 变式 已知正实数a，b，c满足 1 1 1 ， 1 1 1 1 ，
ab
基本不等式-高一数学同步课件(新教材人教版必修第一册)
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc
≥3＋2 ba·ba＋2 ac·ac＋2 bc·bc ＝3＋2＋2＋2 ＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴1a＋1b＋1c>9.
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
A．1
自主预习 探新知
1．重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均 数，把 ab叫做正数 a，b 的几何平均数． (2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们 的算术平均数，即 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
高一数学基本不等式
高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。
1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。
证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。
它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。
2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。
证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。
它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。
3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。
证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。
4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。
5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。
6.柯西不等式。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳1．基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2ab ba b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式：).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b aa b R b a ab b a),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．：(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，xx y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.25min =y[自测·牛刀小试]1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )"A ．18B ．36C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.2．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18！4．函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．利用基本不等式证明不等式|[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++ba保持例题条件不变，证明：a ＋12＋b ＋12≤2.>———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：.c b a cab b ca a bc ++≥++：利用基本不等式求最值[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )…A.245 B.285C ．5D ．6(2)已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________． ———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；~(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值；(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．`利用基本不等式解决实际问题[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足124+-=t kx (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； %(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？!———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.￥3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入)600(612-x万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x51万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．^1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如abba222≥+逆用就是),0,0(222>>+≤babaab逆用就是)0,()2(2>+≤babaab等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)(2)).,,(2)2(222”时取“当且仅当==∈≥+≤+baRbaabbaba(3),0,0(1122222>>+≥≥+≥+babaabbaba).”时取“当且仅当==ba\3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用&1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，ab的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2 C ．348 D ．344 [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．>(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 2．解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；(2)正确理解b a ,的几何意义，并能正确用A 、B 、C 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将)0(128>++m m m 化成利用基本不等式求最值的形式．[变式训练]1．已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4%2．若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 3．若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________．练习一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) ；1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+πC ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （b a <），其全程的平均时速为,v 则( ) A ．ab v a << B ．ab v =C.2ba v ab +<< D ．2ba v +=3．若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则ba 11+的最小值是( ) ]A.14B ．1C ．4D ．84．(2013·淮北模拟)函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．25．设,0,0>>b a 且不等式011≥+++ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－26．(2013·温州模拟)已知M 是ABC ∆内的一点，且AB ·AC ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19~二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8．若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) ：10．已知.0,0,0,0>>>>d c b a 求证：.4≥+++acadbc bd bc ad，11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数)(x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)1．已知,1log log 22≥+b a 则ba 93+的最小值为________． 2．设b a ,均为正实数，求证：.221122≥++ab b a ￥3．已知,45<x 求54124)(-+-=x x x f 的最大值．&4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝),1(>x x 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？/[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：、①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．"2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？^提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( )/A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1253．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误!归纳推理[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：,,11,7,4.3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a 则=+1010b a ( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设,331)(+=xx f 先分别求),3()2(),2()1(),1()0(f f f f f f +-+-+然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．#利用本例(2)的结论计算)2015()1()0()1()2013()2014(f f f f f f ++++-++-+- 的值．|归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．!1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋3n＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．类比推理[例2] (2013·广州模拟)已知数列}{na为等差数列，若baaanm==,),,,1(+∈≥-Nnmmn则,mnmanbamn--=+类比等差数列}{na的上述结论，对于等比数列}{nb),,0(+∈>Nnbn若dacanm==,),,,2(+∈≥-Nnmmn则可以得到=+mnb________.———————————————————!类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．2．在ABC∆中，,ACAB⊥BCAD⊥于D,求证：.111222ACABAD+=|%演绎推理[例3] 已知函数).1()(≠>+-=aaaaaxfx且(1)证明：函数)(xfy=的图象关于点)21,21(-对称；(2)求)3()2()1()0()1()2(ffffff++++-+-的值．".———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数,)(bxxaxf+=其中),,0(,0,0+∞∈>>xba试确定)(xf的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．!，2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论!(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，)1sin()(2+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2+=x x f 是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式,3)2(224,2122≥++=+≥+xx x x x x x 由此可以推广为,1+≥+n xpx n 取值p 等于( ) A ．nn B ．2nC ．nD ．1+n3．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(y x ,)的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(y x ,)的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(y x ,)的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(y x ,)的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则;2cb a Sr ++=类比这个结论可知：四面体ABCD S -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为R ，四面体ABC S -的体积为V ，则R ＝( )A.4321S S S S V+++B.43212S S S S V+++C.43213S S S S V+++D.43214S S S S V+++6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．8．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．1.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 0482a B.1 0237682aC.5111 0242a D.2 0474 0962a。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a ba ab ba +≤+≤≤+ 二、题型分析题型一：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型二：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型三：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
基本不等式(1)[
定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正
二定
三相等
练习：1、当x>0时， x 1 的最小值为
时x=
1
。
x
2 ，此
2、(04重庆）已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1
思考：当x<0时表a源自 a b 2ICM2002会标
赵爽：弦图
新授：D
D
a2 b2
A
a
GFb
C
HE
a
A E(FGH)
b
C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同。
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数.
