2018-2019学年最新鲁教版五四制九年级数学上册《二次函数的图像和性质》教学设计-评奖教案

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鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数》大单元教学课件

2..如何研究函数的性质?
3.求函数表达式的方法是什么?
4.函数的实际应用问题
5.二次函数与一元二次方程的关系？与不等式的关系？
课时安排：（14课时）
课时内容
课时数
1.二次函数的定义
1
2.如何研究函数的性
质
4
3.求函数表达式
1
4.函数的实际应用问
题
4
5.二次函数与一元二
次方程的关系，与不
等式的关系
6.本章小结
2
2
备注
思维导图
课例展示
二次函数的图象和性质
课标要求
1. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此
得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
从简单到复杂的学习过程，并且在学生原有的知识一次函数
的基础上来类比学习，让学生体会知识点时间的联系。发展
学生的数学思维，逐步提高分析问题，解决问题的能力，增
强学好数学的信心。
课程标准
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性
质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
情绪，相关知识学得不很透彻。在学生的逻辑推理思维能力，计算
能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强．需要
得到加强，以提升学生的整体成绩；
重难点解析
重点：1.理解二次函数的图像与性质。
2.能正确求出二次函数的解析式。
3.运用二次函数性质解决实际问题。

2018-2019学年最新鲁教版五四制九年级数学上册《二次函数》同步测试题及答案解析-精编试题

二次函数第一次练习一．选择题（共9小题）1．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B．C．D．3．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大5．二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．108．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c ＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共9小题）10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是．13．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0②b2﹣4ac＞0③4b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．14．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是（只填写序号）．15．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1= ．16．将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．17．二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是．18．若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．三．解答题（共8小题）19．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．20．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．22．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tan，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q 从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数第一次练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．2．（2016•赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B．C．D．【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选C．3．（2016•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x=＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，图象开口向上，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．4．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．5．（2016•成都）二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点【解答】解：A、a=2，则抛物线y=2x2﹣3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．7．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．8．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．9．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．二．填空题（共9小题）10．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB 为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）11．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15 ．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．12．（2016•天水）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是①③④．【解答】解：观察函数图象，发现：开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒﹣＞0；顶点在x轴上方⇒＞0．①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，①成立；②∵＞0，∴＜0，②不成立；③∵OA=OC，∴x A=﹣c，将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；④∵OA=﹣x A，OB=x B，x A•x B=，∴OA•OB=﹣，④成立．综上可知：①③④成立．故答案为：①③④．13．（2016•通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0②b2﹣4ac＞0③4b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）②③⑤．【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，∴y1，＜y2，故④错误，由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．∴②③⑤正确，故答案为②③⑤．14．（2016•十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是②（只填写序号）．【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，∴a＜0．b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①正确．∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b﹣a＜c，∵c＞O，∴b﹣a可以是正数，∴a+3b+2c≤0，故②错误．故答案为②．∵函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，∵＞0，∴函数y′有最小值﹣，∴x2+x≥﹣，故③正确．∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，∵x1•1==﹣，∴x1=﹣，∵﹣2＜x1＜x2，∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确，15．（2016•牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1= ﹣3 ．【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得4a+6+c=4，∴4a+c=﹣2，∴4a+c﹣1=﹣3，故答案为﹣3．16．（2016•绥化）将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是y=3（x﹣5）2﹣1 ．【解答】解：y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位所得抛物线解析式为：y=3（x﹣5）2+2；再向下平移3个单位为：y=3（x﹣5）2﹣1．故答案为：y=3（x﹣5）2﹣1．17．（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是﹣7 ．【解答】解：∵y=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∵a=1＞0，∴x=﹣2时，y有最小值=﹣7．故答案为﹣7．18．（2016•荆州）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为﹣1或2或1 ．【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．三．解答题（共8小题）19．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．20．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，S△OAD=OD•AD=×2×4=4；S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．21．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．22．（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【解答】解：（1）根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．23．（2016•南京）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tan，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．设PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα==，∴OH=6x．在Rt△AHP中，∵tanβ==，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=，∴OH=3，PH=，∴点P的坐标为（3，）；（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4），∵P（3，）在抛物线y=ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）=，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣4）．当y=1时，﹣x（x﹣4）=1，解得x1=2+，x2=2﹣，∴BC=（2+）﹣（2﹣）=2=2×1.41=2.82≈2.8．答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．24．（2016•内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，∵30﹣2x≤18，∴x=12；（2）设苗圃园的面积为y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，∵a=﹣2＜0，∴苗圃园的面积y有最大值，∴当x=时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；∵6≤x≤11，∴当x=11时，y最小=88平方米；（3）由题意得：﹣2x2+30x≥100，∵30﹣2x≤18解得：6≤x≤10．25．（2016•临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q 从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴当运动时间为时，PA=QA；（3）存在，∵y=x2﹣x，∴抛物线的对称轴为x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5设点M（，m），①若BM=BA时，∴（）2+（m﹣10）2=125，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，），②若AM=AB时，∴（）2+m2=125，∴m3=，m4=﹣，∴M3（，），M4（，﹣），③若MA=MB时，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，∴m=5，∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），26．（2016•南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．。

