江苏省南通中学2018-2019学年高二数学上册10月月考试题

B

B

A D C D

C

A 江苏省南通中学2018～2018学年度第一学期

高二数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷相应位置上． 1．用符号表示“点

A

在平面α内，直线l 在平面α内”

为 ．A ∈α，l ⊂α 2．四棱锥共有 个面．5

3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系是____________．平行或异面

4．一个正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积

为________．

43

π 5. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝m ，AA 1＝4 cm ， 则三棱锥A 1-ABD 的体积为________cm 3. 6

6．在直观图(如图所示)中，四边形O A B C ''''为菱形且边长为

2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形OABC 的面积为________cm 2. 8

7．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：

①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n ； ④若m ∥

α，m ⊂β，则α∥β.

其中所有真命题的序号是________．②③

8．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 .3

4

9．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱

锥的侧面积是________．48

10．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上的一点，AP ＝3

a

，过

P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在棱CD 上，则PQ ＝ . 223 a

11.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 是线段PB 的中点．有

以下四个命题：

①MO ∥平面P AC ； ②P A ∥平面MOB ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .

其中正确的命题的序号是________．

解析：①因为MO ∥P A ，MO ⊄平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，所以MO ∥平面P AC ；

②因为P A 在平面MOB 内，所以①错误； ③因为P A 垂直于圆O 所在的平面，所以P A ⊥BC .

又BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC ⊥平面P AC 不成立，③错误；

④由③知BC ⊥平面P AC ，且BC ⊂平面PBC ，所以平面P AC ⊥平面PBC .

正确命题的序号是①④.

12．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线

段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的

变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

13.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．

解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2

，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭

⎪⎫332＝

66.由面积相等得66× x 2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫222＝22x ，得x ＝1

2.

14．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意正整数n ，(a n ＋

1－p )(a n －p )<0

恒成立，则实数p 的取值范围是________．

解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(2n －1)，当n ＝1时，也符合．故a n ＝(－1)n ·(2n －1)．当n 为奇数时，a n <0

＝2n＋1对于任意的正奇数n恒成立，故－1

a n>0>a n＋1.由不等式(a n＋1－p)(a n－p)<0可得－2n－1＝a n＋1

－1，对于任意的正偶数n恒成立，故－5

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷指定区域内作答，

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.

(1)求cos A的值；

(2)求c的值

.

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥S-ABC中，AS=AB，CS=CB，点E，F，G分别是棱SA，SB，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2) SB⊥AC．

F A

B C

S

G E