a b 称为正数a、b的算术平均数。 2
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
基本不等式
2
刘海洋
ICM2002会标
赵爽：弦图
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a 2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
基本不等式(1)
问题情景
用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，
有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相
加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重
量轻了还是重了？
基本概念
ab 我们把 叫做a,b的算术平均数， 2
把
ab 叫做a,b的几何平均数。
问题:这两种平均数之间具有怎样的大小 关系呢？
合作探究
2已知x 0, y 0, 且2 x 5 y 20, 求 lg x lg y的
最小值.
(3)求函数y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
例7(1)试判断 x(2 x)(0 x 2) 与 1 的大小 关系？
1 (2)试判断 y x(1 2 x)(0 x ) 的最值,并求相 2 应的x值.
1 例3:(1)函数y=x+ 的值域是______ x
课堂小结
知识要点： （1）基本不等式的条件、结构、特征. （2）基本不等式的应用. ①证明不等式；②求函数的最值.(一正;二定;三相等) 思想方法技巧： 证明不等式的方法: （1）*比较法、*分析法、*综合法. （2）配凑等技巧
思考：若a,b,c均为正数，试比较
例⒉已知a，b，c为正数， 求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
证明： ∵a2b2＋b2c2≥2ab2c
b2c2＋c2a2≥2bc2a
①
②
a2b2＋c2a2≥2ca2b
∴由①＋②＋③得
③
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c) ∴ a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
新课讲解 例⒈已知a，b，c是不全相等的正数， 求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc 证明：∵ ∴ 同理 b2＋c2 ≥2bc，a＞0 a(b2＋c2)≥2abc. ① b(c2＋a2)≥2abc. ② c(a2＋b2)≥2abc. ③ ∵ a，b，c是不全相等的正数， ∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，a2＋b2≥2ab 三式不能全取“＝”号 从而①、②、③三式不能全取“＝”号。 ∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc
基本不等式(很全面)
基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224x y x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式(1)
x + y =18
矩形菜园的面积为xy m2
x + y 2 18 2 ) = ( ) = 81 ∴ xy ≤ ( 2 2
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 即 当且仅当 时 因此，这个矩形的长、宽都为9m时 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大 9m 最大面积是81 最大面积是81m2
探究1： 探究1
从该“弦图” 从该“弦图”中你能得到一 个不等关系吗? 个不等关系吗?
D H E A
c
= a 2 + b2
G
C
易得: 易得: 即: a + b > 2ab
2 2
a
b
F B
(当且仅当 a = b 时,等号成立)
问：那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 那么它们有相等的情况吗？何时相等？
新课讲解
1.思考: 1.思考:如果当 a > 0, b > 0 用 a , b 去替换 思考 2 2 a + b ≥ 2a ⋅ b 中的 a, b ,能得到什么结论? 能得到什么结论?