初中数学鲁教版九年级上册3.4.二次函数y=a(x-h)2的图像与性质(第2课时)(31张PPT)

(1) y (2) y
1 x2 2 1(x 2
y 1 x 22
2
2)2
(3) y 1 ( x 2)2 2
-8
-6
-4
5 4 3 2 1
-2 B
-1
-2
-3
感悟新知
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2
4
6
感悟新知
y
1 2
(x
2)2
向左平移2 个单位
y 1 x2 2
向右平移2 个单位
y 1 (x 2)2 2
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2
的是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
感悟新知
3. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( C ) ①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
2 在此坐标系中画出抛物线y=－
1
2 x2 (见图中虚线部
分物)线, 观y=察－抛12物x2线有y什=么－关12 系(x？+1)2，2y=－
1 2
(x－1)2与抛
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2 y 1 x2
2
2
2
有什么关系?
感悟新知
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
例1 下列命题中，错误的是( )
感悟新知

九年级数学上册第三章二次函数4二次函数y=ax2bxc的图象与性质(2)课件鲁教版五四制

3.探究：三条抛物线之间的位置关系. （1）从图象上看，这三条抛物线能否经过相互的平移得到?若能，应该怎样平移? （2）从所列的表格来看，点的坐标是否具有这种平移关系? （3）图象叠放直观演示平移过程.
4.归纳： y=a(x-h)2的平移规律：当h＞0时，将抛物线y=ax2向右平
移h个单位；当h＜0时，将抛物线y=ax2向左平移｜h｜个单位.
y=-
x122，y=-
(x+121)2，y=-
1
(x-1)2 2
2.思考：按照所列表格，描点画出的图象不对称，是什么原因造成的?是图象的原因，还是取值的原因？
重新考虑表格（补充内容如下表）：
x
-4 … … … … … … … 4
y=- 1 x2
2
………… … ……
y=- 1 (x+1)2 -4.5 … … … … … …
2
Y=- 1 (x-1)2
2
… … … … … … -4.5
结论：三条抛物线的对称轴不同，我们把经过点(-1，0)且与x 轴垂直的直线，记作x=-1，三条抛物线的对称轴分别是x=0， x=-1，x=1；顶点坐标分别为：(0，0)，(-1，0)，(1，0). 学生独立画图（坐标系的单位长度一致，画在较透明的薄纸上）. 教师关注：学生画图时，由于事先不知道每一条抛物线的对称轴，所以在列表和画图时必然会出现所取的点不对称和所画的图象不对称.此时应及时作以下引导： (1)是图象本身不对称，还是取的点不对称?
(2)若使画出的图象对称，应该再取哪个点?教师组织学生小组内讨论、思考解决.
教师引导：三个同学一组，每人画出一条抛物线(组长分好工，把其余的两条抛物线擦去)，然后两两叠放在一，通过平移，观察、思考、总结规律.

