高考二轮复习数学理配套讲义17 数学文化与高考命题

微专题17命题有章——数学文化与高考命题教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如，在数学中增加数学文化的内容”。因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读。

考|题|统|计

景的数学文化类题目。

预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数。

预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制、割圆术、阿氏圆等。

预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题。

考向一数列中的数学文化

【例1】 (2018·安徽模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )

A ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝507

B ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝507

C ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝507

D ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝507

【解析】 由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b

＝12a ，c ＝12b ，三者之和为50升，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507。故选D 。

【答案】 D

本题以《九章算术》为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力。

【美题尝试1】 (2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了

381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

解析 由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前7项和S 7＝381，公比q ＝2。设塔顶层的灯的盏数为a 1，则

有S 7＝a 1(1－27)1－2

＝381，解得a 1＝3。故选B 。 答案 B

考向二 三角函数中的数学文化

【例2】 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边分别为a ，b ，c ，则其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，

这里p ＝a ＋b ＋c 2。已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则当△ABC 的面积最大时，sin A ＝________。

【解析】 设AC ＝x ，AB ＝2x ，则由海伦公式得

S ＝ 6＋3x 2·3x －62·6＋x 2·6－x 2 ＝34

(x ＋2)(x －2)(6＋x )(6－x ) ＝34(x 2－4)(36－x 2)

≤34·(x 2－4)＋(36－x 2)2＝12，当且仅当x 2－4＝36－x 2，即x ＝25，即AC ＝25，AB ＝45时不等式取等号。所以△ABC 的

面积的最大值为12，此时由余弦定理得cos A ＝(25)2＋(45)2－622×25×45

＝45，故sin A ＝1－cos 2A ＝35。 【答案】 35

本题具有一定的综合性，考查的知识点较多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系。求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出△ABC 的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值。

【美题尝试2】 (2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________。

解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个

边长为1的正三角形，从而S 6＝6×12×12×sin60°＝332。

答案 332

考向三 算法中的数学文化

【例3】 (2018·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算

法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为( )

A ．20

B ．25

C ．30

D ．35

【解析】 解法一：执行程序框图，n ＝20，m ＝80，S ＝60＋803＝8623≠100；n ＝21，m ＝79，S ＝63＋793＝8913≠100；n ＝

22，m ＝78，S ＝66＋783＝92≠100；n ＝23，m ＝77，S ＝69＋773＝

9423≠100；n ＝24，m ＝76，S ＝72＋763＝9713≠100；n ＝25，m ＝

75，S ＝75＋753＝100，退出循环。所以输出的n ＝25。

解法二：设大和尚有x 个，小和尚有y 个，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，

3x ＋13y ＝100，

解得⎩⎨⎧

x ＝25，y ＝75，根据程序框图可知，n 的值即