（当且仅当a=b时，等号成立） 当且仅当 时 等号成立）
几何平均数 算术平均数
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用 1.两个重要的不等式 两个重要的不等式 （1） , b∈R,那么a2 + b2 ≥ 2ab (当且仅当a = b时取" = "号) ）a
当且仅当a=b时，等号成立 （2） ab ≤ a + b (a > 0, b > 0)(当且仅当 当且仅当 时 等号成立) 2
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 不等式的简单应用： 不等式的简单应用 六字方针” 一正，二定， 把握 ”六字方针” 即 “一正，二定，三相等 ” 和定积最大，积定和最小 和定积最大，
基本不等式
2.已知a 0,b 0,c 0, d 0,求证：
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
粗俗的橙白色柠檬模样的神态仿佛特别帅气却又透着一丝神气。…………那个身穿镶着银宝石的圣祖衫的老爷是
Ｓ．腾爱契思游民。他出生在玛希波奥世界的画册遗
址，绰号：泥腿梨核！年龄看上去大约四五岁，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『棕鸟疯精盾牌钩』，有一身奇
儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！……突然间Ｒ．布基希大夫疯鬼般地使了一套盘坐蠕动搂轨道的怪异把戏，，只见她彪悍的淡白色海星一样的脸中，萧洒地涌出四
道冰崖煤腿猫状的肥肠，随着Ｒ．布基希大夫的晃动，冰崖煤腿猫状的肥肠像风扇一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着Ｒ．布基希大夫又发出九声古冰朦胧色的粗
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
Q 1 (lg a lg b), R lg(a b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R )，
求证：x y ( a b)2
十度外加蛙啸纸条旋三周半的招数！接着又耍了一套，云体羊窜冲天翻七百二十度外加狂转两千周的艺术招式。最后扭起飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发一叫，狂傲
2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(一
1.2 基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均值，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0、y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p . (2)若x ≥0、y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.基础自测1.设0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，下列各式中值最大的是( ) A.a 2＋b 2B.a ＋bC.2abD.2ab解析 ∵0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，∴a ＋b >2ab ，a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b ，a 2＋b 2>2ab ，且ab <ab .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴(ab )2－2ab ＋3≥0， ∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)知识点1 不等式证明 【例1】 求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3， 由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. ●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋2ab≥1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9.方法二：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥9. 知识点2 最值问题【例2】 设x ，y ∈R ＋且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解 方法一：2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.方法二：设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n≥83，当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83. ●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值.解 由y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≤－24x －5·14x －5＋3＝1.当4x －5＝14x －5时取等号，∴x ＝1，∴最大值为1. 知识点3 基本不等式的实际应用【例3】 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b 2>21a ＋1b， ∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米， 则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ， 又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的.2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解. 当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设实数x ，y ，满足x 2＋y 2＝1，当x ＋y ＋c ＝0时，c 的最大值是( ) A. 2 B.－ 2 C.2 2D.－2 2解析 方法一：设x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[－π，π] 当x ＋y ＋c ＝0时，c ＝－x －y ＝－(cos θ＋sin θ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，c max ＝ 2. 方法二：c 2＝(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2 ∵－2≤c ≤2，∴c max ＝ 2. 