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质(数学鲁教版九年级上册)

[答案] 不正确．因为－1 和 3 分别位于 y 轴两侧，且|－1|＜|3|，又抛物线开口向下，所以 y1＞y2.
课后作业
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
文本
文本
文本
新课进行时
核心知识点二二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
例 2 [教材补充例题]若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线 y ＝－x2 上，则下列结论正确的是( D ) A．当 x1＜x2 时，y1＜y2 B．当 x1＜x2 时，y2 C．当 0＜x1＜x2 时，y1＜y2 D．当 0＜x1＜x2 时，y1＞y2
A．y＝x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大 B．y＝x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小 C．y＝－x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小 D．y＝－x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小
新课进行时
核心知识点三二次函数y=ax2的图象与性质
例 4 抛物线 y＝3x2，y＝－3x2，y＝13x2 共有的性质是
鲁教版九年级上册
第三章二次函数
3.3 二次函数y=ax2的图象与性质
新课目标
3．通过二次函数 y＝ax2 的作图过程，掌握并理解二次函数 y＝ax2 的图象和性质，并能利用其性质解题．
新课进行时核心知识点一二次函数图象的画法
例 1 [教材补充例题]已知圆柱的高为13，试写出该圆柱的体
积 V 与底面半径 R 之间的函数表达式，并画出其图象．(π取
新课进行时
[归纳总结] 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法：当所要比较的函数值对应的点都在抛物线对称轴的同一侧时，可直接利用函数的增减性比较；当所要比较的函数值对应的点不在抛物线的同一侧时，应将它们转化到对称轴的同侧，再进行比较．

鲁教版五四制初中九年级上册数学：二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质-第三课时_课件1

y a(x h)2 k 的图象还有哪些性质？
本节课主要运用了数形结合的思想方法，通过对函数图象的讨论，分析归纳出 y a(x h)2 k 的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h，k)
谢谢
-5.5 …
1.在同一坐标系内，画出函数
y 1 x2、 y 1 x2 1 、
2
2
y 1 (x 1)2 1 的图象。
2
（2）描点，连线： y
y 1 x2
2
x
y 1 x2 1 2
1.在同一坐标系内，画出函数
y 1 (x 1)2 1 2
的图象。
y

1 2
x2
、y

1 2
x2
1
、
(3)观察并填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y 1 x2 2
y 1 x2 1 2
y 1 (x 1)2 1 2
向下向下向下
直线x=0 直线x=0 直线x=-1
(0，0) (0，-1) （-1，-1）
1.在同一坐标系内，画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图象。
平移，可以得到抛物线y=a(x-h)²+k。平移的方向、
距离要根据 h，k 的值来决定。
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
顶点式
（1）当a>0时，开口向__上___；当a＜0时，开口向__下___；
（2）对称轴是直线x=h ；
（3）顶点坐标是 (h，k) 。
填表：
抛物线
开口方向对称轴

鲁教版(五四制)九年级数学上册《二次函数》课件

1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下
落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2,填表表示物体在
前 5s 下落的高度：
t/s
1
2
3
4
5
h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽
相等,高比长多0.5 m.
(1)长方体的长和宽用 x (m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种 1 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均
每棵树结多少个橙子?
(3)假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均每
棵树结多少个橙子?
(4)如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式．
些需要注意的问题？
2.在解决问题的过程中，你运用了哪
些方法？
1．下列函数不属于二次函数的是（ C ）
A．y=(x－1)(x+2)
B．y=(x+1)2
2
C．y=2(x+3)2－2x2
D．y=1－x
m2 2
2.当m= -2 时， y (m 2) x
是二次函数.
※3.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为每件20元，
为调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，产品每天的销
售量t（件）与每件的售价x（元）之间有如下关系：t=-3x+70.
请写出每天的利润y（元）与x之间的函数关系式.
y=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400
必做：新课堂P27 T2,3,4,5