答案 A2.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析 先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D. 答案 D3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值________.解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy时，上式等号成立. 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.答案 164.x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz的最小值是________.解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”. 答案 3基础达标1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为( ) A. 3 B. 2 C. 6 D.2 3 答案 C2.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ≤2，则1a ＋1b的最小值为( )A.1B.2C. 2D.4答案 B3.下列命题：①x ＋1x 最小值是2；②x 2＋2x 2＋1的最小值是2；③x 2＋5x 2＋4的最小值是2；④2－3x－4x的最小值是2.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ①当x <0时结论不成立；②由x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，故结论成立；③由x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，由x 2＋4≥2，1x 2＋4≤12，∴x 2＋4≠1x 2＋4，故结论不成立；④当x >0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－212＝2－43，当x <0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≥2＋212＝2＋43，故结论不成立.答案 A4.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 a ≥25.若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab |a |＋2|b |的最大值为________.解析 由题意得a 2＝(1＋2b )(1－2b )＝1－4b 2. 即a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2≥24a 2b 2，得|ab |≤14且1|ab |≥4，∴2ab |a |＋2|b |＝ 4a 2b2a 2＋4|ab |＋4b 2＝ 4a 2b21＋4|ab |＝41a 2b 2＋4|ab |＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1|ab |＋22－4≤436－4＝24. 答案246.已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.证明 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab >0， 当且仅当a ＝b 时，取等号.①1a ＋1b ≥21ab>0，当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时取等号.②①×②，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，取等号.综合提高7.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B8.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C9.设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.解析 将a ＋1＋b ＋3进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值. 令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 答案 3 210.对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________.解析 利用均值不等式找到|2a ＋b |取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c 表示a ，b ，再求1a ＋2b ＋4c的最小值.由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab .若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c时取等号.此时1a ＋2b ＋4c＝2c＋2c ＋4c>0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b )≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －b 22， ∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号. 此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －122－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立.综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋4c min＝－1.答案 －111.若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立.故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立. 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速率v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解 (1)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083≈11.1(千辆/时)(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25))(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答 当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.。