鲁教版五四制九年级数学上3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)教学课件共25张PPT

x2+3、y=-
1 2
x2-3的图象：
1.列表： x
… -3 -2 0 2 3 …
2.描点：
y=y=-
1 2 1 2
x2 x2+3
3.连线：
y=-
1 2
x2-3
顶点坐标
y=-
1 2
x2-3
y=-
1 2
x2+3
y=-
1 2
x2
二次函数y=ax2+k有如下特点:
(1)形状是抛物线； (2)当a>0时, 开口向上;
y
y=2x2+1
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
y
y=3x2
0.25.
-1 -0.75. -0.5. -0.25 0. 0.25. 0.5. 0.75. 1
x
-0.25.
y=3x2-1
-0. 5.
-0.75.
-1.
画出函数y=-
1 2
x2、y=-
1 2
3.4 二次函数y=ax2+bx+c
的图象与性质（1）
栖霞市翠屏中学慕丽华
温故知新二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口对称轴顶点
增减性
开口向上
开口向下
|a| 越大，开口越小
y轴
（0，0）
顶点是最低点顶点是最高点
左减右增
左增右减
学习目标：
• 知识目标：经历探索二次函数y=ax2+k的图象的画法和性质的过程。

秋鲁教版(五四制)数学九年级上册二次函数课件

情景引入
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x
与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函
数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，
则有 S x 20 x S x2 20x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
3.一元二次方程的一般情势是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
探究新知二次函数的定义
探究归纳
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
典例精析
例：某商场经销一种成本为40元的文具，调查发现，若售价为50元，一个月能卖500 件；售价每增长1元，月销售量就减少10件。针对这种文具的情况回答下列问题： (1)当售价定为55元时，计算月销售量和月销售利润；
解：第一明确利润类问题的计算公式： (1)售价为55元时，售价增长了(55-50)=5元，也就是增长了5÷1=5个1元，那么月
问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？

鲁教版五四制九年级数学上第三章第四节二次函数的图象与性质第三课时

2.二次函数y=a(x–h)²+k的图象性质. 3.画一般二次函数图象的方法.
堂清检测
1.若抛物线y=-x²向左平移2个单位,再向
下平移3个单位所得抛物线的解析式
是 y=-(x+2)²-3 .
2.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
A. y=-2x²-2 B . y=2x²-2
C .y=-(x+2)²-2 3.将二次函数y=
向下平移2个单位
y=-0.5x2-2
+1是什么意思？
-2是什么意思？
探究活动一
y=-0.5(x+1)2
y
向左平移11 个单位
向下平-4移
-2
o
2
2个单位
-1
-2
-3
y=-0.5(x+1)2-2
-4
-5
y究活动一
y=-0.5(x+1)2
y
向左平移11 个单位
-4
-2
o
2
向下平移 -1
平移规律： h:左加右减 k:上加下减
填写表格
抛物线
开口对称轴顶点最值
方向
坐标
增减性
y=- 0.5 x²
向下
y轴
x=0时,
（0，0）有最大
值y=0
x<0时,y随x的增大而增大; x>0时,y随x的增大而减小.
y=- 0.5 x²-2
向下
y轴
x=0时,
（0，-2）有最大
值y=-2
x<0时,y随x的增大而增大; x>0时,y随x的增大而减小.
探究活动一
在同一直角坐标系中，分别画出二次函数y=-0.5x²、y=-0.5x²-2 、 y=-0.5(x+1)²-2的图象，验证你的结论，并与同伴进行交流.