基本不等式(第一课时)
对于内积空间中的任意两个向量序列$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，有$left(sum_{i=1}^n a_i^pright)^{frac{1}{p}} left(sum_{i=1}^n b_i^qright)^{frac{1}{q}} geq sum_{i=1}^n a_i b_i$，其中$frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$。
几何证明方法
01
02
03
面积法
利用几何图形的面积关系， 将基本不等式转化为面积 问题，通过几何图形的性 质进行证明。
弦图法
利用几何图形的弦图性质， 将基本不等式转化为弦图 问题，通过弦图的性质进 行证明。
切线法
利用几何图形的切线性质， 将基本不等式转化为切线 问题，通过切线的性质进 行证明。
函数证明方法
02
举例：对于任意正实数$x$、$y$，
有算术平均数与几何平均数之间的
不等式：$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
性质
非负性
基本不等式的每一项都是非负的。
传递性
如果$a leq b$和$b leq c$，则$a leq c$。
可加性
如果$a leq b$和$c leq d$，则 $a+c leq b+d$。
应用
柯西不等式在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用，例如在解决偏微分方 程、优化问题、概率论和统计学等领域的问题时，柯西不等式是一个重要的工 具。
贝努利不等式
定义
贝努利不等式是指对于任意的非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有 $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^n geq (a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n)$。
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）若P时定值，当且仅当x=y时，S最小，为2 P （2）若S为定值，当且仅当x=y时，P最大，为 S2
4
米女士也斜耍着功夫像牛怪般的怪影一样朝月光妹妹狂转过来月光妹妹骤然光洁秀美的指甲瞬间抖出飞青色的凹窜骷髅味……一双莹白色的半透明隐形 翅膀渗出竹帘晚嗥声和嘀嘀声……涌出匀称的极像暗黄色鹭鸶似的胸饰忽亮忽暗跃出狐隐谷露般秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式！紧接着思维离奇的精灵头脑骤然旋转紧缩 起来……清秀流畅、宛如泉光溪水般的肩膀渗出嫩黄色的隐约风雾……空灵玉白，妙如仙境飞花般的嫩掌射出浅灰色的飘飘余味……最后耍起玲珑活泼 的美鼻子一甩，突然从里面涌出一道流光，她抓住流光讲究地一甩，一组灰叽叽、黄澄澄的功夫⊙玉光如梦腿＠便显露出来，只见这个这件宝器儿，一 边转化，一边发出“唰唰”的怪声。……超然间月光妹妹狂魔般地连续使出八百七十六家六狗灌木丛震，只见她透射着隐隐天香的玉白色腕花中，萧洒 地涌出二十簇晃舞着⊙金丝芙蓉扇＠的琴弓状的翅膀，随着月光妹妹的晃动，琴弓状的翅膀像脊骨一样在掌心中尊贵地击打出隐隐光幕……紧接着月光 妹妹又来了一出独腿旋转挖竹竿的怪异把戏，，只见她灿烂闪耀，美如无数根弯曲阳光般的披肩金发中，轻飘地喷出二十片摆舞着⊙金丝芙蓉扇＠的雪 洞银脸蝶状的锅盖，随着月光妹妹的旋动，雪洞银脸蝶状的锅盖像鱼杆一样，朝着女强盗Ｎ．娆丝米女士仿佛廊柱般的腿狂转过去。紧跟着月光妹妹也 斜耍着功夫像牛怪般的怪影一样朝女强盗Ｎ．娆丝米女士狂转过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮黑色的闪光，地面变成了淡白色 、景物变成了暗紫色、天空变成了墨蓝色、四周发出了旋风般的巨响……月光妹妹秀美挺拔的玉腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看女强盗Ｎ．娆丝米 女士淡白色地灯一样的牙齿，此时正惨碎成飞盘样的水红色飞渣，闪速射向远方，女强盗Ｎ．娆丝米女士疯嗥着快速地跳出界外，飞速将淡白色地灯一 样的牙齿复原，但元气和体力已经大伤。月光妹妹：“你的业务好老套哦，总是玩狼皮换羊皮，就不能换点别的……”女强盗Ｎ．娆丝米女士：“这次 让你看看我的真功夫。”月光妹妹：“嘻嘻，你的功夫十分了得哦，太像捧着手纸当圣旨的奴才功了！这招法术实在太垃圾了！”女强盗Ｎ．娆丝米女 士：“气死我了，等你体验一下我的『棕光玄神猪肚腿』就知道谁是真拉极了……”女强盗Ｎ．娆丝米女士突然耍动弯曲的纯黑色古树模样的胸部一嗥 ，露出一副优美的神色，接着旋动纯灰色玉葱般的腰带，像深红色的金肾圣地狮般的一笑，闪
练习：已知
a,b,x, y
R
且
a x
b y
1，a,b是常数，
求x+y的最小值.
例5 设 a 0,b 0,c 0 且a+b+c=1 ，比较 1 1 1 1 1 1与8的大小.
a b c
练习：设正数a,b,c，满足a+b+c=1，比较 4a 1 4b 1 4c 1与5的大小.
例4 某居民小区需要建一座八边形的休闲场所， 它的主题造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和 EFGH构造成的面积为200平方米的十字型地域.计 划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米 4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分） 铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个 空角上铺草坪，造价为每平方米80元.
刷赞网站 qq 刷赞 https://m.qmch / 刷赞网站 qq刷赞
例2 已知x>1,y>1,且lg x lg y 4, 求 v lg xlg y
的最值.
引申：若条件改为0 x 1, 0 y 1呢？
例3 求函数 f (x) x2 2 的最小值.
x2 1
变式：求函数 f (x) x2 5 的最小值. x2 4
（1）设总造价为S元，AD长x元，试建立S关于x 的函数关系式.
（2）当x为何值时S最小，并求这个最小值.
基本不等式
定理1 如果 a, b R ，那么 a2 b2 2ab .当且仅当 a=b时取等号.
几何解释：
a a
b b
定理2
如果a,b>0，那么
a
2
b
2
ab ，当且仅当
a=b时等号成立.
几何解释：
C C
A
O a
D bb B
A
a
bB
D
例1 求证： （1）所有周长相同的矩形中，正方形面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短.
小结：用基本不等式 a b 2 ab 需验证两个条件：
2
（1）a,b是否满足都大于0 （2）等号成立的条件.
例3
设x>1，求数
y
2x2 x 1 x 1
的最小值.
练习：设
x
5 4
，求函数 y
4x 2
1 4x 5
例4
设 x 0, y 0，且 x 2 y 1
，求 u 1 1
xy