鲁教版五四制数学九年级上册3.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质4》课件1

1.
4a
4 0.0225
所以这条抛物线的顶点坐标是(-20，1).
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
同理，右边抛物线的顶点坐标是(20，1).
所以两条钢缆最低点之间的距离是40m.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
y=0.0225(x-20)2+1 y=0.0225x2-0.9x+10 所以其顶点坐标是(20，1). 所以两条钢缆最低点之间的距离是40m.
一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
y ax2 bx c
a x2 b x c 提取二次项系数
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(h ，k)
(h ，k)
对称轴增减性
极值
x=h
x=h
当x<h时，y随着当x<h时，y随着
x的增大而减小. x的增大而增大.
当x>h时，y随着当x>h时，y随着
y=0.0225x²+0.9x+10 y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ (3)你是怎样计算的？与同伴交流.

鲁教版(五四制)九上：3.3二次函数y=ax2的图象与性质第二课时课件

5
6
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离 (称为刹车距离)与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。
7
有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,
速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以
由公式
ｓ＝ 1 v２
100
确定；雨天行驶时, 这一公式为
道的？
72
答：36m
1 50
×602
－
1
×
100
602
=36（m）
36
也可以由视察图象得。
ｓ＝ 1 v２
50
15
1.画出二次函数y=2x2的图象。
(1)完成下表：
x -3
-2 -1
0
1 2 3 ……
y=2x2 18
8
2
0
2
8
18 … …
(2)在下图中作出y= 2x2的图象。
16
(3)二次函数y=2x2 的图象是什
28
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大抛物线开口越小；当 a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的
最高点，a 越大抛物线开口越大。 |a|越大,开口越__小___。
二次函数y=-ax2的图象与y=ax2的图象关于x轴对称。
y
1
=2
x2的图象呢？
25
答：二次函数y=－3x2的图象与y=3x2的图象形状相同，对称轴都是y轴，
顶点坐标都是(0，0)，
但它们的开口方向不同， y=－3x2的图象的开口向下，而y=3x2的图象

鲁教版(五四制)九年级数学二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质优秀教学案例

在教学过程中，我还注重运用多媒体教学手段，展示二次函数的图像，使学生更直观地了解二次函数的性质。同时，我设计了一系列具有针对性的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
此外，我还鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验。通过小组合作学习，学生可以相互借鉴、相互启发，从而提高学习效果。在课堂结束时，我对学生的学习情况进行总结和评价，及时反馈学生的学习成果，提高学生的学习积极性。
3.讲解二次函数的性质：顶点式、对称性、单调性等，并结合实际例子进行解释。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论。如：“如何求解使得抛物线与x轴有两个不同交点的a、h、k的取值范围？”
2.引导学生运用数形结合思想，将实际问题转化为二次函数问题。如：“如何利用二次函数的性质解决篮球架安装问题？”
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图像，使学生更直观地了解二次函数的性质。
3.设计具有针对性的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
4.鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验，提高学生的合作学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力。
2.组织学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的自我认知能力。如，让学生评价自己在课堂上的表现，以及同伴在小组合作中的贡献。
3.教师对学生的学习情况进行总结和评价，给予学生反馈。如，教师应及时评价学生的学习成果，指出学生的优点和不足，鼓励学生继续努力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：以篮球架的安装为例，提出问题：“如何安装篮球架才能使投篮更容易？”引导学生思考二次函数在实际生活中的应用。

鲁教版(五四制)九上：3.3二次函数y=ax2的图象与性质第一课时课件

4
3.一次函数的图象是一条直线。 4.反比例函数的图象是双曲线。 5.二次函数的图象是什么形状呢？
5
6.通常怎样画一个函数的图象？答：通常用描点法画一个函数的图象。
用描点法画函数图象的主要步骤是：（1）列表（2）描点（3）连线
6
画二次函数y=x2的图象 (1)视察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
9
你是如何知道的？
8
7
当x=0时，函数y的值
6
最小，最小值是0。
5
4
可以视察图象，也
3 2
可以分析表达式。
1
-3 -2 -1 O
y=x2 1 23x
15
(5) 图象是轴对称图形吗？
y
如果是，它的对称轴是什么？
9
请你找出几对对称点。
8 7
是，对称轴是y 轴。
6 5
对称点有很多，如：
-2
(2)图象与 x 轴交于
-3
原点(0，0)。
-4
-5
(3)当x <0时，y 随 x 的增 -6
大而增大；当x >0时，y
-7 -8
随 x 的增大而减小。
-9
1 23x
y=- x2
21
y
(4)当 x=0时，y最大值 = 0 -3 -2 -1-O1
-2
(5)图象关于 y 轴对称。
-3
-4
-5
(6)图象的顶点是原点，它
y=x2 1 23x
17
二次函数y=x2的图象
y
9
是一条抛物线，它的特

鲁教版(五四制)初中数学九年级上册_《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质》学海导航及错例分析

《二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质》学海导航及错例分析⎧⎧222124()24()()y ax bx c b ac b y a x a a y x x x x ⎪⎪⎪⎧=++⎪⎪⎪-⎪⎪=++⎨⎨⎪⎪⎪⎪=--⎩⎪⎪⎫⎪⎬⎪⎭⎩定义一般式：二次函数解析式顶点式：两根式：图象开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值性质22(0)40(0,)00a y a b y y ax bx c a b ac x c y C c c c ←−→⎪⎧←−→⎪⎪⎨⎪←−→⎪⎩⎪⎪=++≠∆=-←−→⎨⎪>⎧⎪⎪⎪←−→=⎨⎪⎪<⎪⎩⎩开口方向同号对称轴在轴左侧、异号对称轴在轴右侧与轴交点个数正半轴与轴交于点原点负半轴学海导航二次函数的错例分析在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：例1：如果函数y=()13232++-+-kx x k k k 是二次函数，那么k 的值一定是______．错解：根据二次函数的定义，得：k 2-3k+2=2，解得k=0或k=3；∴当k=0或k=3时，这个函数是二次函数．正解：根据二次函数的定义，得：k 2-3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k-3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．点拨：二次函数二次项系数不为0是个易错点。

例2：求二次函数x x y 422+=的顶点坐标错解：x x y 422+==8)2(22-+=x y ，所以顶点坐标（-2，8）正解：2222(2)2(211)2(1)2y x x x x x =+=++-=+-得顶点坐标（-1，-2）点拨：同学们应记住配方到y=a(x+h)2+m 形式时x+h=0得顶点横坐标h x -=，顶点纵坐标就是m 。

该同学配方错误，在提取公因数2的时候一次项没提出来，同时按该同学配方结果-8这个整体才代表上面配方结果中的m 。

九年级数学上册 2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

2.抛物线y=-3(x-1)2-2的开口向_____,对称轴为_______, 顶点坐标为______,当x=_____时,函数值有最____值,它的值为_____,当x______时，y随x的增大而增大
3.抛物线y=4(x-3)2+7的开口向_____,对称轴为_____, 顶点坐标为______,当x=_____时,函数值有最____值, 它的值为_____,当x______时，y随x的增大而增大。
2.4、二次函数 y=ax2+bx+c
的图象与性质
&温故知新
规律1:函数y=ax2+h的图象可由y=ax2的图象向上或向下平移|h|个单位得到.当h>0时,向上平移|h|个单位,当h<0时, 向下平移|h|个单位.对称轴是Y轴，顶点坐标（0，h)
规律2:函数y=a(x+h)2的图象可由y=ax2的图象向左或向右平移|h|个单位得到.当h>0时,向左平移|h|个单位,当h<0时, 向右平移|h|个单位.对称轴是x=-h，顶点坐标（-h，0)
大当而x＜减h小时，，y最大=0
y随x的增
大而增大
例1.在同一直角坐标系内,画出函数的图象.
y 1 x2, y 1 x2 1, y 1 (x 1)2 1
2
2
2
解:列表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y
1 2
x
2
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
y
1 2
从y=a(x-h)2+k中可以看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y=a(x-h)2+k叫做二次函数的顶点式。二次函数的一般式与顶点式可以相互转化。